Academic literature on the topic 'Інтегрування чисельне'

Викладено спрощений спосіб наближеного обчислення розмахів вільних затухаючих коливань осцилятора зі слабкою степеневою нелінійністю у виразі сили пружності. В основу запропонованого способу покладено припущення, що нелінійний доданок у виразі сили пружності мало впливає на рівняння обвідної графіка вільних коливань. Використане тут рівняння обвідної, за прийнятим припущенням, відповідає першому наближенню асимптотичного методу теорії нелінійних коливань і було одержане при дослідженні вільних коливань дисипативного осцилятора Дуффінга в роботах інших авторів. Але тут додатково враховано залежність тривалостей напівциклів від змінної амплітуди коливань, що властиво нелінійним системам. За виведеними формулами проведено розрахунки розмахів коливань в умовах дії різних сил опору, а саме: сухого тертя Кулона, лінійного в’язкого тертя та квадратичного в’язкого опору. Розглянуто різні варіанти степеневих нелінійностей, що доповнюють лінійну складову в виразі сили пружності. З метою з’ясування похибок наближеного способу, проведено чисельне комп’ютерне інтегрування диференціального рівняння руху при різних видах опору. За підсумком порівняння числових результатів, одержаних різними способами, встановлено такі обмеження на нелінійність сили пружності, коли похибки наближених компактних формул становить декілька відсотків. Основною перевагою запропонованого способу є простота реалізації та відсутність потреби будувати аналітичний розв'язок нелінійного диференціального рівняння руху осцилятора, спричиненого початковим відхиленням його від положення статичної рівноваги. Крім того запропонований наближений спосіб розрахунку дає можливість враховувати дію різних сил опору, тобто в’язке або сухе тертя.

Робота присвячена виведенню та апробації формул для обчислення переміщення осцилятора та визначення тривалостей напівциклів коливань в умовах сухого тертя. Вивести точне рекурентне співвідношення для обчислення розмахів затухаючих вільних коливань за умови дії сухого тертям можливо й без побудови розв’язку диференціального рівняння руху, якщо використати енергетичний метод. Але визначення переміщень осцилятора у часі потребує розв’язку диференціального рівняння руху. В роботі Описано вільні затухаючі коливання осцилятора з симетричною квадратично нелінійною силовою характеристикою, що має лінійну складову. Причиною коливань служить початкове відхилення системи від положення статичної рівноваги, а їх затухання є наслідком дії сили сухого тертя. Розглянуто варіанти жорсткої та м’якої пружних характеристик. Для обох із них побудовано точні розв’язки рівняння руху. У підсумку переміщення осцилятора в часі виражено через еліптичні функції Якобі. Тривалість чверть і напівциклів виражено через еліптичний інтеграл першого роду, що потребує використання таблиць цих спеціальних функцій. Наведено також наближені формули для обчислення значень еліптичних функцій, де їх зведено до обчислень елементарних функцій. Проведення порівняння числових результатів, одержаних за допомогою аналітичних розв’язків та чисельним інтегруванням вихідного диференціального рівняння руху на комп’ютері. Виявлено малі розбіжності в значеннях переміщень, зумовлених наближеним обчисленням еліптичних функцій. Похибки реалізації аналітичного розв’язку пов’язані з наближеним обчисленням функції Якобі. За підсумками порівняння числових результатів підтверджено вірогідність виведених розрахункових формул стосовно переміщень і тривалостей напівциклів, що залежить від розмахів коливань. Встановлено, що диференціальне рівняння вільних коливань осцилятора з квадратично нелінійною силовою характеристикою та сухим тертям має точні аналітичні розв’язки, що виражаються через еліптичні функції Якобі, а отримані наближені розв’язки мають досить гарну узгодженість з чисельним інтегруванням рівнянь руху на комп’ютері.

Бобко В. О. Розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду із застосуванням алгоритму Ромберга : кваліфікаційна робота магістра спеціальності 111 "Математика" / наук. керівник С. М. Гребенюк. Запоріжжя : ЗНУ, 2020. 53 с.
UA : Робота викладена на 53 сторінках друкованого тексту, містить 5 рисунків, 9 таблиць, 14 джерел, 1 додаток. Об’єкт дослідження: інтегральні рівняння Фредгольма другого роду. Предмет дослідження: квадратурний спосіб розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду. Мета роботи: застосувати алгоритм Ромберга чисельного інтегрування для розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду Метод дослідження: чисельний. У роботі наведено основні теоретичні відомості про квадратурний метод розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду. Для його реалізації вивчено квадратурні формули лівих і правих прямокутників, формулу трапецій, формула Сімпсона. Розроблено чисельний підхід до розвязання інтегрального рівняння із застосуванням ітераційного алгоритма Ромберга, який дає можливість підвищити точність розв’язків. Отримано розв’язки ряда інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду із застосуванням квадратурних формул лівих і правих прямокутників, формулу трапецій, формула Сімпсона. Проведено порівняння отриманих розв’язків інтегрального рівняння з відомими точним аналітичними розв’язками.
EN : The work is presented on 53 pages of printed text, 5 figures, 9 tables, 9 references, 1 supplements. The object of the study is the integral Fredholm equations of the second kind. The aim of the study is to apply the Romberg algorithm of numerical integration to solve the integral Fredholm equation of the second kind. The method of research is numerical. The paper presents the basic theoretical information about the quadrature method for solving the integral Fredholm equation of the second kind. For its realization the quadrature formulas of the left and right rectangles, the formula of trapezoids, the Simpson’s formula are studied. A numerical approach to solving an integral equation using an iterative Romberg algorithm has been developed, which makes it possible to increase the accuracy of solutions. Solutions of a number of Fredholm integral equations of the second kind are obtained using the quadrature formulas of the left and right rectangles, the trapezoid formula, and the Simpson formula. The obtained solutions of the integral equation are compared with the known exact analytical solutions.