Dissertations / Theses on the topic 'Algèbres à homotopie près'

Cette thèse se décompose en deux parties principales.1) Nous montrons qu'il existe une équivalence de catégories entre les algèbres de Lie-Rinehart sur une algèbre commutative O et classes d'équivalence d'homotopie d'algébroïdes de Lie infinie acycliquesgraduées négativement. Par conséquent, ce résultat donne un sens à l'algébroïdes de Lie infinie universel d'un feuilletage singulier, sans hypothèse supplémentaire, et pour les algébroïdes de Lie singuliers d'Androulidakis-Zambon. Ceci étend à un cadre purement algébrique la construction de la Q-variété universelle d'un feuilletage singulier localement réel analytique. Aussi, à tout idéal I de O préservé par l'application d'ancre d'une algèbre de Lie-Rinehart A, on associe une classe d'équivalence d'homotopie d'algébroïdes de Lie infinie négativement graduées sur des complexes calculant Tor_O(A,O/I). Plusieurs exemples explicites sont donnés.2) La deuxième partie est consacrée à quelques applications des résultats sur les algèbres de Lie-Rinehart.a. On associe à toute variété affine un algébroïde de Lie infinie universel de l'algèbre de Lie-Rinehart de ses champs de vecteurs. Nous étudions l'effet de certaines opérations courantes sur des variétés affines telles que les éclatements, germes en un point, etc.b. Nous donnons une interprétation de l'éclatement d'un feuilletage singulier F au sens d'Omar Mohsen en terme de l'algébroïde de Lie infinie universel de F.c. Nous introduisons la notion de champs de vecteurs longitudinaux sur une variété graduée sur un feuilletage, et étudier leur cohomologie. Nous prouvons que les groupes de cohomologie de ce dernier sont nuls.d. Nous étudions les symétries de feuilletages singuliers à travers des algébroïdes de Lie infinie universels. Plus précisément, nous prouvons qu'une action par symétrie faible d'une algèbre de Lie g sur un feuilletage singulier F (qui est moralement une action de g sur l'espace des feuilles M/F) induit un unique morphisme de Lie infini à homotopie près de g vers l'algèbre de Lie différentielle graduée (DGLA) des champs de vecteurs sur un algébroïde de Lie infinie universel de F. On déduit de ce résultat général plusieursconséquences. Par exemple, nous donnons un exemple d'action d'algèbre de Lie sur un sous-varieté affine qui ne peut s'étendre sur l'espace ambiant. Enfin, nous présentons la notion de tour de bi-submersions sur un feuilletage singulier et des symétries àcelles-ci
This thesis breaks into two main parts.1) We show that there is an equivalence of categories between Lie-Rinehart algebras over a commutative algebra O and homotopy equivalence classes of negatively graded acyclic Lie infinity-algebroids. Therefore, this result makes sense of the universal Lie infinity-algebroid of every singular foliation,without any additional assumption, and for Androulidakis-Zambon singular Lie algebroids. This extends to a purely algebraic setting the construction of the universal Q-manifold of a locally real analytic singular foliation. Also, to any ideal I of O preserved by the anchor map of a Lie-Rinehart algebra A, we associate a homotopy equivalence class of negatively graded Lie infinity-algebroids over complexes computing Tor_O(A,O/I). Several explicit examples are given.2) The second part is dedicated to some applications of the results on Lie-Rinehart algebras.a. We associate to any affine variety a universal Lie infinity-algebroid of the Lie-Rinehart algebra of its vector fields. We study the effect of some common operations on affine varieties such as blow-ups, germs at a point, etc.b. We give an interpretation of the blow-up of a singular foliation F in the sense of Omar Mohsen in term of the universal Lie infinity-algebroid of F.c. We introduce the notion of longitudinal vector fields on a graded manifold over a singular foliation, and study their cohomology. We prove that the cohomology groups of the latter vanish.d. We study symmetries of singular foliations through universal Lie infinity-algebroids. More precisely, we prove that a weak symmetry action of a Lie algebra g on a singular foliation F (which is morally an action of g on the leaf space M/F) induces a unique up to homotopy Lie infinity-morphism from g to the Differential Graded Lie Algebra (DGLA) of vector fields on a universal Lie infinity-algebroid of F. We deduce from this general result several geometrical consequences. For instance, we give an example of a Lie algebra action on an affine sub-variety which cannot be extended on the ambient space. Last, we present the notion of tower of bi-submersions over a singular foliation and lift symmetries to those

Dans cette thèse, nous démontrons de nouvelles propriétés algébriques et homotpiques des opérades : probème du scindage des opérations et dualité de Koszul sur une algbre de Hopf. Dans une première partie, nous fournissons une construction opéradique qui donne un cadre général répondant au problème du scindage des opérations définissant des structures algébriques. Nous montrons que cette construction est équivalente au produit noir de Manin et qu'elle est reliée aux opérateurs de Rota-Baxter. Nous obtenons ainsi une méthode plus efficace pour calculer des produits noirs de Manin, illustrée par plusieurs exemples. Ceci nous permet de décrire une structure algébrique canonique sur l'espace des matrices carrées à coefficients dans une algèbre sur un certain type d'opérades. Dans une seconde partie, nous étendons la dualité de Koszul classique de opérades aux catégories de modules sur une algèbre de Hopf. Ceci nous permet d'obtenir une nouvelle version optimale du théorème de transfert homotopique. Dans ce cas, nous pouvons décrire la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky, par exemple, transférée à travers une équivalence d'homotopie lorsqu'il y a compatibilité entre les données homotopique et algébrique.

Nous étudions les A-infini-algèbres Z-graduées (non nécessairement connexes) et leurs A-infini-modules. En utilisant les constructions bar et cobar ainsi que les outils de l'algèbre homotopique de Quillen, nous décrivons la localisation de la catégorie des A-infini-algèbres par rapport aux A-infini-quasi-isomorphismes. Nous adaptons ensuite ces méthodes pour décrire la catégorie dérivée DA d'une A-infini-algèbre augmentée A. Le cas où A n'est pas muni d'une augmentation est traité différemment. Néanmoins, lorsque A est strictement unitaire, sa catégorie dérivée peut être décrite de la même manière que dans le cas augmenté. Nous étudions ensuite deux variantes de la notion d'unitarité pour les A-infini-algèbres : l'unitarité stricte et l'unitarité homologique. Nous montrons que d'un point de vue homotopique, il n'y a pas de différence entre ces deux notions. Nous donnons ensuite un formalisme qui permet de définir les A-infini-catégories comme des A-infini-algèbres dans certaines catégories monoïdales. Nous généralisons à ce cadre les constructions fondamentales de la théorie des catégories : le foncteur de Yoneda, les catégories de foncteurs, les équivalences de catégories... Nous montrons que toute catégorie triangulée algébrique engendrée par un ensemble d'objets est A-infini-prétriangulée, c'est-à-dire qu'elle est équivalente à H^0 Tw A, où Tw A est l'A-infini-catégorie des objets tordus d'une certaine A-infini-catégorie A. Nous démontrons ainsi une partie des énoncés d'algèbre homologique presentés par M. Kontsevich pendant son cours ``Catégories triangulées et géométrie'' à l'ENS en 1998.

Dans quelles conditions une application entre variétés différentiables est-elle homotope à un plongement lisse? L'objet de la thèse est de compléter les obstructions rationnelles déjà connues, de façon à réduire le problème initial de topologie différentiable à un problème de calcul algébrique. Le théorème principal de la thèse permet de construire un plongement entre variétés lisses dans une classe d'homotopie rationnelle d'une application donnée, lorsque le problème algébrique a une solution. Plusieurs cas génériques de réalisabilité sont présentés. Une conséquence remarquable de ce théorème conforte la conjecture de Gitler sur le rang minimal de plongement dans une sphère. De nouvelles obstructions sont également détaillées, impliquant le caractère elliptique de la variété but ou des opérations cohomologiques d'ordre supérieur. Enfin, un chapitre est consacré à la chirurgie plongée dans le rang métastable. Il permet de démontrer que, sous certaines hypothèses de connexité et de codimension, une application est rationnellement homologue à un plongement dans une variété fixée, si et seulement si une condition cohomologique simple est satisfaite.

Trois notions de rangs stables des c*-algebres ont ete introduites par m. A. Rieffel, brown et pedersen, on traite ces differentes notions de rang stable pour les c*-algebres obtenues par extensions, par produits croises et par produits tensoriels, on donne une reponse negative a une question posee par blackadar, concernant le rang stable d'une sous-c*-algebre hereditaire full

Nous explicitons la cohomologie d’André Quillen des algèbres sur une opérade à l’aide de la dualité de Koszul des opérades. Cette cohomologie est représentée par le complexe cotangent. Nous donnons des critères assurant que cette cohomologie s’écrit en termes de foncteur Ext. En particulier, c’est le cas des algèbres sur des opérades cofibrantes, ce qui fournit une nouvelle propriété de stabilité homotomique de ces algèbres. Nous généralisons ensuite la dualité de Koszul des algèbres associatives dans deux directions indépendantes. D’un côté, nous étendons la dualité de Koszul aux opérades non nécessairement augmentées de façon à étudier les algèbres unitaires. La notion de courbure apparaît pour noter le défaut d’augmentation. Nous obtenons ainsi les théories homotopiques et cohomologiques des algèbres associatives unitaires ou des algèbres de Frobenius avec unité et counité. Nous détaillons le cas des algèbres associatives unitaires. D’un autre côté, nous généralisons la dualité de Koszul aux algèbres sur une opérade. Nous montrons pour cela que le complexe cotangent est la bonne généralisation du complexe de Koszul
Using the Koszul duality theory of operads, we make the André Quikllen cohomology of algebras over an operad explicit. This cohomologie theory is represented by a chain complex : the cotangent compex. We provide criteria for the André Quillen cohomologie theory to be an Ext-functor. In particular, this is the case for algebras over cofibrant operads and this gives a new stable homotopy property for these algebras. Then we generalize the Koszul duality theory of associative algebras in two dependant directions. On the one hand, we extend the Koszul duality theory to non necessarily augmented operads in order to treat algebras with unit. The notion of curvature appears to encode the default of augmentation. As a corollary, we obtain homotopical and cohomological theories for unital associative algebras or unital and counital Frobenius algebras. We make the case of unital associative algebras explicit. On the other hand, we generalize the Koszul duality theory to algebras over an operad. To do this, we show that the contangent complex provides the good generalization of the Koszul complex

La cohomologie d'un espace topologique à coefficients dans un corps est un invariant homotopique important en mathématiques. Sa structure d'espace vectoriel peut se calculer par de nombreux moyens. Par contre, sa structure d'algèbre est plus difficile à calculer. Souvent, un espace topologique intervient dans une fibration. Considérons une fibration p de fibre f. Une question fondamentale est de savoir quelles sont les données algébriques sur p, qui a la fois, déterminent et permettent de calculer l'algèbre de cohomologie de f. Felix, Halperin et thomas ont prouve que cette algèbre est déterminée par un morphisme d'algèbres de Hopf induit par p au niveau des complexes de chaînes singulières sur les espaces de lacets, grâce a la bar construction. Malheureusement, cela ne permet pas de calculer cette algèbre de cohomologie, car on ne peut pas passer aux modèles dans la catégorie des algèbres de Hopf. Par contre, dans la catégorie des algèbres de Hopf a homotopie près, introduite par Anick, il est possible de passer aux modèles. Nous généralisons la bar construction de Félix, halperin et thomas aux morphismes d'algèbres de hopf a homotopie près et établissons une condition de compatibilité des homotopies, pour que cette bar construction donne toujours l'algèbre de cohomologie de f. Cela nous permet de donner une methode pour calculer cette algèbre pour une fibration p obtenue par suspension. L'application la plus frappante est une généralisation a coefficients dans un corps de caractéristique différente de deux et dans le domaine d'Anick, d'un théorème classique de l'homotopie rationnelle affirmant que la fibre du modèle est un modèle de la fibre.

Dans cette these nous etudions les deformations de morphismes entre deux operades p et q telles que p soit quadratique au sens de v. Ginzburg et m. M. Kapranov (le corps de base est suppose de caracteristique nulle). Nous construisons une algebre de lie graduee e(p,q), telle qu'il y ait une correspondance biunivoque entre les morphismes d'operades de p vers q et les elements de e(p,q) de degre un et de carre nul pour le crochet de lie gradue. Nous generalisons ainsi, aux cas des morphismes d'operades, la theorie des elements de carre nul dans les algebres de lie graduees, due a p. Lecomte, m. De wilde et c. Roger. Ceci nous permet ensuite de construire une theorie de cohomologie adaptee a l'etude des deformations d'un morphisme. En appliquant nos resultats aux morphismes entre une operade quadratique et l'operade des endomorphismes, respectivement l'operade des coendomorphismes d'un espace vectoriel, nous generalisons aux cas des algebres, res-pectivement des cogebres, sur une operade quadratique, des resultats classiques etablis par m. Gerstenhaber. De plus, nous simplifions, dans ces cas particuliers, certains resultats de t. Fox concernant les deformations d'une algebre sur un triple. Comme application, nous etudions en details le cas des algebres de leibniz ou de leibniz dual. Enfin, nous terminons ce travail en definissant, en caracteristique nulle, la cohomologie et l'homologie, a coefficients, d'une algebre sur une operade quadratique. Nous montrons qu'en general les coefficients, pour l'homologie et la cohomologie, sont differents et peuvent s'interpreter comme des modules a droite ou a gauche sur une certaine algebre (en l'occurrence l'algebre enveloppante).

Le but de cette thèse est de mettre en place une théorie d’homotopie générale pour les catégories de bigèbres différentielles graduées. Une première partie est consacrée au cas des catégories de bigèbres définies par un couple d’opérades en distribution. Les bigèbres classiques, les bigèbres de Lie, les bigèbres de Poisson fournissent des exemples de telles structures de bigèbres. Le résultat principal de cette partie montre que la catégorie des bigèbres associée a un couple d’opérades en distribution hérite d’une structure de catégorie de modèles. La notion de PROP donne un cadre pour étudier des structures de bigèbres générales, impliquant des opérations à plusieurs entrées et plusieurs sorties comme générateurs de la structure, par opposition aux opérades en distribution qui ne permettent de coder que des opérations à une seule entrée ou à une seule sortie seulement. Les PROPs forment une catégorie, dans laquelle on peut définir une notion d’objet cofibrant avec de bonnes propriétés homotopiques.La seconde partie de la thèse est consacrée à la théorie homotopique des bigèbres sur un PROP. Le résultat principal de la thèse est que les catégories de bigèbres associées à des PROPs cofibrants faiblement équivalents ont des catégories homotopiques équivalentes. En fait, on prouve un théorème plus précis qui donne une équivalence au niveau des localisations simpliciales des catégories. Notre théorème entraine que la catégorie des bigèbres associée à une résolution cofibrante d’un PROP donné P définit une notion de bigèbre à homotopie près sur P indépendante du choix de la résolution, et permet de donner un sens à des problèmes de réalisation homotopiques dans ce cadre
The purpose of this thesis is to set up a general homotopy theory for categories of differential graded bialgebras. A first part is devoted to the case of bialgebras defined by a pair of operads in distribution. Classical bialgebras, Lie bialgebras and Poisson bialgebras provide examples of such bialgebra structures. The main result of this part asserts that the category of bialgebras associated to a pair of operads in distribution inherits a model category structure. The notion of a PROP provides a setting for the study of general bialgebras structures, involving operations with multiple inputs and multiple outputs as generators of the structure, in contrast to operads in distribution which only encode operations with either one single input or one single output. PROPs form a category, in which one can define a notion of cofibrant object with good homotopical properties. The second part of the thesis is devoted to the homotopy theory of bialgebras over a PROP. The main result of the thesis asserts that the categories of bialgebras associated to weakly equivalent cofibrant props have equivalent homotopy categories. We actually prove a more precise theorem asserting that this equivalence holds at the level of a simplicial localization of the categories. Our theorem implies that the category of bialgebras associated to a cofibrant resolution of a given PROP P defines a notion of bialgebra up to homotopy over P independent of the choice of the resolution, and enables us to give a sense to homotopical realization problems in this setting

On associe a une opération d'une algèbre différentielle graduée sur un module cyclique des classes caractéristiques qu'on obtient en construisant une extension dans les algèbres différentielles graduées prolongeant en degré zéro la cohomologie cyclique bivariante de Jones-Kassel. Ceci nous permet de calculer la première différentielle de la suite spectrale de Tsygan-Nistor qui converge vers la partie homogène de l'homologie cyclique d'un produit croisé.

L'objectif de ce travail est l'étude de la K-théorie réelle connexe des 2-groupes abéliens élémentaires, c'est-à-dire, pour V un 2-groupe abélien élémentaire, l'objet kR^{\star}(BV ). Cet objet contient, entre autres, la K-théorie orthogonale connexe ko et la K-théorie unitaire connexe ku des 2-groupes abéliens élémentaires, et est naturellement muni d'une structure de Z[v1]-module, où v1 désigne la classe de Bott réelle, un relèvement équivariant en K-théorie réelle de la classe de Bott en K-théorie unitaire. En utilisant des outils provenant de la théorie d'homotopie stable Z/2-équivariante, et en particulier la tour des tranches, une tour naturelle dans la catégorie stable équivariante introduite dans les travaux récents de Hill, Hopkins et Ravenel, on montre que les éléments de torsion pour la classe de Bott réelle dans la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires sont annulés par la multiplication par v2 1. On effectue une étude détaillée de l'algèbre de Steenrod Z/2-équivariante A, constituée des opérations en HF2-cohomologie, et de sa relation avec l'algèbre de Steenrod classique modulo 2. On exhibe en particulier, pour tout entier n, des sous-algèbres extérieures de l'algèbre de Steenrod équivariante E(\beta_0,...,\beta_n), générées par certaines opérations \beta_ i, i entier, qui est une version Z/2-équivariante de la sous algèbre de l'algèbre de Steenrod modulo 2 engendrée par les n+1 premières opérations de Milnor. On s'intéresse ensuite l'algèbre homologique relative, dans la catégorie des E(\beta_0,\beta_1)-modules, relativement au sous-anneau E(\beta_0), et on introduit des outils de calcul très généraux permettant en particulier de déterminer tous les groupes d'extension relatifs Ext(F2,HF2^{\star}(BV )). On introduit ensuite la propriété de h-détection pour une tour d'objets dans une catégorie triangulée, et on relie les propriétés de h-détection à l'estimation de la v1-torsion de la K-théorie réelle connexe. On étudie ensuite l'obstruction pour qu'une tour vérifie la propriété de h-détection, pour h = 1 ou 2. On montre ensuite que l'obstruction pour que la tour des tranches de la K-théorie réelle vérifie la propriété de 2-détection est contrôlée par Ext(F2,HF2^{\star}(BV )), qu'on a calculé précédemment. Le résultat précédent concernant la v1-torsion de la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires suit. Une des applications de ce résultat est une détermination explicite de kR^{\star}(BV ).

Cette thèse porte sur la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf. Le concept d'extension de Hopf-Galois, qui a été beaucoup étudié ces dernières années, est une généralisation du concept d'extension galoisienne de corps, mais aussi un analogue des fibrés principaux dans le cadre de la géométrie non commutative. Si $H$ est une algèbre de Hopf, une algèbre $H$-comodule $(Z,\delta: Z \to Z \otimes H)$ est une $H$-extension de Hopf-Galois d'une sous-algèbre $B\subset Z$ si l'ensemble des éléments co\"\i nvariants de $Z$ co\"\i ncide avec $B$ et si l'application canonique $\beta : Z \otimes _B Z \to Z\otimes H$ définie par
$$ \beta (x\otimes y ) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ est une bijection. Les objets galoisiens forment une classe importante d'extensions de Hopf-Galois ; ce sont celles dont la sous-algèbre des co\"\i nvariants se réduit à l'anneau de base. Bien qu'une littérature abondante ait été consacrée aux extensions de Hopf-Galois, on a peu de résultats sur leur classification à isomorphisme près. Pour contourner la difficulté de classer les extensions de Hopf-Galois à isomorphisme près, Kassel a introduit et développé avec Schneider une relation d'équivalence sur les extensions de Hopf-Galois qu'il a appelée homotopie.

Dans cette thèse nous donnons des résultats de classification à homotopie et à isomorphisme près. Notre approche de la classification des objets galoisiens tourne autour de trois axes.
\begin{itemize}
\item[a)] La construction explicite de représentants des classes d'homotopie des objets galoisiens de l'algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ associée par Drinfeld et Jimbo à une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, explicitant ainsi un théorème de Kassel et Schneider.
\item[b)] Une étude des objets galoisiens de l'alg\` ebre quantique $O_q (SL(2))$ des fonctions sur le groupe $SL (2)$, et donc un résultat de classification en dimension infinie; nous donnons la classification à isomorphisme près et des résultats partiels pour la classification à homotopie près.
\item[c)] Une étude systématique de la classification à isomorphisme et à homotopie près pour les algèbres de Hopf de dimension $\leq 15$ ; nous synthétisons des résultats éparpillés dans la littérature, portant sur des familles d'algèbres de Hopf pointées ou semisimples et nous complétons ces résultats en donnant la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf de dimension $8$ qui n'est ni semisimple ni
pointée.
\end{itemize}

Cette thèse s’inscrit dans les thèmes de la théorie des opérades et de l’algèbre homotopique. Soient donnés un type d'algèbre, un type de cogèbres et une relation entre ces types de structures algébriques (codés respectivement par une opérade, une coopérade et un morphisme tordant). Il est possible alors de mettre une structure naturelle d’algèbre de Lie à homotopie près sur l’espace des applications linéaires d’une cogèbre C vers une algèbre A. On appelle l’algèbre de Lie `a homotopie près obtenue de cette fac¸on l’algèbre de convolution de A et C. Dans cette thèse, on étudie la théorie des algèbres de convolution et leur compatibilité avec les instruments de l’algèbre homotopique : les infini-morphismes et le théorème de transfert homotopique. Après avoir fait cela, on applique cette théorie à plusieurs domaines, comme la théorie de la déformation dérivée et la théorie de l’homotopie rationnelle. Dans le premier cas, on utilise les instruments développés en construisant une algèbre de Lie universelle qui représente l’espace des éléments de Maurer-Cartan, un objet fondamental de la théorie de la déformation. Dans le deuxième cas, on donne une généralisation d’un résultat de Berglund sur des modèles rationnels pour les espaces de morphismes entre deux espaces pointés
This thesis is inscribed in the topics of operad theory and homotopical algebra. Suppose we are given a type of algebras, a type of coalgebras, and a relationship between those types of algebraic structures (encoded by an operad, a cooperad, and a twisting morphism respectively). Then, it is possible to endow the space of linear maps from a coalgebra C and an algebra A with a natural structure of Lie algebra up to homotopy. We call the resulting homotopy Lie algebra the convolution algebra of A and C. In this thesis, we study the theory of convolution algebras and their compatibility with the tools of homotopical algebra : infinity morphisms and the homotopy transfer theorem. After doing that, we apply this theory to various domains, such as derived deformation theory and rational homotopy theory. In the first case, we use the tools we developed to construct an universal Lie algebra representing the space of Maurer-Cartan elements, a fundamental object of deformation theory. In the second case, we generalize a result of Berglund on rational models for mapping spaces between pointed topological spaces

On dit qu'une variété est feuilletée lorsqu'il existe une partition de celle-ci en sous-variétés immergées. La théorie des feuilletages a des applications très profondes dans divers champs des Mathématiques et de la Physique, et il semble d'autant plus intéressant de pouvoir analyser le feuilletage à partir de ce qui semble être une donnée plus fondamentale : sa distribution de champs de vecteurs associée. C'est ainsi que nous avons observé que si le feuilletage est résolu par un fibré gradué, on peut relever le crochet de Lie des champs de vecteurs en une structure de Lie infini-algébroide sur ce fibré. D'autre part, cette structure est universelle dans le sens où toute autre résolution du feuilletage sera isomorphe à celle-ci dans un sens L_infini, mais seulement à homotopie près. Lorsqu'on se limite à l'étude au dessus d'un point, on observe que la cohomologie associée à la résolution devient potentiellement non triviale. La structure de Lie infini-algébroide universelle se réduit alors à une algèbre de Lie graduée sur cette cohomologie. Cette structure algébrique peut être transportée (non canoniquement) tout le long de la feuille, transformant la cohomologie au dessus d'une feuille en algébroide de Lie gradué. Cela nous permet de retrouver des résultats déjà connus par ailleurs et de déduire des avancées prometteuses
A smooth manifold is said to be foliated when it is partitioned into immersed submanifolds. Foliation Theory has profound applications in various fields of Mathematics and Physics, and it seems much more interesting to analyze the foliation from what seems to be a more fundamental point of view: its associated distribution of vector fields. Thus we have noticed that if the foliation is resolved by a graded fiber bundle, one can lift the Lie bracket of vector fields into a Lie infinity-algebroid structure on this fiber bundle. Moreover, this structure is universal in the sense that any other resolution of the foliation is isomorphic to it in the L_infinity setup, but only up to homotopy. When one restricts the analysis over a point, we observe that the cohomology associated to the resolution may become non trivial. The universal Lie infinity-algebroid structure hence reduces to a graded Lie algebra structure on this cohomology. This algebraic structure can be carried (non canonically) along the leaf, providing the cohomology over a leaf with a graded Lie algebroid structure. This enables us to retrieve former well-known results, as well as promising advances

Cette thèse concerne l’étude de la géométrie des champs dans le contexte de la géométrie différentiable, utilisant les outils de la théorie de l’homotopie et des catégories supérieures. Ces techniques deviennent nécessaires pour traiter des généralisation aux champs d’objets géométriques fondamentales, tels que les fibrés tangent et cotangent, les formes sur un champs, leurs automorphismes et plus en général les complexes parfaits, qui sont un des objets principaux dans ce travail. Dans la première partie de cette thèse nous faisons une récapitulation des champs différentiables supérieurs, leur homotopie et cohomologie. Dans la deuxième partie nous étudions les représentations à homotopie près des groupoïdes de Lie et nous les relions avec une théorie des complexes parfaits sur les champs différentiables. Parmi nos résultat, nous montrons que une représentation à homotopie près d’un groupoïde de Lie est exactement un module cohésive sur la dg-algèbre des fonctions lisses et que les dg-catégories correspondants sont Morita invariantes. Ça nous permets de donner une définition de dg-catégorie des complexes parfaits sur un champ différentiable. De plus nous construisons un 2-groupoide de Lie des automorphismes des complexes des fibrés vectoriels de longueur 2, qui est un analogue supérieur du champs classifiant BGL_n. Nous concluons avec une définition du 2-champs différentiable des complexes parfaits de amplitude [0,1] par le biais d’une présentation par un 2-groupoide de Lie
This thesis is concerned with the geometry of stacks in the differential geometry context using homotopical and higher categorical techniques. These techniques becomes necessary to deal with simple stack generalizations of crucial objects such as tangent and cotangent bundles, forms on a stack, their automorphisms and more generally perfect complexes, which are one of the main object of study of this work. In the first part of this thesis we give an overview of higher and differentiable stacks, their homotopy theory and cohomology theories. In the second part we study one representation up to homotopy of Lie groupoids and rely them with a theory of perfect complex over differentiable stacks. Among our results, we show that a representation up to homotopy on a Lie groupoid is the same as a cohesive module on its dg-algebra of smooth functions and that the correspondent dg-categories are Morita invariant. This allows us to give a definition of dg-category of perfect complexes on a differentiable stack. We moreover construct a Lie 2-groupoid of automorphisms of 2-terms complexes of vector bundles, which is a higher analogue of the classifying stack BGL_n. We conclude by giving a definition of the differentiable 2-stack of perfect complexes of amplitude [0,1] by means of a Lie 2-groupoid presenting it

Dans la première partie, on s'intéresse aux solutions méromorphes sur C d'un système de deux équations aux différences à coefficients constants et à deux pas récurrents. Lorsqu'on fait varier ce système, les solutions décrivent une certaine algèbre D[s,t] en rapport avec les fonctions elliptiques habituelles et celles de deuxième espèce de Hermite, ainsi que la fonction Z de Jacobi. Pour un système donné, les solutions trouvées forment sur le corps des fonctions elliptiques un espace vectoriel sur C de dimension inférieure ou égale à la précédente. Un exemple est traité, dans le cadre méromorphe, à l'aide du logiciel de calcul formel Maple6. Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la résolution de systèmes d'EDP non linéaires, de type mixte, dans des ouverts non bornés. Cet aspect non borné est un thème important de l'étude. Le cas significatif considéré est celui d'un modèle d'écoulement transsonique. Le cadre hilbertien d'espaces de Sobolev permet de ramener le problème à l'annulation d'une fonctionnelle. Cette annulation est obtenue à [epsilon] près à l'aide d'un algorithme de type gradient. La prise en compte d'une condition d'entropie supplémentaire est traitée par une méthode de pénalisation des fonctionnelles considérées. L'encadrement à [epsilon] près de leurs bornes inférieures donne des solutions généralisées à[epsilon] près.

Dans cette thèse, nous décrivons une réalisation géométrique des carquois de type Dynkin, et certains carquois euclidiens. Nous traitons le cas D ̃n en profondeur et démontrons quelques résultats complémentaires aux travaux de Baur, Marsh et Torkildsen sur les réalisations géométriques des catégories amassées supérieures. Pour le cas D ̃n, on trouve la figure qui correspond à l'étude, on démontre la compatibilité entre le flip d'une (m+2)-angulation, et la mutation de carquois coloré. On trouve une bijection entre les objets m-rigides et chaque arc dit admissible, puis entre les objets amas-basculants et les (m+2)-angulations. De plus, on démontrela compatibilité entre la réduction d'Iyama-Yoshino, et le fait de couper le long d'un arc, qu'on définira formellement. Nous démontrons aussi qu'une catégorie exacte est une catégorie de préfibration au sens de Anderson-Brown-Cisinski, qui vérifie le théorème de Quillen, et une catégorie de Frobenius est munie d'une structure de modèle, compatible avec le passage à la catégorie stable, qui est triangulée
We show that a subcategory of the m-cluster category of type D ̃n is isomorphic to a category consisting of arcs in an (n - 2)m-gon with two central (m - 1)-gons inside of it. We show that the mutation of colored quivers and m-cluster-tilting objects is compatible with the flip of an (m + 2)-angulation. In this thesis, we study the geometric realizations of m-cluster categories of Dynkin types A, D, A ̃ and D ̃. We show, in those four cases, that there is a bijection between (m + 2)-angulations and isoclasses of basic m-cluster tilting objects. Underthese bijections, flips of (m + 2)-angulations correspond to mutations of m-cluster tilting objects. Our strategy consists in showing that certain Iyama-Yoshino reductions of the m-cluster categories under consideration can be described in terms of cutting along an arc the corresponding geometric realizations. This allows to infer results from small cases to the general ones. Let Ɛ be a weakly idempotent complete exact category with enough injective and projective objects. Assume that M ⊆ Ɛ is a rigid, contravariantly finite subcategoryof Ɛ containing all the injective and projective objects, and stable under taking direct sums and summands. In this paper, Ɛ is equipped with the structure of a prefibration category with cofibrant replacements. As a corollary, we show, using the results of Demonet and Liu in [DL13], that the category of finite presentation modules on the costable category M is a localization of Ɛ. We also deduce that Ɛ → modM admits a calculus of fractions up to homotopy. These two corollaries are analogues for exact categories of results of Buan and Marsh in [BM13], [BM12] (see also [Bel13]) that hold for triangulated categories. If Ɛ is a Frobenius exact category, we enhance its structure of prefibration category to the structure of a model category (see the article of Palu in [?] for the case of triangulated categories). This last result applies in particular when Ɛ is any of the Hom-finite Frobenius categories appearing in relation to cluster algebras

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage.

Dans cette thèse nous rappelons la notion de L-algèbre, qui a pour objet d'être un modèle algébrique des types d'homotopie. L'objectif principal de cette thèse est la description d'une structure de E-infini-coalgèbre sur l'élément principal d'une L-algèbre. Ceci peut être vu comme une généralisation de la structure de E-infini-coalgèbre sur le complexe des chaînes d'un ensemble simplicial, telle que décrite par Smith dans Iterating the cobar construction, 1994. Nous construisons une E-infini-opérade, notée K, utilisée pour construire la E-infini-coalgèbre sur l'élément principal d'une L-algèbre. Cette structure de E-infini-coalgèbre montre que la L-algèbre canoniquement associée à un ensemble simplicial contient au moins autant d'information homotopique que la E-infini-coalgèbre couramment associée à un ensemble simplicial
In this thesis we recall the notion of L-algebra. L-algebras are intended as algebraic models for homotopy types. L-algebras were introduced by Alain Prouté in several talks since the eighties. The principal objective of this thesis is the description of an E-infinity-coalgebra structure on the main element of an L-algebra. This can be seen as a generalization of the E-infinity-coalgebra structure on the chain complex associated to a simplicial set given by Smith in Iterating the cobar construction, 1994. We construct an E-inifity-operad, denoted K, used to construct the E-inifity-coalgebra on the main element of a L-algebra. This E-inifity-coalgebra structure shows that the canonical L-algebra associated to a simplicial set contains at least as much homotopy information as the E-inifity-coalgebras usually associated to simplicial sets

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage
This thesis concerns algorithmic approaches to three challenging problems in computational algebraic combinatorics.The firsts parts propose a Gröbner basis free approach for calculating the secondary invariants of a finite permutation group, proceeding by using evaluation at appropriately chosen points. This approach allows for exploiting the symmetries to confine the calculations into a smaller quotient space, which gives a tighter control on the algorithmic complexity, especially for large groups. The theoretical study is illustrated by extensive benchmarks using a fine implementation of algorithms. An important prerequisite is the generation of integer vectors modulo the action of a permutation group, whose algorithmic constitute a preliminary part of the thesis.The fourth part of this thesis is determining for a certain interesting quotient of an affine Hecke algebra exactly which root-of-unity specialization of its parameter lead to non-generic behavior.Finally, the last part presents a conjecture on the structure of certain q-deformed diagonal harmonics in many sets of variables for the infinite family of complex reflection groups.All chapters proceed widely by computer exploration, and most of established algorithms constitute contributions of the software Sage

La théorie de Hodge mixte de Deligne fournit des structures supplémentaires sur les groupes de cohomologie des variétés algébriques complexes. Depuis, des structures de Hodge mixtes ont été construites sur les groupes d'homotopie rationnels de telles variétés par Morgan et Hain. Dans cette lignée, nous construisons des structures de Hodge mixtes sur des invariants associés aux représentations linéaires des groupes fondamentaux des variétés algébriques complexes lisses. Le point de départ est la théorie de Goldman et Millson qui relie la théorie des déformations de telles représentations à la théorie des déformations via les algèbres de Lie différentielles graduées. Ceci a été relu par P. Eyssidieux et C. Simpson dans le cas des variétés kählériennes compactes. Dans le cas non compact, et pour des représentations d'image finie, Kapovich et Millson ont construit seulement des graduations non canoniques. Pour construire des structures de Hodge mixtes dans le cas non compact et l'unifier avec le cas compact traité par Eyssidieux-Simpson, nous ré-écrivons la théorie de Goldman-Millson classique en utilisant des idées plus modernes de la théorie des déformations dérivée et une construction d'algèbres L-infini due à Fiorenza et Manetti. Notre structure de Hodge mixte provient alors directement du H^0 d'un complexe de Hodge mixte explicite, de façon similaire à la méthode de Hain pour le groupe fondamental, et dont la fonctorialité apparaît clairement
The mixed Hodge theory of Deligne provides additional structures on the cohomology groups of complex algebraic varieties. Since then, mixed Hodge structures have been constructed on the rational homotopy groups of such varieties by Morgan and Hain. In this vein, we construct mixed Hodge structures on invariants associated to linear representations of fundamental groups of smooth complex algebraic varieties. The starting point is the theory of Goldman and Millson that relates the deformation theory of such representations to the deformation theory via differential graded Lie algebras. This was reviewed by P. Eyssidieux and C. Simpson in the case of compact Kähler manifolds. In the non-compact case, and for representations with finite image, Kapovich and Millson constructed only non-canonical gradings. In order to construct mixed Hodge structures in the non-compact case and unify it with the compact case treated by Eyssidieux-Simpson, we re-write the classical Goldman-Millson theory using more modern ideas from derived deformation theory and a construction of L-infinity algebras due to Fiorenza and Manetti. Our mixed Hodge structure comes then directly from the H^0 of an explicit mixed Hodge complex, in a similar way as the method of Hain for the fundamental group, and whose functoriality appears clearly