Academic literature on the topic 'Algèbres à homotopie près'

RésuméSoit G un groupe réductif connexe défini sur un corps p-adique F et son algèbre de Lie. Les intégrales orbitales pondérées sur (F) sont des distributions JM(X, f)—f est une fonction test— indexées par les sous-groupes de Lévi M de G et les éléments semi-simples réguliers . Leurs analogues sur G sont les principales composantes du côté géométrique des formules des traces locale et globale d’Arthur.Si M = G, on retrouve les intégrales orbitales invariantes qui, vues comme fonction de X, sont borńees sur : c’est un résultat bien connu de Harish-Chandra. Si M ⊊ G, les intégrales orbitales pondérées explosent au voisinage des éléments singuliers. Nous construisons dans cet article de nouvelles intégrales orbitales pondérées (X, f), égales à JM(X, f) à un terme correctif près, qui tout en conservant les principales propriétés des précédentes (comportement par conjugaison, développement en germes, etc.) restent borńees quand X parcourt . Nous montrons également que les intégrales orbitales pondérées globales, associées à des éléments semi-simples réguliers, se décomposent en produits de ces nouvelles intégrales locales.

Cette thèse se décompose en deux parties principales.1) Nous montrons qu'il existe une équivalence de catégories entre les algèbres de Lie-Rinehart sur une algèbre commutative O et classes d'équivalence d'homotopie d'algébroïdes de Lie infinie acycliquesgraduées négativement. Par conséquent, ce résultat donne un sens à l'algébroïdes de Lie infinie universel d'un feuilletage singulier, sans hypothèse supplémentaire, et pour les algébroïdes de Lie singuliers d'Androulidakis-Zambon. Ceci étend à un cadre purement algébrique la construction de la Q-variété universelle d'un feuilletage singulier localement réel analytique. Aussi, à tout idéal I de O préservé par l'application d'ancre d'une algèbre de Lie-Rinehart A, on associe une classe d'équivalence d'homotopie d'algébroïdes de Lie infinie négativement graduées sur des complexes calculant Tor_O(A,O/I). Plusieurs exemples explicites sont donnés.2) La deuxième partie est consacrée à quelques applications des résultats sur les algèbres de Lie-Rinehart.a. On associe à toute variété affine un algébroïde de Lie infinie universel de l'algèbre de Lie-Rinehart de ses champs de vecteurs. Nous étudions l'effet de certaines opérations courantes sur des variétés affines telles que les éclatements, germes en un point, etc.b. Nous donnons une interprétation de l'éclatement d'un feuilletage singulier F au sens d'Omar Mohsen en terme de l'algébroïde de Lie infinie universel de F.c. Nous introduisons la notion de champs de vecteurs longitudinaux sur une variété graduée sur un feuilletage, et étudier leur cohomologie. Nous prouvons que les groupes de cohomologie de ce dernier sont nuls.d. Nous étudions les symétries de feuilletages singuliers à travers des algébroïdes de Lie infinie universels. Plus précisément, nous prouvons qu'une action par symétrie faible d'une algèbre de Lie g sur un feuilletage singulier F (qui est moralement une action de g sur l'espace des feuilles M/F) induit un unique morphisme de Lie infini à homotopie près de g vers l'algèbre de Lie différentielle graduée (DGLA) des champs de vecteurs sur un algébroïde de Lie infinie universel de F. On déduit de ce résultat général plusieursconséquences. Par exemple, nous donnons un exemple d'action d'algèbre de Lie sur un sous-varieté affine qui ne peut s'étendre sur l'espace ambiant. Enfin, nous présentons la notion de tour de bi-submersions sur un feuilletage singulier et des symétries àcelles-ci
This thesis breaks into two main parts.1) We show that there is an equivalence of categories between Lie-Rinehart algebras over a commutative algebra O and homotopy equivalence classes of negatively graded acyclic Lie infinity-algebroids. Therefore, this result makes sense of the universal Lie infinity-algebroid of every singular foliation,without any additional assumption, and for Androulidakis-Zambon singular Lie algebroids. This extends to a purely algebraic setting the construction of the universal Q-manifold of a locally real analytic singular foliation. Also, to any ideal I of O preserved by the anchor map of a Lie-Rinehart algebra A, we associate a homotopy equivalence class of negatively graded Lie infinity-algebroids over complexes computing Tor_O(A,O/I). Several explicit examples are given.2) The second part is dedicated to some applications of the results on Lie-Rinehart algebras.a. We associate to any affine variety a universal Lie infinity-algebroid of the Lie-Rinehart algebra of its vector fields. We study the effect of some common operations on affine varieties such as blow-ups, germs at a point, etc.b. We give an interpretation of the blow-up of a singular foliation F in the sense of Omar Mohsen in term of the universal Lie infinity-algebroid of F.c. We introduce the notion of longitudinal vector fields on a graded manifold over a singular foliation, and study their cohomology. We prove that the cohomology groups of the latter vanish.d. We study symmetries of singular foliations through universal Lie infinity-algebroids. More precisely, we prove that a weak symmetry action of a Lie algebra g on a singular foliation F (which is morally an action of g on the leaf space M/F) induces a unique up to homotopy Lie infinity-morphism from g to the Differential Graded Lie Algebra (DGLA) of vector fields on a universal Lie infinity-algebroid of F. We deduce from this general result several geometrical consequences. For instance, we give an example of a Lie algebra action on an affine sub-variety which cannot be extended on the ambient space. Last, we present the notion of tower of bi-submersions over a singular foliation and lift symmetries to those

Dans cette thèse, nous démontrons de nouvelles propriétés algébriques et homotpiques des opérades : probème du scindage des opérations et dualité de Koszul sur une algbre de Hopf. Dans une première partie, nous fournissons une construction opéradique qui donne un cadre général répondant au problème du scindage des opérations définissant des structures algébriques. Nous montrons que cette construction est équivalente au produit noir de Manin et qu'elle est reliée aux opérateurs de Rota-Baxter. Nous obtenons ainsi une méthode plus efficace pour calculer des produits noirs de Manin, illustrée par plusieurs exemples. Ceci nous permet de décrire une structure algébrique canonique sur l'espace des matrices carrées à coefficients dans une algèbre sur un certain type d'opérades. Dans une seconde partie, nous étendons la dualité de Koszul classique de opérades aux catégories de modules sur une algèbre de Hopf. Ceci nous permet d'obtenir une nouvelle version optimale du théorème de transfert homotopique. Dans ce cas, nous pouvons décrire la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky, par exemple, transférée à travers une équivalence d'homotopie lorsqu'il y a compatibilité entre les données homotopique et algébrique.

Nous étudions les A-infini-algèbres Z-graduées (non nécessairement connexes) et leurs A-infini-modules. En utilisant les constructions bar et cobar ainsi que les outils de l'algèbre homotopique de Quillen, nous décrivons la localisation de la catégorie des A-infini-algèbres par rapport aux A-infini-quasi-isomorphismes. Nous adaptons ensuite ces méthodes pour décrire la catégorie dérivée DA d'une A-infini-algèbre augmentée A. Le cas où A n'est pas muni d'une augmentation est traité différemment. Néanmoins, lorsque A est strictement unitaire, sa catégorie dérivée peut être décrite de la même manière que dans le cas augmenté. Nous étudions ensuite deux variantes de la notion d'unitarité pour les A-infini-algèbres : l'unitarité stricte et l'unitarité homologique. Nous montrons que d'un point de vue homotopique, il n'y a pas de différence entre ces deux notions. Nous donnons ensuite un formalisme qui permet de définir les A-infini-catégories comme des A-infini-algèbres dans certaines catégories monoïdales. Nous généralisons à ce cadre les constructions fondamentales de la théorie des catégories : le foncteur de Yoneda, les catégories de foncteurs, les équivalences de catégories... Nous montrons que toute catégorie triangulée algébrique engendrée par un ensemble d'objets est A-infini-prétriangulée, c'est-à-dire qu'elle est équivalente à H^0 Tw A, où Tw A est l'A-infini-catégorie des objets tordus d'une certaine A-infini-catégorie A. Nous démontrons ainsi une partie des énoncés d'algèbre homologique presentés par M. Kontsevich pendant son cours ``Catégories triangulées et géométrie'' à l'ENS en 1998.

Dans quelles conditions une application entre variétés différentiables est-elle homotope à un plongement lisse? L'objet de la thèse est de compléter les obstructions rationnelles déjà connues, de façon à réduire le problème initial de topologie différentiable à un problème de calcul algébrique. Le théorème principal de la thèse permet de construire un plongement entre variétés lisses dans une classe d'homotopie rationnelle d'une application donnée, lorsque le problème algébrique a une solution. Plusieurs cas génériques de réalisabilité sont présentés. Une conséquence remarquable de ce théorème conforte la conjecture de Gitler sur le rang minimal de plongement dans une sphère. De nouvelles obstructions sont également détaillées, impliquant le caractère elliptique de la variété but ou des opérations cohomologiques d'ordre supérieur. Enfin, un chapitre est consacré à la chirurgie plongée dans le rang métastable. Il permet de démontrer que, sous certaines hypothèses de connexité et de codimension, une application est rationnellement homologue à un plongement dans une variété fixée, si et seulement si une condition cohomologique simple est satisfaite.

Trois notions de rangs stables des c*-algebres ont ete introduites par m. A. Rieffel, brown et pedersen, on traite ces differentes notions de rang stable pour les c*-algebres obtenues par extensions, par produits croises et par produits tensoriels, on donne une reponse negative a une question posee par blackadar, concernant le rang stable d'une sous-c*-algebre hereditaire full

Nous explicitons la cohomologie d’André Quillen des algèbres sur une opérade à l’aide de la dualité de Koszul des opérades. Cette cohomologie est représentée par le complexe cotangent. Nous donnons des critères assurant que cette cohomologie s’écrit en termes de foncteur Ext. En particulier, c’est le cas des algèbres sur des opérades cofibrantes, ce qui fournit une nouvelle propriété de stabilité homotomique de ces algèbres. Nous généralisons ensuite la dualité de Koszul des algèbres associatives dans deux directions indépendantes. D’un côté, nous étendons la dualité de Koszul aux opérades non nécessairement augmentées de façon à étudier les algèbres unitaires. La notion de courbure apparaît pour noter le défaut d’augmentation. Nous obtenons ainsi les théories homotopiques et cohomologiques des algèbres associatives unitaires ou des algèbres de Frobenius avec unité et counité. Nous détaillons le cas des algèbres associatives unitaires. D’un autre côté, nous généralisons la dualité de Koszul aux algèbres sur une opérade. Nous montrons pour cela que le complexe cotangent est la bonne généralisation du complexe de Koszul
Using the Koszul duality theory of operads, we make the André Quikllen cohomology of algebras over an operad explicit. This cohomologie theory is represented by a chain complex : the cotangent compex. We provide criteria for the André Quillen cohomologie theory to be an Ext-functor. In particular, this is the case for algebras over cofibrant operads and this gives a new stable homotopy property for these algebras. Then we generalize the Koszul duality theory of associative algebras in two dependant directions. On the one hand, we extend the Koszul duality theory to non necessarily augmented operads in order to treat algebras with unit. The notion of curvature appears to encode the default of augmentation. As a corollary, we obtain homotopical and cohomological theories for unital associative algebras or unital and counital Frobenius algebras. We make the case of unital associative algebras explicit. On the other hand, we generalize the Koszul duality theory to algebras over an operad. To do this, we show that the contangent complex provides the good generalization of the Koszul complex

La cohomologie d'un espace topologique à coefficients dans un corps est un invariant homotopique important en mathématiques. Sa structure d'espace vectoriel peut se calculer par de nombreux moyens. Par contre, sa structure d'algèbre est plus difficile à calculer. Souvent, un espace topologique intervient dans une fibration. Considérons une fibration p de fibre f. Une question fondamentale est de savoir quelles sont les données algébriques sur p, qui a la fois, déterminent et permettent de calculer l'algèbre de cohomologie de f. Felix, Halperin et thomas ont prouve que cette algèbre est déterminée par un morphisme d'algèbres de Hopf induit par p au niveau des complexes de chaînes singulières sur les espaces de lacets, grâce a la bar construction. Malheureusement, cela ne permet pas de calculer cette algèbre de cohomologie, car on ne peut pas passer aux modèles dans la catégorie des algèbres de Hopf. Par contre, dans la catégorie des algèbres de Hopf a homotopie près, introduite par Anick, il est possible de passer aux modèles. Nous généralisons la bar construction de Félix, halperin et thomas aux morphismes d'algèbres de hopf a homotopie près et établissons une condition de compatibilité des homotopies, pour que cette bar construction donne toujours l'algèbre de cohomologie de f. Cela nous permet de donner une methode pour calculer cette algèbre pour une fibration p obtenue par suspension. L'application la plus frappante est une généralisation a coefficients dans un corps de caractéristique différente de deux et dans le domaine d'Anick, d'un théorème classique de l'homotopie rationnelle affirmant que la fibre du modèle est un modèle de la fibre.

Dans cette these nous etudions les deformations de morphismes entre deux operades p et q telles que p soit quadratique au sens de v. Ginzburg et m. M. Kapranov (le corps de base est suppose de caracteristique nulle). Nous construisons une algebre de lie graduee e(p,q), telle qu'il y ait une correspondance biunivoque entre les morphismes d'operades de p vers q et les elements de e(p,q) de degre un et de carre nul pour le crochet de lie gradue. Nous generalisons ainsi, aux cas des morphismes d'operades, la theorie des elements de carre nul dans les algebres de lie graduees, due a p. Lecomte, m. De wilde et c. Roger. Ceci nous permet ensuite de construire une theorie de cohomologie adaptee a l'etude des deformations d'un morphisme. En appliquant nos resultats aux morphismes entre une operade quadratique et l'operade des endomorphismes, respectivement l'operade des coendomorphismes d'un espace vectoriel, nous generalisons aux cas des algebres, res-pectivement des cogebres, sur une operade quadratique, des resultats classiques etablis par m. Gerstenhaber. De plus, nous simplifions, dans ces cas particuliers, certains resultats de t. Fox concernant les deformations d'une algebre sur un triple. Comme application, nous etudions en details le cas des algebres de leibniz ou de leibniz dual. Enfin, nous terminons ce travail en definissant, en caracteristique nulle, la cohomologie et l'homologie, a coefficients, d'une algebre sur une operade quadratique. Nous montrons qu'en general les coefficients, pour l'homologie et la cohomologie, sont differents et peuvent s'interpreter comme des modules a droite ou a gauche sur une certaine algebre (en l'occurrence l'algebre enveloppante).

Le but de cette thèse est de mettre en place une théorie d’homotopie générale pour les catégories de bigèbres différentielles graduées. Une première partie est consacrée au cas des catégories de bigèbres définies par un couple d’opérades en distribution. Les bigèbres classiques, les bigèbres de Lie, les bigèbres de Poisson fournissent des exemples de telles structures de bigèbres. Le résultat principal de cette partie montre que la catégorie des bigèbres associée a un couple d’opérades en distribution hérite d’une structure de catégorie de modèles. La notion de PROP donne un cadre pour étudier des structures de bigèbres générales, impliquant des opérations à plusieurs entrées et plusieurs sorties comme générateurs de la structure, par opposition aux opérades en distribution qui ne permettent de coder que des opérations à une seule entrée ou à une seule sortie seulement. Les PROPs forment une catégorie, dans laquelle on peut définir une notion d’objet cofibrant avec de bonnes propriétés homotopiques.La seconde partie de la thèse est consacrée à la théorie homotopique des bigèbres sur un PROP. Le résultat principal de la thèse est que les catégories de bigèbres associées à des PROPs cofibrants faiblement équivalents ont des catégories homotopiques équivalentes. En fait, on prouve un théorème plus précis qui donne une équivalence au niveau des localisations simpliciales des catégories. Notre théorème entraine que la catégorie des bigèbres associée à une résolution cofibrante d’un PROP donné P définit une notion de bigèbre à homotopie près sur P indépendante du choix de la résolution, et permet de donner un sens à des problèmes de réalisation homotopiques dans ce cadre
The purpose of this thesis is to set up a general homotopy theory for categories of differential graded bialgebras. A first part is devoted to the case of bialgebras defined by a pair of operads in distribution. Classical bialgebras, Lie bialgebras and Poisson bialgebras provide examples of such bialgebra structures. The main result of this part asserts that the category of bialgebras associated to a pair of operads in distribution inherits a model category structure. The notion of a PROP provides a setting for the study of general bialgebras structures, involving operations with multiple inputs and multiple outputs as generators of the structure, in contrast to operads in distribution which only encode operations with either one single input or one single output. PROPs form a category, in which one can define a notion of cofibrant object with good homotopical properties. The second part of the thesis is devoted to the homotopy theory of bialgebras over a PROP. The main result of the thesis asserts that the categories of bialgebras associated to weakly equivalent cofibrant props have equivalent homotopy categories. We actually prove a more precise theorem asserting that this equivalence holds at the level of a simplicial localization of the categories. Our theorem implies that the category of bialgebras associated to a cofibrant resolution of a given PROP P defines a notion of bialgebra up to homotopy over P independent of the choice of the resolution, and enables us to give a sense to homotopical realization problems in this setting

On associe a une opération d'une algèbre différentielle graduée sur un module cyclique des classes caractéristiques qu'on obtient en construisant une extension dans les algèbres différentielles graduées prolongeant en degré zéro la cohomologie cyclique bivariante de Jones-Kassel. Ceci nous permet de calculer la première différentielle de la suite spectrale de Tsygan-Nistor qui converge vers la partie homogène de l'homologie cyclique d'un produit croisé.