Academic literature on the topic 'Тригонометричні рівняння'

У статті аналізується проблема формування вмінь старшокласників щодо розв’язування тригонометричних рівнянь. Розглядаються основні вимоги до навчальних досягнень учнів, зокрема наявність відповідних знань, умінь стосовно видів діяльності, що зазначені в програмі з математики та визначають предметну компетентність. Авторкою окреслено теоретичні аспекти поняття «вміння» та досліджено етапи формування вмінь у навчальній діяльності. Крім того, виокремлено три етапи формування вмінь розв’язувати тригонометричні рівняння: початковий, проміжний та заключний. Досліджено, що ефективність розвитку вмінь залежить від рівня раніше сформованих математичних компетентностей учнів та організації навчального процесу вчителем. У статті обґрунтовано місце тригонометричних рівнянь у програмі курсу алгебри і початків аналізу та у завданнях зовнішнього незалежного оцінювання. Підкреслено, що тригонометричні рівняння належать до теми «Тригонометричні функції», що є найбільшою темою алгебри 10-го класу. У програмі рівня стандарту виділено такі види тригонометричних рівнянь, як найпростіші та рівняння, що зводяться до алгебраїчних. Аналіз програми та завдань зовнішнього незалежного оцінювання у контексті нашого дослідження засвідчили наявність нескладних тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших. Урахувавши етапи формування вмінь та подані завдання, окреслено послідовність дій та наведено методи розв’язування тригонометричних рівнянь на кожному з етапів. Розглянувши завдання на відповідних етапах, слід відзначити, що формування вмінь старшокласників розв’язувати тригонометричні рівняння здійснюється водночас із розвитком знань та навичок. У зв’язку з цим визначено, що вміння легко формуються за умов свідомого розуміння одиничного тригонометричного кола, властивостей тригонометричних функцій, графіків та знань тригонометричних тотожностей.

Одним із головних чинників, які впливають на ефективність освіти, можна вважати управління якістю підготовки спеціалістів, зокрема вчителів математики. Практично управляти якістю підготовки майбутніх вчителів можна за допомогою такої методики навчання, яка дає можливість враховувати індивідуальні особливості кожного і контролювати їх зміни під час навчання.В результаті вивчення роботи молодих вчителів ми прийшли до висновку, що в більшості своїй у молодих вчителів виникають труднощі, які пов’язані з тим, що вони не можуть у повній мірі реалізувати отримані у вузі знання та вміння, а також є такі аспекти педагогічної діяльності вчителя математики в школі, які не були розглянуті при навчанні у вузі. Анкетування дозволило зробити висновки: у молодих вчителів виникають труднощі, які пов’язані з методичним аналізом тем, з постановкою задач до кожного уроку; при реалізації задач, які поставлені до уроку, одним з найбільш важливих є підбір системи вправ, і з цим у деяких починаючих вчителів не все в порядку.Анкетування завучів показало, що їх думка з приводу роботи молодих вчителів майже однакова: вчителі не вміють ставити мету до уроку, не аналізують уроки, не вносять корективи у послідуючі уроки, а також відмічають скованість, малу степінь спілкування з учнями. Однією з причин таких труднощів є недостатня якість методичної підготовки студентів, яка у найбільшій степені формується на заняттях з шкільного курсу математики.Для того, щоб у деякій мірі ліквідувати ці недоліки, сформулюємо основні методичні принципи проведення практикумів з шкільного курсу математики:вивчення будь-якої теми починати з розгляду відповідних питань шкільного курсу математики, пропонуючи студентам повторити по шкільним підручникам необхідний теоретичний матеріал;при розгляді кожного питання вказувати той мінімум знань і вмінь, який повинен бути досягнутий учнями, а також той рівень, який можна вважати вищим для учнів шкіл та вважати обов’язковим досягнення кожним студентом цього рівня, а вищим рівнем складності вправ вважати ті вправи, які пропонуються на факультативних заняттях, вступних іспитах, де потрібна поглиблена математична підготовка;особливу увагу приділяти розв’язуванню задач, які є типовими для шкільного курсу математики з чітким виділенням основних кроків їх розв’язання ( під типовими будемо розуміти задачі з даної теми, у яких найбільш сильно відображені основні методи, які використовуються для розв’язання задач);якщо задача розв’язується декількома способами, обговорити недоліки і переваги кожного з них ( наприклад, розв’язання дробово-лінійних нерівностей та ін.). Ця робота служить основою для подальшого постійного підвищення кваліфікації вчителя математики;пропонувати студентам методичні завдання, зокрема сформулювати у явному виді основні алгоритми шкільного курсу, записати вправи для формування алгоритму, виділяти базисні знання та вміння учнів, пропонувати вивчити різні методи розв’язання вправ, нові вправи, використовуючи матеріали з журналів, збірників задач і т.п.;навчати студентів розв’язувати визначені методичні проблеми, які виникають в учбовому процесі (наприклад, вчитель намітив деякий шлях розв’язання задачі, а учні пропонують зовсім інший, якою може бути реакція вчителя; знайти помилки у висловлювані учнів);при розв’язанні вправ особливу увагу приділяти пошуку розв’язку, у явному виді виділяти ті міркування, які висувались учнем до розв’язання, пропонувати студентам задавати друг другу “добре” питання, яке спрямовує думку у відповідному напрямку.При такому підході надзвичайно актуальним має бути процес індивідуалізації навчання студентів за допомогою якого можна управляти навчанням. Індивідуалізацію навчання доцільно починати задовго до педагогічної практики і після вивчення загального курсу методики викладання математики та починати з виявлення спеціальних знань шкільного курсу математики та методичних вмінь шляхом тестування.Аналіз результатів тестування дає змогу виділити чотири групи студентів:перша група об’єднує студентів з високими математичними і методичними вміннями;друга група – студенти, які мають високі математичні вміння та виражені методичні;третя група – студенти, які мають високі методичні вміння та менш виражені предметні;четверта група – з низькими знаннями теорії та методики шкільної математики.Домінуючим методом індивідуальної методичної підготовки є система тем індивідуальних завдань, які пропонуються для самостійного вивчення. Самостійні роботи, різні за змістом, степеню складності, методами та прийомами виконання, виконують всі студенти у кожному семестрі вивчення курсу шкільної математики та методики її викладання.Аналіз результатів проходження педагогічної практики показав, що при такому підході педагогічна діяльність студента мала творчий, пошуковий характер, спрямований на індивідуальний підхід до навчання учнів, активізацію розумової діяльності та розвитку кожного учня.Такий, або близький до нього, підхід до методики проведення практикуму з шкільної математики є ефективним та доцільним для використання у практиці роботи педагогічного вузу.Проілюструємо сказане прикладом вивчення студентами теми “Обернені тригонометричні функції”. З початку зупинимось на тій підготовчій роботі, за допомогою якої визначимо методику вивчення студентами теми на заняттях з шкільного курсу математики. З початку визначимо місце теми у шкільному курсі математики, вимоги програми, обов’язковий мінімум засвоєння теми учнями, типи завдань з теми у підручнику “Алгебра і початки аналізу, 10–11”. Обернені тригонометричні функції розглядаються у темі “Тригонометричні рівняння та нерівності”, основною метою вивчення якої є формування у учнів вмінь розв’язувати тригонометричні рівняння та нерівності. Звідси витікає, що учні повинні засвоїти – це знання, смисл символів “arcsina”, “arccosa”, вміти находити значення обернених тригонометричних функцій (у окремих часткових випадках на основі знань значень тригонометричних функцій деяких чисел, за допомогою калькулятора).Слідує мати на увазі, що тема має великі дидактичні можливості для розвитку логічної культури учнів, математизації та повторення багатьох розділів математики. При цьому можна обмежитись тільки вправами, які не потребують виконання складних перетворень. Навряд є розумним при роботі з “сильними” учнями (індивідуально, на гуртках, факультативах) не використати ці можливості.Визначаючи зміст та методику вивчення обернених тригонометричних функцій на шкільному курсі математики слідує також прийняти до уваги деякі методичні зауваження:у шкільному курсі математики ввести обернені тригонометричні функції можливо або як розв’язок відповідного тригонометричного рівняння, або як функції оберненої до відповідної тригонометричної функції на проміжку існування оберненої функції;для того, щоб відшукати значення обернених тригонометричних функцій потрібно знання формул:arcsin(–a)=–arcsina, arccos(–a)=–arccosa,arctg(–a)=–arctga;у теперішній час у школі широко використовується мікрокалькулятор, який є основним засобом обчислень.З урахуванням цих зауважень визначимо таку методику вивчення теми студентами:1. Обговорюємо основні теоретичні та деякі методичні положення: поняття функція, обернена до даної, зв’язок між графіками, властивостями взаємно-обернених функцій, два способу введення обернених функцій.2. Розглядаємо означення обернених тригонометричних функцій, їх графіки та властивості, смисл означень arcsina, arccosa, arctga і arcсtga, находження значень обернених тригонометричних функцій за допомогою мікрокалькулятора, обговорюємо думки відносно способів введення у школі понять обернених тригонометричних функцій;3. Всі пропоновані завдання та вправи природно умовно розіб’ємо на три рівня складності:вправи, за допомогою яких перевіряємо, як студенти засвоїли базисні поняття теми, вони же дають можливість показати студентам, як можна організувати роботу з “сильними” учнями для початкового засвоєння ними основних понять;вправи, які формують деякі алгоритми, володіння якими забезпечує можливість розв’язувати досить широкий клас задач з теми;вправи творчого характеру, такі для розв’язку яких потрібно знайти новий шлях, який спирається на засвоєні знання і алгоритми.Багатьом вправам корисно придавати методичну спрямованість.Наведемо приклад одного з можливих рівнів:1 рівень.1) Які з висловлень є істинними? Якщо висловлення хибне, то у чому помилка?а) sin 5/6=½, тому arcsin ½=5/6б) arcsin ½=13/6, оскільки sin13/6=½в) arcsina – це число, сінус якого дорівнює а.2) Обчислити:а) sin(arcsin0,8);б) sin(arcsin3);в) cos(arcsin0,6);г) tg(arcsin12/13);д) arcsin(sin0,25);є) arcsin(sin2,3);ж) arcsin(sin4,3);з) arcsin(cos0,7).Розв’язок завдань типу д),є) з студентами представляє інтерес, оскільки дає можливість вияснити, чи розуміють вони поняття.У випадку невірної відповіді доцільно пропонувати студентам подумати чи вірно твердження: arcsin(sinx)=x для будь-якого х.3) Побудувати графік функції y=arcsin(sinx).4) Записати формулою функцію, обернену до функції y=sinx на [/2;3/2], використовуючи смисл означення arcsina.5) Побудувати графік функції:а) у=sin(arcsinx);б) y=cos(arcsinx).6) Довести тотожності:а) arcsin(–x)=–arcsinx;б) arccos(–x)=–arccosx;в) arcsinx+arccosx=/2Можна пропонувати студентам такі методичні завдання: учень, який розв’язує приклад а) довів, що sin(arcsin(–x))==sin(–arcsinx). Чи досить цього, щоб зробити висновок про істинність першої формули? Чим треба доповнити проведені міркування для того, щоб забезпечити повноту доведення?При розгляданні завдань пропонувати використовувати графіки відповідних функцій для доведення тотожностей.7) Знайти область визначення функцій:а) у=arcsin(x–2);б) y=arccos(x2–4x+2).8) Скільки розв’язків має рівняння:а) arccosx=2x;б) arcsinx=x2–1;в) arccosx=aпри різних значеннях параметра а?При розв’язку цих завдань зручно використовувати графіки відповідних функцій.9) Розв’язати рівняння та нерівності:а) (arcsinx)2–4 arcsinx=0;б) arcsinx+arccosx=;в) arcsin(x+1)+arcsin(y–1)=;г) arcsinxarcsin(1–x);д) arccos2xarccos(x+1).

У статті аналізується поняття інтерактивні технології навчання на уроках математики в загальноосвітніх закладах середньої освіти. Проаналізовано як вітчизняний, так і зарубіжний досвід застосування інтерактивних технологій у поєднанні з інформаційно-комунікаційними технологіями на уроках математики; розглядаються особливості та обґрунтовується необхідність використання нових підходів у процесі навчання математики в загальноосвітніх закладах середньої освіти, описуються переваги інтегрування сучасних інтернет-технологій в освітній процес, застосування інтерактивних технологій на заняттях та в процесі організації самостійної роботи учнів, а також розглянуто можливості застосування даної інноваційної технології в освітньому процесі загальноосвітнього закладу середньої освіти. У статті відображено практичне застосування інтерактивних технологій на платформі Padlet при вивченні методів розв’язування тригонометричних рівнянь, описуються особливості організації роботи для вчителя і вимоги, що пред'являються при цьому до рівня підготовки учнів.

В результаті чисельних експериментів було знайдено найбільш ефективний прийом застосування Maple при знаходженні розв’язків тригонометричних рівнянь, який полягає в наочній перевірці правильності знайдених виразів. Сутність цієї перевірки полягає у виведенні графіка функції та знайдених коренів на один графік. Показано, що запропонована методика є яскравим прикладом реалізації низки теоретичних положень: поєднання комп‘ютерно-орієнтованих та традиційних форм навчання; активізація навчально-пізнавальної діяльності студентів, розвиток їх самостійності; використання програмних засобів у відповідності вимогам педагогічної доцільності і виправданості їх застосування.

У магістерській роботі розглянуто властивості тригонометричних функцій, показано реалізацію принципу неперервності навчання на прикладі вивчення елементів тригонометрії. Проаналізовано відповідний навчальний матеріал з геометрії для учнів 8-9 класів та з алгебри і початків аналізу для учнів 10 класів. Розглянуто методичні особливості навчання темам, що охоплюють тригонометричні функції, розроблено методичні схеми розв’язування прямокутних і косокутних трикутників та конспекти уроків на теми: «Розв’язування трикутників. Прикладні задачі» (8 клас), «Розв’язування трикутників. Прикладні задачі» (9 клас), «Радіанна міра кутів» (10 клас), «Основі співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу» (10 клас).
There are considered the properties of trigonometric functions, the implementation of the continuity principle of learning by the example of studying the trigonometric elements in this master's thesis. Relevant learning geometrical material for 8th-9th years’ students and learning algebraic material for 10th years’ students are analyzed. Methodical features of teaching topics covering trigonometric functions are considered, methodical schemes of solving right and oblique triangles are developed. There are developed lesson’s plans on the next topic: “Solving triangles. Practical tasks” (8th years), “Solving triangles. Practical tasks” (9th years), “Radian measure of angles” (10th years), “Basic relations between trigonometric functions of one argument” ( 10th years).