Academic literature on the topic 'Bornes non asymptotiques'

Les équations de Kadomtsev-Petviashvili (KP) décrivent les ondes de faible amplitude et de grande longueur se déplaçant à la surface de l'eau, principalement dans la direction (Ox). Quant à l'équation de Benjamin-Ono (BO), elle décrit de telles ondes se déplaçant à l'intérieur de l'eau. On s'intéresse à ces équations vue en tant qu'équations de type Benjamin-Bona-Mahony (BBM). Notre travail se divise alors en trois parties. Dans la première partie, on rappelle la modélisation des différentes équations. On montre plus particulièrement que les modèles BBM s'obtiennent à partir du principe fondamental de la dynamique. On compare alors les solutions des équations de KP, respectivement de BO, avec les solutions des équations de type BBM d'un point de vue théorique, puis numérique. Dans la seconde partie, on s'intéresse à certaines propriétés qualitatives des équations généralisées de type BBM. Des résultats de prolongement en temps des normes de Sobolev, de décroissance en temps et de prolongement unique des solutions sont établis. Enfin, on termine avec une étude numérique des solutions des équations KP généralisées en dimension 3 d'espace. Dans cette dernière partie, en collaboration avec F. Hamidouche et S. Mefire, on inspecte numériquement les phénomènes de dispersion, d'explosion en temps fmi, de comportement solitonique et d'instabilité transversale
The Kadomtsev-Petviashvili equations (KP) describe the small amplitude long wave moving mainly in the x-direction in shallow water. As for ti Benjamin-Ono equation (BO), it describes such waves moving inside water. We are interested in these equations seen as equations of Benjamin-BonaMahony type (BBM). Our work is subdivided in three parts. ln the first one, we recall the modelling of the different equations. More particularly, we show that the BBM models are obtained from the fundamental principle of dynamics via an asymptotic analysis. We compare then the solutions of the KP equations, respectively of the BO one, with the solutions of the equations of BBM type. ln the second part, we are interested in sorne qualitative properties of the generalized equations of BBM type. Sorne results of continuation in time of bounds on Sobolev norms, decay in time and unique continuation of the solutions, are established. Finally, we conclude with a numerical study of the solutions of the generalized KP equations in space dimension 3. (n this last part, in collaboration with F. Hamidouche and S. Mefire, we inspect numerically the phenomena of dispersion, blow-up in finite time, solitonic behaviour and transverse instability

Ce manuscrit est dédié à l'analyse de performances en traitement d'antenne pour l'estimation des paramètres d'intérêt à l'aide d'un réseau de capteurs. Il est divisé en deux parties :- Tout d'abord, nous présentons l'étude de certaines bornes inférieures de l'erreur quadratique moyenne liées à la localisation de sources dans le contexte champ proche. Nous utilisons la borne de Cramér-Rao pour l'étude de la zone asymptotique (notamment en terme de rapport signal à bruit avec un nombre fini d'observations). Puis, nous étudions d'autres bornes inférieures de l'erreur quadratique moyenne qui permettent de prévoir le phénomène de décrochement de l'erreur quadratique moyenne des estimateurs (on cite, par exemple, la borne de McAulay-Seidman, la borne de Hammersley-Chapman-Robbins et la borne de Fourier Cramér-Rao).- Deuxièmement, nous nous concentrons sur le concept du seuil statistique de résolution limite, c'est-à-dire, la distance minimale entre deux signaux noyés dans un bruit additif qui permet une "correcte" estimation des paramètres. Nous présentons quelques applications bien connues en traitement d'antenne avant d'étendre les concepts existants au cas de signaux multidimensionnels. Par la suite, nous étudions la validité de notre extension en utilisant un test d'hypothèses binaire. Enfin, nous appliquons notre extension à certains modèles d'observation multidimensionnels

Cette thèse s'inscrit dans les domaines de l'apprentissage statistique et de la statistique séquentielle. Le cadre principal est celui des problèmes de bandit stochastique à plusieurs bras. Dans une première partie, on commence par revisiter les bornes inférieures sur le regret. On obtient ainsi des bornes non-asymptotiques dépendantes de la distribution que l'on prouve de manière très simple en se limitant à quelques propriétés bien connues de la divergence de Kullback-Leibler. Puis, on propose des algorithmes pour la minimisation du regret dans les problèmes de bandit stochastique paramétrique dont les bras appartiennent à une certaine famille exponentielle ou non-paramétrique en supposant seulement que les bras sont à support dans l'intervalle unité, pour lesquels on prouve l'optimalité asymptotique (au sens de la borne inférieure de Lai et Robbins) et l'optimalité minimax. On analyse aussi la complexité pour l'échantillonnage séquentielle visant à identifier la distribution ayant la moyenne la plus proche d'un seuil fixé, avec ou sans l'hypothèse que les moyennes des bras forment une suite croissante. Ce travail est motivé par l'étude des essais cliniques de phase I, où l'hypothèse de croissance est naturelle. Finalement, on étend l'inégalité de Fano qui contrôle la probabilité d'évènements disjoints avec une moyenne de divergences de Kullback-leibler à des variables aléatoires arbitraires bornées sur l'intervalle unité. Plusieurs nouvelles applications en découlent, les plus importantes étant une borne inférieure sur la vitesse de concentration de l'a posteriori Bayésien et une borne inférieure sur le regret pour un problème de bandit non-stochastique
The topics addressed in this thesis lie in statistical machine learning and sequential statistic. Our main framework is the stochastic multi-armed bandit problems. In this work we revisit lower bounds on the regret. We obtain non-asymptotic, distribution-dependent bounds and provide simple proofs based only on well-known properties of Kullback-Leibler divergence. These bounds show in particular that in the initial phase the regret grows almost linearly, and that the well-known logarithmic growth of the regret only holds in a final phase. Then, we propose algorithms for regret minimization in stochastic bandit models with exponential families of distributions or with distribution only assumed to be supported by the unit interval, that are simultaneously asymptotically optimal (in the sense of Lai and Robbins lower bound) and minimax optimal. We also analyze the sample complexity of sequentially identifying the distribution whose expectation is the closest to some given threshold, with and without the assumption that the mean values of the distributions are increasing. This work is motivated by phase I clinical trials, a practically important setting where the arm means are increasing by nature. Finally we extend Fano's inequality, which controls the average probability of (disjoint) events in terms of the average of some Kullback-Leibler divergences, to work with arbitrary unit-valued random variables. Several novel applications are provided, in which the consideration of random variables is particularly handy. The most important applications deal with the problem of Bayesian posterior concentration (minimax or distribution-dependent) rates and with a lower bound on the regret in non-stochastic sequential learning

Ce manuscrit est dédié à l’analyse de performances en traitement d’antenne pour l’estimation des paramètres d’intérêt à l’aide d’un réseau de capteurs. Il est divisé en deux parties :– Tout d’abord, nous présentons l’étude de certaines bornes inférieures de l’erreur quadratique moyenne liées à la localisation de sources dans le contexte champ proche. Nous utilisons la borne de Cramér-Rao pour l’étude de la zone asymptotique (notamment en terme de rapport signal à bruit avec un nombre fini d’observations). Puis, nous étudions d’autres bornes inférieures de l’erreur quadratique moyenne qui permettent de prévoir le phénomène de décrochement de l’erreur quadratique moyenne des estimateurs (on cite, par exemple, la borne de McAulay-Seidman, la borne de Hammersley-Chapman-Robbins et la borne de Fourier Cramér-Rao).– Deuxièmement, nous nous concentrons sur le concept du seuil statistique de résolution limite, c’est-à-dire, la distance minimale entre deux signaux noyés dans un bruit additif qui permet une ”correcte” estimation des paramètres. Nous présentons quelques applications bien connues en traitement d’antenne avant d’étendre les concepts existants au cas de signaux multidimensionnels. Par la suite, nous étudions la validité de notre extension en utilisant un test d’hypothèses binaire. Enfin, nous appliquons notre extension à certains modèles d’observation multidimensionnels
This manuscript concerns the performance analysis in array signal processing. It can bedivided into two parts :- First, we present the study of some lower bounds on the mean square error related to the source localization in the near eld context. Using the Cramér-Rao bound, we investigate the mean square error of the maximum likelihood estimator w.r.t. the direction of arrivals in the so-called asymptotic area (i.e., for a high signal to noise ratio with a nite number of observations.) Then, using other bounds than the Cramér-Rao bound, we predict the threshold phenomena.- Secondly, we focus on the concept of the statistical resolution limit (i.e., the minimum distance between two closely spaced signals embedded in an additive noise that allows a correct resolvability/parameter estimation.) We de ne and derive the statistical resolution limit using the Cramér-Rao bound and the hypothesis test approaches for the mono-dimensional case. Then, we extend this concept to the multidimensional case. Finally, a generalized likelihood ratio test based framework for the multidimensional statistical resolution limit is given to assess the validity of the proposed extension

De nombreux ensembles de données peuvent être représentés sous forme d'une matrice dont les entrées représentent les interactions entre deux entités de natures différentes. Ces matrices sont appelées matrices d'adjacence de graphes bipartites. Dans notre travail, nous faisons l'hypothèse que ces interactions sont déterminées par des variables latentes non observables.Dans un premier temps, notre objectif est d'estimer l'espérance conditionnelle de la matrice de données sachant les variables non observables, en supposant que les entrées de la matrice sont i.i.d. Ce problème peut être formulé comme l'estimation d'une fonction bivariée appelée graphon. Dans notre étude, nous nous concentrons sur deux cas, les graphons constants par morceaux et les graphons Hölder.Nous démontrons des bornes de risque pour l'estimateur des moindres carrés, et nous proposons une adaptation de l'algorithme de Lloyd pour calculer une approximation de cet estimateur et nous présentons les résultats d'expériences numériques pour évaluer les performances de ces méthodes.Dans un deuxième temps, nous abordons les limites du cadre précédent, qui peut ne pas être adapté pour modéliser des situations avec des degrés de sommet bornés. Par conséquent, nous étendons notre étude à l'hypothèse de l'indépendance relaxée, où seules les lignes de la matrice d'adjacence sont supposées indépendantes. Dans ce contexte, nous nous concentrons spécifiquement sur les graphons constants par morceaux
Many real-world datasets can be represented as matrices where the entries represent interactions between two entities of different natures. These matrices are commonly known as adjacency matrices of bipartite graphs. In our work, we make the assumption that these interactions are determined by unobservable latent variables.Firstly, our main objective is to estimate the conditional expectation of the data matrix given the unobservable variables under the assumption that matrix entries are i.i.d. This estimation problem can be framed as estimating a bivariate function known as a graphon. In our study, we focus on two cases: piecewise constant graphons and Hölder-continuous graphons.We derive finite sample risk bounds for the least squares estimator. Additionally, we propose an adaptation of Lloyd's algorithm to compute an approximation this estimator and provide results from numerical experiments to evaluate the performance of these methods.Secondly, we address the limitations of the previous framework, which may not be suitable for modeling situations with bounded degrees of vertices, among other scenarios. Therefore, we extend our study to the relaxed independence assumption, where only the rows of the adjacency matrix are assumed to be independent. In this context, we specifically focus on piecewise constant graphons

Cette thèse porte sur l'étude des performances d'estimateurs en traitement du signal, et s'attache en particulier à étudier les bornes inférieures de l'erreur quadratique moyenne (EQM) pour l'estimation de points de rupture, afin de caractériser le comportement d'estimateurs, tels que celui du maximum de vraisemblance (dans le contexte fréquentiste), mais surtout du maximum a posteriori ou de la moyenne conditionnelle (dans le contexte bayésien). La difficulté majeure provient du fait que, pour un signal échantillonné, les paramètres d'intérêt (à savoir les points de rupture) appartiennent à un espace discret. En conséquence, les résultats asymptotiques classiques (comme la normalité asymptotique du maximum de vraisemblance) ou la borne de Cramér-Rao ne s'appliquent plus. Quelques résultats sur la distribution asymptotique du maximum de vraisemblance provenant de la communauté mathématique sont actuellement disponibles, mais leur applicabilité à des problèmes pratiques de traitement du signal n'est pas immédiate. Si l'on décide de concentrer nos efforts sur l'EQM des estimateurs comme indicateur de performance, un travail important autour des bornes inférieures de l'EQM a été réalisé ces dernières années. Plusieurs études ont ainsi permis de proposer des inégalités plus précises que la borne de Cramér-Rao. Ces dernières jouissent en outre de conditions de régularité plus faibles, et ce, même en régime non asymptotique, permettant ainsi de délimiter la plage de fonctionnement optimal des estimateurs. Le but de cette thèse est, d'une part, de compléter la caractérisation de la zone asymptotique (en particulier lorsque le rapport signal sur bruit est élevé et/ou pour un nombre d'observations infini) dans un contexte d'estimation de points de rupture. D'autre part, le but est de donner les limites fondamentales de l'EQM d'un estimateur dans la plage non asymptotique. Les outils utilisés ici sont les bornes inférieures de l’EQM de la famille Weiss-Weinstein qui est déjà connue pour être plus précise que la borne de Cramér-Rao dans les contextes, entre autres, de l’analyse spectrale et du traitement d’antenne. Nous fournissons une forme compacte de cette famille dans le cas d’un seul et de plusieurs points de ruptures puis, nous étendons notre analyse aux cas où les paramètres des distributions sont inconnus. Nous fournissons également une analyse de la robustesse de cette famille vis-à-vis des lois a priori utilisées dans nos modèles. Enfin, nous appliquons ces bornes à plusieurs problèmes pratiques : données gaussiennes, poissonniennes et processus exponentiels
This thesis deals with the study of estimators' performance in signal processing. The focus is the analysis of the lower bounds on the Mean Square Error (MSE) for abrupt change-point estimation. Such tools will help to characterize performance of maximum likelihood estimator in the frequentist context but also maximum a posteriori and conditional mean estimators in the Bayesian context. The main difficulty comes from the fact that, when dealing with sampled signals, the parameters of interest (i.e., the change points) lie on a discrete space. Consequently, the classical large sample theory results (e.g., asymptotic normality of the maximum likelihood estimator) or the Cramér-Rao bound do not apply. Some results concerning the asymptotic distribution of the maximum likelihood only are available in the mathematics literature but are currently of limited interest for practical signal processing problems. When the MSE of estimators is chosen as performance criterion, an important amount of work has been provided concerning lower bounds on the MSE in the last years. Then, several studies have proposed new inequalities leading to tighter lower bounds in comparison with the Cramér-Rao bound. These new lower bounds have less regularity conditions and are able to handle estimators’ MSE behavior in both asymptotic and non-asymptotic areas. The goal of this thesis is to complete previous results on lower bounds in the asymptotic area (i.e. when the number of samples and/or the signal-to-noise ratio is high) for change-point estimation but, also, to provide an analysis in the non-asymptotic region. The tools used here will be the lower bounds of the Weiss-Weinstein family which are already known in signal processing to outperform the Cramér-Rao bound for applications such as spectral analysis or array processing. A closed-form expression of this family is provided for a single and multiple change points and some extensions are given when the parameters of the distributions on each segment are unknown. An analysis in terms of robustness with respect to the prior influence on our models is also provided. Finally, we apply our results to specific problems such as: Gaussian data, Poisson data and exponentially distributed data

Ce travail traite deux problèmes différents. La première partie est consacrée à l'étude du comportement asymptotique à l'infini des solutions des équations décrivant l'écoulement stationnaire des certaines classes de fluides non-newtoniens, l'autre partie étudie l'écoulement non-stationnaire tridimensionel de fluide newtonien et parfait dans l'espace entier. D'abord, nous présentons les modèles différents de fluides et les systèmes particuliers sont transformés de telle manière que la structure mixte hyperbolique elliptique ressort. Puis, nous étudions en détail les problèmes linéaires; nous commençons avec le problème de Oseen (classique), où nous nous intéressent particulièrement aux estimations avec poids des opérateurs intégrais singuliers et faiblement singuliers avec les noyaux qui correspondent à la solution fondamentale de Oseen et à ses dérivées. Dans l'autre partie, nous considérons un problème linéaire auxiliaire, appelé le problème de Oseen modifié. Puis, il suit une récapitulation et un largissement des résultats à l'équation de transport stationnaire. Ensuite, nous utilisons tous ces résultats pour construire la solution du problème non-linéaire et pour démontrer sa structure asymptotique à l'infini. Nous considérons l'écoulement stationnaire d'une classe de fluides visco-élas-tiques dans les domaines extérieurs et démontrons que la structure asymptotique est semblable à la structure asymptotique de la solution fondamentale de Oseen. La deuxième partie du travail est consacrée a l'étude de l'écoulement non-stationnaire de fluide visqueux et parfait dans l'espace entier. Il est démontré que, sous l'hypothèse supplémentaire de la symétrie axiale des données, la solution est régulière si les données sont régulières et alors aussi unique dans la classe des solutions faibles
We consider two different problems here. In the first part we study the asymptotic behaviour at, infinity of solutions to equations describing steady flow of certain classes of non-Newtonian fluid, the other part concerns threedi-rnensional flow of viscous and ideal fluid in the whole space. We first introduce several models of fluids and the systems of equations describing, the stationary flow of the non-Newtonian fluids are reformulated in order to point up their mixed hyperbolic elliptic character. The next part is devoted to a detailed study of certain linear problems; we first, consider the (classical) Oseen problem, where the greatest interest is devoted to the weighted estimates of both singular and weakly singular integral operators with kernels corresponding to the fundamental solution to the Oseen problem and its derivatives. Next we study the so-called modified Oseen problem, i. E. A small linear perturbation of the classical Oseen problem. Further we summarize and slightly extend the results on the steady transport equation. Afterwards, these results are used in the construction of solutions and the study of the asymptotic properties of solutions to the systems of equations describing the stationary flow of certain classes of viscoeiastic fluids past an obstacle. We show that for sufficiently slow flows the a. Symptotic properties of the solution correspond to those of the fundamental solution to the Oseen problem. In the other part of the thesis we consider non stationary flow of both linearly viscous and ideal fluid in the whole space. We show that under the additional a. Ssumption of the axial symmetry of the data, the solution is smooth if the data are smooth and therefore unique in the class of all weak solutions

Nous nous intéressons dans ce mémoire à des équations d'évolution associées aux fonctionnelles de Ginzburg-Landau, de nature parabolique. Notre but est de décrire le comportement temporel de la limite des solutions quand un petit paramètre de pénalisation tend vers 0.Dans le premier chapitre, nous retraçons de manière synthétique l'étude remarquable due à Bethuel, Orlandi et Smets sur l'équation de Ginzburg-Landau parabolique en dimension 2 : l'évolution des points vortex est gouvernée par le flot gradient de la fonctionnelle de Kirchoff-Onsager modifié par un terme de drift; elle est régulière hors des temps de collision ou de séparation de vortex ;ces phénomènes sont soumis à la conservation du degré local et à la dissipation d'énergie.Dans le second chapitre, nous considérons le problème de Cauchy pour des systèmes d'équations paraboliques semi-linéaires. Motivés par l'exemple des vortex, nous construisons, pour des nonlinéarités défocalisantes, des solutions globales de l'équation intégrale associée ayant des données initiales non bornées en espace (croissant comme exp(x^2)). Dans le cas de nonlinéarités focalisantes, nous montrons un phénomène d'explosion instantanée.Dans le troisième chapitre, nous revenons à l'équation de Ginzburg-Landau parabolique en dimension quelconque. Nous remplaçons la borne sur l'énergie de Bethuel, Orlandi et Smets, par une borne locale en espace, qui permet de traiter des configurations générales de vortex sans avoir recours aux « vortex évanescents ». Nous étendons leur analyse, et montrons des résultats de décomposition de l'énergie renormalisée, et du mouvement par courbure moyenne de la mesure d'énergie concentrée
We are interested in this thesis in evolution equations related to the Ginzburg-Landau functionals, of parabolic nature. Our goal is to describe the temporal behavior of limiting solutions as a small penalisation parameter tends to 0.In the first chapter, we retrace in a synthetic way the remarkable study by Bethuel, Orlandi and Smets on the parabolic Ginzburg-Landau equation in dimension 2 : the evolution of point vortices is governed by the gradient flow of the Kirchoff-Onsager functionnal modified by a drift term ; it is smooth away from the merging and splitting times ; these phenomenon are subject to conservation of the local degree and energy dissipation.In the second chapter, we consider the Cauchy problem for systems of semi-linear parabolic equations. Motivated by the example of the vortices, we construct, for defocusing nonlinearities, global solutions to the associated integral equation with intial data unbounded in space (allowed to grow like exp(x^2)). In the case of focusing nonlinearities, we show a phenomenon of instantaneous blow-up.In the third chapter, we go back to the parabolic Ginzburg-Landau equation. We replace the energy bound of Bethuel, Orlandi et Smets by a local-in-space bound on the energy. This allows to consider general configurations of vortices without the help of « vanishing vortices ». We extend their analysis, and show various results of decomposition of the renormalized energy, and that the concentrated energy moves according to the mean curvature flow

Etude du comportement asymptotique des solutions des equations differentielles non lineaires. Solution d'une inegalite du type de gronwall-bellman-bihari avec un nombre fini quelconque de non-linearites. Applications : recherche des solutions asymptotiques et asymptotiquement polynomiales, stabilite des h-systemes en variation soumise a des perturbations integrales; solutions bornees des equations differentielles dans un espace de banach et equilibre asymptotique. Version discrete et multivariable de l'inegalite fonctionnelle resolue

Dans cette thèse on donne d'abord une solution concrète pour presque tous les scénarios qu'on peut avoir dans le problème de moments complexe quintique et en particulier dans le cas d'une mesure à support minimal. On présente aussi de nombreux exemples pour illustrer chaque cas. La seconde partie présente une approche qui permet de passer du problème de moments tronqué au problème complet à l'aide des idempotents. Il s'agit d'une approche très différente de celle utilisée dans la première partie.Plus précisément, au lieu d'appliquer les méthodes de R. Curto et L. Fialkow où l'objet central est la matrice de moments, on utilise l'approche de F. Vasilescu dont l'objet central est la fonctionnelle de Riesz. Cette fonctionnelle fait associer à chaque monôme tᵅ la valeur γ∝ et elle satisfait trois conditions naturelles dans le cas où la suite (γ∝)∝∈ℕᵈ est donnée par les intégrales de tᵅ par rapport à une mesure. La troisième partie est consacrée à l'asymptotique du spectre pour une classe de matrices hermitiennes tridiagonales infinies. Le but est d'obtenir le comportement asymptotique précis des valeurs propres y associées à partir du comportement asymptotique de ces coefficients. Le résultat est obtenu par une approche nouvelle qui est une adaptation de la théorie de perturbations de Schrieffer-Wolff utilisée en physique de la matière condensée. Cette méthode marche également pour des matrices 'bande', mais le cas des matrices tridiagonales est le plus important pour des applications et encore les expressions explicites des premières corrections dans la formule asymptotique sont plus simples pour les matrices tridiagonales
In this thesis, we first provide a concrete solution to the, almost all, quintic TCMP (that is, when m = 5). We also study the cardinality of the minimal representing measure. Based on the bi-variate recurrence sequence properties with some Curto-Fialkow's results. Our method intended to be useful for all odd-degree moment problems. Second, we investigate the full moment problem for discrete measures using Vasilescu's idempotent approach based on Λ-multiplicative elements with respect to the associated square positive Riesz functional. We give a sufficient condition for the existence of a discrete integral representation for the associated Riesz functional, which turns to be necessary in bounded shift space case. A particular attention is given to Λ-multiplicative elements, where a total description, for the cases where they are a single point indicator functions, is given. Lastly, We investigate a class of infinite Jacobi matrices which define unbounded self-adjoint operators with discrete spectrum. Our purpose is to establish the asymptotic expansion of large eigenvalues and to compute two correction terms explicitly. This method works in general for band matrices but Jacobi matrices case still much interesting due to applications and explicit expressions obtained for the first correction terms in the asymptotic formula