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Dissertations / Theses on the topic 'Algèbre de Hopf tordue'
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Ayadi, Mohamed. "Propriétés algébriques et combinatoires des espaces topologiques finis." Electronic Thesis or Diss., Université Clermont Auvergne (2021-...), 2022. http://www.theses.fr/2022UCFAC106.
Full text
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Aubriot, Thomas. "Classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf." Phd thesis, Université Louis Pasteur - Strasbourg I, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00151368.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf. Le concept d'extension de Hopf-Galois, qui a été beaucoup étudié ces dernières années, est une généralisation du concept d'extension galoisienne de corps, mais aussi un analogue des fibrés principaux dans le cadre de la géométrie non commutative. Si $H$ est une algèbre de Hopf, une algèbre $H$-comodule $(Z,\delta: Z \to Z \otimes H)$ est une $H$-extension de Hopf-Galois d'une sous-algèbre $B\subset Z$ si l'ensemble des éléments co\"\i nvariants de $Z$ co\"\i ncide avec $B$ et si l'application canonique $\beta : Z \otimes _B Z \to Z\otimes H$ définie par $$ \beta (x\otimes y ) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ est une bijection. Les objets galoisiens forment une classe importante d'extensions de Hopf-Galois ; ce sont celles dont la sous-algèbre des co\"\i nvariants se réduit à l'anneau de base. Bien qu'une littérature abondante ait été consacrée aux extensions de Hopf-Galois, on a peu de résultats sur leur classification à isomorphisme près. Pour contourner la difficulté de classer les extensions de Hopf-Galois à isomorphisme près, Kassel a introduit et développé avec Schneider une relation d'équivalence sur les extensions de Hopf-Galois qu'il a appelée homotopie.
Dans cette thèse nous donnons des résultats de classification à homotopie et à isomorphisme près. Notre approche de la classification des objets galoisiens tourne autour de trois axes.
\begin{itemize}
\item[a)] La construction explicite de représentants des classes d'homotopie des objets galoisiens de l'algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ associée par Drinfeld et Jimbo à une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, explicitant ainsi un théorème de Kassel et Schneider.
\item[b)] Une étude des objets galoisiens de l'alg\` ebre quantique $O_q (SL(2))$ des fonctions sur le groupe $SL (2)$, et donc un résultat de classification en dimension infinie; nous donnons la classification à isomorphisme près et des résultats partiels pour la classification à homotopie près.
\item[c)] Une étude systématique de la classification à isomorphisme et à homotopie près pour les algèbres de Hopf de dimension $\leq 15$ ; nous synthétisons des résultats éparpillés dans la littérature, portant sur des familles d'algèbres de Hopf pointées ou semisimples et nous complétons ces résultats en donnant la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf de dimension $8$ qui n'est ni semisimple ni
pointée.
\end{itemize}
3
Saidi, Abdellatif. "Algèbres de Hopf d'arbres et structures pré-Lie." Phd thesis, Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00720201.
Full textAbstract:
Nous étudions dans cette thèse l'algèbre de Hopf H associée à l'opérade pré-Lie. L'espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d'une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l'insertion d'un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l'algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l'algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l'espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d'insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l'algèbre pré-Lie associée à l'opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l'opérade pré-Lie s'obtient comme déformation de l'opérade NAP dans ce cadre.
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Saïdi, Abdellatif. "Algèbres de Hopf d'arbres et structures pré-Lie." Thesis, Clermont-Ferrand 2, 2011. http://www.theses.fr/2011CLF22208/document.
Full textAbstract:
Nous étudions dans cette thèse l’algèbre de Hopf H associée à l’opérade pré-Lie. L’espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d’une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l’insertion d’un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l’algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l’algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l’espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d’insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l’algèbre pré-Lie associée à l’opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l’opérade pré-Lie s’obtient comme déformation de l’opérade NAP dans ce cadreWe investigate in this thesis the Hopf algebra structure on the vector space H spanned by the rooted forests, associated with the pre-Lie operad. The space of primitive elements of the graded dual of this Hopf algebra is endowed with a left pre-Lie product denoted by ⊲, defined in terms of insertion of a tree inside another. In this thesis we retrieve the “derivation” relation between the pre-Lie structure ⊲ and the left pre-Lie product → on the space of primitive elements of the graded dual H0CK of the Connes-Kreimer Hopf algebra HCK, defined by grafting. We also exhibit a coproduct on the tensor product H⊗HCK, making it a Hopf algebra the graded dual of which is isomorphic to the enveloping algebra of the semidirect product of the two (pre-)Lie algebras considered. We prove that the span of the rooted trees with at least one edge endowed with the pre-Lie product ⊲ is generated by two elements. It is not free : we exhibit two families of relations. Moreover we prove a similar result for the pre-Lie algebra associated with the NAP operad. Finally, we introduce current preserving operads and prove that the pre-Lie operad can be obtained as a deformation of the NAP operad in this framework
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Saracco, Paolo. "Hopf Structures and Duality." Doctoral thesis, Università degli Studi di Torino, Torino, Italy, 2018. http://hdl.handle.net/2318/1664506.
Full text
6
Saracco, Paolo. "Hopf Structures and Duality." Doctoral thesis, Università degli Studi di Torino, Torino, Italy, 2018. http://hdl.handle.net/2013/ULB-DIPOT:oai:dipot.ulb.ac.be:2013/298350.
Full text
7
TAILLEFER, Rachel. "Théories homologiques des algèbres de Hopf." Phd thesis, Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2001. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001150.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions des théories homologiques et cohomologiques adaptées aux algèbres de Hopf.Dans un premier temps, nous unifions diverses théories cohomologiques pour les algèbres de Hopf. Deux d'entre elles ont été introduites par M. Gerstenhaber et S.D. Schack; l'une est sans coefficients et elle est liée à la cohomologie qui permet d'étudier les déformations d'une algèbre de Hopf, l'autre est une théorie à coefficients (qui sont des bimodules de Hopf). La troisième est une généralisation de la cohomologie qui a été définie par C. Ospel, il s'agit aussi d'une théorie à coefficients. Pour unifier ces théories, nous les identifions au foncteur Ext sur une algèbre associative définie par C. Cibils et M. Rosso qui est une ``algèbre enveloppante'' associée à l'algèbre de Hopf. Nous établissons ensuite des formules explicites pour un cup-produit sur deux de ces cohomologies, et montrons que ce produit correspond au produit de Yoneda des extensions. Nous montrons aussi la Morita invariance de ces cohomologies.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une homologie cyclique pour les algèbres de Hopf. Il s'agit d'une version duale de la cohomologie qu'ont introduite A. Connes et H. Moscovici. Nous en étudions des propriétés, puis considérons le cas des algèbres de groupe. Nous interprétons certaines décompositions (de Burghelea et de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique classique d'une algèbre de groupe en termes d'homologie cyclique de Connes et Moscovici. Nous établissons ensuite une formule de décomposition (semblable à celle de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique d'une algèbre de Hopf cocommutative (qui généralise un résultat de Khalkhali et Rangipour).
Enfin, nous calculons quelques exemples d'homologies: l'homologie cyclique classique des algèbres de carquois tronquées, ainsi que l'homologie cyclique de Connes et Moscovici dans le cas particulier des algèbres de Taft. Nous calculons aussi l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique classique des algèbres d'Auslander des algèbres de Taft.
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Bellier, Olivia. "Propriétés algébriques et homotopiques des opérades sur une algèbre de Hopf." Phd thesis, Université Nice Sophia Antipolis, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00756113.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous démontrons de nouvelles propriétés algébriques et homotpiques des opérades : probème du scindage des opérations et dualité de Koszul sur une algbre de Hopf. Dans une première partie, nous fournissons une construction opéradique qui donne un cadre général répondant au problème du scindage des opérations définissant des structures algébriques. Nous montrons que cette construction est équivalente au produit noir de Manin et qu'elle est reliée aux opérateurs de Rota-Baxter. Nous obtenons ainsi une méthode plus efficace pour calculer des produits noirs de Manin, illustrée par plusieurs exemples. Ceci nous permet de décrire une structure algébrique canonique sur l'espace des matrices carrées à coefficients dans une algèbre sur un certain type d'opérades. Dans une seconde partie, nous étendons la dualité de Koszul classique de opérades aux catégories de modules sur une algèbre de Hopf. Ceci nous permet d'obtenir une nouvelle version optimale du théorème de transfert homotopique. Dans ce cas, nous pouvons décrire la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky, par exemple, transférée à travers une équivalence d'homotopie lorsqu'il y a compatibilité entre les données homotopique et algébrique.
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Zanasi, Fabio. "Interacting Hopf Algebras- the Theory of Linear Systems." Thesis, Lyon, École normale supérieure, 2015. http://www.theses.fr/2015ENSL1020/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, on présente la théorie algébrique IH par le biais de générateurs et d’équations.Le modèle libre de IH est la catégorie des sous-espaces linéaires sur un corps k. Les termes de IH sont des diagrammes de cordes, qui, selon le choix de k, peuvent exprimer différents types de réseaux et de formalismes graphiques, que l’on retrouve dans des domaines scientifiques divers, tels que les circuits quantiques, les circuits électriques et les réseaux de Petri. Les équations de IH sont obtenues via des lois distributives entre algèbres de Hopf – d’où le nom “Interacting Hopf algebras” (algèbres de Hopf interagissantes). La caractérisation via les sous-espaces permet de voir IH comme une syntaxe fondée sur les diagrammes de cordes pour l’algèbre linéaire: les applications linéaires, les espaces et leurs transformations ont chacun leur représentation fidèle dans le langage graphique. Cela aboutit à un point de vue alternatif, souvent fructueux, sur le domaine.On illustre cela en particulier en utilisant IH pour axiomatiser la sémantique formelle de circuits de calculs de signaux, pour lesquels on s’intéresse aux questions de la complète adéquation et de la réalisabilité. Notre analyse suggère un certain nombre d’enseignements au sujet du rôle de la causalité dans la sémantique des systèmes de calculWe present by generators and equations the algebraic theory IH whose free model is the category oflinear subspaces over a field k. Terms of IH are string diagrams which, for different choices of k, expressdifferent kinds of networks and graphical formalisms used by scientists in various fields, such as quantumcircuits, electrical circuits and Petri nets. The equations of IH arise by distributive laws between Hopfalgebras - from which the name interacting Hopf algebras. The characterisation in terms of subspacesallows to think of IH as a string diagrammatic syntax for linear algebra: linear maps, spaces and theirtransformations are all faithfully represented in the graphical language, resulting in an alternative, ofteninsightful perspective on the subject matter. As main application, we use IH to axiomatise a formalsemantics of signal processing circuits, for which we study full abstraction and realisability. Our analysissuggests a reflection about the role of causality in the semantics of computing devices
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Lebed, Victoria. "Objets tressés : une étude unificatrice de structures algébriques et une catégorification des tresses virtuelles." Phd thesis, Université Paris-Diderot - Paris VII, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00775857.
Full textAbstract:
Dans cette thèse on développe une théorie générale des objets tressés et on l'applique à une étude de structures algébriques et topologiques. La partie I contient une théorie homologique des espaces vectoriels tressés et modules tressés, basée sur le coproduit de battage quantique. La construction d'un tressage structurel qui caractérise diverses structures - auto-distributives (AD), associatives, de Leibniz - permet de généraliser et unifier des homologies familières. Les hyper-bords de Loday, ainsi que certaines opérations homologiques, apparaissent naturellement dans cette interprétation. On présente ensuite des concepts de système tressé et module multi-tressé. Appliquée aux bigèbres, bimodules, produits croisés et (bi)modules de Hopf et de Yetter-Drinfel'd, cette théorie donne leurs interprétations tressées, homologies et actions adjointes. La no- tion de produits tensoriels multi-tressés d'algèbres donne un cadre unificateur pour les doubles de Heisenberg et Drinfel'd, ainsi que les algèbres X de Cibils-Rosso et Y et Z de Panaite. La partie III est orientée vers la topologie. On propose une catégorification des groupes de tresses virtuelles en termes d'objets tressés dans une catégorie symétrique (CS). Cette approche de double tressage donne une source de représentations de V Bn et un traitement catégorique des racks virtuels de Manturov et de la représentation de Burau tordue. On définit ensuite des structures AD dans une CS arbitraire et on les munit d'un tressage. Les techniques tressées de la partie I amènent alors à une théorie homologique des structures AD catégoriques. Les algèbres associatives, de Leibniz et de Hopf rentrent dans ce cadre catégorique.
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Maurice, Rémi. "Algèbres de Hopf combinatoires." Thesis, Paris Est, 2013. http://www.theses.fr/2013PEST1196/document.
Full textAbstract:
Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique. Autrement dit, l'idée est d'utiliser des structures algébriques, en l'occurence des algèbres de Hopf combinatoires, pour mieux étudier et comprendre les objets combinatoires ainsi que des algorithmes de composition et de décomposition agissant sur ces objets. Ce travail de recherche repose sur la construction et l'étude de structure algébrique sur des objets combinatoires généralisant les permutations. Après avoir rappelé le contexte et les notations des différents objets intervenant dans cette recherche, nous proposons dans la seconde partie l'étude de l'algèbre de Hopf introduite par Aguiar et Orellana indexée par les permutations de blocs uniformes. En se focalisant sur une description de ces objets via d'autres bien connus, les permutations et les partitions d'ensembles, nous proposons une réalisation polynomiale et une étude plus simple de cette algèbre. La troisième partie étudie une deuxième généralisation en interprétant les permutations comme des matrices. Nous définissons et étudions alors des familles de matrices carrées sur lesquelles nous définissons des algorithmes de composition et de décomposition. La quatrième partie traite des matrices à signes alternants. Après avoir définie l'algèbre de Hopf sur ces matrices, nous étudions des statistiques et le comportement de la structure algébrique vis-à-vis de ces statistiques. Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et fait l'objet d'une implémentation utilisant le logiciel Sage. Ce dernier chapitre est consacré à la découverte et la manipulation de structures algébriques sur Sage. Nous terminons en expliquant les améliorations apportées pour l'étude de structure algébrique au travers du logiciel SageThis thesis is in the field of algebraic combinatorics. In other words, the idea is to use algebraic structures, in this case of combinatorial Hopf algebras, to better study and understand the combinatorial objects and algorithms for composition and decomposition about these objects. This research is based on the construction and study of algebraic structure of combinatorial objects generalizing permutations. After recalling the background and notations of various objects involved in this research, we propose, in the second part, the study of the Hopf algebra introduced by Aguiar and Orellana based on uniform block permutations. By focusing on a description of these objects via well-known objects, permutations and set partitions, we propose a polynomial realization and an easier study of this algebra. The third section considers a second generalization interpreting permutations as matrices. We define and then study the families of square matrices on which we define algorithms for composition and decomposition. The fourth part deals with alternating sign matrices. Having defined the Hopf algebra of these matrices, we study the statistics and the behavior of the algebraic structure with these statistics. All these chapters rely heavily on computer exploration, and is the subject of an implementation using Sage software. This last chapter is dedicated to the discovery and manipulation of algebraic structures on Sage. We conclude by explaining the improvements to the study of algebraic structure through the Sage software
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Leroux, Philippe. "Description algébrique des graphes orientés pondérés et applications." Rennes 1, 2003. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007375.
Full text
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Zhang, Jiao. "Some aspects of cyclic homology and quantum quasi-shuffle algebras." Paris 7, 2010. http://www.theses.fr/2010PA077045.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'étude de théorie de l'homologie cyclique dans trois sujets: homologie cyclique des algèbres de fort produit smash, homologie Hopf-cyclique de l'algèbre de Bichon, et cohomologie Hopf-cyclique graduée d'une algèbre de Hopf graduée '' naturelle". Ce travail est constitué de quatre chapitres. Chaque chapitre est pour un sujet. Dans Chapitre 1, nous définissons l'algèbre de fort produit smash SA\#J_R}BS de deux sous algèbres SAS et SBS avec un morphisme inversible SRS de SB\otimes AS vers SA\otimes BS. Ensuit, nous construisons un module cylindrique SA\natural BS, dont le module cyclique diagonal S\Delta_{\bullet}(A\natural B)S est démontré graphiquement être isomorphe à SC_{\bullet}(AW__{__R}B)S le module cyclique de l'algèbre SA\#J_R}BS. Une suite spectrale est établie à converger vers l'homoiogie cyclique de SA\#J_R}BS. Nous appliquons des théorèmes à produit de double croisés d'algèbres de Hopf de Majid. Dans Chapitre 2, on calcule l'homoiogie de Hochschild de l'algèbre de Bichon à coefficients dans le corps du sol. Et nous donnons quelques nouvelles identités sur les polynômes de Gauss. Avec ces SqS-identités, nous calculons l'homologie de Hopf-cyclique de l'algèbre de Bichon. Dans Chapitre 3, nous prouvons que la catégorie des algèbres différentielles graduées est équivalente comme catégorie tensorielle à la catégorie des algèbres de comodule graduée à gauche sur une certaine algèbre de Hopf graduée. Après calculer le cohomologie Hopf-cyclique de cette algèbre de Hopf graduée, on construit des cocycles cycliques de l'algèbre différentielle graduée qui a une trace gradué et fermée sous un homomorphisme caractéristique. Dans Chapitre 4, nous établissons des propriétés des algèbres de quasi-battage quantiques comprenant la condition nécessaire et suffisante pour la construction du produit quasi-battage quantique, la propriété universelle et la condition pour commutativité. Comme application, nous utilisons le produit quasi-battage quantique pour construire une base linéaire de ST(V)S, pour une algèbre de Yang- Baxter S(V, m, \sigma)S de type particulierIn this thesis, we study three topics on cyclic homology theory: cyclic homology of strong smash product algebras, Hopf-cyclic homology of Bichon's algebra, and a "natural" graded Hopf algebra and its graded Hopf-cyclic cohomology. Also we study a relatively independent topic: quantum quasi shuffle algebras. This work is divided into four chapters. Each topic is discussed in one chapter. In Chapter 1, we define the strong smash product algebra SA\#J_R}BS of two algebras SAS and SBS with an invertible morphism SRS mapping from SB\otimes AS to SA\otimes BS. Then we construct a cylindrical module SA\natural BS whose diagonal cyclic module S\Delta__{\bullet}(A\natural B)S is graphically proven to be isomorphic to SC_{\bullet}(A\#_{_R}B)S the cyclic module of the algebra. A spectral sequence is stablished to converge to the cyclic homology of SA\#_{_R}BS. We apply our theorems to Majid's double crossproduct of Hopf algebras. In Chapter 2, we calculate the Hochschild homology of Bichon's algebra with coefficients in the ground field. And we provide sortie new SqS-identities on Gaussian polynomial. Using these SqS-identities, we obtain the Hopf-cyclic homology of Bichon's algebra. In Chapter 3, we prove that the category of differential graded algebras is monoidally equivalent to the category of left graded comodule algebras over a certain graded Hopf algebra. After calculating the graded Hopf-cyclic cohomology of that graded Hopf algebra, we construct cyclic cocycles on any graded differential algebra with closed graded trace by means of a characteristic homomorphism. In Chapter 4, we establish some properties of quantum quasi-shuffle algebras. They include the necessary and sufficient condition for the construction of the quantum quasi-shuffle product, the universal property, and the commutativity condition. As an application, we use the quantum quasi-shuffle product to construct a linear basis of ST(V)S, for a special kind of Yang-Baxter algebras S(V,m,\sigma)S
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Bulgakova, Daria. "Some aspects of representation theory of walled Brauer algebras." Thesis, Aix-Marseille, 2020. http://www.theses.fr/2020AIXM0022.
Full textAbstract:
L'algèbre de Brauer murée est une algèbre unitaire associative. Il s’agit d’une algèbre de diagramme engendré par des diagrammes «murés» particuliers. Cette algèbre peut être définie par des générateurs et des relations. Dans le premier chapitre de la thèse, nous construisons la forme normale de l'algèbre de Brauer murée - un ensemble de monômes de base (mots) dans les générateurs. Nous introduisons une modification “ordonnée” du fameux lemme du diamant de Bergman, à savoir, nous présentons un ensemble de règles qui, étant appliquées dans un certain ordre, permet de réduire tout monôme dans les générateurs à un élément de la forme normale. Nous appliquons ensuite la forme normale pour calculer la fonction génératrice du nombre de mots avec une longueur minimale donnée.Une procédure de fusion donne une construction de la famille maximale d'idempotents orthogonaux minimaux par paire dans l'algèbre et, par conséquent, fournit un moyen de comprendre les bases dans les représentations irréductibles. Nous construisons la procédure de fusion pour l'algèbre de Brauer murée, à savoir, tous les idempotents primitifs est trouvé par les évaluations consécutives de fonction rationnelle en plusieurs variables.Dans le deuxième chapitre, nous étudions le produit tensoriel mixte des représentations fondamentales tridimensionnelles de l'algèbre de Hopf U_q sl(2|1). L'un des principaux résultats consiste à établir des formules explicites pour la décomposition des produits tensoriels de tout module de U_q sl(2|1) simple ou projectif avec les modules générateurs. Un autre résultat important consiste à décomposer le produit tensoriel mixte en un bimoduleThe walled Brauer algebra is an associative unital algebra. It is a diagram algebra spanned by particular ‘walled’ diagrams with multiplication given by concatenation. This algebra can be defined in terms of generators, obeying certain relations. In the first part of the dissertation we construct the normal form of the walled Brauer algebra - a set of basis monomials (words) in generators. This set is constructed with the aid of the so-called Bergman’s diamond lemma: we present a set of rules which allows one to reduce any monomial in generators to an element from the normal form. We then apply the normal form to calculate the generating function for the numbers of words with a given minimal length.A fusion procedure gives a construction of the maximal family of pairwise orthogonal minimal idempotents in the algebra, and therefore, provides a way to understand bases in the irreducible representations. As a main result of the second part we construct the fusion procedure for the walled Brauer algebra and show that all primitive idempotents can be found by evaluating a rational function in several variables. In the third part we study the mixed tensor product of three-dimensional fundamental representations of the Hopf algebra U_q sl(2|1). One of the main results consists in the establishing of the explicit formulae for the decomposition of tensor products of any simple or any projective U_q sl(2|1)-module with the generating modules. Another important outcome consists in decomposing the mixed tensor product as a bimodule
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Bui, Hoan-Phung. "Correspondence theorems in Hopf-Galois theory for separable field extensions." Doctoral thesis, Universite Libre de Bruxelles, 2020. http://hdl.handle.net/2013/ULB-DIPOT:oai:dipot.ulb.ac.be:2013/312548.
Full textAbstract:
La théorie de Galois a eu un impact sur les mathématiques plus important que ce qu'elle laissait présager au départ. Son résultat le plus important est le théorème de correspondance qui s'énonce de la manière suivante :si L/K est une extension de corps finie galoisienne et si G = Gal(L/K) est son groupe de Galois, alors il existe une correspondance biunivoque entre les corps intermédiaires de L/K et les sous-groupes de G. Explicitement, si G_0 est un sous-groupe de G, alors on lui associe l'ensemble des G_0-invariants L^(G_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. D'autre part, si L_0 est un corps intermédiaire de L/K, alors on lui associe le groupe de Galois Gal(L/L_0) qui est un sous-groupe de G.Il existe de nombreuses manières de généraliser la théorie de Galois, celle que nous avons choisie utilise les algèbres de Hopf. L'idée, introduite par Chase et Sweedler, est de remplacer l'action de groupe G par une action d'algèbre de Hopf H. De telles extensions sont appelées Hopf-galoisiennes.La première étape vers la généralisation du théorème de correspondance est due à Chase et Sweedler :si L/K est une extension Hopf-galoisienne d'algèbre de Hopf H et si H_0 est une sous-algèbre de Hopf de H, alors on peut construire l'ensemble des H_0-invariants L^(H_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. Malheureusement, contrairement au cas des extensions galoisiennes, tous les corps intermédiaires de L/K ne s'obtiennent pas de cette manière et une caractérisation des corps de la forme L^(H_0) ne semble pas être connue.Le but de cette thèse est de généraliser le théorème de correspondance pour des extensions Hopf-galoisiennes finies séparables. Dans ce but, nous avons caractérisé de manière naturelle et intrinsèque les corps intermédiaires de L/K qui peuvent s'écrire sous la forme L^(H_0) pour une certaine sous-algèbre de Hopf H_0 de H. Ainsi, nous avons pu prouver un théorème de correspondance tout à fait analogue à celui de la théorie de Galois. Nous avons également établi, à l'instar de la théorie de Galois, une variante du théorème de correspondance pour les sous-algèbres de Hopf qui sont normales.Un apport essentiel à cette thèse est fourni par les travaux de Greither et Pareigis. Ceux-ci ont associé un groupe à une extension Hopf-galoisienne finie séparable. Nous avons prouvé qu'il était possible de traduire le théorème de correspondance en termes de ce groupe. De plus, ce groupe nous a permis de construire une structure Hopf-galoisienne alternative nous aidant à mieux comprendre le théorème de correspondance.Enfin, nous avons proposé une définition d'extensions Hopf-galoisiennes pour des extensions de corps infinies séparables et avons obtenu des résultats encourageants. Cela ouvre un nouveau champ de possibilités pour des recherches futures.Doctorat en Sciences
info:eu-repo/semantics/nonPublished
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Nunge, Arthur. "Combinatoire énumérative et algébrique autour du PASEP." Thesis, Paris Est, 2018. http://www.theses.fr/2018PESC1116/document.
Full textAbstract:
Cette thèse se situe à l'interface de la combinatoire énumérative et algébrique et porte sur l'étude des probabilités du processus d'exclusion partiellement asymétrique (PASEP).Dans un premier temps, nous démontrons bijectivement une conjecture de Novelli-Thibon-Williams concernant l'interprétation combinatoire de coefficients de matrices de transition dans l'algèbre des fonctions symétriques non-commutatives. Plus précisément, ces matrices expriment les coefficients de changement de base des bases complètes et rubans d'une part vers les bases monomiales et fondamentales introduites par Tevlin d'autre part. Les coefficients de ces matrices donnent un raffinement des probabilités du PASEP et sont décrits en utilisant de nouvelles statistiques sur les permutations. La conjecture stipule que ce raffinement peut se formuler via des statistiques déjà connues dans le monde du PASEP. Nous nous intéressons ensuite à une généralisation du PASEP avec deux types de particules dans le modèle : le 2-PASEP. Nous donnons ainsi plusieurs interprétations combinatoires des probabilités de ce modèle. Pour ce faire, nous introduisons une nouvelle famille de chemins généralisant les histoires de Laguerre : les histoires de Laguerre marquées. Nous généralisons ensuite la bijection de Françon-Viennot entre les histoires de Laguerre et les permutations pour définir les permutations partiellement signées qui nous donneront une seconde interprétation combinatoire de ces probabilités. Dans une troisième partie, nous généralisons les travaux de Tevlin afin de définir des bases monomiales et fondamentales dans l'algèbre des compositions segmentées. Afin de décrire les matrices de changement de base entre ces bases et d'autres déjà connues dans cette algèbre, nous définissons une algèbre indexée par les permutations partiellement signées en utilisant les statistiques définies précédemment pour décrire la combinatoire du 2-PASEP. Nous définissons également des q-analogues de ces bases afin de faire le lien avec les probabilités du 2-PASEP en fonction du paramètre q de ce modèle. Enfin, en utilisant le fait que les permutations partiellement signées sont en bijection avec les permutations segmentées, nous nous inspirons des statistiques définies précédemment pour introduire des descentes sur ces objets et ainsi définir une généralisation des polynômes eulériens sur les permutations segmentées. Pour étudier ces polynômes, nous utilisons les outils algébriques développés dans la partie précédenteThis thesis comes within the scope of enumerative and algebraic combinatorics and studies the probabilities of the partially asymmetric exclusion process (PASEP).First, we bijectively prove a conjecture of Novelli-Thibon-Williams concerning the combinatorial interpretation of the entries of the transition matrices between some bases of the noncommutative symmetric functions algebra. More precisely, these matrices correspond to the transition matrices of, on the one hand the complete and ribbon bases and on the other hand the monomial and fundamental bases, both introduced by Tevlin. The coefficients of these matrices provide a refinement of the probabilities of the PASEP and are described using new statistics on permutations. This conjecture states that this refinement can also be described using classical statistics of the PASEP. In the second part, we study a generalization of the PASEP using two kinds of particles: the 2-PASEP. Hence, we give several combinatorial interpretations of the probabilities of this model. In order to do so, we define a new family of paths generalizing the Laguerre histories: the marked Laguerre histories. We also generalize the Françon-Viennot bijection between Laguerre histories and permutations to define partially signed permutations giving another combinatorial interpretation of these probabilities. In a third part, we generalize Tevlin's work in order to define a monomial basis and a fundamental basis on the algebra over segmented compositions. In order to describe the transition matrices between these bases and other bases already known in this algebra, we define an algebra indexed by partially signed permutations using the statistics previously defined to describe the combinatorics of the 2-PASEP. We also define some q-analogues of these bases related to the probabilities of the 2-PASEP according to the q parameter of this model. Finally, using the fact that partially signed permutations and segmented permutations are in bijection, we use the statistics defined previously to define descents on these objects and get a generalization of the Eulerian polynomials on segmented permutations. To study these polynomials, we use the algebraic tools introduced in the previous part
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Priez, Jean-Baptiste. "Combinatoire des fonctions de parking : espèces, énumération d’automates et algèbres de Hopf." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2015. http://www.theses.fr/2015SACLS111/document.
Full textAbstract:
Cette thèse se situe dans les domaines de la combinatoire algébrique, bijective et énumérative.Elle s'intéresse à l'étude des fonctions de parking généralisées suivant ces trois axes.medskip. Dans une première partie, on s'intéresse aux fonctions de parking généralisées en tant qu'espèce de structures combinatoires (théorie introduite par A.nom{Joyal} et développée F. nom{Bergeron}, G. nom{Labelle} et P.nom{Leroux}). On définit cette espèce à partir d'une équation fonctionnelle faisant intervenir l'espèce des séquences d'ensembles.On obtient un relèvement non-commutatif de la série indicatrice de cycles dans les fonctions symétriques non-commutatives, exprimé dans différentes bases.Par spécialisation, on obtient de nouvelles formules d'énumérations des fonctions de parking généralisées et de leurs types d'isomorphismes.En remplaçant l'espèce des ensembles par d'autres espèces dans l'équation fonctionnelle, on définit de nouvelles structures: les $seqPF$-tables de parking. Dans les cas particuliers où $seqPF : m mapsto a + b(m-1)$, on établit une bijection entre les $seqPF$-tables de parking et de nouvelles structures arborescentes, généralisant la bijection de C. H.nom{Yan} entre les $seqPF$-fonctions de parking et les séquences de $a$forêts de $b$-arbres.medskip. Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'énumération d'automates. On commence par construire une bijection simple entre les automates(non-initiaux) et les séquences d'ensembles. À partir de cette bijection, on extrait la sous-famille des automates quasi-distingués (c'est-à-dire les automates pour lesquels les couples status de terminaison et fonction de transition des états sont distincts). L'énumération de ces automates quasi-distingués fournit une meilleure borne supérieure pour le nombre d'automates minimaux que celle obtenue par M.nom{Domaratzki} & textit{al}. Ensuite, on construit une nouvelle bijection entre les $2m^k$-fonctions de parking et les automates acycliques (non-initiaux) sur un alphabet à $k$ symboles. De cette dernière, on extrait, directement sur les fonctions parking, denombreuses informations de structure sur les automates, en particulier des informations liées à la minimalité.À partir de ces informations, on déduit une formule d'énumération des automates acycliques minimaux.medskipDans une troisième partie, on formalise la technique commune de réalisation polynomiale des algèbres de Hopf: fqsym, wqsym, pqsym, etc. Pour ceci, ondéfinit la notion de type d'alphabet et d'application partitionnante. La notion d'application partitionnante formalise les bonnes propriétés de la standardisation, le tassement, la parkisation, etc associées à ces précédentes algèbres de Hopf. On montre que certaines opérations, produit cartésien, coloration, union ouencore intersection, stabilisent ces notions.À partir de celles-ci, on définit deux constructions d'algèbres de Hopf combinatoire en dualité; et l'on montre qu'elles sont automatiquement munies de structures d'algèbres dendriformes et du produit $#$. En guise d'applications, on définit, pour toute famille de $seqPF$-fonctions deparking, une application généralisant la parkisation. On montre que cette dernière est une application partitionnante si et seulement si $seqPF : nmapsto 1 + m(n-1)$. Ceci permet de retrouver les algèbres de Hopf sur les$m$-fonctions de parking généralisées de J.-C. nom{Novelli} et J-.Y.nom{Thibon}This thesis comes within the scope of algebraic, bijective and enumerative combinatorics. It deals with the study of generalized parking functions following those axes.In the first part, we are interested in generalized parking as a species of combinatorial structures. We define this species from a functional equation involving the species of set sequences. We lift the cycle index serie to the non-commutative symmetric functions, express in several bases. By specialization, we obtain new enumeration formula of generalized parking and their isomorphism types.In the functional equation, the species of sets can be replaced by some other species. This defines new structures: the $chi$-parking tables. In particular cases with $chi : m mapsto a + b(m-1)$, we define a bijection between the $chi$-parking tables and new tree structures. This defines a generalization of the C. H. Yan bijection.In the second part, we are interested in the enumeration of automata. Firstly, we construct a simple bijection between (non-initial) automata and sequences of sets. From this bijection we extract a subfamily of quasi-distinguished automata. We obtain a better upper bound of the number of minimal automata than the one of M. Domaratzki.Then we construct a new bijection between $2m^k$-parking functions and (non-initial) acyclic automata over an alphabet of $k$ symbols. From this bijection we extract, from parking function, informations about automata structures. We deduce an enumeration formula of the minimal acyclic automata.In a third part, we formalize the common technique of polynomial realization of Hopf algebras: FQSym, WQSym, PQSym, etc.. We define a notion of type of alphabet and partitioning map. We highlight some operation which stabilizes these notions. Based on this, we define two constructions of dual combinatorial Hopf algebra; and we show that they are automatically endowed of dendriform coalgebra, and $#$-product.As an application, we define, for every family of $chi$-parking functions, a generalization of the parkization. We show that this is a partitionning map if and only if $chi : m mapsto 1 + b(m-1)$
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Barbier, Rémi. "Algèbre quantique Uqp(u2) et application à la dynamique collective de rotation dans les noyaux." Lyon 1, 1995. http://www.theses.fr/1995LYO10198.
Full textAbstract:
Ce travail de these s'integre dans l'etude des nouvelles symetries en physique. Il se compose de trois parties. La premiere porte principalement sur l'etude de l'algebre quantique u#q#p(u#2). Plus precisement, nous developpons sa structure d'algebre de hopf et portons un interet particulier sur sa structure de coproduit. Les bases d'une theorie de la representation de u#q#p(u#2) sont introduites, d'une part, en construisant ses representations irreductibles de dimension finie et, d'autre part, en calculant ses coefficients de clebsch et gordan par la methode de l'operateur de projection extremal. Nous completons notre etude par la construction de quelques realisations en termes de bosons deformes des algebres quantiques u#q#p(u#2), u#q2(su#2) et u#q#p(u#1#,#1). La deuxieme partie est consacree a la construction d'un nouveau modele phenomenologique de rotateur non rigide se basant sur l'algebre quantique u#q#p(u#2). L'energie de rotation et les probabilites de transition reduites e2 sont obtenues en fonction des deux parametres de deformation de l'algebre quantique. Nous montrons comment et, dans quelle mesure, l'utilisation de la double deformation de l'algebre u#q#p(u#2) permet de generaliser le modele du rotateur en symetrie u#q(su#2). Nous introduisons egalement un nouveau modele de l'oscillateur anharmonique sur la base de cette algebre quantique. Nous montrons que les systemes physiques du rotateur non rigide et de l'oscillateur anharmonique peuvent etre couples par l'intermediaire des parametres de deformation de u#q#p(u#2). Un spectre de ro-vibration est obtenu sous la forme d'un developpement a la dunham de l'energie. L'objet de notre troisieme partie est l'application de notre modele de rotateur a la dynamique collective de rotation dans les noyaux super-deformes des regions de masse a 130 - 150 et a 190 et des isomeres de fission dans les actinides et les terres rares. Dans ce but, nous ajustons les parametres libres de notre modele ainsi que, a titre de comparaison, ceux de quatre autres modeles. Une analyse comparative est menee sur les energies de transition issues de l'ajustement et sur les valeurs des parametres. Nous calculons a partir des expressions des energies de rotation les moments d'inertie dynamiques. Une comparaison des resultats obtenus pour differents modeles permet de mettre en evidence le role des parametres de deformation de l'algebre quantique u#q#p(u#2)
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Gruson, Caroline. "Sur les super groupes de Lie." Paris 7, 1993. http://www.theses.fr/1993PA077056.
Full textAbstract:
La première partie est une adaptation au cadre des super groupes de Lie du théorème du à Cartier qui assure que les groupes formels sont lisses en caractérisque zéro. La seconde partie donne une description des super groupes de Lie dits vraiment classiques comme groupes d'automorphismes des super algèbres semi-simples à involution, selon une méthode de Weil. La troisième partie est consacrée à l'étude de l'idéal définissant l'orbite d'un vecteur de plus haut poids d'une représentation simple de dimension finie d'une super algèbre de Lie basique classique complexe.
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Belhaj, Mohamed Mohamed. "Renormalisation dans les algèbres de HOPF graduées connexes." Thesis, Clermont-Ferrand 2, 2014. http://www.theses.fr/2014CLF22515/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous intéressons à la renormalisation de Connes et Kreimer dans le contexe des algèbres de Hopf de graphes de Feynman spécifiés. Nous construisons une structure d'algèbre de Hopf $\mathcal{H}_\mathcal{T}$ sur l'espace des graphes de Feynman spécifié d'une théorie quantique des champs $\mathcal{T}$. Nous définissons encore un dédoublement $\wt\mathcal{D}_\mathcal{T}$ de la bigèbre de graphes de Feynman spécifiés, un produit de convolution \divideontimes et un groupe de caractères de cette algèbre de Hopf à valeurs dans une algèbre commutative qui prend en compte la dépendance en les moments extérieurs. Nous mettons en place alors la renormalisation décrite par A. Connes et D. Kreimer et la décomposition de Birkhoff pour deux schémas de renormalisation : le schéma minimal de renormalisation et le schéma de développement de Taylor. Nous rappelons la définition des intégrales de Feynman associées à un graphe. Nous montrons que ces intégrales sont holomorphes en une variable complexe D dans le cas des fonctions de Schwartz, et qu'elles s'étendent en une fonction méromorphe dans le cas des fonctions de types Feynman. Nous pouvons alors déterminer les parties finies de ces intégrales en utilisant l'algorithme BPHZ après avoir appliqué la procédure de régularisation dimensionnelleIn this thesis, we study the renormalization of Connes-Kreimer in the contex of specified Feynman graphs Hopf algebra. We construct a Hopf algebra structure $\mathcal{H}_\mathcal{T}$ on the space of specified Feynman graphs of a quantum field theory $\mathcal{T}$. We define also a doubling procedure for the bialgebra of specified Feynman graphs, a convolution product and a group of characters of this Hopf algebra with values in some suitable commutative algebra taking momenta into account. We then implement the renormalization described by A. Connes and D. Kreimer and the Birkhoff decomposition for two renormalization schemes: the minimal subtraction scheme and the Taylor expansion scheme.We recall the definition of Feynman integrals associated with a graph. We prove that these integrals are holomorphic in a complex variable D in the case oh Schwartz functions, and that they extend in a meromorphic functions in the case of a Feynman type functions. Finally, we determine the finite parts of Feynman integrals using the BPHZ algorithm after dimensional regularization procedure
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Nguyen, Le Chi Quyet. "Une description fonctorielle des K-théories de Morava des 2-groupes abéliens élémentaires." Thesis, Angers, 2017. http://www.theses.fr/2017ANGE0032/document.
Full textAbstract:
Le but de cette thèse est l'étude, d'un point de vue fonctoriel, des K-théories de Morava modulo 2 des 2-groupes abéliens élémentaires. Autrement dit, nous étudions les foncteurs covariants $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ pour le premier p=2 et n un entier positif.Le cas n=1, qui résulte directement du travail d'Atiyah sur la K-théorie topologique, nous donne un foncteur coanalytique qui ne possède aucun sous-foncteur polynomial non-constant. Il est très différent du cas n>1, où les foncteurs mentionnés ci-dessus s'avèrent être analytiques.La théorie de Henn-Lannes-Schwartz fournit une correspondance entre les foncteurs analytiques et les modules instables sur l'algèbre de Steenrod. Nous déterminons le module instable correspondant au foncteur analytique $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, en étudiant la relation entre ce foncteur et la structure d'anneau de Hopf de l'homologie de l'omega-spectre associé à la théorie K(2)The aim of this PhD thesis is to study, from a functorial point of view, the mod 2 Morava K-theories of elementary abelian 2-groups. Namely, we study the covariant functors $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ for the prime p=2 and n a positive integer.The case n=1, which follows directly from the work of Atiyah on topological K-theory, gives us a coanalytic functor which contains no non-constant polynomial sub-functor. This is very different from the case n>1, where the above-mentioned functors are analytic.The theory of Henn-Lannes-Schwartz provides a correspondence between analytic functors and unstable modules over the Steenrod algebra. We determine the unstable module corresponding to the analytic functor $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, by studying the relation between this functor and the Hopf ring structure of the homology of the omega-spectrum associated to the theory K(2)
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Abdou, Damdji Ahmed Zahari. "Etude et Classification des algèbres Hom-associatives." Thesis, Mulhouse, 2017. http://www.theses.fr/2017MULH0158/document.
Full textAbstract:
La thèse comporte six chapitres. Dans le premier chapitre, on rappelle les bases de la théorie et on étudie la structure des algèbres Hom-associatives ainsi que les différentes constructions comme la composition avec des endomorphismes qui nous permet de construire de nouveaux objets et d’établir certaines nouvelles propriétés. Parmi les résultats originaux, on peut signaler l’étude des algèbres Hom-associatives simples ainsi que leurs constructions. On a montré que toutes les algèbres Hom-associatives multiplicatives simples s’obtiennent par composition d’algèbres simples et d’automorphismes. Dans le deuxième chapitre, on commence par étudier les propriétés des changements de base dans ces structures algébriques. On a calculé la base de Gröbner de l’idéal engendrant la variété algébrique des algèbres Hom-associatives de dimension 2 où la multiplication µ et l’application linéaire α sont identifiées à leurs constantes de structure relativement à une base donnée. La classification, à isomorphisme près, des algèbres Hom-associatives unitaires et non unitaires est établie en dimension 2 et 3. On a aussi décrit les algèbres de type associatif en se basant sur le théorème de twist de Yau. Dans le troisième chapitre, on étudie certaines propriétés et invariants comme les dérivations, αk-dérivations où k est un entier positif. Dans le quatrième chapitre, on établit la cohomologie de ces algèbres. On a pu lister les algèbres rigides grâce à leur classe de cohomologie puis on s'est 'intéressé aux déformations infinitésimales et dégénérations. D’une part, la cohomologie et déformation de ces algèbres nous a permis d’identifier les algèbres rigides dont le deuxième groupe de cohomologie est nulle, et d’autre part de caractérisation de composante irréductible. Dans le cinquième chapitre, on s’intéresse aux structures Rota-Baxter de poids λ ϵK de ces algèbres. Enfin, dans le dernier chapitre, on a travaillé sur les structures Hom-bialgèbres et leurs invariantsThe purpose of this thesis is to study the structure of Hom-associative algebras and provide classifications. Among the results obtained in this thesis, we provide 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras and give a characterization of multiplicative simple Hom-associative algebras. Moreover we compute some invariants and discuss irreducible components of the corresponding algebraic varieties. The thesis is organized as follows. In the first chapter we give the basics about Hom-associative algebras and provide some new properties. Moreover, we discuss unital Hom-associative algebras. Chapter 2 deals with simple multiplicative Hom-associative algebras. We present one of the main results of this paper, that is a characterization of simple multiplicative Hom-associative algebras. Indeed, we show that they are all obtained by twistings of simple associative algebras. Chapter 3 is dedicated to describe algebraic varieties of Hom-associative algebras and provide classifications, up to isomorphism, of 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras. In chapter 4, we compute their derivations and twisted derivations, whereas in chapter 5, we compute their Hom-Type Hochschild cohomology. In the last section of this chapter, we consider the geometric classification problem using one-parameter formel deformations, and describe the irreducible components. In chapter 6, we compute Rota-Baxter structures of weight k of Hom-associative algebras appearing in our classification. In chapter 7, We work out Hom-bialgebras structures as well as their invariants. Properties and classifications, as well as the calculation of certain invariants such as the first and second cohomology groups, were studied
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Giraudo, Samuele. "Combinatoire algébrique des arbres." Phd thesis, Université Paris-Est, 2011. http://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00674619.
Full textAbstract:
Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur la construction de plusieurs structures combinatoires et algébriques sur différentes espèces d'arbres. Après avoir défini un analogue du monoïde plaxique dont les classes d'équivalence sont indexées par les couples d'arbres binaires jumeaux, nous proposons un analogue de la correspondance de Robinson-Schensted dans ce contexte. À partir de ce monoïde, nous construisons une sous-algèbre de Hopf de l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques libres dont les bases sont indexées par les couples d'arbres binaires jumeaux. Ensuite, nous proposons un foncteur combinatoire de la catégorie des monoïdes vers la catégorie des opérades ensemblistes. En utilisant ce foncteur, nous construisons plusieurs opérades qui mettent en jeu divers objets combinatoires. Par le biais d'une construction qui à une opérade associe une algèbre de Hopf non commutative, nous obtenons à partir de l'une des opérades obtenue par notre construction, une algèbre de Hopf basée sur les forêts ordonnées d'arbres plans enracinés. Nous proposons une réalisation polynomiale de cette dernière. Finalement, nous établissons certaines propriétés vérifiées par les arbres binaires équilibrés dans le treillis de Tamari. Nous montrons que l'ensemble des arbres binaires équilibrés y est clos par intervalle et que les intervalles d'arbres binaires équilibrés ont la forme d'hypercubes. Dans l'objectif de dénombrer ces intervalles, nous introduisons une nouvelle sorte de grammaires d'arbres, les grammaires synchrones. Celles-ci permettent d'obtenir une équation fonctionnelle de point fixe pour la série génératrice des arbres qu'elles engendrent
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Ngo, Quoc hoan. "Double régularisation des polyzêtas en les multi-indices négatifs et extensions rationnelles." Thesis, Sorbonne Paris Cité, 2016. http://www.theses.fr/2016USPCD023/document.
Full textAbstract:
Dans ce travail, nous nous intéressons aux problèmes relatifs aux polylogarithmes et aux sommes harmoniques pris en les multiindices négatifs(au sens large, appelés dans la suite non-positifs) et en les indices mixtes. Notre étude donnera des résultats généraux sur ces objets en relation avec les algèbres de Hopf. Les techniques utilisées sont basées sur la combinatoire des séries formelles non commutatives, formes linéaires sur l’algèbre de Hopf de φ−Shuffle. Notre travail donnera aussi un processus global pour renormaliser les polyzetâs divergents. Enfin, nous appliquerons les structures mises en évidence aux systèmes dynamiques non linéaires avec entrées singulièresIn this memoir are studied the polylogarithms and the harmonic sums at non-positive (i.e. weakly negative) multi-indices. General results about these objects in relation with Hopf algebras are provided. The technics exploited here are based on the combinatorics of non commmutative generating series relative to the Hopf φ−Shuffle algebra. Our work will also propose a global process to renormalize divergent polyzetas. Finally, we will apply these ideas to non-linear dynamical systems with singular inputs
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Quesney, Alexandre. "Un relèvement d'une structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky sur la double construction cobar." Phd thesis, Université de Nantes, 2014. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00948997.
Full textAbstract:
Dans une première partie, on établit des résultats structuraux sur la construction cobar, visant à obtenir un relèvement homotopique explicite d'une structure de BV-algèbre sur la double construction cobar. Ces résultats interviennent à différentes itérations de la construction cobar. En conclusion, nous obtenons par descente de structures, un critère à l'obtention d'une structure de BV-algèbre homotopique (à la Gerstenhaber-Voronov) sur la double construction cobar Ω²C d'une G-cogèbre homotopique C, ceci en terme de co-opérations structurelles de C. Dans une seconde partie, nous appliquons le critère précédent sur la G-cogèbre homotopique C(X), où C(X) est le complexe de chaînes simpliciales sur un ensemble simplicial X. La structure de G-cogèbre homotopique considérée sur C(X) est telle que la double construction cobar Ω²C(X) est un modèle pour les lacets doubles Ω²|X|. Nous donnons ensuite des résultats de comparaisons entre la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky obtenue sur la double construction cobar Ω²C(X) lorsque X est une double suspension et celle sur l'homologie H(Ω²|X|) induite par l'action diagonale du cercle sur Ω²|X|. Pour finir, lorsque l'anneau des coefficients est Q, nous déformons la structure de dg-algèbre de Hopf sur la construction cobar de Baues ΩC(X) en une structure de dg-algèbre de Hopf involutive (∇, S). On obtient alors une structure de BV-algèbre homotopique sur la double construction cobar Ω(ΩC(X), ∇, S) pour tout ensemble simplicial X.
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Taipe, Huisa Frank. "Quantum transformation groupoids : an algebraic and analytical approach." Thesis, Normandie, 2018. http://www.theses.fr/2018NORMC258.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur la construction d'une famille de groupoïdes quantiques de transformations qui dans le cadre algébrique sont des algébroïdes de Hopf de multiplicateurs mesurés au sens de Timmermann et Van Daele et qui dans le cadre des algèbres d'opérateurs sont des C*-bimodules de Hopf sur une C*-base au sens de Timmermann.Dans le contexte purement algébrique, nous définissons d'abord une algèbre involutive de Yetter-Drinfeld tressée commutative sur un groupe quantique algébrique au sens de Van Daele et une intégrale de Yetter-Drinfeld sur elle. En utilisant ces objets nous construisons après un algébroide de Hopf de multiplicateurs involutif mesuré, ce nouvel objet nous l'appellons groupoïde quantique algébrique de transformations.Pour être capables de passer au cadre des algèbres d'opérateurs, nous donnons des conditions sur l'intégral de Yetter-Drinfeld qui vont nous permettre d'utiliser la construction Gelfand–Naimark–Segal pour étendre tous nos objets purement algébriques en des objets C*-algébriques. Dans ce contexte, notre construction se fait d'une manière similaire à celle présentée dans le travail de Enock et Timmermann, nous obtenons un nouvel objet mathématique que nous appellons un groupoïde quantique C*-algébrique de transformations, qui est définit en utilisant le langage des C*-bimodules de Hopf sur une C*-baseThis thesis is concerned with the construction of a family of quantum transformation groupoids in the algebraic framework in the form of the measured multiplier Hopf *-algebroids in the sense of Timmermann and Van Daele and also in the context of operator algebras in the form of Hopf C*-bimodules on a C*-base in the sense of Timmermann.In the purely algebraic context, we first give a definition of a braided commutative Yetter-Drinfeld *-algebra over an algebraic quantum group in the sense of Van Daele and a Yetter-Drinfeld integral on it. Then, using these objects we construct a measured multiplier Hopf *-algebroid, we call to this new object an algebraic quantum transformation groupoid.In order to pass to the operator algebra framework, we give some conditions on the Yetter-Drinfeld integral inspired by the properties of KMS-weights on C*-algebras which will allow us to use the Gelfand–Naimark–Segal construction to extend all the purely algebraic objects to the C*-algebraic level. At this level, we construct in a similar way to that used in the work of Enock and Timmermann, a new mathematical object that we call a C*-algebraic quantum transformation groupoid, which is defined using the language of Hopf C*-bimodules on C*-bases
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Riviere, Salim. "Sur l'isomorphisme entre les cohomologies de Hochschild et de Chevalley-Eilenberg." Phd thesis, Université de Nantes, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00785201.
Full textAbstract:
Nous construisons un inverse explicite à l'isomorphisme d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg qui permet d'identifier la cohomologie d'une algèbre de Lie sur un anneau de caractéristique zéro et la cohomologie de Hochschild de son algèbre universelle enveloppante.
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Quesney, Alexandre. "Unrelèvement d'une structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky sur la double construction cobar." Nantes, 2014. http://archive.bu.univ-nantes.fr/pollux/show.action?id=4ed4c8b7-7df5-4927-87af-ed42f5245e4f.
Full textAbstract:
Dans une première partie, on établit des résultats structuraux sur la construction cobar, visant à obtenir un relèvement homotopique explicite d’une structure de BV-algèbre sur la double construction cobar. Ces résultats interviennent à différentes itérations de la construction cobar. En conclusion, nous obtenons par descente de structures, un critère à l’obtention d’une structure de BV-algèbre homotopique (à la Gerstenhaber-Voronov) sur la double construction cobar W2C d’une G-cogèbre homotopique C, ceci en terme de co-opérations structurelles de C. Dans une seconde partie, nous appliquons le critère précédent sur la G-cogèbre homotopique C (X), où C (X) est le complexe de chaînes simpliciales sur un ensemble simplicial X. La structure de G-cogèbre homotopique considérée sur C (X) est telle que la double construction cobar W2C (X) est un modèle pour les lacets doubles W2jXj. Nous donnons ensuite des résultats de comparaisons entre la structure d’algèbre de Batalin-Vilkovisky obtenue sur la doubles construction cobar W2C (X) lorsque X est une double suspension et celle sur H (W2jXj) induite par l’action diagonale du cercle sur W2jXj. Pour finir, lorsque l’anneau des coefficients est Q, nous déformons la structure de dg-algèbre de Hopf sur la construction cobar de Baues WC (X) en une structure de dg-algèbre de Hopf involutive (r0 , S0). On obtient alors une structure de BV-algèbre homotopique sur la double construction cobar W(WC (X),r0 , S0) pour tout ensemble simplicial XIn a first part we establish structural results on the cobar construction. The goal is to obtain a homotopy BV-algebra structure on the double cobar construction. In summary we have a criterion for obtaining of a homotopy BV-algebra (à la Gerstenhaber-Voronov) on the double cobar construction W2C of homotopy G-coalgebra C. This involves the structural co-operations of the homotopy G-coalgebra C. In a second part, we apply the previous criterion to the homotopy G-coalgebra C (X). The homotopy G-coalgebra structure on the simplicial chain complex C (X) is such that the resulting double cobar construction W2C (X) is a model for the double loop space W2jXj. Next, we give comparison results between the BV-algebra structure obtained on W2C (X) when X is a double suspension and the BV-algebra structure on H (W2jXj) given by the diagonal action of the circle. Finally, when Q is the coefficient ring, we deform the Hopf dg-algebra structure on the Baues cobar construction WC (X) into a involutive Hopf dg-algebra structure (r0 , S0). Then we obtain a homotopy BV-algebra structure on the double cobar construction W(WC (X),r0 , S0) for any simplicial set X
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Palafox, Jordy. "Calcul Moulien, Arborification, Symétries et Applications." Thesis, Pau, 2018. http://www.theses.fr/2018PAUU3008/document.
Full textAbstract:
Ce travail de thèse porte principalement sur l'utilisation du calcul moulien et de la technique d'arborification introduits par Jean Ecalle dans les années 70 et leurs applications à l'étude des systèmes dynamiques discrets ou continus.L'une des contributions est une étude systématique des conditions sous lesquelles l'arborification permet de restaurer la convergence de séries formelles via l'introduction d'une notion d'invariance d'un moule sous arborication. Ces résultats permettent de donner une preuve détaillée du théorème de Brjuno de linéarisation analytique des champs de vecteurs telle qu'elle est proposée par Jean Ecalle dans son article "Singularités non abordables par la géométrie". Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Dominique Manchon (Université de Clermont Ferrand) et Jacky Cresson.La puissance du calcul moulien est ensuite illustrée par la résolution presque complète de la conjecture de Jarque-Villadelprat sur les centres isochrones Hamiltoniens. Cette conjecture stipule qu'il n'existe pas de champs de vecteurs polynomiaux du plan de degré pair qui soit hamiltonien. L'examen de la structure algébrique de la correction, introduite dans les années 90 par G. Gallavotti et généralisée ensuite par Jean Ecalle et Bruno Vallet, et son calcul explicite via le calcul moulien, nous ont permis d'obtenir des conditions explicites d'obstructions à l'isochronisme. L'aspect algébrique et combinatoire de ces objets et méthodes conduisent naturellement à une classication des conditions de centre via une notion de complexité. L'arborication quand à elle permet l'unification de nombreuses approches et une simplication de divers travaux, notamment ceux de J.C.Butcher autour de la structure algébrique des méthodes de Runge-Kutta qui a induit ce que les numériciens appellent des B-séries. En étudiant la structure algébrique de l'opérateur de substitution associé à un difféomorphisme, en particulier celui relié à une méthode de Runge-Kutta et celui associé à la solution de l'équation diérentielle sous-jacente, on présente le codage de Butcher comme une traduction particulière de l'arborification directe de l'opérateur de substitution. Notons que ce phénomène est large et permet d'inclure les travaux plus récents sur l'approche par trajectoires rugueuses des solutions d'équations différentielles stochastiques.Une seconde partie de la thèse concerne la recherche des groupes de symétries de Lie des tissus du plan en suivant une approche d'Alain Hénaut (Université de Bordeaux). Ce travail nous a permis de préciser la relation entre la dimension de ces groupes de symétries et le caractère linéarisable ou hexagonale des tissus du plan. Dans le cas des arrangements de droites, on obtient ainsi une relation profonde entre le module de dérivations de Saito associé à l'arrangement et le groupe de symétrie du tissu associéThis thesis work mainly focuses on the use of the mould calculus and the technic of arborification which had been introduced both by J.Ecalle in the seventies and theirs applications to the study of continuous or discrete systems.One of the contributions is the systematic study of conditions under which the arborification allows to reestablish the convergence of formal series via introduction of a notion of invariance of mould under arborification. These results allow to give a detailed proof of Brjuno Theorem of analytic linearizability of vector fields as it is proposed by J.Ecalle in his article "Singularité non abordable par la géométrie". These results were obtained jointly with Dominique Manchon (University of Clermont Ferrand) and Jacky Cresson.The power of the mould calculus is then illustrated by an almost complete resolution of the Jarque-Villadelprat's conjecture about Hamiltonian Isochronous centers. This conjecture states that there is not existing polynomial vector fields in the plane of odd degree which are Hamiltonian. The study of the algebraic structure of the correction, introduced in the nineties by G.Gallavotti and then generalized by J.Ecalle and B.Vallet and its explicit computation via mould calculus, enables us to obtain explicit conditions of obstruction to isochronicity. The algebraic and combinatoric aspect of these objects and methods brings naturally to the classification of center conditions through a notion of complexity. The arborification allows to the unification of different approaches and a simplicification of different works, especially those of J.C.Butcher about algebraic structures of Runge-kutta methods, who had introduced that is called B-series by numerical mathematicians. Studying the algebraic structure of the substitution operator associated to a diffeomorphism, especially the one related to a Runge-Kutta method and the one which is associated to the solution of the underlying differential equations, we present the Butcher's encoding as a special translation of a direct arborification of the substitution automorphism. We can conclude that this phenomenon is wide and allows to include more recent studies on the approach by rough path of stochastic differential equations.A second part of this thesis involves the research of Lie group of symmetries of planar webs following Hénaut's approach (University of Bordeaux).This work allows to precise the relation between the dimension of the groups of symmetries and the linearizability or hexagonal character of planar webs. In the the case of line arrangement, we obtain a depthful relation between the modulus of derivations of Saito associated to the line arrangement and the group of symmetries of the associated web
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Thibault, de Chanvalon Manon. "Groupes quantiques : actions sur des modules hilbertiens et calculs différentiels." Thesis, Clermont-Ferrand 2, 2014. http://www.theses.fr/2014CLF22521/document.
Full text
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López, Neumann Daniel. "Kuperberg invariants for sutured 3-manifolds." Thesis, Université de Paris (2019-....), 2020. http://www.theses.fr/2020UNIP7036.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, on étudie les invariants quantiques des 3-variétés de Kuperberg, qui sont basées sur les algèbres de Hopf. On montre que, pour les super-algèbres de Hopf involutives, les invariants de Kuperberg s’étendent à la classe, plus générale, des 3-variétés suturées balancées et en particulier aux compléments d’entrelacs. Pour accomplir ceci, on relève plusieurs aspects de la théorie des torsions de Reidemeister au monde des invariants quantiques, tels que la procédure pour tordre des invariants, le calcul de Fox et les structures Spin^c, et on clarifie les aspects de la théorie des algèbres de Hopf auxquels ils correspondent. Quand notre construction est spécialisée au cas d’une algèbre extérieure, on montre qu’elle calcule la torsion de Reidemeister tordue des 3-variétés suturéesIn this thesis, we study Kuperberg's Hopf algebra approach to quantum invariants of closed 3-manifolds. We show that, for involutive Hopf superalgebras, Kuperberg invariants extend to the more general class of balanced sutured 3-manifolds, and in particular, to link complements. To achieve this, we bring many aspects of Reidemeister torsion theory into the realm of quantum invar-iants, such as twisting, Fox calculus and Spin^c structures and we make clear to which aspects of Hopf algebra theory these correspond. When our construction is specialized to an exterior algebra, we show that it recovers the twisted Reidemeister torsion of sutured 3-manifolds
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Glanois, Claire. "Periods of the motivic fundamental groupoid of P1\{0, μN,∞}." Thesis, Paris 6, 2016. http://www.theses.fr/2016PA066013/document.
Full textAbstract:
En s'inspirant du point de vue adopté par Francis Brown, nous examinons la structure d'algèbre de Hopf des multizêtas motiviques cyclotomiques, qui sont des périodes motiviques du groupoïde fondamental de la droite projective moins 0, l'infini et les racines Nèmes de l'unité. Par application d'un morphisme période surjectif (conjecturé isomorphisme), nous pouvons déduire des résultats (identités, familles génératrices, etc.) sur les multizêtas cyclotomiques (complexes). La coaction de cette algèbre de Hopf (formule combinatoire explicite) est duale à l'action d'un dénommé groupe de Galois motivique sur ces périodes motiviques. Ces recherches sont ainsi motivées par l'espoir d'une théorie de Galois pour les périodes, étendant la théorie de Galois usuelle pour les nombres algébriques. (i) Nous présentons de nouvelles relations entre les sommes d'Euler (N=2) motiviques et deux nouvelles bases (conjecturées identiques) pour les multizêtas motiviques (N=1): Hoffman star (sous une conjecture analytique) et une seconde via les sommes d'Euler motiviques. (ii) Nous appliquons des idées de descentes galoisiennes à l'étude de ces périodes, en regardant notamment comment les multizêtas motiviques relatifs aux racines N' èmes de l'unité se plongent dans ceux associés aux racines Nèmes, lorsque N' divise N. Après avoir fourni des critères généraux, nous nous tournons vers les cas N égal à 2,3,4,6, 8, pour lesquels le groupoïde fondamental motivique engendre la catégorie des motifs de Tate mixtes sur l'anneau des entiers du Nème corps cyclotomique ramifié en N (non ramifié pour 6). Pour ces valeurs, nous explicitons les descentes galoisiennes, et étendons les résultats de Pierre DeligneFollowing F. Brown's point of view, we look at the Hopf algebra structure of motivic cyclotomic multiple zeta values, which are motivic periods of the fundamental groupoid of the projective line minus 0, infinity and N roots of unity. By application of a surjective period map (conjectured isomorphism), we deduce results (generating families, identities, etc.) on cyclotomic multiple zeta values, which are complex numbers. The coaction of this Hopf algebra (explicit combinatorial formula) is the dual of the action of a so-called motivic Galois group on these specific motivic periods. This entire study was motivated by the hope of a Galois theory for periods, which should extend the usual one for algebraic numbers.(i)In the first part, we focus on the case of motivic multiple zeta values (N = 1) and Euler sums (N = 2). In particular, we present new bases for motivic multiple zeta values: one via motivic Euler sums, and another (depending on an analytic conjecture) which is known as the Hoffman star basis; under a general motivic identity that we conjecture, these bases are identical. (ii)In the second part, we apply some Galois descents ideas to the study of these periods, and examine how multiple zeta values relative to N' roots of unity are embedded into those relative to N roots, when N' divide N. After giving some general criteria for any N, we focus on the cases N=2,3,4, 6, 8, for which the motivic fundamental group generates the category of mixed Tate motives on the ring of integer of the N cyclotomic field ramified in N (unramified if N=6). For those N, we are able to construct Galois descents explicitly, and extend P. Deligne's results
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Kohli, Ben-Michael. "Les invariants de Links-Gould comme généralisations du polynôme d’Alexander." Thesis, Dijon, 2016. http://www.theses.fr/2016DIJOS062/document.
Full textAbstract:
On s’intéresse dans cette thèse aux rapports qui existent entre deux invariants d’entrelacs. D’une part l’invariant d’Alexander ∆ qui est l’invariant de nœuds le plus classique, et le plus étudié avec le polynôme de Jones, et d’autre part la famille des invariants de Links-Gould LGn,m qui sont des invariants quantiques dérivés des super algèbres de Hopf Uqgl(n|m). On démontre en particulier un cas de la conjecture de De Wit-Ishii-Links : certaines spécialisa- tions des polynômes de Links-Gould fournissent des puissances du polynôme d’Alexander. Les polynômes LG sont donc des généralisations du polynôme d’Alexander. On conjecture de plus que ces invariants conservent certaines propriétés homologiques bien connues de ∆ permettant d’évaluer le genre des entrelacs et de tester le caractère fibré des nœudsIn this thesis we focus on the connections that exist between two link invariants: first the Alexander-Conway invariant ∆ that was the first polynomial link invariant to be discovered, and one of the most thoroughly studied since alongside with the Jones polynomial, and on the other hand the family of Links-Gould invariants LGn,m that are quantum link invariants derived from super Hopf algebras Uqgl(n|m). We prove a case of the De Wit-Ishii-Links conjecture: in some cases we can recover powers of the Alexander polynomial as evaluations of the Links-Gould invariants. So the LG polynomials are generalizations of the Alexander invariant. Moreover we give evidence that these invariants should still have some of the most remarkable properties of the Alexander polynomial: they seem to offer a lower bound for the genus of links and a criterion for fiberedness of knots
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Pons, Viviane. "Combinatoire algébrique liée aux ordres sur les permutations." Phd thesis, Université Paris-Est, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00952773.
Full textAbstract:
Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binaires
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Mrozinski, Colin. "Semi-anneau de fusion des groupes quantiques." Phd thesis, Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00948512.
Full textAbstract:
Cette thèse se propose d'étudier des problèmes de classification des groupes quantiques via des invariants issus de leur théorie de représentation. Plus précisément, nous classifions les algèbres de Hopf possédant un semi-anneau de fusion isomorphe à un groupe algébrique réductif donné G. De tels groupes quantiques sont alors appelés G-déformations. Dans cette thèse, nous étudions les cas GL(2) et SO(3). Nous donnons une classification complète des GL(2)-déformations en construisant une famille d'algèbres de Hopf indexées par des matrices inversibles. Nous décrivons leurs catégories de comodules et donnons certains résultats de classification quant à leurs objets de Hopf-Galois. Ensuite, nous donnons une classification des SO(3)-déformations compactes tout en étudiant le cas non-compact. Finalement, la dernière partie de la thèse est une étude de l'algèbre sous-jacente à une certaine famille d'algèbres de Hopf, dont nous exhibons une base. Cette base nous permet de calculer le centre des ces algèbres ainsi que quelques groupes de (co)homologie.
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Delcroix-Oger, Bérénice. "Hyperarbres et Partitions semi-pointées : aspects combinatoires, algébriques et homologiques." Thesis, Lyon 1, 2014. http://www.theses.fr/2014LYO10243/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l’étude combinatoire, algébrique et homologique des hyperarbres et des partitions semi-pointées. Nous étudions plus précisément des structures algébriques et homologiques construites à partir des hyperarbres, puis des partitions semi-pointées.Après un bref rappel des notions utilisées, nous utilisons la théorie des espèces de structure afin de déterminer l’action du groupe symétrique sur l’homologie du poset des hyperarbres. Cette action s’identifie à l’action du groupe symétrique liée à la structure anti-cyclique de l’opérade PreLie. Nous raffinons ensuite nos calculs sur une graduation de l’homologie, appelée homologie de Whitney. Cette étude motive l'introduction de la notion d’hyperarbre aux arêtes décorées par une espèce. Une bijection des hyperarbres décorés avec des arbres en boîtes et des partitions décorées permet d’obtenir une formule close pour leur cardinal, à l’aide d’un codage de Prüfer. Nous adaptons ensuite les méthodes de calcul de caractères sur les algèbres de Hopf d’incidence, introduites par W. Schmitt dans le cas de familles de posets bornés, à des familles de posets non bornés vérifiant certaines propriétés. Nous appliquons ensuite cette adaptation aux posets des hyperarbres. Enfin, au cours de notre étude une généralisation des posets des partitions et des posets des partitions pointées apparaît : les poset des partitions semi-pointées. Nous montrons que ces posets sont aussi Cohen-Macaulay, avant de déterminer à l’aide de la théorie des espèces une formule close pour la dimension de l’unique groupe d’homologie non trivial de ces posetsThis thesis is dedicated to the combinatorial, algebraic and homological study of hypertrees and semi-pointed partitions. More precisely, we study algebraic and homological structures built from hypertrees and semi-pointed partitions. After recalling briefly the notions needed, we use the theory of species of structures to compute the action of the symmetric group on the homology of the hypertree posets. This action is the same as the action of the symmetric group linked with the anticyclic structure of the PreLie operad. We refine our computations on a grading of the homology : Whitney homology. This study is a motivation for the introduction of the notion of edge-decorated hypertrees. A one-to-one correspondence of decorated hypertrees with box trees and decorated partitions enables us to compute a close formula for the cardinality of decorated hypertrees, thanks to a Prüfer code. Moreover, we adapt computation methods of characters on incidence Hopf algebras, introduced by W. Schmitt for families of bounded posets, to families of unbounded posets satisfying some additional properties, called triangle and diamond posets. We apply these results to the hypertree posets. Finally, we unveil a new family of posets : the semi-pointed partition posets, which generalize both partition posets and pointed partition posets. We show the Cohen-Macaulayness of these posets and obtain, thanks to species theory, a closed formula for the dimension of its unique homology group, which extend the ones established for partition posets and pointed partition posets
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Schieber, Gil. "L'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu et la classification des systèmes conformes à 2D." Phd thesis, Université de Provence - Aix-Marseille I, 2003. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007545.
Full textAbstract:
Cette thèse étudie la classification des théories conformes à 2d à l'aide de symétries quantiques de diagrammes. Les fonctions de partition d'un système conforme - l'invariante modulaire ou celles provenant de l'introduction de lignes de défauts - s'expriment en fonction d'un ensemble de coefficients qui forment des nimreps de certaines algèbres. Ces coefficients définissent les diverses structures d'une classe d'algèbres de Hopf, dites faibles, et peuvent être codés par un ensemble de graphes. Le chapitre 1 présente les connaissances actuelles sur ce sujet. Dans le chapitre 2 sont introduites l'algèbre de Hopf faible et ses structures, notamment l'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu, qui joue un rôle important dans l'étude des systèmes conformes à 2d. Nous analysons en détails ces structures pour le diagramme A3 du modèle affin su(2). Le chapitre 3 est dédié à la présentation d'une réalisation de l'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu, construite comme un quotient du carré tensoriel de l'algèbre d'un graphe G (de type ADE pour le modèle affin su(2)). Cette réalisation permet d'obtenir un algorithme simple permettant le calcul des fonctions de partition du modèle conforme associé. Notre construction se prête naturellement à une généralisation aux cas affins su(n), pour n > 2, pour lesquels peu de résultats étaient connus. Dans le chapitre 4, nous traitons explicitement tous les cas du type su(2) ainsi que trois exemples choisis du type su(3).
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Fischler, Stéphane. "Contributions à l'étude diophantienne des polylogarithmes et des groupes algébriques." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00002988.
Full textAbstract:
La première partie de la thèse porte sur l'irrationalité de valeurs de polylogarithmes. On exhibe des changements de variables entre intégrales multiples, qui généralisent les groupes de Rhin-Viola et relient les intégrales de Beukers et Vasilyev à celles de Sorokin. Puis, en commun avec Rivoal, on écrit comme solution unique d'un problème d'approximation de Padé une série hypergéométrique très générale. On en déduit notamment que l'un au moins des nombres $\Li_s(1/2)+\frac(\log(1/2)^s)((s-1)!)$, $s \in \(2,3,4\)$, est irrationnel. La seconde partie est consacrée à la transcendance dans les groupes algébriques. On démontre pour certaines variétés une conjecture de Roy (équivalente à la conjecture d'indépendance algébrique des logarithmes). Puis on prouve un lemme d'interpolation dans un groupe algébrique commutatif $G$, qui généralise celui de Masser en y incluant des multiplicités. Quand $G$ est linéaire, on exprime ce lemme et la dualité de Fourier-Borel en termes d'algèbres de Hopf.
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Chatel, Grégory. "Combinatoire algébrique liée aux ordres sur les arbres." Thesis, Paris Est, 2015. http://www.theses.fr/2015PESC1136/document.
Full textAbstract:
Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de structures d'ordre sur plusieurs familles d'arbres. Dans un premier temps, nous étudions le treillis de Tamari sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible sur les permutations formé par ses extensions linéaires. Nous observons qu'il est possible de mettre en bijection les intervalles de l'ordre de Tamari avec une famille de posets particulière : les intervalles-posets. L'ensemble des extensions linéaires de ces posets est l'union des ensembles des extensions linéaires des arbres qui composent l'intervalle. Nous donnons une caractérisation des posets qui vérifient cette condition puis nous utilisons ce nouvel objet de plusieurs façons différentes. Nous fournissons tout d'abord une preuve alternative du fait que la fonction génératrice des intervalles de l'ordre de Tamari vérifie une équation fonctionnelle décrite par F. Chapoton. Nous donnons ensuite une formule qui permet de compter le nombre d'arbres inférieurs ou égaux à un arbre donné dans l'ordre de Tamari et dans l'ordre de m-Tamari. Nous construisons également une bijection entre les intervalles-posets et les flots, un objet que F. Chapoton a introduit lors de l'étude de l'opérade Pre-Lie. Pour finir, nous démontrons de façon combinatoire la répartition de deux statistiques dans la fonction génératrice des intervalles de l'ordre de Tamari. Dans la partie suivante, nous donnons une généralisation Cambrienne d'algèbres de Hopf classique et expliquons leurs liens avec les treillis Cambriens. Dans un premier temps, nous présentons une généralisation de l'algèbre de Hopf des arbres binaires planaires au monde Cambrien que nous appelons algèbre Cambrienne. Nous introduisons cette algèbre comme une sous-algèbre de Hopf d'une l'algèbre de permutations. Nous étudions diverses propriétés de cette structure comme par exemple son dual, ses bases multiplicatives et sa liberté. Nous étudions ensuite une généralisation de l'algèbre de Baxter définie par S. Giraudo que nous appelons algèbre Baxter-Cambrienne. Les nombres de Baxter ayant de nombreuses propriétés combinatoires, nous nous sommes intéressés par la suite à leur équivalent Cambrien, les nombres Baxter-Cambriens. Pour finir, nous donnons une généralisation de l'algèbre Cambrienne en utilisant une algèbre de mots tassés plutôt qu'une algèbre de permutations comme base de notre construction. Nous appelons cette nouvelle structure l'algèbre Schröder-CambrienneThis thesis comes within the scope of algebraic combinatorics and studies of order structures on multiple tree families. We first look at the Tamari lattice on binary trees. This structure is obtained as a quotient of the weak order on permutations : we associate with each tree the interval of the weak order composed of its linear extensions. Note that there exists a bijection between intervals of the Tamari lattice and a family of poset that we callinterval-posets. The set of linear extensions of these posets is the union of the sets of linear extensions of the trees of the corresponding interval. We give a characterization of the posets satisfying this property and then we use this new family of objet on a large variety of applications. We first build another proof of the fact that the generating function of the intervals of the Tamari lattice satisfies a functional equation described by F. Chapoton. Wethen give a formula to count the number of trees smaller than or equal to a given tree in the Tamari order and in the $m$-Tamari order. We then build a bijection between interval-posets and flows that are combinatorial objects that F. Chapoton introduced to study the Pre-Lieoperad. To conclude, we prove combinatorially symmetry in the two parameters generating function of the intervals of the Tamari lattice. In the next part, we give a Cambrian generalization of the classical Hopf algebra of Loday-Ronco on trees and we explain their connection with Cambrian lattices. We first introduce our generalization of the planar binary tree Hopf algebra in the Cambrian world. We call this new structure the Cambrian algebra. We build this algebra as a Hopf sub algebra of a permutation algebra. We then study multiple properties of this objet such as its dual, its multiplicative basis and its freeness. We then generalize the Baxter algebra of S. Giraudo to the Cambrian world. We call this structure the Baxter-Cambrian Hopf algebra. The Baxter numbers being well-studied, we then explored their Cambrian counter parts, the Baxter-Cambrian numbers. To conclude this part, we give a generalization of the Cambrian algebra using a packed word algebra instead of a permutation algebra as a base for our construction. We call this new structure the Schröder-Cambrian algebra
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Yao, Yi-Jun. "Autour des déformations de Rankin-Cohen." Phd thesis, Ecole Polytechnique X, 2007. http://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00002414.
Full textAbstract:
Dans cette thèse on s'attache à étudier les crochets de Rankin-Cohen et les déformations correspondantes selon de différents points de vue. On présente d'un côté une nouvelle interprétation des déformations de Rankin-Cohen via la théorie de "Quantification par Deformations de Fedosov(en collaboration avec P. Bieliavsky et X. Tang). On parvient notamment à redémontrer un théorème de Connes-Moscovici sur la déformation formelle des algèbres sous l'action d'une algèbre de Hopf H1 munie d'une structure projective. De l'autre cote on donne dans Chapitre III une interprétation détaillée des crochets de Rankin-Cohen via la théorie de représentations unitaires de SL2(R) et en utilisant cette interprétation on étudie certaines propriétés des produits déformés, notamment l'unicité des produits construits par Cohen-Manin-Zagier et une propriété de séparation du produit d'Eholzer. Dans le dernier chapitre on donne une démonstration élémentaire de l'identité combinatoire qui est cruciale pour démontrer l'associativité dans l'approche de la question de déformations par Cohen-Manin-Zagier, Eholzer, et Connes-Moscovici.
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Bruned, Yvain. "Equations Singulières de type KPZ." Thesis, Paris 6, 2015. http://www.theses.fr/2015PA066517/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, on s'intéresse à l'existence et à l'unicité d'une solution pour l'équation KPZ généralisée. On utilise la théorie récente des structures de régularité inspirée des chemins rugueux et introduite par Martin Hairer afin de donner sens à ce type d'équations singulières. La procédure de résolution comporte une partie algébrique à travers la définition du groupe de renormalisation et une partie stochastique avec la convergence de processus stochastiques renormalisés. Une des améliorations notoire de ce travail apportée aux structures de régularité est la définition du groupe de renormalisation par le biais d'une algèbre de Hopf sur des arbres labellés. Cette nouvelle construction permet d'obtenir des formules simples pour les processus stochastiques renormalisés. Ensuite, la convergence est obtenue par un traitement efficace de diagrammes de FeynmanIn this thesis, we investigate the existence and the uniqueness of the solution of the generalised KPZ equation. We use the recent theory of regularity structures inspired from the rough path and introduced by Martin Hairer in order to give a meaning to this singular equation. The procedure contains an algebraic part through the renormalisation group and a stochastic part with the computation of renormalised stochastic processes. One major improvement in the theory of the regularity structures is the definition of the renormalisation group using a Hopf algebra on some labelled trees. This new construction paves the way to simple formulas very useful for the renormalised stochastic processes. Then the convergence is obtained by an efficient treatment of some Feynman diagrams
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Gilliers, Nicolas. "Non-commutative gauge symmetry and pseudo-unitary diffusions." Thesis, Sorbonne université, 2019. http://www.theses.fr/2019SORUS113.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l’étude de deux questions très différentes, reliées par les outils que nous utilisons pour les étudier. La première question est celle de la définition des théories de jauge sur un réseau avec un groupe de structure non commutatif. Ici, non commutatif ne signifie pas non Abelian, mais plutôt non commutatif au sens général de la géométrie non commutative. La deuxième question est celle du comportement des diffusions Browniennes sur des groupes matriciels non compacts d’un type spécifique, à savoir des groupes de matrices pseudo-orthogonales, pseudo-unitaires ou pseudo-symplectiques. Dans le premier chapitre, nous étudions des théories de jauge quantiques sur un réseau et leur limite continue sur le plan euclidien ayant une algèbre de Zhang pour groupe de stuc-ture. Les algèbres de Zhang sont des analogues non commutatifs des groupes et contiennent la classe des groupes duaux de Voiculescu. Nous nous intéressons donc aux analogues non commutatifs des champs de jauges quantiques, que nous décrivons par l’holonomie aléatoire qu’ils induisent. Nous proposons une définition générale d’un champ d’holonomies ayant une symétrie de jauge présentant la structure d’une algèbre de Zhang, et construisons un tel champ à partir d’un processus quantique de Lévy sur une algèbre de Zhang. Dans le deuxième chapitre, nous étudions les approximations matricielles des champs maîtres en dimensions supérieures construits dans le chapitre précédent. Ces approximations (en distribution non commutative) sont obtenues en extrayant des blocs d’une diffusion unitaire Brownienne (à coefficients dans les algèbres de nombres réels, complexes ou quaternioniques) et en laissant la dimension de ces blocs tendre vers l’infini. Nous divisons notre étude en deux parties : dans la première, nous extrayons des blocs carrés tandis que dans la seconde, nous autorisons des blocs rectangulaires. Dans les deux derniers chapitres, nous utilisons les outils introduits (algèbres de Zhang et diagrammes de Brauer colorés) dans les deux premiers pour étudier des diffusions sur des groupes de matrices pseudo-unitaires. Nous prouvons la convergence non commutative des mouvements Browniens pseudo-unitaires que nous considérons vers des semi-groupes libres avec amalgamation sous l’hypothèse de convergence de la signature normalisée de la métrique de l’espace sous-jacent. Dans le cas déployé, c’est-à-dire, qu’au moins asymptotiquement, la métrique a autant de directions négatives que de directions positives, la distribution limite est la distribution d’un processus de Lévy, solution d’une équation différentielle stochastique libre. Nous laissons ouverte la question d’une telle réalisation de la distribution limite dans le cas général. De plus, nous présentons des résultats numériques sur la convergence de la distribution spectrale de ces matrices aléatoires et faisons deux conjectures. Dans le dernier chapitre, nous prouvons la normalité asymptotique des fluctuationsThis thesis is devoted to the study of two quite different questions, which are related by the tools that we use to study them. The first question is that of the definition of lattice gauge theories with a non-commutative structure group. Here, by non-commutative, we do not mean non-Abelian, but instead non-commutative in the general sense of non-commutative geometry. The second question is that of the behaviour of Brownian diffusions on non-compact matrix groups of a specific kind, namely groups of pseudo-orthogonal, pseudo-unitary or pseudo-symplectic matrices. In the first chapter, we investigate lattice and continuous quantum gauge theories on the Euclidean plane with a structure group that is replaced by a Zhang algebra. Zhang algebras are non-commutative analogues of groups and contain the class of Voiculescu’s dual groups. We are interested in non-commutative analogues of random gauge fields, which we describe through the random holonomy that they induce. We propose a general definition of a holonomy field with Zhang gauge symmetry, and construct such a field starting from a quantum Lévy process on a Zhang algebra. As an application, we define higher dimensional generalizations of the so-called master field. In the second chapter, we study matricial approximations of higher dimensional master fields constructed in the previous chapter. These approximations (in non-commutative distribution) are obtained by extracting blocks of a Brownian unitary diffusion (with entries in the algebras of real, complex or quaternionic numbers) and letting the dimension of these blocks tend to infinity. We divide our study into two parts: in the first one, we extract square blocks while in the second one we allow rectangular blocks. In both cases, free probability theory appears as the natural framework in which the limiting distributions are most accurately described. In the last two chapters, we use tools introduced (Zhang algebras and coloured Brauer diagrams) in the first two ones to study Brownian motion on pseudo-unitary matrices in high dimensions. We prove convergence in non-commutative distribution of the pseudo-unitary Brownian motions we consider to free with amalgamation semi-groups under the hypothesis of convergence of the normalized signature of the metric. In the split case, meaning that at least asymptotically the metric has as much negative directions as positive ones, the limiting distribution is that of a free Lévy process, which is a solution of a free stochastic differential equation. We leave open the question of such a realization of the limiting distribution in the general case. In addition we provide (intriguing) numerical evidences for the convergence of the spectral distribution of such random matrices and make two conjectures. At the end of the thesis, we prove asymptotic normality for the fluctuations
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Basbois, Nicolas. "La naissance de la cohomologie des groupes." Phd thesis, Université de Nice Sophia-Antipolis, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00430204.
Full textAbstract:
Cette thèse étudie d'un point de vue historique la genèse de la cohomologie des groupes, théorie qui vit le jour dans les années 1940. Il s'agit d'une théorie à la fois algébrique, au sens où elle donne des résultats sur les groupes, et topologique par les méthodes qu'elle met en œuvre . Le présent travail analyse les mécanismes par lesquels la topologie et l'algèbre se sont interpénétrées pour donner naissance à cette théorie abstraite et élaborée, en mettant notamment en perspective ce phénomène par rapport à ceux, plus globaux, de la naissance et de l'expansion de l'algèbre moderne. Y sont notamment discutées l'influence d'Emmy Noether dans l'algébrisation de la topologie et les motivations respectives de Heinz Hopf et d'Eilenberg & Mac Lane les ayant menés à l'élaboration de l'homologie des groupes. L'analyse minutieuse de plusieurs articles phares - dus aux auteurs cités précédemment mais aussi à Schur, Vietoris ou encore Eckmann - permet de mettre en lumière le fait que la volonté de répondre à des problèmes mathématiques précis fut peut-être plus motrice, dans l'émergence de cette théorie architectonique qu'est la cohomologie des groupes, que de grandes idées directrices conçues au sein de représentations structurales des mathématiques.
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Bergeron, Geoffroy. "Coefficients de Clebsch-Gordan de la super-algèbre osp(1|2)." Thèse, 2015. http://hdl.handle.net/1866/13477.
Full textAbstract:
Les fonctions génératrices des coefficients de Clebsch Gordan pour la superalgèbre de Lie osp(1|2) sont dérivées en utilisant deux approches. Une première approche généralise une méthode proposée par Granovskii et Zhedanov pour l'appliquer dans le cas de osp(1|2), une algèbre dont le coproduit est torsadé. Une seconde approche repose sur la réalisation de osp(1|2) en tant qu'algèbre dynamique d'un oscillateur parabosonique et utilise une équivalence dans cette réalisation entre le changements de coordonnées polaires à cartésiennes et le problème de Clebsch-Gordan. Un chapitre moins formel précède ces dérivations et présente comment le problème de Clebsch-Gordan s'interprète en tant que réalisation d'une algèbre de fusion. La notion abstraite de fusion est introduite, soulignant son importance en physique, pour en venir au cas particulier du problème de Clebsch-Gordan. Un survol du cas de l'algèbre osp(1|2) et de ses utilisations en physique mathématique conclut ce chapitre.The generating functions for the osp(1|2) Lie superalgebra Clebsch-Gordan coefficients are derived using two approaches. The first one consists of generalizing a method first proposed by Granovskii and Zhedanov to apply it to the case of osp(1|2), an algebra with a twisted coproduct. The second one is based on the realization of the osp(1|2) as the dynamical algebra for a parabosonic oscillator and used an equivalence in this realization between a change of basis from polar to cartesian coordinates and the Clebsch-Gordan problem. A less formal chapter precedes those derivations and present how the Clebsch-Gordan problem can be interpreted as a realization of a fusion algebra. The abstract notion of fusion is introduced, mentionning its importance in physics, and leads to the particular case of the Clebsch-Gordan problem. A brief review of the problem for the osp(1|2) algebra and its uses in mathematical physics concludes this chapter.