Academic literature on the topic 'Algèbre quantitative'

AbstractThe work presented in this study focus on the application of the method of the plans of experiences (MPE) to the study and the optimization of the quantification of the wear of the steels (XC48, A60) under the effect of a factor of environment in the occurrence Hydrogen. Modeling can draw inspiration from the mathematical models established by the (MPE) in order to analyze more deeply the phenomenon of the wear while taking account of the various relevant factors [1].The MPE, introduced is a consistent set of tools and methods algèbro-statistics to establish and analyze the relationships in the quantities studied (responses) and their sources of variations (factors) [2]. This analysis may be qualitative: study of “screening” (determination of influential factors) or quantitative: methodology of the surfaces of answers (variation of responses according to the influential factors). In all cases, it has for the purpose of determination of mathematical models approached the answers expressed in terms of the factors. These models are deducted from the values obtained of series of experiments. The definition of these plans of experiences determines the measurable quality of models. The multiple facets of the MPE are then used as the basis for the development of strategy to optimize [3].

On retrouve le raisonnement algébrique partout en mathématique et en informatique, et il a déjà été généralisé à pleins de contextes différents. En 2016, Mardare, Panangaden et Plotkin ont introduit les algèbres quantitatives, c'est-à-dire, des espaces métriques équipés d'opérations 1-lipschitzienne relativement à la métrique. Ils ont prouvées des homologues à des résultats importants en algèbre universelle, et en particulier ils ont donné un système de déduction correct et complet qui généralise la logique équationnelle de Birkhoff en remplaçant l'égalité par l'égalité à \varepsilon près. Ça leur a permis de donner une axiomatisation algébrique pour quelques métriques importantes comme la distance de Hausdorff et celle de Kantorovich.Dans cette thèse, on modifie deux aspects du cadre de Mardare et al. Premièrement, on remplace les métriques par une notion plus générale qui englobe les pseudométriques, les ordres partiels, les métriques probabilistes, entre autres. Deuxièmement, on n'exige pas que les operations de nos algèbres quantitatives soient lipschitzienne. On donne un système de déduction correct et complet, on construit les algèbres quantitatives libres, et on démontre la valeur de notre généralisation en prouvant que toute monade sur les espaces métriques généralisés qui est le relèvement d'une monade finitaire sur les ensembles peut être présentée par une théorie algébrique quantitative. On applique ce dernier résultat pour obtenir une axiomatisation de la distance de \L ukaszyk--Karmowski<br>Algebraic reasoning is ubiquitous in mathematics and computer science, and it has been generalized to many different settings. In 2016, Mardare, Panangaden, and Plotkin introduced quantitative algebras, that is, metric spaces equipped with operations that are nonexpansive relative to the metric. They proved counterparts to important results in universal algebra, and in particular they provided a sound and complete deduction system generalizing Birkhoff's equational logic by replacing equality with equality up to \varepsilon. This allowed them to give algebraic axiomatizations for several important metrics like the Hausdorff and Kantorovich distances.In this thesis, we make two modifications to Mardare et al.'s framework. First, we replace metrics with a more general notion that captures pseudometrics, partial orders, probabilistic metrics, and more. Second, we do not require the operations in a quantitative algebra to be nonexpansive. We provide a sound and complete deduction system, we construct free quantitative algebras, and we demonstrate the value of our generalization by proving that any monad on generalized metric spaces that lifts a monad on sets can be presented with a quantitative algebraic theory. We apply this last result to obtain an axiomatization for the \L ukaszyk--Karmowski distance

Cette thèse porte sur les propriétés opérationnelles de deux extensions quantitatives du λ-calcul pur : le λ-calcul algébrique et le λ-calcul probabiliste.Dans la première partie, nous étudions la théorie de la β-réduction dans le λ-calcul algébrique. Ce calcul permet la formation de combinaisons linéaires finies de λ-termes. Bien que le système obtenu jouisse de la propriété de Church-Rosser, la relation de réduction devient triviale en présence de coefficients négatifs, ce qui la rend impropre à définir une notion de forme normale. Nous proposons une solution qui permet la définition d'une relation d'équivalence sur les termes, partielle mais cohérente. Nous introduisons une variante de la β-réduction, restreinte aux termes canoniques, dont nous montrons qu'elle caractérise en partie la notion de forme normale précédemment établie, démontrant au passage un théorème de factorisation.Dans la seconde partie, nous étudions la bisimulation et l'équivalence contextuelle dans un λ-calcul muni d'un choix probabliste. Nous donnons une technique pour établir que la bisimilarité applicative probabiliste est une congruence. Bien que notre méthode soit adaptée de celle de Howe, certains points techniques sont assez différents, et s'appuient sur des propriétés non triviales de « désintrication » sur les ensembles de nombres réels. Nous démontrons finalement que, bien que la bisimilarité soit en général strictement plus fine que l'équivalence contextuelle, elles coïncident sur les λ-termes purs. L'égalité correspondante est celle induite par les arbres de Lévy-Longo, généralement considérés comme l'équivalence extensionnelle la plus fine pour les λ-termes en évaluation paresseuse<br>In this thesis we deal with the operational behaviours of two quantitative extensions of pure λ-calculus, namely the algebraic λ-calculus and the probabilistic λ-calculus.In the first part, we study the β-reduction theory of the algebraic λ-calculus, a calculus allowing formal finite linear combinations of λ-terms to be expressed. Although the system enjoys the Church-Rosser property, reduction collapses in presence of negative coefficients. We exhibit a solution to the consequent loss of the notion of (unique) normal form, allowing the definition of a partial, but consistent, term equivalence. We then introduce a variant of β-reduction defined on canonical terms only, which we show partially characterises the previously established notion of normal form. In the process, we prove a factorisation theorem.In the second part, we study bisimulation and context equivalence in a λ-calculus endowed with a probabilistic choice. We show a technique for proving congruence of probabilistic applicative bisimilarity. While the technique follows Howe's method, some of the technicalities are quite different, relying on non-trivial "disentangling" properties for sets of real numbers. Finally we show that, while bisimilarity is in general strictly finer than context equivalence, coincidence between the two relations is achieved on pure λ-terms. The resulting equality is that induced by Lévy-Longo trees, generally accepted as the finest extensional equivalence on pure λ-terms under a lazy regime

This thesis deals with several quantitative aspects of program analysis. In particular, we consider the precision of analyses and analyses for resource consumption. We quantify the precision of numerical analyses based on the theory of Abstract Interpretation, using the theory of measure. We examine the theory of Probabilistic Abstract Interpretation and the precision naturally born from the norm on a Hilbert space. We propose a framework, called quantitative static analysis, which have in common with the latter theory the fact that it models programs by linear operators. With this framework, we express resource consumption in a program in a generic manner, thanks to the structure of dioid. We also provide ways to compute over-approximations of these consumptions. We propose in particular the concept of long-run cost of a program, which characterizes the average consumption per execution step<br>Cette thèse s'intéresse à divers aspects quantitatifs de l'analyse statique de programmes, notamment à la précision des analyses et aux analyses de consommation de ressources. Nous quantifions la précision des analyses numériques fondées sur la théorie de l'interprétation abstraite à l'aide de la théorie de la mesure. Nous examinons la théorie de l'interprétation abstraite probabiliste et la précision naturellement issue de la norme sur un espace de Hilbert. Nous proposons un cadre, nommé analyse statique quantitative qui partage avec cette dernière théorie le fait de modéliser les programmes par des opérateurs linéaires. Ce cadre permet d'exprimer d'une façon générique des consommations de ressources par un programme, grâce à une structure de dioïde, et de calculer des sur-approximations de ces consommations. Nous proposons notamment le concept de coût à long terme d'un programme, qui caractérise une consommation moyenne par pas d'exécution

Dans leur article de 2015 intitulé "On quantitative operator K-theory", H. Oyono-Oyono et G. Yu introduisent un raffinement de la K-théorie opératorielle adapté au cadre desC*-algèbres filtrées, appelé K-théorie quantitative ou contrôlée. Dans cette thèse, nous généralisons la notion de filtration de C_-algèbres. Nous montrons ensuite que ce cadre contient celui déjà traité par G. Yu et H. Oyono-Oyono, tout en se révélant assez souple pour traiter les produits croisés de groupoïdes étalés et de groupes quantiques discrets. Nous construisons ensuite des applications d'assemblage _a valeurs dans les groupes de K-théorie contrôlée associés, pour les C*-algèbres de Roe à coefficients et les produits croisés de groupoïdes étalés. Nous montrons que ces applications factorisent les applications d'assemblage usuelles de Baum-Connes. Nous prouvons ensuite ce que nous appelons des énoncés quantitatifs, et nous montrons qu'une version contrôlée de la conjecture de Baum-Connes est vérifiée pour une large classe de groupoïdes étalés. La fin de la thèse est consacrée à plusieurs applications de ces résultats. Nous montrons que l'application d'assemblage contrôlée coarse est équivalente à son analogue à coefficients pour le groupoïde coarse introduit par G. Skandalis, J-L. Tu et G. Yu. Nous donnons ensuite une preuve que les espaces coarses qui admettent un plongement hilbertien fibré vérifient la version maximale de la conjecture de Baum-Connes coarse contrôlée. Enfin nous étudions les groupoïdes étalés dont toutes les actions propres sont localement induites par des sous-groupoïdes compacts ouverts, dont un exemple est donné par les groupoïdes amples introduits par J. Renault. Nous développons un principe de restriction pour cette classe de groupoïdes, et prouvons que, sous des hypothèses raisonnables, leurs produits croisés vérifient la formule de Künneth en K-théorie contrôlée<br>In their paper entitled "On quantitative operator K-theory", H. Oyono-Oyono and G. Yu introduced a refinement of operator K-theory, called quantitative or controlled K-theory, adapted to the setting of filtered C_-algebras. In this thesis, we generalize filtration of C*-algebras. We show that this setting contains the theory developed by H. Oyono-Oyono and G. Yu, and is general enough to be applied to the setting of crossed products by étale groupoids and discrete quantum groups. We construct controlled assembly maps with values into this controlled K-groups, for Roe C*-algebras and crossed products by étale groupoids. We show that these controlled assembly maps factorize the usual Baum-Connes and coarse Baum-Connes assembly maps. We prove statements called quantitative statements, and we show that a controlled version of the Baum-Connes conjecture is satisfied for a large class of étale groupoids. The end of the thesis is devoted to several applications of these results. We show that the controlled coarse assembly map is equivalent to its analog with coefficients for the coarse groupoid introduced by G. Skandalis, J-L. Tu and G. Yu. We give a proof that coarse spaces which admit a _bred coarse embedding into Hilbert space satisfy the maximal controlled coarse Baum-Connes conjecture. Finally, we study étale groupoids whose proper actions are locally induced by compact open subgroupoids, e.g. ample groupoids introduced by J. Renault. We develop a restriction principle for these groupoids, and prove that under suitable assumptions, their crossed products satisfy the controlled Künneth formula

Dans leur article de 2015 intitulé "On quantitative operator K-theory", H. Oyono-Oyono et G. Yu introduisent un raffinement de la K-théorie opératorielle adapté au cadre desC*-algèbres filtrées, appelé K-théorie quantitative ou contrôlée. Dans cette thèse, nous généralisons la notion de filtration de C_-algèbres. Nous montrons ensuite que ce cadre contient celui déjà traité par G. Yu et H. Oyono-Oyono, tout en se révélant assez souple pour traiter les produits croisés de groupoïdes étalés et de groupes quantiques discrets. Nous construisons ensuite des applications d'assemblage _a valeurs dans les groupes de K-théorie contrôlée associés, pour les C*-algèbres de Roe à coefficients et les produits croisés de groupoïdes étalés. Nous montrons que ces applications factorisent les applications d'assemblage usuelles de Baum-Connes. Nous prouvons ensuite ce que nous appelons des énoncés quantitatifs, et nous montrons qu'une version contrôlée de la conjecture de Baum-Connes est vérifiée pour une large classe de groupoïdes étalés. La fin de la thèse est consacrée à plusieurs applications de ces résultats. Nous montrons que l'application d'assemblage contrôlée coarse est équivalente à son analogue à coefficients pour le groupoïde coarse introduit par G. Skandalis, J-L. Tu et G. Yu. Nous donnons ensuite une preuve que les espaces coarses qui admettent un plongement hilbertien fibré vérifient la version maximale de la conjecture de Baum-Connes coarse contrôlée. Enfin nous étudions les groupoïdes étalés dont toutes les actions propres sont localement induites par des sous-groupoïdes compacts ouverts, dont un exemple est donné par les groupoïdes amples introduits par J. Renault. Nous développons un principe de restriction pour cette classe de groupoïdes, et prouvons que, sous des hypothèses raisonnables, leurs produits croisés vérifient la formule de Künneth en K-théorie contrôlée<br>In their paper entitled "On quantitative operator K-theory", H. Oyono-Oyono and G. Yu introduced a refinement of operator K-theory, called quantitative or controlled K-theory, adapted to the setting of filtered C_-algebras. In this thesis, we generalize filtration of C*-algebras. We show that this setting contains the theory developed by H. Oyono-Oyono and G. Yu, and is general enough to be applied to the setting of crossed products by étale groupoids and discrete quantum groups. We construct controlled assembly maps with values into this controlled K-groups, for Roe C*-algebras and crossed products by étale groupoids. We show that these controlled assembly maps factorize the usual Baum-Connes and coarse Baum-Connes assembly maps. We prove statements called quantitative statements, and we show that a controlled version of the Baum-Connes conjecture is satisfied for a large class of étale groupoids. The end of the thesis is devoted to several applications of these results. We show that the controlled coarse assembly map is equivalent to its analog with coefficients for the coarse groupoid introduced by G. Skandalis, J-L. Tu and G. Yu. We give a proof that coarse spaces which admit a _bred coarse embedding into Hilbert space satisfy the maximal controlled coarse Baum-Connes conjecture. Finally, we study étale groupoids whose proper actions are locally induced by compact open subgroupoids, e.g. ample groupoids introduced by J. Renault. We develop a restriction principle for these groupoids, and prove that under suitable assumptions, their crossed products satisfy the controlled Künneth formula