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Dissertations / Theses on the topic 'Algèbre de Lie tordue'
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Ayadi, Mohamed. "Propriétés algébriques et combinatoires des espaces topologiques finis." Electronic Thesis or Diss., Université Clermont Auvergne (2021-...), 2022. http://www.theses.fr/2022UCFAC106.
Full text
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Auger, Jean. "Extensions des modules de dimension finie pour les algèbres de courants tordues." Master's thesis, Université Laval, 2015. http://hdl.handle.net/20.500.11794/26001.
Full textAbstract:
Ce mémoire traite de la théorie des représentations d’une certaine classe d’algèbres de Lie de dimension infinie, les algèbres de courants tordues. L’objet du travail est d’obtenir une classification des blocs d’extensions d’une catégorie de modules de dimension finie pour une algèbre de courants tordue donnée. Les principales sources de cette étude sont les récentes classifications des modules simples de dimension finie pour ces algèbres et des blocs d’extensions pour les modules de dimension finie dans le cas des algèbres d’applications équivariantes. Ces algèbres de courants tordues comprennent entre autres les familles d’algèbres de Lie des formes tordues et des algèbres d’applications équivariantes, donc aussi les incontournables généralisations multilacets, tordues ou non, de la théorie de Kac-Moody affine.<br>This master’s thesis is about the representation theory of a certain class of infinite dimensional Lie algebras, the twisted current algebras. The object of this work is to obtain a classification of the extension blocks of the category of finite dimensional modules for a given twisted current algebra. The principal motivations for this study are the recent classifications of simple finite dimensional modules for these algebras and of the extension blocks of the category of finite dimensional modules in the case of equivariant map algebras. The class of twisted current algebras includes, amongst others, the families of Lie algebras of twisted forms and equivariant map algebras, therefore the key multiloop generalisations, twisted or not, of the affine Kac-Moody setting.
3
Maassarani, Mohamad. "Formalité pour certains espaces de configurations tordus et connexions de type Knizhnik - Zamolodchikov." Thesis, Strasbourg, 2017. http://www.theses.fr/2017STRAD039/document.
Full textAbstract:
Pour X un espace topologique, l'algèbre de Lie de Malcev de son groupe fondamental (ou algèbre de Lie de Malcev de X) fait partie des invariants étudiés en homotopie rationnelle. Un espace est dit 1-formel si cette algèbre de Lie est quadratique. Les connexions de type Knizhnik-Zamolodochikov peuvent permettre d'établir des résultats de "formalité " des espaces de configurations de points sur les surfaces. On s'intéresse à une famille d'espaces X qui sont des espaces de configurations de points sur la sphère, tordus par l'action d'un groupe fini d'homographies. On étudie le groupe fondamental de X et on construit une connexion de type Knizhnik-Zamolodochikov qui permet de calculer l'algèbre de Lie de Malcev de X et de démontrer sa 1-formalité<br>The Malcev Lie algebra of the fundamental group of X (or Macev Lie algebra of X) is an algebraic invariant of the space X studied in rational homotopy theory. The space X is 1-formal if its Malcev algebra is quadratic. One can use Knizhnik–Zamolodchikov-type connections to obtain "formality" (1-formality or filtered formality) results for configuration spaces of surfaces. In the thesis we consider a family of orbit configuration spaces X of the complex projective line associated to finite finite groups of homographies. We study the fundamental group of X and constuct Knizhnik– Zamolodchikov-type connections. This allows us to give a presentation of the Malcev Lie algebra of X and to prove the 1-formality of X
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Righi, Céline. "Caractérisation et énumération des idéaux ad-nilpotents d'une sous-algèbre parabolique d'une algèbre de Lie simple." Poitiers, 2007. http://www.theses.fr/2007POIT2301.
Full text
5
Saidi, Abdellatif. "Algèbres de Hopf d'arbres et structures pré-Lie." Phd thesis, Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00720201.
Full textAbstract:
Nous étudions dans cette thèse l'algèbre de Hopf H associée à l'opérade pré-Lie. L'espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d'une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l'insertion d'un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l'algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l'algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l'espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d'insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l'algèbre pré-Lie associée à l'opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l'opérade pré-Lie s'obtient comme déformation de l'opérade NAP dans ce cadre.
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Back, Valérie. "Formes réelles presque déployées d'algèbres de Lie affines." Nancy 1, 1995. http://www.theses.fr/1995NAN10090.
Full textAbstract:
L’objet de cette thèse est l'étude des formes presque déployées des algèbres de Lie affines. Plus précisément, les algèbres de Lie affines se construisent comme algèbres de lacets à partir d'une algèbre de Lie simple et d'un automorphisme d'ordre fini de cette algèbre, on montre alors que les formes presque déployées des algèbres de Lie affines se construisent de façon parallèle à partir d'une forme de l'algèbre de Lie simple et du même automorphisme (pour un bon choix de cet automorphisme). On se restreint ensuite au cas réel et on donne pour chaque forme réelle presque déployée d'algèbre de Lie affine complexe, la ou les deux formes réelles d'algèbre de Lie simple complexe qu'on lui associe (selon le procédé évoqué ci-dessus), ainsi que leurs rangs
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Ammari, Kaïs. "Sur la stabilité des sous-algèbres paraboliques d'une algèbre de Lie simple." Thesis, Poitiers, 2014. http://www.theses.fr/2014POIT2256.
Full textAbstract:
Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Il est bien connu, d'après un résultat de Duflo, Khalgui et Torasso, qu'une algèbre de Lie algébrique quasi-réductive (définie sur K) est stable. La réciproque est fausse en général. Se pose la question de savoir, si pour certaines classes particulières d'algèbres de Lie non réductives, il y a équivalence entre ces deux notions. Plus généralement, les sous-algèbres biparaboliques forment une classe très intéressante (incluant la classe des sous-algèbres paraboliques et de Levi) d'algèbres de Lie qui ne sont pas toutes réductives. Panyushev conjecture que si une sous-algèbre biparabolique est stable, alors son stabilisateur générique est un tore. Cette conjecture peut être reformulée ainsi : une sous-algèbre de Lie biparabolique est stable si et seulement si elle est quasi-réductive. Compte tenu des résultats obtenus par ce dernier pour le cas des sous-algèbres paraboliques d'une algèbre de Lie simple de type A et C, on donne dans cette thèse une réponse positive à cette conjecture pour la classe des sous-algèbres paraboliques d'une algèbre de Lie simple. Au passage, nous montrons également qu'une sous-algèbre de Lie de gl(n, K) qui stabilise une forme bilinéaire alternée de rang maximal et un drapeau en position générique est stable si et seulement si elle est quasi-réductive<br>Let K be an algebraically closed field of characteristic 0. It is well known by work of Duflo, Khalgui and Torasso that any quasi-reductive algebraic Lie algebra (defined over K) is stable. However, there are stable Lie algebras which are not quasi-reductive. This raises the question, if for some particular class of non-reductive Lie algebras, there is equivalence between stability and quasi-reductivity. More generally, biparabolic subalgebras form a very interesting class (including the class of parabolic subalgebras and of Levi subalgebras) of non-reductive Lie algebras. It was conjectured by Panyushev that these two notions are equivalent for biparabolic subalgebras of a reductive Lie algebra. In this thesis, we give by considering the results of Panyushev for parabolic subalgerbras of simple Lie algebra of type A and C a positive answer to this conjecture in the case of parabolic subalgebras. In passing, we prove that these two notions are equivalent for certain subalgebras of gl(n,K) which stabilize an alternating bilinear form of maximal rank and a flag in generic position
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Saïdi, Abdellatif. "Algèbres de Hopf d'arbres et structures pré-Lie." Thesis, Clermont-Ferrand 2, 2011. http://www.theses.fr/2011CLF22208/document.
Full textAbstract:
Nous étudions dans cette thèse l’algèbre de Hopf H associée à l’opérade pré-Lie. L’espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d’une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l’insertion d’un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l’algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l’algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l’espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d’insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l’algèbre pré-Lie associée à l’opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l’opérade pré-Lie s’obtient comme déformation de l’opérade NAP dans ce cadre<br>We investigate in this thesis the Hopf algebra structure on the vector space H spanned by the rooted forests, associated with the pre-Lie operad. The space of primitive elements of the graded dual of this Hopf algebra is endowed with a left pre-Lie product denoted by ⊲, defined in terms of insertion of a tree inside another. In this thesis we retrieve the “derivation” relation between the pre-Lie structure ⊲ and the left pre-Lie product → on the space of primitive elements of the graded dual H0CK of the Connes-Kreimer Hopf algebra HCK, defined by grafting. We also exhibit a coproduct on the tensor product H⊗HCK, making it a Hopf algebra the graded dual of which is isomorphic to the enveloping algebra of the semidirect product of the two (pre-)Lie algebras considered. We prove that the span of the rooted trees with at least one edge endowed with the pre-Lie product ⊲ is generated by two elements. It is not free : we exhibit two families of relations. Moreover we prove a similar result for the pre-Lie algebra associated with the NAP operad. Finally, we introduce current preserving operads and prove that the pre-Lie operad can be obtained as a deformation of the NAP operad in this framework
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Drouot, François. "Quelques propriétés des représentations de la super-algèbre de Lie gl(m, n)." Thesis, Nancy 1, 2008. http://www.theses.fr/2008NAN10069/document.
Full textAbstract:
Cette thèse consiste en une étude des représentations de dimension finie de la super-algèbre de Lie gl(m,n). Dans le premier chapitre nous rappelons des résultats sur ces super-algèbres de Lie. Dans le second chapitre nous étudions les représentations simples de gl(2,2). Ces modules peuvent être obtenus comme quotient de modules induits dont on connaît les suites de composition, ce qui nous permet de calculer une formule des caractères finie explicite. Dans le troisième chapitre nous étudions les représentations d'une déformation quantique de l'algèbre enveloppante de gl(m,n). Nous rappelons tout d'abord la construction des bases cristallines pour les facteurs directs de puissances tensorielles de la représentation standard. Nous montrons, en affaiblissant la notion de cristal, l'existence de bases cristallines pour des modules qui ne sont pas semi-simpes, et nous donnons une méthode pour les construire. Le quatrième chapitre porte sur le dévissage du bloc maximalement atypique de la catégorie des représentations de dimension finie de gl(2,2). La connaissance de la sous-catégorie pleine des modules projectifs maximalement atypiques nous permet de reconstituer la catégorie. Nous étudions dans un premier temps les modules projectifs indécomposables et nous donnons leurs suites de Loewy. Puis dans un deuxième temps nous étudions leurs morphismes. Pour terminer nous formulons une conjecturons sur la composition de ces morphismes<br>This thesis is a study of finite dimensional representations of the Lie superalgebra gl(m,n). In the first chapter we recall some results on these Lie superalgebra. In the second chapter we study the simple representations of gl(2.2). These modules can be obtained as quotient of some induced modules, the knowledge of the composition series of these modules allow us to compute an explicit finite character forumula for simple modules. In the third chapter we look at representations of a quantum deformation of the universal enveloping algebra of gl(m,n). We first recall the construction of crystal bases for the direct factors of a tensor power of the standard representation. We show by weakening the definition of crystal, that there exist crystal bases for non-semisimple modules, and we give a way to construct them. The fourth chapter focuses on the understanding of the maximaly atypical block of the category of finite dimensional representations of gl(2.2). Knowing the full subcategory of projective maximally atypical modules allows us to reconstruct the category. First, we study the projective indecomposable modules, and we compute their Loewy series. We then study their morphisms. Finally we make a conjecture on the composition of those morphisms
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Hao, Kuangrong. "Algèbre de Lie et cinématique des mécanismes en boucles fermées." Phd thesis, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 1995. http://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00569136.
Full textAbstract:
L'objectif de cette thèse est l'étude du comportement cinématique des mécanismes bouclés de corps rigides. Le modèle mathématique d'un tel mécanisme est l'équation de fermeture f (q1,..., qm) = e où q1,...,qm sont des coordonnées articulaires et f est une fonction analytique à valeur dans un groupe de Lie. L'étude des propriétés cinématiques se ramène à celle de l'ensemble des configurations admissibles f-1 ( e ) qui est une sous-variété dans le cas régulier où f est une subimmersion. Par contre, l'étude est beaucoup plus difficile lorsque f possède des singularités. On utilise comme outil fondamental le formalisme de la géométrie différentielle des groupes de Lie pour le groupe des déplacements et la structure de Δ - module de son algèbre de Lie, ceci permet une écriture simple et condensée des équations de la cinématique et facilite leur traitement symbolique. Nous avons montré que l'analyse au deuxième ordre de l'équation de fermeture est suffisante pour les mécanismes 6R paradoxaux. Un algorithme d'évaluation du rang d'un ensemble de champs antisymétriques (équiprojectifs) est développé et est utilisé pour étudier les processus de génération des sous algèbres de Lie. Nous avons proposé également des méthodes de cinématique inverse pour des mécanismes spatiaux, ces méthodes permettent de résoudre l'équation de fermeture indépendamment d'un choix des coordonnées et d'obtenir des conditions nécessaires et suffisantes de résolution : notamment, la méthode simplifie considérablement la procédure de résolution pour les mécanismes 6R spatiaux.
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Rabeherimanana, Toussaint Joseph. "Petites perturbations de systèmes dynamiques et algèbre de Lie nilpotentes." Paris 7, 1992. http://www.theses.fr/1992PA077163.
Full textAbstract:
Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un problème de grandes déviations associe au comportement asymptotique d'un processus de diffusion perturbé. Sous la condition de nilpotence de l'algèbre de Lie, nous démontrons un principe de grandes déviations qui rend compte de la vitesse de convergence sur un espace approprié, valable même lorsque la diffusion limite est non dégénérée, généralisant un résultat de Doss et Stroock. Dans la seconde partie, nous étudions un problème de grandes déviations en théorie du filtrage non linéaire. Nous démontrons sous la condition de nilpotence de l'algèbre de Lie, un principe de grandes déviations pour la loi conditionnelle du processus signal sachant l'observation, généralisant un résultat de Doss
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Liu, Bingxiao. "Laplacien hypoelliptique et formule des traces tordue." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2018. http://www.theses.fr/2018SACLS165/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, on donne une formule géométrique explicite pour les intégrales orbitales semisimples tordues du noyau de la chaleur sur un espace symétrique, en utilisant la méthode du laplacien hypoelliptique développée par Bismut. On montre que nos résultats sont compatibles avec les résultats classiques de la théorie de l'indice équivariant local sur les espaces localement symétriques compacts. On utilise notre formule explicite pour évaluer le terme dominant dans l'asymptotique quand d -> + ∞ de la torsion analytique équivariante de Ray-Singer associée à une famille de fibrés vectoriels plats Fd sur un espace localement symétrique compact. On montre que le terme dominant peut être calculé à l'aide de W-invariants au sens de Bismut-Ma-Zhang<br>In this thesis, we give an explicit geometric formula for the twisted semisimple orbital integrals associated with the heat kernel on symmetric spaces. For that purpose, we use the method of the hypoelliptic Laplacian developed by Bismut. We show that our results are compatible with classical results in local equivariant index theory. We also use this formula to evaluate the leading term of the asymptotics as d -> + ∞ of the equivariant Ray-Singer analytic torsion associated with a sequence of flat vector bundles Fd on a compact locally symmetric space. We show that the leading term can be evaluated in terms of the W-invariants constructed by Bismut-Ma-Zhang
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Bulois, Michaël. "Étude de quelques sous-variétés des algèbres de Lie symétriques semi-simples." Brest, 2009. http://www.theses.fr/2009BRES2042.
Full textAbstract:
Les algèbres de Lie ont été introduites vers la fin du XlXème siècle afin d’étudier certains problèmes de nature géométrique. Dans un soucis de classification de ces objets, les algèbres de Lie réductives se sont vues conférer un rôle important. Les algèbres de Lie symétriques sont, elles, une généralisation des algèbres de Lie. De plus, il existe une correspondance bijective entre les algèbres de Lie réelles et les algèbres de Lie symétriques complexes, ce qui renforce l’intérêt porté à ces dernières, Un second niveau de structure des algèbre de Lie (semi-simples complexe) joue un rôle important. Il s’agit de considérer l’algèbre de Lie g comme une G-variété où G est le groupe algébrique adjoint de g opérant via l’action adjointe sur g. Il s’avère alors utile d’étudier ceci dans le cadre de la géométrie algébrique. Les propriétés géométriques de certaines variétés issues des algèbres de Lie ont alors pu être étudiées. D’un point de vue général, ce travail consiste à généraliser et comprendre les propriétés de variétés analogues dans les algèbres de Lie symétriques<br>Lie algebras were introduced toward the end of nineteenth century in order to study some problems arising from geometry. In the interest of classifying these objects, the subcategory of semisimple Lie algebras has been studied. Symmetric Lie algebras are a generalisation of Lie algebras and there are connections between complex symmetric Lie algebras and real Lie algebras. There is an another level structure on (semisimple complex) Lie algebras. Denoting by G the algebraic adjoint group of g, we can conside g as a G-variety under the adjoint action M. We can then study some properties in the framework of algebraic geometry. One can then study various G-varieties arising from this setting. From a global perspective, I try to generalize or understand some properties of analogue varieties in symmetric Lie algebras
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Ancochea, Bermudez Jose Maria. "Sur la classification des algèbres de Lie rigides." Mulhouse, 1985. http://www.theses.fr/1985MULH0006.
Full text
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Gomez, Aparicio Maria. "Propriété (T) et morphisme de Baum-Connes tordus par une représentation non unitaire." Paris 7, 2007. http://www.theses.fr/2007PA077189.
Full textAbstract:
Ma thèse concerne des variantes de la propriété (T) de Kazhdan et de la conjecture de Baum-Connes tordues par des représentations de dimension finie qui ne sont pas unitaires. Soit G un groupe localement compact et (p,V) une représentation de dimension finie de G. Dans le Chapitre 1, si p est irréductible, nous définissons une version tordue de la propriété (T) en considérant des produits tensoriels par p de représentations unitaires de G. Nous définissons deux algèbres de Banach tordues, A(p,G) et A_r(p,G), analogues aux C*-algèbres, C*(G) et C*_r(G), et nous définissons la propriété (T) tordue par p en termes de A(p, G). Nous montrons que la plupart des groupes de Lie semi-simples réels ayant la propriété (T) ont la propriété (T) tordue par n'importe quelle représentation irréductible de dimension finie. Les Chapitres 2 et 3 seront consacrés au calcul de la K-théorie des algèbres tordues. Nous définissons une application d'assemblage tordue du membre de gauche du morphisme de Baum-Connes, dans la K-théorie de A_r(p,G) et nous montrons ensuite que ce morphisme de Baum-Connes tordu est bijectif pour une large classe de groupes vérifiant la conjecture de Baum-Connes. Dans le Chapitre 4, nous montrons que le produit tensoriel par p définit un morphisme de A(p,G) dans le produit tensoriel de C*_r(G) et de End(V) qui fournit un morphisme de groupes de K(A(p,G)) dans K(C*_r(G)). Nous calculons ce morphisme sur l'image de l'application d'assemblage tordue. Pour cela, nous définissons une action de l'anneau des représentations de dimension finie de G sur KAtop(G) qui sera compatible avec le produit tensoriel par p ainsi qu'avec le morphisme de Baum-Connes tordu<br>In my thesis I defined a twisting of Kazhdan's property (T) and of the Baum-Connes conjecture by some non-unitary finite dimensional representations. Let G be a locally compact group and (p,V) be a finite dimensional representation of G. In Chapter 1, when p is irreducible, we consider tensor products of p by irreducible unitary representations of G to define a twisting of property (T). We introduce two Banach algebras, A(p,G) and A_r(p,G), analogous to the C*-group algebras C*(G) and C*_r(G), and we define property (T) twisted by p in terms of A(p, G). We then show that most of real semi-simple Lie groups verifying property (T) have property (T) twisted by any irreducible finite dimensional representation. In Chapter 2 and 3 we compute the K-theory of these "twisted" group algebras. To do these we define an assembly map defined on the left part of the Baum-Connes morphism, KAtop(G), and with image in the K-theory of A_r(p,G). We then prove that these twisted Baum-Connes map is an isomorphism for a large class of groups verifying the Baum-Connes conjecture. Finally, in Chapter 4 we show that the tensor product by p defines a morphism from A(p,G) to the tensor product of C*_r(G) and End(V) and that these induces a group morphism between K(A(p,G)) and K(C*_r(G)). We then define an action of the finite dimensional representation ring of G on KAtop(G) that is compatible with the tensor product by p and with the twisted Baum-Connes map. This enables us to compute the above morphism on the image of the twisted assembly map
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Bartouli, Issam. "Cohomologie et déformation des champs de vecteurs sur une variété de dimension 1." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2019. http://www.theses.fr/2019SACLE010/document.
Full textAbstract:
On considère la structure du Vect(R)-module sur les espaces des opérateurs différentiels bilinéaires agissant sur les espaces de densités. On calcule la première cohomologie différentielle des champs de vecteurs d’algèbre de Lie Vect(R) avec des coefficients dans l’espace des opérateurs différentiels bilinéaires agissant sur les densités pondérées.On considère l’action de Vect(S1) par la dérivée de Lie sur les espaces d’opérateurs pseudodifférentiels DO. On étudie les déformations h-triviales de l’intégration standard de l’algèbre de Lie Vect(S1) de champs de vecteurs lisses sur le cercle, dans l’algèbre de Lie de fonctions sur le fibré cotangent T*S1. On classe les déformations de cette action qui deviennent triviales une fois limitées à h où h = aff(1) ou sl(2). Les conditions nécessaires et suffisantes pour l’intégrabilité des déformations infinitésimales sont données<br>We consider the Vect(R)-module structure on the spaces of bilinear differential operators acting on the spaces of weighted densities.We compute the first differential cohomology of the vector fields Lie algebra Vect(R) with coefficients in space of bilinear differential operators acting on weighted densities. we consider the action of Vect(S1) by Lie derivative on the spaces of pseudodifferential operators . We study the h-trivial deformations of the standard embedding of the Lie algebra Vect(S1) of smooth vector fields on the circle, into the Lie algebra of functions on the cotangent bundle T∗S1. We classify the deformations of this action that become trivial once restricted to h, where h = aff(1) or sl(2). Necessary and sufficient conditions for integrability of infinitesimal deformations are given
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Moreau, Anne. "Quelques propriétés de l'indice dans une algèbre de Lie semi-simple." Paris 7, 2006. http://www.theses.fr/2006PA077184.
Full textAbstract:
L'indice d'une algèbre de Lie complexe est la dimension minimale des stabilisateurs des éléments du dual pour l'action coadjointe. La notion d'indice joue un rôle important dans la théorie des représentations et des invariants. Cette thèse concerne indice de sous-algèbres non-réductives dans une algèbre de Lie semi-simple. On établit dans la première partie une formule explicite pour l'indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple complexe, selon un résultat conjecturé par D. Panyushev. La démonstration utilise pour une large part des techniques développées par J. Y. Charbonnel pour calculer l'indice du centralisateur d'un élément. On résout dans la deuxième partie un problème d'additivité de l'indice lié à la décomposition de Cartan d'une algèbre de Lie semi-simple réelle. On répond ainsi de façon positive à une question soulevée par M. Raïs On montre cette conjecture en utilisant la construction "en cascade" de Kostant pour trouver des formes linéaires stables. On expose enfin en annexe des calculs effectués à l'aide du logiciel GAP utiles à la première partie<br>The index of a complex Lie algebra is the minimal dimension of stabilizers of elements for the coadjoint action. The index plays an important role in representation and invariant theory. This thesis concerns the index of non-reductive subalgebras in a semisimple Lie algebra. We establish in the first part an explicite formula for the index of the normaliser of the centraliser of a nilpotent element in a semisimple complex Lie algebra. This result has been conjectured by D. Panyushev. The proof uses some methods developed by J. Y. Charbonnel to obtain the index of the centraliser of an element. We solve in the second part a problem of additivity of the index linked to a Cartan décomposition of a semisimple real Lie algebra. In particular, we answer positively a question by M. Raïs. To proof this conjecture we use the Kostan's construction to find stable forms. In the annex, we give computations made with GAP useful for the first part
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Koufany, Khalid. "Semi-groupe de Lie associé à une algèbre de Jordan euclidienne." Nancy 1, 1993. http://docnum.univ-lorraine.fr/public/SCD_T_1993_0172_KOUFANY.pdf.
Full textAbstract:
A une algèbre de Jordan euclidienne, on associe un cône symétrique et nous étudions le semi-groupe des éléments du groupe conforme de l'algèbre de Jordan qui préservent le cône symétrique. Pour cette étude, nous réalisons le groupe conforme comme le groupe des automorphismes holomorphes du domaine tube agissant sur la frontière de Shilov. Nous démontrons pour ce semi-groupe une décomposition à la Harish-Chandra et nous utilisons cette décomposition pour que les éléments de ce semi-groupe soient des contractions pour la métrique riemannienne du cône symétrique. Nous montrons ensuite que le semi-groupe considéré vérifie la décomposition d'Ol'shanskii et nous en déduisons que c'est une forme réelle du semi-groupe holomorphe d'Ol'shanskii des applications holomorphes du domaine symétrique borné associé à l'algèbre de Jordan. Nous montrons enfin que l'espace symétrique de type Cayley associé à l'algèbre de Jordan est muni d'une structure causale globale et que le semi-groupe que nous avons introduit est exactement le semi-groupe associé à l'ordre de cet espace causal. De plus, nous montrons que cet espace peut être réalisé comme un ouvert dense dans le produit cartésien de deux copies de la frontière de Shilov du domaine symétrique borné et nous donnons ainsi une caractérisation précise de la seule orbite dense
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Ahmad, Saad. "Algèbres symétriques à gauche et algèbre de couleurs." Montpellier 2, 1989. http://www.theses.fr/1989MON20039.
Full textAbstract:
Le but essentiel de la premiere partie est de donner quelques resultats de nature algebrique concernant les algebres symetriques a gauche (sg). Nous avons donne une classification de ces algebres en dimension deux, en considerant les elements nilpotents. Ainsi, on a demontre que si la ir-algebre est sans elements nilpotents d'ordre deux alors elle possede au moins un idempotents; ensuite, on a etudie les derivations et les automorphismes. Quelques structures d'algebres sg sur une algebre de lie de dimension 3 ont ete donnees. La structure d'algebre sg sur une algebre de lie de type m a ete donnee; de plus, on a demontre (lorsque l'algebre enveloppante de l'algebre de lie des multiplications est semi-simple) que le radical de l'algebre sg est un ideal bilatere qui contient l'ideal de lie derive. On a donne des conditions necessaires et suffisantes pour qu'une algebre sg devienne associative. Nous avons defini aussi les algebres homotopes et l'algebre de mutation d'un algebre sg. Finalement, on a donne un theoreme d'extensions d'algebres sg analogue de celui de hochschild pour les algebres associatives. Dans la deuxieme partie nous donnsons un theoreme de structure de l'algebre de lie des derivations et du groupe des automorphismes de l'algebre de couleurs. Nous avons donne aussi une representation matricielle de cette algebre. Ainsi, on a repris les resultats concernant les derivations et les automorphismes et on les a representes sous cette forme matricielle
20
Gruson, Caroline. "Sur les super groupes de Lie." Paris 7, 1993. http://www.theses.fr/1993PA077056.
Full textAbstract:
La première partie est une adaptation au cadre des super groupes de Lie du théorème du à Cartier qui assure que les groupes formels sont lisses en caractérisque zéro. La seconde partie donne une description des super groupes de Lie dits vraiment classiques comme groupes d'automorphismes des super algèbres semi-simples à involution, selon une méthode de Weil. La troisième partie est consacrée à l'étude de l'idéal définissant l'orbite d'un vecteur de plus haut poids d'une représentation simple de dimension finie d'une super algèbre de Lie basique classique complexe.
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Chopp, Mikaël. "Lie-admissible structures on Witt type algebras and automorphic algebras." Thesis, Metz, 2011. http://www.theses.fr/2011METZ020S/document.
Full textAbstract:
L’algèbre de Witt a été intensivement étudiée. Elle est présente dans de nombreux domaines des Mathématiques. Cette thèse est l’étude de deux généralisations de l’algèbre de Witt: les algèbres de type Witt et les algèbres de Krichever-Novikov. Dans une première partie on s’intéresse aux structures Lie-admissibles sur les algèbres de type Witt. On donne toutes les structures troisième-puissance associatives et flexibles Lie-admissibles sur ces algèbres. De plus, on étudie les formes symplectiques qui induisent un produit symétrique gauche. Dans une seconde partie on étudie les algèbres automorphes. Partant d’une surface de Riemann compacte quelconque, on considère l’action d’un sous-groupe fini du groupe des automorphismes de la surface sur des algèbres d’origines géométriques comme les algèbres de Krichever-Novikov. Plus précisément nous faisons le lien entre la sous-algèbre des éléments invariants sur la surface et l’algèbre sur la surface quotient. La structure presque-gradue des algèbres de Krichever-Novikov induit une presque-graduation sur ces sous-algèbres de certaines algèbres de Krichever- Novikov<br>The Witt algebra has been intensively studied and arise in many research fields in Mathematics. We are interested in two generalizations of the Witt algebra: the Witt type algebras and the Krichever-Novikov algebras. In a first part we study the problem of finding Lie-admissible structures on Witt type algebras. We give all third-power associative Lie-admissible structures and flexible Lie-admissible structures on these algebras. Moreover we study the symplectic forms which induce a graded left-symmetric product. In the second part of the thesis we study the automorphic algebras. Starting from arbitrary compact Riemann surfaces we consider the action of finite subgroups of the automorphism group of the surface on certain geometrically defined Lie algebras as the Krichever-Novikov type algebras. More precisely, we relate for G a finite subgroup of automorphism acting on the Riemann surface, the invariance subalgebras living on the surface to the algebras on the quotient surface under the group action. The almost-graded Krichever-Novikov algebras structure on the quotient gives in this way a subalgebra of a certain Krichever-Novikov algebra (with almost-grading) on the original Riemann surface
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Sadaka, Guilnard. "Paires admissibles d'une algèbre de Lie simple complexe et W-algèbres finies." Thesis, Poitiers, 2013. http://www.theses.fr/2013POIT2309/document.
Full textAbstract:
Soient g une algèbre de Lie simple complexe et e un élément nilpotent de g. Nous nous intéressons dans ce mémoire à la question (soulevée par Premet) d'isomorphisme entre les W-algèbres finies construites à partir de certaines sous-algèbres nilpotentes de g dites e-admissibles. Nous introduisons les notions de paire et graduation e-admissibles. Nous montrons ensuite que la W-algèbre associée à une paire e-admissible possède des propriétés similaires à celle introduite par Gan et Ginzburg. De plus, nous définissons une relation d'équivalence sur l'ensemble des paires admissibles. Nous montrons alors que si deux paires sont équivalentes, alors les W-algèbres associées sont isomorphes. Nous introduisons enfin les notions de graduation et paire admissibles b-maximales et nous montrons que les paires admissibles b-maximales sont équivalentes entre elles. Comme conséquence de ce résultat, nous retrouvons un résultat de Brundan et Goodwin sur les bonnes graduations. Dans une dernière partie, nous considérons des cas particuliers pour lesquels nous pouvons apporter une réponse complète à la question d'isomorphisme<br>Let g be a complex simple Lie algebra and e a nilpotent element of g. We are interested to answer the isomorphism question (raised by Premet) between the finite W-algebras constructed from some nilpotent subalgebras of g called e-admissible. We introduce the concept of e-admissible pair and e-admissible grading. We show then that the W-algebra associated to an e-admissible pair admits similar properties to that introduced by Gan and Ginzburg. Moreover, we define an equivalence relation on the set of admissible pairs and we show that if two admissible pairs are equivalent, it follows that the associated W-algebras are isomorphic. We introduce later the concepts of b-maximal admissible pair and b-maximal admissible grading and show that b-maximal admissible pairs are equivalent. As a consequence to this result, we recover a result of Brundan and Goodwin on the good gradings. In a final part, we consider some particular cases where we may find a complete answer to the isomorphism question
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Zaiter, Mouchira. "Sur quelques sous-variétés d'une puissance cartésienne d'une algèbre de Lie réductive." Paris 7, 2013. http://www.theses.fr/2013PA077141.
Full textAbstract:
Dans ma thèse, on décrit quelques désingularisations de certaines sous-variétés des puissances cartésiennes d'une algèbre de Lie réductive de dimension finie g. On étudie alors la nature des singularités de leurs normalisations. Une de ces sous-variétés est le sous-ensemble B(k} des éléments (X₁,. . . , Xk) de gk tels que x₁. . . , xk sont dans une même sous-algèbre de Borel de g. On construit une normalisation de cette variété et on démontre qu'elle a des singularités rationnelles. En outre, on démontre que le nilcône N(k) de g(k) a des singularités rationnelles et que les normalisations de la variété commutante C(₂) de g et de la variété N⁻¹ (C(₂)) où N est un morphisme de normalisation de B(₂), ont des singularités rationnelles. On prend P(k) la variété des éléments (X₁,. . . , Xk) de g tels que x₁. . . X₂ sont dans une même sous-algèbre parabolique de g, conjuguée sous G à une sous-algèbre parabolique p de g et P(k)u la sous-variété de P(k) des éléments (X₁,. . . , X₂) de g(k) tels que x₁. . . Xk sont dans le radical nilpotent d'une même sous-algèbre parabolique de g, conjuguée sous G à p. On décrit une désingularisation de Pk et on démontre qu'elle n'est pas normale. De plus, on donne quelques propriétés de P(k)u<br>In my PHD thesis, we describe some desingularizations of some subvarieties of cartesian powers of a reductive Lie algebra of finite dimension g. We study the nature of the singularities of its normalizations. One of these varieties is the set B(k} of éléments (X₁,. . . , Xk) in gk such that x₁. . . , xk are in a same Borel subalgebra of g. We construct a normalization of this variety and we prove that it has rational singularities. Furthermore, we prove that the nullcone N(k) of gk has rational singularities and the normalizations of the commuting variety C(²) of g and of the variety N⁻¹ (C(²)) have rational singularities, where N is a normalization morphism B(²). Taking P(k) the variety of elements (X₁,. . . , Xk) of gk such that x₁. . . , xk are in a same parabolic subalgebra of g , conjugale under G to a parabolic subalgebra p of g and P(k)u the subvariety of P(k) of elements (X₁,. . . , Xk) of gk such that X₁,. . . , Xk are in the nilpotent radical of a same parabolic subalgebra of g , conjugale under G to p. We describe a desingularization of P(k} and we prove that it is not normal. In addition, we give some property of P(k)u
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Letellier, Emmanuel. "Transformation de Fourier des fonctions invariantes sur une algèbre de Lie finie." Paris 6, 2003. http://www.theses.fr/2003PA066191.
Full text
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Khakimdjanova, Kamola. "Algèbres de Lie dont le treillis des idéaux est fixé." Mulhouse, 2000. http://www.theses.fr/2000MULH0606.
Full textAbstract:
Dans cette thèse on étudie certaines structures algébriques dont le treillis des idéaux vérifie les propriétés données. De manière plus précise trois types de structures algébriques sont abordés : les espaces vectoriels différentiels, les algèbres de Lie et les algèbres de Lie différentielles de dimension finie ou infinie. Pour les espaces vectoriels différentiels nous définissons la notion de dimension différentielle et nous étudions certaines de ses propriétés. Ensuite nous abordons le problème suivant : si on fixe un treillis avec les propriétés simples, quelles sont les algèbres de Lie ou les algèbres de Lie différentielles de dimension finie ou infinie admettant le treillis donné comme treillis des idéaux ? En étudiant ce problème, nous avons obtenu une classification complète d'algèbres de Lie de dimension finie dont le treillis des idéaux a une longueur inférieure ou égale à 2. Nous introduisons une classe d'algèbres de Lie de dimension infinie appelées fines qui généralise celle des algèbres filiformes dans le cas de dimension finie. La classification complète des algèbres de Lie fines est un problème intéressant mais, probablement très difficile. Nous avons obtenu une classification complète à isomorphisme près, des algèbres de Lie fines admettant une graduation naturelle ou standard. Finalement en appliquant ce résultat nous avons obtenu la classification complète des algèbres de Lie de dimension infinie potentiellement résolubles dont le treillis des idéaux est une chaîne.
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Mabrouk, Sami. "Algèbres Hom-Nambu quadratiques et Cohomologie des algèbres Hom-Nambu-Lie multiplicatives." Thesis, Mulhouse, 2012. http://www.theses.fr/2012MULH7311/document.
Full textAbstract:
Dans le premier chapitre de la thèse, nous résumons d’abord les définitions des algèbres Hom-Nambu n-aires (resp. Hom-Nambu- Lie) et algèbres Hom-Nambu n-aires multiplicatives (resp. Hom-Nambu-Lie multiplicatives). Ensuite, on donne,quelques exemples d'algèbres Hom-Nambu de dimension finie. Dans la troisième section du chapitre on rappellela classication des algèbres Hom-Nambu-Lie ternaires de dimension 3 correspondant auxhomomorphismes diagonaux donnée par Ataguema, Makhlouf et Silvestrov dans [12]. Laquatrième section est consacrée aux différentes manières de construire des algèbres n-airesde type Hom-Nambu. On rappelle la construction par twist initiée par Yau. Ensuite on la généralise en une construction d'algèbre n-aire de Hom-Nambu à partir d'une algèbre n-aire de Hom-Nambu et d'un morphisme faible. On s'intéresse aussi à des constructions d'arité plus grande ou plus petite et par produit tensoriel. On montre par ailleurs comment obtenir de nouvelles algèbres n-aires de Hom-Nambu en utilisant les éléments du centroide. La cinquième section est consacrée aux notions de dérivations et de représentationspour les algèbres n-aires. On étudie les αk-dérivations, les dérivations centrales et dansle cas général, la théorie des représentations des algèbres Hom-Nambu n-aires. Nousdiscutons en particulier les cas des représentations adjointes et coadjointes. Les résultatsobtenus dans cette section généralisent ceux donnés pour le cas binaire dans [16, 57]<br>The aim of this thesis is to study representation theory and cohomology of n-ary Hom-Nambu-Lie algebras, as well as quadratic structures on these algebras. It is organized as follows.• Chapter 1. n-ary Hom-Nambu algebras : in the first section we recall the definitions of n-ary Hom-Nambu algebras and n-ary Hom-Nambu-Lie algebras, introduced by Ataguema, Makhlouf and Silvestrov and provide some key constructions. These algebras correspond to a generalized version by twisting of n-ary Nambu algebras and Nambu-Lie algebras which are called Filippov algebras. We deal in this chapter with a subclass of n-ary Hom-Nambu algebras called multiplicative n-ary Hom-Nambu algebras. In Section 1.2, we recall the list of 3-dimensional ternary Hom-Nambu-Lie algebras of special type corresponding to diagonal homomorphisms. In Section 1.4 we show different construction procedures. We recall the construction procedures by twisting principles and provide some new constructions using for example the centroid. The first twisting principle, introduced for binary case, was extend to n-ary case. The second twisting principle was introduced for binary algebras. We will extend it to n-ary case in the sequel. Also we recall a construction by tensor product of symmetric totally n-ary Hom-associative algebra by an n-ary Hom-Nambu algebra. In Section 1.5, we extend representation theory of Hom-Lie algebras to the n-ary case and discuss the derivations, αk-derivations and central derivations. The last section of chapter 1 is dedicated to ternary q-Virasoro-Witt algebras. We recall constructions of infinite dimensional ternary Hom-Nambu algebras.• Chapter 2. Cohomology of n-ary multiplicative Hom-Nambu algebras : InSection 2.1. We define a central extension. In the second Section we show that for an n-ary Hom-Nambu-Lie algebra N, the space ∧n−1 N carries a structure of Hom-Leibniz algebra and we dene a cohomology which is suitable for the study of one parameter formal deformations of n-ary Hom-Nambu-Lie algebras. In Section 2.4, we extend to n-ary multiplicative Hom-Nambu-Lie algebras the Takhtajan's construction of a cohomology of ternary Nambu-Lie algebras starting from Chevalley-Eilenberg cohomology of binary Lie algebras. The cohomology of multiplicative Hom-Lie algebras. The cohomology complex for Leibniz algebras was defined by Loday and Pirashvili.• Chapter 3. Quadratic n-ary Hom-Nambu algebras : In the first section we introduce a class of Hom-Nambu-Lie algebras which possess an inner product. In Section 3.3, we provide some constructions of Hom-quadratic Hom-Nambu-Lie algebras starting from an ordinary Nambu-Lie algebra and from tensor product of Hom-quadratic commutative Hom-associative algebra and Hom-quadratic Hom-Nambu-Lie algebra. In Section 3.5, we provide a construction of n-ary Hom-Nambu algebra L which is a generalization of the trivial T∗-extension. In Section 3.6, we give a construction of ternary algebra arising from quadratic Lie algebra. In Section 3.7, we construct quadratic n-ary Hom-Nambu algebras involving elements of the centroid of n-ary Nambu algebras
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Drouot, Francois. "Quelques propriétés des représentations de la super-algèbre de Lie gl(m,n)." Phd thesis, Université Henri Poincaré - Nancy I, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00371432.
Full textAbstract:
Cette thèse consiste en une étude des représentations de dimension finie de la super-algèbre de Lie gl(m,n). Dans le premier chapitre nous rappelons des résultats sur ces super-algèbres de Lie. Dans le second chapitre nous étudions les représentations simples de gl(2,2). Ces modules peuvent être obtenus comme quotient de modules induits dont on connaît les suites de composition, ce qui nous permet de calculer une formule des caractères finie explicite. Dans le troisième chapitre nous étudions les représentations d'une déformation quantique de l'algèbre enveloppante de gl(m,n). Nous rappelons tout d'abord la construction des bases cristallines pour les facteurs directs de puissances tensorielles de la représentation standard. Nous montrons, en affaiblissant la notion de cristal, l'existence de bases cristallines pour des modules qui ne sont pas semi-simpes, et nous donnons une méthode pour les construire. Le quatrième chapitre porte sur le dévissage du bloc maximalement atypique de la catégorie des représentations de dimension finie de gl(2,2). La connaissance de la sous-catégorie pleine des modules projectifs maximalement atypiques nous permet de reconstituer la catégorie. Nous étudions dans un premier temps les modules projectifs indécomposables et nous donnons leurs suites de Loewy. Puis dans un deuxième temps nous étudions leurs morphismes. Pour terminer nous formulons une conjecturons sur la composition de ces morphismes.
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Fauquant-Millet, Florence. "Sur la polynomialité de certaines algèbres d'invariants d'algèbres de Lie." Habilitation à diriger des recherches, Université Jean Monnet - Saint-Etienne, 2014. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00994655.
Full textAbstract:
Ce mémoire étudie la polynomialité de l'algèbre des invariants de l'algèbre des fonctions polynomiales sur le dual d'une certaine algèbre de Lie, lorsque cette dernière est la troncation canonique d'une sous-algèbre biparabolique d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.
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Chenal, Julien. "Structures géométriques liées aux algèbres de Lie graduées." Thesis, Nancy 1, 2010. http://www.theses.fr/2010NAN10036/document.
Full textAbstract:
Le but de cette thèse est de définir un objet géométrique associé aux algèbres de Lie (2k+1)-graduées. Dans le cas d'une algèbre de Lie $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, l'objet géométrique associé est un espace symétrique G/H et l'objet infinitésimal associé est un système triple de Lie. Dans le cas où notre algèbre de Lie est 3-graduée, alors l'objet géométrique associé est une géométrie projective généralisée et l'objet infinitésimal correspondant est une paire de Jordan. Dans le cas général, nous appellerons cet objet géométrique une géométrie de drapeaux généralisée. La construction de cet objet est basée sur la notion de groupe projectif élémentaire et de complétion projective introduite par O. Loos et reprise par J.R. Faulkner. Ensuite, en utilisant la notion de filtration d'une algèbre de Lie, on arrive à réaliser la géométrie de drapeaux généralisée comme orbites sous le groupe projectif élémentaire de deux filtrations canoniques, associées à la graduation de l'algèbre de Lie. Dans le cas particulier de l'agèbre de Lie $\mathfrak{g}=End_R(V)$, des endomorphismes d'un module $V$ sur une algèbre associative $R$, alors la géométrie de drapeaux généralisée se réalise comme orbites de drapeaux de $V$; ce qui justifie le nom choisi de "géométrie de drapeaux généralisée". Enfin, dans un dernier temps, en utilisant un calcul différentiel généralisé, on peut construire sur la géométrie de drapeaux généralisée une structure de variété différentiable<br>The goal of this thesis is to define a geometric objet associated to graded Lie algebras. In the case of a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ graded Lie algebra, this object is a symmetric space G/H and the infinitesimal object associated is a Lie triple system. If the Lie algebra is 3-graded, the geometry is called a generalized projective geometry and the infinitesimal object is a Jordan pair. In the general case, the geometric object will be called a generalized flag geometry. Its contruction needs the notions of elementary projective group and projective completion, definied by O. Loos and used by J. R. Faulkner. Then, by the notion of filtrations of a Lie algebras, a realization of the generalized flag geometry of a graded Lie algebra can be done as orbits under the elementary projective group of two natural filtrations, associated to the graduation. In the example $\mathfrak{g}=End_R(V)$, consisting of the endomorphisms of a module $V$ on a assocative algebra $R$, then the generalized flag geometry is realized like orbits of flags of $V$; so, it justifies the chosen name: "generalized flag geometry". To finish, using a generalized differential calculus, we can construct on this generalized flag geometry a structure of smooth manifold
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Leray, Johan. "Approche fonctorielle et combinatoire de la propérade des algèbres double Poisson." Thesis, Angers, 2017. http://www.theses.fr/2017ANGE0027/document.
Full textAbstract:
On construit et étudie la généralisation des algèbres double Poisson décalées à toute catégorie monoïdale symétrique additive. On s’intéresse notamment aux algèbres double Poisson linéaires et quadratiques. Dans un second temps, on étudie la koszulité des propérades DLie et DPois = As ⮽c DLie qui encodent respectivement les algèbres double Lie et les algèbres doubles Poisson. On associe à chacune de ces propérades, un S-module muni d’une structure de monoïde pour un nouveau produit monoïdal dit de composition connexe : on appelle de tels monoïdes protopérades. On montre notamment l’existence, pour toutS-module, d’une protopérade libre associée et l’on explicite la combinatoire sous-jacente en terme de briques et de murs. On définit une adjonction bar-cobar, une dualité de Koszul et une notion de base PBW pour les protopérades. On présente également une tentative de théorème PBW à la Hoffbeck pour les protopérades, de laquelle on déduit la koszulité de la diopérade associée à la propérade DLie<br>We construct and study the generalization of shifted double Poisson algebras to all additive symmetric monoidal categories. We are especially interested in linear and quadratic double Poisson algebras. We then study the koszulity of the properads DLie and DPois = As ⮽c DLie which encode double Lie algebras and double Poisson algebras respectively. We associate to each, a S-module with a monoidal structure for a new monoïdal product call the connected composition product : we call such monoids protoperads. We show, for any S-module, the existence of the associated free protoperad and we make explicit the underlying combinatorics. We define a bar-cobar adjunction, the notion of Koszul duality and PBW bases for protoperads. We present an attempt of prove a PBW theorem à la Hoffbeck for protoperads, and prove the koszulity of the dioperad associated to the properad DLie
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Sanchez-Flores, Selene. "La structure de Lie de la cohomologie de Hochschild d'algèbres monomiales." Phd thesis, Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00464064.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur la structure de Lie de la cohomologie de Hochschild, donnée par le crochet de Gerstenhaber. Plus précisément, on étudie la structure d'algèbre de Lie du premier groupe de cohomologie et la structure de module de Lie des groupes de cohomologie de Hochschild de certaines algèbres monomiales. Une algèbre monomiale est définie comme le quotient de l'algèbre de chemins d'un carquois par un idéal bilatère admissible engendré par un ensemble de chemins de longueur au moins deux. On utilise les données combinatoires intrinsèques à de telles algèbres pour étudier la structure de Lie définie sur la cohomologie de Hochschild. En fait, on examine deux aspects de cette structure algébrique. Le premier est la relation entre la semi-simplicité du premier groupe de cohomologie de Hochschild et la nullité des groupes de cohomologie de Hochschild. Dans le second aspect, on se concentre sur la structure de module de Lie des groupes de cohomologie de Hochschild d'une famille d'algèbres particulière: celles dont le radical de Jacobson au carré est nul.
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Kabbaj, Samir. "Classification locale des espaces affinés symétriques." Nancy 1, 1986. http://www.theses.fr/1986NAN10068.
Full textAbstract:
On considère des espaces locaux symétriques (GO, T) formés d'une algèbre semi simple réelle GO et d'une involution non triviale T, l'espace affiné symétrique associé est le quotient G/H ou G et H sont des groupes de lie correspondant à GO, GO**(T) respectivement. On refait la classification de M. Berger (1957) en repoussant autant que possible les études cas par cas et on apporte certains compléments
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Mint, Elhacen A. Salma. "Sur les représentations algébriquement irréductibles des groupes de Lie exponentiels et nilpotents." Metz, 1999. http://docnum.univ-lorraine.fr/public/UPV-M/Theses/1999/Mint_Elhacen.A.Salma.SMZ9916.pdf.
Full textAbstract:
Cette thèse se compose de deux parties différentes : la première partie consiste à caractériser les représentations algébriquement irréductibles (T, V) de L1(G) (G un groupe de Lie connexe, simplement connexe, résoluble exponentiel) sur un espace de Banach V par des nouvelles représentations ( [pi] fraction l/p, Vo(p,l) où p est un multi-indice et l [appartient à] g*. Dans la deuxième partie, nous caractérisons les idéaux premiers et les idéaux maximaux de l'algèbre L1[omega] (G) avec G un groupe de Lie connexe et simplement connexe nilpotent et [omega] un poids polynomial sur G. Nous prouvons la propriété de Wiener pour l'algèbre L1[omega] (G). Ensuite nous déterminons Prim (L1[omega] (G)). Enfin, nous caractérisons toutes les représentations algébriquement irréductibles et topologiquement irréductibles de L1[omega] (G
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Tomasini, Guillaume. "Etude de certaines catégories de modules de poids et de leurs restrictions à des paires duales." Strasbourg, 2010. https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2010/TOMASINI_Guillaume_2010.pdf.
Full textAbstract:
Un problème majeur en théorie de Lie est de comprendre la catégorie de tous les modules d'une algèbre de Lie donnée. La catégorie O de Bernstein-Gelfand-Gelfand puis la notion de module de poids, exploitée à partir des années 80, ont permis une avancée considérable dans ce domaine. Les modules cuspidaux introduits pour décrire tous les modules de poids sont aujourd'hui au coeur de cette théorie. Nous introduisons dans cette thèse une famille de catégories extrapolant à la fois la catégorie O et la catégorie de tous les modules cuspidaux. Dans certains cas, nous décrivons entièrement la catégorie obtenue. Nous utilisons ensuite ces catégories pour décrire des correspondances pour certaines paires duales<br>A major issue in Lie theory is to understand the category of modules over a given Lie algebra. Bernstein-Gelfand-Gelfand category O and then the category of weight modules studied from the 80's lead to an important breakthrough in this area. Cuspidal modules introduced to describe the category of weight modules are now at the heart of the theory. In this thesis, we introduce a family of categories extrapolating the category O and the category of cuspidal modules. In some cases, we describe completely the given categories. Then we use these categories to obtain a Howe type correspondence for some dual pairs
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Gomez, Aparicio Maria Paula. "Propriété (T) et morphisme de Baum-Connes tordus par une représentation non unitaire." Phd thesis, Université Paris-Diderot - Paris VII, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00274378.
Full textAbstract:
Ma thèse concerne des variantes de la propriété (T) de Kazhdan et de la conjecture de Baum-Connes tordues par des représentations de dimension finie qui ne sont pas nécessairement unitaires.<br />Soit G un groupe localement compact et (rho,V) une représentation de dimension finie non nécessairement unitaire de G.<br />Dans le Chapitre 1, nous avons défini un renforcement de la propriété (T) en considérant des produits tensoriels par rho de représentations unitaires de G. Nous avons alors défini deux algèbres de Banach de groupe tordues, Amax(rho) et A(rho), analogues aux C*-algèbres de groupe, C*(G) et C*r(G), et nous avons défini la propriété (T) tordue par rho en termes de Amax(rho). Nous avons ensuite montrer que la plupart des groupes de Lie semi-simples réels ayant la propriété (T) ont la propriété (T) tordue par n'importe quelle représentation irréductible de dimension finie.<br />Les Chapitres 2 et 3 sont consacrés au calcul de la K-théorie des algèbres tordues. Pour ceci, Nous avons défini deux applications d'assemblage tordues du membre de gauche du morphisme de Baum-Connes, noté Ktop(G), dans la K-théorie des algèbres tordues. Nous avons ensuite montrer, dans le Chapitre 3, que ce morphisme de Baum-Connes tordu est bijectif pour une large classe de groupes vérifiant la conjecture de Baum-Connes.<br />Dans le Chapitre 4, nous avons montré que le domaine de définition naturel d'un analogue en K-théorie du produit tensoriel par une représentation de dimension finie est la K-théorie des algèbres tordues et non pas la K-théorie des C*-algèbres de groupe.
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Sanchez-Flores, Selene Camelia. "La structure de Lie de la cohomologie de Hochschild d'algèbres monomiales." Montpellier 2, 2009. http://www.theses.fr/2009MON20047.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur la structure de Lie de la cohomologie de Hochschild donnée par le crochet de Gerstenhaber. Plus précisément, nous étudions la structure d'algèbre de Lie du premier groupe de cohomologie et la structure de module de Lie des groupes de cohomologie de Hochschild de certaines algèbres monomiales. Ces algèbres sont définies comme le quotient de l'algèbre de chemins d'un carquois par l'ideal bilatère engendré par un ensemble de chemins de longueur au moins deux. Nous utilisons les données combinatoires intrinsèques à de telles algèbres pour étudier la structure de Lie définie sur la cohomologie de Hochschild. En fait, nous examinons deux aspects de cette structure algébrique. Le premier est la relation entre la semi-simplicité du premier groupe de cohomologie de Hochschild et la nullité des groupes de cohomologie de Hochschild. Dans le second aspect, nous nous concentrons sur la structure de module de Lie des groupes de cohomologie de Hochschild d'une famille d'algèbres monomiales particulière: celles dont le radical de Jacobson au carré est nul<br>This thesis is about the Lie structure on the Hochschild cohomology given by the Gerstenhaber bracket. More precisely, we study the Lie algebra structure on the first Hochschild cohomology group and the Lie module structure on the Hochschild cohomology groups of some monomial algebras. Such algebras are defined by the quotient of the path algebra of a quiver by a two-sided ideal generated by a set of paths of length at least two. We use the combinatorial data of such algebras to study the Lie structure on the Hochschild cohomology. Actually, we discuss two features of such algebraic structure. The first one is the relationship between semisimplicity on the first Hochschild cohomology group and the vanishing of the Hochschild cohomology groups. In the second one, we center our attention to the Lie module structure on the Hochschild cohomology groups of a particular family of monomial algebras: those whose Jacobson radical square is zero
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Bou, Daher Rabih. "Crochet de Gerstenhaber pour les algèbres enveloppantes d'algèbres de Lie de dimension finie." Thesis, Université Clermont Auvergne (2017-2020), 2017. http://www.theses.fr/2017CLFAC039/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous décrivons explicitement la structure multiplicative et la structure d’algèbre de Lie graduée sur la cohomologie de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie de dimension finie. Dans un premier temps, nous introduisons une structure multiplicative de la cohomologie de l’algèbre de Lie. Ensuite, nous montrons explicitement qu’il existe un isomorphisme d’algèbres graduées commutatives entre l’algèbre de cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante munie du produit cup et l’algèbre de cohomologie de l’algèbre de Lie. Dans un deuxième temps, nous introduisons une structure d’algèbre de Lie graduée sur la cohomologie de l’algèbre de Lie. Ensuite, nous montrons qu’il existe un isomorphisme d’algèbres de Lie graduées entre l’algèbre de Lie de cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante munie du crochet de Gerstenhaber et l’algèbre de cohomologie de l’algèbre de Lie. Enfin, nous décrivons complètement le crochet de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie de dimension _ 3<br>In this thesis, we explicitly describe the multiplicative structure and the graded Lie algebra structure of the cohomology of finite-dimensional Lie algebras. In a first step, we introduce a multiplicative structure for the cohomology of Lie algebra. Then, we explicitly show that there exists an isomorphism of commutative graded algebras between the Hochschild cohomology algebra of the enveloping algebra provided with the cup product and the cohomology algebra of the Lie algebra. In a second step, we introduce a graded Lie algebra structure for the cohomology of Lie algebra. Then, we show that there exists an isomorphism of graded Lie algebras between the Hochschild cohomology Lie algebra of the enveloping algebra provided with the Gerstenhaber bracket and the cohomology algebra of the Lie algebra. Finally, we describe completely the Gerstenhaber bracket on the Hochschild cohomology of the enveloping algebra of a Lie algebra for dimension _ 3
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Strametz, Claudia. "Structure d'algèbre de Lie de la cohomologie de Hochschild en degré un et groupe d'automorphismes extérieurs." Phd thesis, Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2002. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00002005.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions la structure d'algèbre de Lie du premier groupe H1(A,A) de la cohomologie de Hochschild pour une k-algèbre A. Cela nous permet<br />aussi d'examiner la composante de l'identité du groupe algébrique des automorphismes extérieurs de A en caractéristique zéro.<br /> <br />La première partie est consacrée à l'étude de l'algèbre de Lie H1(A,A) d'une algèbre monomiale A de dimension finie. Ceci se fait en termes de la combinatoire du carquois de A, sans restriction sur la caractéristique du corps k. Nous montrons que le quotient de Lie semi-simple de H1(A,A) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k). Des critères combinatoires pour la résolubilité, la (semi-)simplicité, la commutativité et la nilpotence sont donnés. <br /> <br />Dans la deuxième partie, nous étudions l'algèbre de Lie H1(kG,kG) de quelques algèbres de groupe pour un corps k de caractéristique p>0. Grace à une Morita équivalence de Gabriel, nous traitons le cas des groupes finis admettant un seul p-sous-groupe de Sylow cyclique. L'algèbre de Lie H1(kG,kG) des groupes finis abéliens est étudiée en utilisant la cohomologie de groupes. Pour p différent de 2, l'algèbre de Lie H1(kG,kG) est semi-simple si et seulement si le p-sous-groupe de Sylow de G est élémentaire. Dans ce cas, H1(kG,kG) est un produit d'algèbres de Lie de Jacobson et Witt.<br /> <br />Enfin, nous examinons l'algèbre de Lie H1(TA,TA) de l'extension triviale TA d'une algèbre A, en particulier d'une algèbre dont le carré du radical est nul. Dans ce dernier cas, le quotient de Lie semi-simple de H1(TA,TA) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k) et so(2m,k). L'algèbre de Lie H1(TA,TA) n'est jamais semi-simple. Ce travail se termine par des critères combinatoires sur la<br />résolubilité et sur la commutativité de l'algèbre de Lie H1(TA,TA).
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Molitor, Catherine. "Actions exponentielles et idéaux premiers." Metz, 1996. http://docnum.univ-lorraine.fr/public/UPV-M/Theses/1996/Braun.Catherine.SMZ9620.pdf.
Full textAbstract:
Soit g un groupe de Lie nilpotent, connexe, simplement connexe tel que son algèbre de Lie g soit un d-module exponentiel, d étant une algèbre exponentielle de dérivations de g. Soit d le groupe de Lie connexe, simplement connexe d'algèbre de Lie d. On montre les résultats suivants: les idéaux d-invariants maximaux de l'algèbre de convolution des fonctions intégrables sur g (resp. De l'algèbre de schwartz de g) coïncident avec les noyaux des d-orbites fermées du dual de g (resp. Avec les restrictions de ces noyaux à l'algèbre de schwartz). Les idéaux d-premiers fermés propres de l'algèbre de convolution des fonctions intégrables (resp. Les idéaux d-premiers propres de l'algèbre de Schwartz, fermés dans la topologie induite par une norme de Schwartz quelconque) coïncident avec les noyaux des d-orbites, non nécessairement fermées (resp. Avec les restrictions de ces noyaux à l'algèbre de Schwartz). On a l'équivalent de la propriété de Wiener pour les idéaux d-invariants. Pour une d-orbite fermée, le noyau de l'orbite modulo l'idéal minimal fermé associé à cette orbite (dans l'algèbre de convolution des fonctions intégrables) est une algèbre nilpotente. Pour une d-orbite fermée, la restriction du noyau de l'orbite à l'algèbre de Schwartz est dense dans le noyau. De plus, l'adhérence de toute d-orbite contient une d-orbite fermée. Ces résultats généralisent des propriétés bien connues pour les groupes de Lie nilpotents<br>Let G be a nilpotent, connected, simply connected Lie group, whose Lie algebra g is an exponential d-module, if d denotes an exponential algebra of derivations of the Lie algebra g. Let D be the connected, simply connected Lie group with Lie algebra d. One has the following results : the maximal d-invariant ideals in the convolution alegbra of integrable functions on g (resp. In the Schwartz algebra of g) coincide with the kernels of the closed d-orbits of the dual of g (resp. With the restrictions of these kernels to the Schwartz algebra). The proper closed d-prime ideals in the convolution algebra of integrable functions (resp. The proper d-prime ideals in the Schwartz algebra which are closed in the topology induced by an arbitrary Schwartz norm) coincide with the kernels of not necessarily closed d-orbits (resp. With the restrictions of these kernels to the Schwartz algebra). One has the equivalent of the Wiener property for D-invariant ideals. For a closed d-orbit, the kernel of the orbit modulo the closed minimal ideal associated to it (in the convolution algebra of integrable functions) is a nilpotent algebra. For a closed d-orbit the restriction of the kernel to the Schwartz algebra is dense in the kernal itself. Moreover, the closure of every d-orbit contains a closed d-orbit. These results generalize well known properties of nilpotent Lie groups
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Meyer, Philippe. "Représentations associées à des graduations d'algèbres de Lie et d'algèbres de Lie colorées." Thesis, Strasbourg, 2019. http://www.theses.fr/2019STRAD001/document.
Full textAbstract:
Soit k un corps de caractéristique différente de 2 et de 3. Les algèbres de Lie colorées généralisent à la fois les algèbres de Lie et les superalgèbres de Lie. Dans cette thèse on étudie des représentations V d'algèbres de Lie colorées g provenant de structures d'algèbres de Lie colorées sur l'espace vectoriel g⨁V. En premier lieu, on s'intéresse à la structure générale des algèbres de Lie simples de dimension 3 sur k. Puis, on classifie à isomorphisme près les superalgèbres de Lie de dimension finie dont la partie paire est une algèbre de Lie simple de dimension 3. Ensuite, pour un groupe abélien ᴦ et un facteur de commutation ɛ de ᴦ, on développe l'algèbre multilinéaire associée aux espaces vectoriels ᴦ-gradués. Dans ce contexte, les algèbres de Lie colorées jouent le rôle des algèbres de Lie. Ce langage nous permet d'énoncer et prouver un théorème de reconstruction d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g⨁V à partir d'une représentation ɛ-orthogonale V d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g. Ce théorème fait intervenir un invariant qui prend ses valeurs dans la ɛ-algèbre extérieure de V et généralise des résultats de Kostant et Chen-Kang. Puis, on introduit la notion de représentation ɛ-orthogonale spéciale V d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g et on montre qu'elle permet de définir une structure d'algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique sur l'espace vectoriel g⨁sl(2,k)⨁V⨂k². Enfin on donne des exemples de représentations ɛ-orthogonales spéciales, notamment des représentations orthogonales spéciales d'algèbres de Lie dont : une famille à un paramètre de représentations de sl(2,k)xsl(2,k) ; la représentation fondamentale de dimension 7 d'une algèbre de Lie de type G₂ ; la représentation spinorielle de dimension 8 d'une algèbre de Lie de type so(7)<br>Let k be a field of characteristic not 2 or 3. Colour Lie algebras generalise both Lie algebras and Lie superalgebras. In this thesis we study representations V of colour Lie algebras g arising from colour Lie algebras structures on the vector space g⨁V. Firstly, we study the general structure of simple three-dimensional Lie algebras over k. Then, we classify up to isomorphism finite-dimensional Lie superalgebras whose even part is a simple three-dimensional Lie algebra. Next, to an abelian group ᴦ and a commutation factor ɛ of ᴦ, we develop the multilinear algebra associated to ᴦ-graded vector spaces. In this context, colour Lie algebras play the rôle of Lie algebras. This language allows us to state and prove a theorem reconstructing an ɛ-quadratic colour Lie algebra g⨁V from an ɛ-orthogonal representation V of an ɛ-quadratic colour Lie algebra g. This theorem involves an invariant taking its values in the ɛ-exterior algebra of V and generalises results of Kostant and Chen-Kang. We then introduce the notion of a special ɛ-orthogonal representation V of an ɛ-quadratic colour Lie algebra g and show that it allows us to define an ɛ-quadratic colour Lie algebra structure on the vector space g⨁sl(2,k)⨁V⨂k². Finally we give examples of special ɛ-orthogonal representations and in particular examples of special orthogonal representations of Lie algebras amongst which are: a one-parameter family of representations of sl(2,k)xsl(2,k) ; the 7-dimensional fundamental representation of a Lie algebra of type G₂ ; the 8-dimensional spinor representation of a Lie algebra of type so(7)
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GIÉ, Pierre-Alexandre. "Structures de Nambu et super-théorème d'Amitsur-Levitzki." Phd thesis, Université de Bourgogne, 2004. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008876.
Full textAbstract:
Dans cette étude, nous cherchons à établir des identités polynomiales dans le cadre de la combinatoire non-commutative. Dans un premier temps, nous présentons de nouvelles structures de Nambu-Lie, en classifiant totalement les (n-1)-structures sur l'espace R^n, et en donnant une méthode permettant de construire des crochets de tout ordre sur une algèbre de Lie. Nous proposons également une quantification de l'une de nos structures, grâce aux polynômes standards et aux algèbres de Clifford d'indice pair. Dans un second moment, en généralisant la notion de polynôme standard au cas des algèbres graduées, nous cherchons à démontrer une version du théorème d'Amitsur-Levitzki sur les superalgèbres de Lie osp(1,2n) en suivant une démonstration de Kostant dans le cas classique. Nous sommes amenés à démontrer des super-versions des propriétés et résultats nécessaires à la démonstration dans le cas classique, notamment en définissant un super-opérateur de transgression de Cartan-Chevalley.
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Al-Kaabi, Mahdi Jasim Hasan. "Bases de monômes dans les algèbres pré-Lie libres et applications." Thesis, Clermont-Ferrand 2, 2015. http://www.theses.fr/2015CLF22599/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions le concept d’algèbre pré-Lie libre engendrée par un ensemble (non-vide). Nous rappelons la construction par A. Agrachev et R. Gamkrelidze des bases de monômes dans les algèbres pré-Lie libres. Nous décrivons la matrice des vecteurs d’une base de monômes en termes de la base d’arbres enracinés exposée par F. Chapoton et M. Livernet. Nous montrons que cette matrice est unipotente et trouvons une expression explicite pour les coefficients de cette matrice, en adaptant une procédure suggérée par K. Ebrahimi-Fard et D. Manchon pour l’algèbre magmatique libre. Nous construisons une structure d’algèbre pré-Lie sur l’algèbre de Lie libre $\mathcal{L}$(E) engendrée par un ensemble E, donnant une présentation explicite de $\mathcal{L}$(E) comme quotient de l’algèbre pré-Lie libre $\mathcal{T}$^E, engendrée par les arbres enracinés (non-planaires) E-décorés, par un certain idéal I. Nous étudions les bases de Gröbner pour les algèbres de Lie libres dans une présentation à l’aide d’arbres. Nous décomposons la base d’arbres enracinés planaires E-décorés en deux parties O(J) et $\mathcal{T}$(J), où J est l’idéal définissant $\mathcal{L}$(E) comme quotient de l’algèbre magmatique libre engendrée par E. Ici, $\mathcal{T}$(J) est l’ensemble des termes maximaux des éléments de J, et son complément O(J) définit alors une base de $\mathcal{L}$(E). Nous obtenons un des résultats importants de cette thèse (Théorème 3.12) sur la description de l’ensemble O(J) en termes d’arbres. Nous décrivons des bases de monômes pour l’algèbre pré-Lie (respectivement l’algèbre de Lie libre) $\mathcal{L}$(E), en utilisant les procédures de bases de Gröbner et la base de monômes pour l’algèbre pré-Lie libre obtenue dans le Chapitre 2. Enfin, nous étudions les développements de Magnus classique et pré-Lie, discutant comment nous pouvons trouver une formule de récurrence pour le cas pré-Lie qui intègre déjà l’identité pré-Lie. Nous donnons une vision combinatoire d’une méthode numérique proposée par S. Blanes, F. Casas, et J. Ros, sur une écriture du développement de Magnus classique, utilisant la structure pré-Lie de $\mathcal{L}$(E)<br>In this thesis, we study the concept of free pre-Lie algebra generated by a (non-empty) set. We review the construction by A. Agrachev and R. Gamkrelidze of monomial bases in free pre-Lie algebras. We describe the matrix of the monomial basis vectors in terms of the rooted trees basis exhibited by F. Chapoton and M. Livernet. Also, we show that this matrix is unipotent and we find an explicit expression for its coefficients, adapting a procedure implemented for the free magmatic algebra by K. Ebrahimi-Fard and D. Manchon. We construct a pre-Lie structure on the free Lie algebra $\mathcal{L}$(E) generated by a set E, giving an explicit presentation of $\mathcal{L}$(E) as the quotient of the free pre-Lie algebra $\mathcal{T}$^E, generated by the (non-planar) E-decorated rooted trees, by some ideal I. We study the Gröbner bases for free Lie algebras in tree version. We split the basis of E- decorated planar rooted trees into two parts O(J) and $\mathcal{T}$(J), where J is the ideal defining $\mathcal{L}$(E) as a quotient of the free magmatic algebra generated by E. Here $\mathcal{T}$(J) is the set of maximal terms of elements of J, and its complement O(J) then defines a basis of $\mathcal{L}$(E). We get one of the important results in this thesis (Theorem 3.12), on the description of the set O(J) in terms of trees. We describe monomial bases for the pre-Lie (respectively free Lie) algebra $\mathcal{L}$(E), using the procedure of Gröbner bases and the monomial basis for the free pre-Lie algebra obtained in Chapter 2. Finally, we study the so-called classical and pre-Lie Magnus expansions, discussing how we can find a recursion for the pre-Lie case which already incorporates the pre-Lie identity. We give a combinatorial vision of a numerical method proposed by S. Blanes, F. Casas, and J. Ros, on a writing of the classical Magnus expansion in $\mathcal{L}$(E), using the pre-Lie structure
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Molinier, Jean-Christophe. "Linéarisation de structures de Poisson." Montpellier 2, 1993. http://www.theses.fr/1993MON20006.
Full textAbstract:
Soit (m, p) une variete de poisson de rang nul a l'origine. Si l'on considere le developpement en serie de taylor du tenseur p, on peut ecrire p=p#l+r ou p#l designe la partie lineaire de p et ou r est d'ordre superieur a 2. On dit que p est linearisable (formellement, analytiquement ou differentiablement) si p est localement diffeomorphe (au sens precise) a p#l. Si l'on note que les coefficients de p#l sont les constantes de structures d'une algebre de lie g, on dira que g est non degeneree pour exprimer que toutes les structures de poisson associees a g sont linearisables. Ce travail debute sur l'etude des algebres de lie de dimension 4 et des arguments geometriques permettent de demontrer qu'elles sont toutes degenerees sauf 4 algebres particulieres. Ceci amene dans un second chapitre a demontrer la non-degenerescence formelle de g#2x. . . Xg#2 (n fois) ainsi que la non-degenerescence differentiable de g#2g#2 en utilisant des techniques de changement de variables, ainsi que la notion de rotationnel (ou g#2 est l'algebre de lie de dimension 2 non triviale). Enfin nous generalisons un travail de j. F. Conn pour demontrer la non-degenerescence des algebres du type produit direct gr ou g est semi-simple
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Ben, Abdeljelil Khaoula. "L'Intégrabilité des réseaux de 2-Toda et de Full Kostant Toda pour toute algèbre de Lie simple." Phd thesis, Poitiers, 2010. http://theses.edel.univ-poitiers.fr/theses/index.php?id=5432.
Full textAbstract:
Cette thèse traite essentiellement de deux systèmes intégrables associés à des algèbres de Lie simples. Les deux résultats principaux sont la construction et l'intégrabilité au sens de Liouville des réseaux de 2-Toda et de Full Kostant-Toda périodique sur toute algèbre de Lie simple. Ces réseaux sont l'un et l'autre décrit par un champ hamiltonien associé à un crochet de Poisson qui provient d'une algèbre de Lie munie d'une R-matrice. Nous construisons dans les deux cas une grande famille de constantes de mouvement que nous utilisons pour démontrer l'intégrabilité au sens de Liouville des deux systèmes. Nos constructions et nos démonstrations font appel à de nombreux résultats sur les algèbres de Lie simples, leurs Rmatrices, leurs fonctions Ad-invariantes et leurs systèmes de racines<br>In this thesis we construct two integrable systems associated with an arbitrary simple Lie algebras: the 2-Toda lattice and the periodic Full Kostant-Toda lattice for simple Lie algebras. Each of These lattices is given by a Hamiltonian vector field, associated to a Poisson bracket which results from an R-matrix of the underlying Lie algebra. We construct in both cases a big family of constants of motion which we use to prove the Liouville integrability of the two systems. We achieve the proof of their integrability by using several results on simple Lie algebras, R-matrices, invariant functions and root systems
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Günther, Janne-Kathrin. "The C*-algebras of certain Lie groups." Thesis, Université de Lorraine, 2016. http://www.theses.fr/2016LORR0118/document.
Full textAbstract:
Dans la présente thèse de doctorat, les C*-algèbres des groupes de Lie connexes réels nilpotents de pas deux et du groupe de Lie SL(2,R) sont caractérisées. En outre, comme préparation à une analyse de sa C*-algèbre, la topologie du spectre du produit semi-direct U(n) x H_n est décrite, où H_n dénote le groupe de Lie de Heisenberg et U(n) le groupe unitaire qui agit sur H_n par automorphismes. Pour la détermination des C*-algèbres de groupes, la transformation de Fourier à valeurs opérationnelles est utilisée pour appliquer chaque C*-algèbre dans l'algèbre de tous les champs d'opérateurs bornés sur son spectre. On doit trouver les conditions que satisfait l'image de cette C*-algèbre sous la transformation de Fourier et l'objectif est de la caractériser par ces conditions. Dans cette thèse, il est démontré que les C*-algèbres des groupes de Lie connexes réels nilpotents de pas deux et la C*-algèbre de SL(2,R) satisfont les mêmes conditions, des conditions appelées «limites duales sous contrôle normique». De cette manière, ces C*-algèbres sont décrites dans ce travail et les conditions «limites duales sous contrôle normique» sont explicitement calculées dans les deux cas. Les méthodes utilisées pour les groupes de Lie nilpotents de pas deux et pour le groupe SL(2,R) sont très différentes l'une de l'autre. Pour les groupes de Lie nilpotents de pas deux, on regarde leurs orbites coadjointes et on utilise la théorie de Kirillov, alors que pour le groupe SL(2,R), on peut mener les calculs plus directement<br>In this doctoral thesis, the C*-algebras of the connected real two-step nilpotent Lie groups and the Lie group SL(2,R) are characterized. Furthermore, as a preparation for an analysis of its C*-algebra, the topology of the spectrum of the semidirect product U(n) x H_n is described, where H_n denotes the Heisenberg Lie group and U(n) the unitary group acting by automorphisms on H_n. For the determination of the group C*-algebras, the operator valued Fourier transform is used in order to map the respective C*-algebra into the algebra of all bounded operator fields over its spectrum. One has to find the conditions that are satisfied by the image of this C*-algebra under the Fourier transform and the aim is to characterize it through these conditions. In the present thesis, it is proved that both the C*-algebras of the connected real two-step nilpotent Lie groups and the C*-algebra of SL(2,R) fulfill the same conditions, namely the “norm controlled dual limit” conditions. Thereby, these C*-algebras are described in this work and the “norm controlled dual limit” conditions are explicitly computed in both cases. The methods used for the two-step nilpotent Lie groups and the group SL(2,R) are completely different from each other. For the two-step nilpotent Lie groups, one regards their coadjoint orbits and uses the Kirillov theory, while for the group SL(2,R) one can accomplish the calculations more directly
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Ray, Jishnu. "Iwasawa algebras for p-adic Lie groups and Galois groups." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2018. http://www.theses.fr/2018SACLS189/document.
Full textAbstract:
Un outil clé dans la théorie des représentations p-adiques est l'algèbre d'Iwasawa, construit par Iwasawa pour étudier les nombres de classes d'une tour de corps de nombres. Pour un nombre premier p, l'algèbre d'Iwasawa d'un groupe de Lie p-adique G, est l'algèbre de groupe G complétée non-commutative. C'est aussi l'algèbre des mesures p-adiques sur G. Les objets provenant de groupes semi-simples, simplement connectés ont des présentations explicites comme la présentation par Serre des algèbres semi-simples et la présentation de groupe de Chevalley par Steinberg. Dans la partie I, nous donnons une description explicite des certaines algèbres d'Iwasawa. Nous trouvons une présentation explicite (par générateurs et relations) de l'algèbre d'Iwasawa pour le sous-groupe de congruence principal de tout groupe de Chevalley semi-simple, scindé et simplement connexe sur Z_p. Nous étendons également la méthode pour l'algèbre d'Iwasawa du sous-groupe pro-p Iwahori de GL (n, Z_p). Motivé par le changement de base entre les algèbres d'Iwasawa sur une extension de Q_p nous étudions les représentations p-adiques globalement analytiques au sens d'Emerton. Nous fournissons également des résultats concernant la représentation de série principale globalement analytique sous l'action du sous-groupe pro-p Iwahori de GL (n, Z_p) et déterminons la condition d'irréductibilité. Dans la partie II, nous faisons des expériences numériques en utilisant SAGE pour confirmer heuristiquement la conjecture de Greenberg sur la p-rationalité affirmant l'existence de corps de nombres "p-rationnels" ayant des groupes de Galois (Z/2Z)^t. Les corps p-rationnels sont des corps de nombres algébriques dont la cohomologie galoisienne est particulièrement simple. Ils sont utilisés pour construire des représentations galoisiennes ayant des images ouvertes. En généralisant le travail de Greenberg, nous construisons de nouvelles représentations galoisiennes du groupe de Galois absolu de Q ayant des images ouvertes dans des groupes réductifs sur Z_p (ex GL (n, Z_p), SL (n, Z_p ), SO (n, Z_p), Sp (2n, Z_p)). Nous prouvons des résultats qui montrent l'existence d'extensions de Lie p-adiques de Q où le groupe de Galois correspond à une certaine algèbre de Lie p-adique (par exemple sl(n), so(n), sp(2n)). Cela répond au problème classique de Galois inverse pour l'algèbre de Lie simple p-adique<br>A key tool in p-adic representation theory is the Iwasawa algebra, originally constructed by Iwasawa in 1960's to study the class groups of number fields. Since then, it appeared in varied settings such as Lazard's work on p-adic Lie groups and Fontaine's work on local Galois representations. For a prime p, the Iwasawa algebra of a p-adic Lie group G, is a non-commutative completed group algebra of G which is also the algebra of p-adic measures on G. It is a general principle that objects coming from semi-simple, simply connected (split) groups have explicit presentations like Serre's presentation of semi-simple algebras and Steinberg's presentation of Chevalley groups as noticed by Clozel. In Part I, we lay the foundation by giving an explicit description of certain Iwasawa algebras. We first find an explicit presentation (by generators and relations) of the Iwasawa algebra for the principal congruence subgroup of any semi-simple, simply connected Chevalley group over Z_p. Furthermore, we extend the method to give a set of generators and relations for the Iwasawa algebra of the pro-p Iwahori subgroup of GL(n,Z_p). The base change map between the Iwasawa algebras over an extension of Q_p motivates us to study the globally analytic p-adic representations following Emerton's work. We also provide results concerning the globally analytic induced principal series representation under the action of the pro-p Iwahori subgroup of GL(n,Z_p) and determine its condition of irreducibility. In Part II, we do numerical experiments using a computer algebra system SAGE which give heuristic support to Greenberg's p-rationality conjecture affirming the existence of "p-rational" number fields with Galois groups (Z/2Z)^t. The p-rational fields are algebraic number fields whose Galois cohomology is particularly simple and they offer ways of constructing Galois representations with big open images. We go beyond Greenberg's work and construct new Galois representations of the absolute Galois group of Q with big open images in reductive groups over Z_p (ex. GL(n, Z_p), SL(n, Z_p), SO(n, Z_p), Sp(2n, Z_p)). We are proving results which show the existence of p-adic Lie extensions of Q where the Galois group corresponds to a certain specific p-adic Lie algebra (ex. sl(n), so(n), sp(2n)). This relates our work with a more general and classical inverse Galois problem for p-adic Lie extensions
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Cesaro, Andrea. "Pre-Lie algebras and operads in positive characteristic." Thesis, Lille 1, 2016. http://www.theses.fr/2016LIL10026/document.
Full textAbstract:
Le sujet de cette thèse est la théorie des opérades. Une opérande est utilisée pour encoder des collections d’opérations. Une opérade P est associée à une catégorie d’algèbres, qui est gouvernée par une monade, dénotée par S(P,-). Nous avons des variantes de cette monade, dénotées par Λ(P,-) et Γ(P,-), ce qui nous donne de nouvelles catégories d’algèbres associée à P. Nous étudions les monades Λ(PreLie,-) et Γ(P,-), associées à une opérande particulière PreLie, dont la structure reflets la définition classique des crochets de Lie par la symétrisation des opérations. Nous montrons que la catégorie des algèbres Λ(PreLie,-) est isomorphe à la catégorie des algèbres pré-Lie p-restreintes. Nous donnons ensuite une présentation de la structure d’une algèbre sur la monade Γ(PreLie,-). Nous expliquons comment définir une généralisation appropriée de la notion d’une opérade dans la seconde partie de la thèse. Premièrement, nous expliquons la définition d’une catégorie de foncteurs cohomologiques de Mackey sur une catégorie des partitions HParn. Nous prouvons que cette catégorie de foncteurs de HParn-Mackey cohomologiques est équivalent à la catégorie de Suslin-Friedlander des foncteurs polynomiaux strictes de degré n. Nous comptons sur ce résultat pour définir une catégorie de M-modules correspondant aux foncteurs analytiques. Nous prouvons que la catégorie des M-modules forme une catégorie monoïdale équivalente à celle des foncteurs analytiques avec la composition des foncteurs comme structure monoïdale. Nous utilisons ce résultat pour prouver que la catégorie des monades analytiques est équivalente à une catégorie d’opérades généralisées dans les M-modules<br>The subject of this thesis is the theory of operads. An operad is used to encode collections of operations. An operad P is associated to a category of algebras, which is governed by a monad, denoted by S(P,-). We have variants of this monad, denoted by Λ(P,-) and Γ(P,-), which give new categories of algebras associated to P. We study the monads Λ(PreLie,-) and Γ(PreLie,-) associated to a particular operad PreLie, whose structure reflects the classical definition of Lie brackets by the symmetrization of operations in the field of differential geometry. We show that the category of Λ(PreLie,-) algebras is isomorphic to the category of p-restricted pre-Lie algebras. Then we give a presentation of the structure of an algebra over the monad Γ(PreLie,-). We explain how to define a suitable generalisation of the notion of an operad in the second part of the thesis. In a first step we explain the definition of a category of cohomological Mackey functors on a category of partitions HParn. We prove that this category of cohomological HParn-Mackey functors is equivalent to the Suslin-Friedlander category of strict polynomial functors of degree n. We rely on this result to define a category of M-modules corresponding to analytic functors. We prove that the category of M-modules forms a monoidal category equivalent to the category of analytic functors with the composition of functors as monoidal structure. We use this result to prove that the category of analytic monads is equivalent to a category of generalized operads in M-modules
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Marque, François. "Sur les singularités des espaces de cohomogénéité un." Nancy 1, 1995. http://www.theses.fr/1995NAN10418.
Full textAbstract:
Dans la première partie, on considère une métrique pseudoriemannienne en coordonnées polaires (ce qui n'est pas restrictif) et l'on donne les conditions exactes assurant que cette métrique admet un prolongement lisse à l'origine. Dans la seconde partie, on établit une classification des représentations de groupe ainsi que des métriques invariantes sur une pseudo-sphère (vue ainsi comme espace homogène) : ceci est le premier cas (lorsque l'orbite singulière est ponctuelle) d'un espace de cohomogénéité un
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Mortajine, Abdellatif. "Classification des espaces préhomogènes réguliers de type parabolique et de leurs invariants relatifs." Nancy 1, 1988. http://www.theses.fr/1988NAN10048.
Full textAbstract:
Un espace préhomogène (note P. H. ) est la donnée d'un groupe algébrique linéaire connexe opérant sur un espace vectoriel de dimension finie sur C avec une orbite ouverte. La première version de la théorie des P. H. A été publiée par M. Sato en 1970 (en japonais, rédigée par T. Shintani). La classification des P. H. Irréductibles a été obtenue par Sato et Kimura en 1977. Nous devons la notion de P. H. De type parabolique (note P. H. P. ) à H. Rubenthaler qui a donné la classification des quasi-irréductibles réguliers dans sa thèse d'état. Dans ce travail, nous introduisons deux nouvelles classes de P. H. : les 1-élémentaires et les élémentaires et nous démontrons les résultats : *) irréductible régulier=>quasi-irréductible régulier=>1-élémentaire=>élémentaire régulier; *) tout P. H. Régulier est somme directe de P. H. élémentaires réguliers. Enfin, nous donnons la classification des P. H. P. Classiques élémentaires réguliers et celle des P. H. P. Exceptionnels réguliers
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Pirozerski, Alexei. "Crochets de Gelfand-Dickey Q-déformés et Q-réduction de Drinfeld-Sokolov universelle." Dijon, 2001. http://www.theses.fr/2001DIJOS002.
Full textAbstract:
Nous étudions les structures de Poisson pour les hiérarchies d'équations de type KdV q-déformées. Après une introduction à la théorie de groupes de Lie-Poisson nous donnons un exposé des résultats des trois travaux de cette thèse. Dans le premier nous construisons par la méthode des transformations d'habillage formelles une famille d'équations de courbure nulle aux différences finies. Ces équations admettent la réduction par rapport à l'action d'un groupe de jauge et engendrent des équations de type KdV aux différences finies sur l'espace quotient. Dans le second travail nous définissons le (second) crochet de Gelfand-Dickey q-déformé sur l'algèbre d'opérateurs aux q-pseudo-différences. Nous en en prouvons l'unicité dans une classe naturelle des structures de Poisson quadratiques et montrons que ce crochet concorde avec les algèbres W q-déformés introduite par E. Frenkel et N. Reshetikhin. Puis, nous le généralisons au cas du groupe d'opérateurs aux q-pseudo-différences d'ordres complexes arbitraires. Cette construction, motivée par les résultats de B. Khesin et I. Zakharevich dans le cas différentiel, est basée sur "l'extension double" de l'algèbre d'opérateurs aux q-pseudo-différences associée au cocycle logarithmique. Dans le troisième article nous considérons la version q-déformée de la réduction de Drinfeld-Sokolov pour le cas de l'algèbre de matrices de dimension complexe ; cette construction généralise les résultats de B. Khesin et F. Malikov sur la réduction DS universelle. Pour décrire les crochets de Poisson compatibles avec la réduction nous utilisons la technique similaire à celle proposée antérieurement par E. Frenkel, N. Reshetikhin et M. Semeno-Tian-Shansky.