Journal articles on the topic 'Модель часових рядів'

Процеси прийняття рішень щодо діяльності об’єктів господарювання, як правило, пов’язані з необхідністю аналізу основних показників їх діяльності. Виявлення тенденцій зміни числових показників в часі дозволяє робити припущення щодо їх майбутніх значень. Такі задачі можна звести до задач прогнозування часових рядів, які полягають у дослідженні законів зміни значень ряду та, на основі заданого критерію точності, знаходження прогнозних значень. Аналітичний огляд сучасних наукових публікацій показав, що задача прогнозування часових рядів є актуальною. Існує багато досліджень присвячених розробці ефективних гібридних методів прогнозування, в основі яких містяться декілька інших методів. Дослідження присвячене розробці прогнозної моделі, яка використовує кращі властивості базових моделей прогнозування, дозволяє підвищити точність прогнозу та його волатильність. В ході дослідження було розроблено еволюційний метод прогнозування на основі базових моделей прогнозування. Для обчислення прогнозних значень будується оптимізаційна модель, в яку входять прогнозні значення, обчислені за допомогою базових моделей. Параметри моделі можуть бути визначені за допомогою генетичного алгоритму. Критеріями якості прогнозної схеми були відносна похибка прогнозування, а також волатильність прогнозу. Такий підхід дозволяє зменшити відхилення прогнозних значень від точних. Виконано експериментальну верифікацію розробленого методу прогнозування. Виконано порівняльний аналіз результатів роботи розробленого методу та інших методів прогнозування для часового ряду «Кількість хворих на СНІД». Показано, що використання прогнозної схеми дозволяє як підвищити точність прогнозу, так і покращити його волатильність.

У статті досліджено принципи впровадження моделей машинного навчання у сферу інтелектуального обслуговування промислового обладнання. Зазначено, що розумне вироб- ництво використовує передову аналітику даних для доповнення фізичних законів щодо підвищення ефективності роботи виробничих систем. Наголошується, що за широкого поширення датчиків та Інтернету речей (IoT) зростає потреба в обробці великих вироб- ничих даних, що характеризуються високим об’ємом, високою швидкістю і високою різ- номанітністю. Наведено схему промислової машини, яка використовується для перемо- тування та різання пакувальної плівки на виробництві. Детально розкрито виробничий процес та складено структурну схему налаштування системи, сформовано модель клас- теризації параметрів для виявлення збоїв у роботі промислової машини. Підкреслено, що дані, отримані від датчиків, фактично є дискретними даними часу, що відбираються за секунду часу, а декомпозиція даних часових рядів виявила тенденцію до зростання залиш- ків. Отримані часові ряди стаціонарувались за допомогою диференціації, а логарифмічне перетворення у свою чергу використовувалось для зменшення дисперсії даних часових рядів. При цьому наголошується, що диференціація усуває зміни рівня динамічного ряду, а отже, усуває тенденції та сезонність, причому середнє ковзне та стандартне відхи- лення знайдено незалежно від часу, на основі чого побудовано діаграму стаціонарності. Визначено етапи прогнозування та запропоновано модель інтегрованої ковзної середньої. У роботі запропоновано три моделі: метод опорних векторів, глибока нейронна мережа та наївний баєсів класифікатор, здійснено порівняння всіх трьох моделей та доведено, що модель глибокої нейронної мережі була більш ефективною в разі моделювання даних. Про- гнозна модель побудована для зменшення низькоякісних виробничих циклів та планування технічного обслуговування. Таким чином, наголошено, що машинне навчання на основі IoT допоможе подолати суттєві обмеження продуктивності та пов’язані з цим витрати на обслуговування, що в загальному випадку значно підвищить продуктивність виробничого обладнання.

У статті досліджені актуальні питання щодо моделювання та аналізу недетермінованих процесів, представлених нечіткими часовими послідовностями з нерівномірними інтервалами між спостереженнями. Метою дослідження являється розробка нової сеперабельної моделі та методу аналізу і прогнозування таких часових рядів. Модель відрізняється окремим формуванням послідовностей величин показників та інтервалів між спостереженнями, з подальшим їх узгодженням. Представлено програмних комплекс та результати моделювання, отримані на основі удосконаленої нечіткої квантильної моделі. Запропоновано нові змістовні та формальні постановки завдань щодо упорядкування послідовностей елементів, які відрізняються урахуванням різної складності (ваги) окремих конструктивних операцій. Наводяться інтелектуальні алгоритми реалізації завдань упорядкування «з вагою».

Дослідження процесів збуту та планування виробництва є важливою складовою діяльності будь-якого комерційного підприємства. Це пояснюється тим, що професійне вирішення основних задач збуту обумовлює максимальний рівень задоволення потреби клієнтів, створення додаткових маркетингових переваг, збільшення обсягів реалізації, забезпечення зростання прибутку не тільки в коротко, але і в довгостроковому періоді. Для підвищення ефективності управління процесами збуту та планування виробництва сучасні підприємствавикористовують різноманітні програмні продукти, які автоматизують тільки частину їх бізнес-процесів. В тих продуктах, які займаються аналізом, прогнозуванням збуту та плануванням виробництва, існують проблеми з рівнем точності результатів прогнозу. Тому розробка програмних модулів, що спрощують вирішення задачі прогнозування та підвищують точність отриманих результатів є досить актуальною. Для вирішення задачі прогнозування була обрана модель проінтегрованої авторегресії та ковзного середнього (ARIMA). Перед побудовою моделей прогнозування проводиться автоматична класифікація (кластеризація) досліджуваних часових рядів для виявлення чітких груп зі схожими властивостями, яка надає можливість вибору початкової структури моделей прогнозування для кожної із груп. Після цього йде валідація або корегування значень порядку складових моделей (AR, MA), завдяки результатам обробки коррелограмм автокореляційної та приватної автокореляційної функій. На останньому етапі за допомогою методу найменших квадратів розраховуються параметри сформованих моделей прогнозування.

Метою статті є огляд і класифікація основних моделей прогнозування часових рядів. Розглянуті статистичні моделі експоненційного згладжування, ковзного середнього, регресійні та авторегресійні моделі, їх особливості та сфери використання. Зі структурних методів проведено аналіз моделей на базі нейромереж, ланцюгів Маркова, опорних векторів та дерев рішень. Найкращі результати демонструють комбіновані моделі прогнозування, які розглянуто у сучасних публікаціях в інформаційних системах різноманітного призначення. Подальші дослідження будуть об’єднувати статистичні та структурні моделі для отримання кращого прогнозу.

На сьогоднішній день виявлення аномалій є однією із головних причин виконання аналізу даних. Із подальшим розвитком інтернету речей, потреба у автоматизованих системах моніторингу та прийняття рішень, здатних вчасно розпізнати збої або помилки в роботі різного роду пристроїв та інфраструктури, та не допустити небажаних наслідків, буде тільки зростати. Саме тому в цій статті дослідження присвячене розробці ефективних алгоритмів виявлення аномалій. Представлені практичні результати аналізу часових рядів цін на акції всесвітньовідомих кампаній.

У роботі наведено результати статистичного аналізу та аналізу на основі методології часових рядів (АКФ, ЧАКФ, тест Дікі–Фулера) таких демографічних показників, як кількість народжених та померлих, чисельність наявного та постійного населення у Рівненській області за період 1950–2018 рр. У середовищі економетричного пакету EViews реалізовано перевірку часових рядів відповідних демографічнихпоказників на стаціонарність і запропоновано рекомендації щодо побудови їх математичних моделей.

Обґрунтовано методичні підходи до аналізу продажу продукції дитячого харчування. Визначено, що важливе місце в аналізі динаміки товарообігу займають індексний метод та побудова динамічних рядів. На основі якісного аналізу обрано коло факторів, які теоретично впливають на обсяг продажів замінників грудного молока. На етапі кількісного аналізу враховано особливості використання методів кореляційно-регресійного аналізу на часових рядах, а саме перевірку факторів на наявність мультиколінеарності, аналітичне вирівнювання часових рядів, відбір істотних факторів та побудову статистично значущої моделі. В результаті проведеного аналізу продажів визначено основні фактори, що впливають на рівень продажів на ринку продуктів дитячого харчування.

У статті розглянуто методологічні положення та інструментарій прогнозного моделювання динаміки ринку віртуальних активів, проаналізовано динаміку курсу головних криптовалют в Україні, для обраного портфелю валют побудовано динамічні факторні моделі, що поєднують підходи класичного факторного аналізу та авторегресійного аналізу. З метою визначення прогнозних значень окремих часових рядів показників з мінімально можливою похибкою застосовано оригінальну версію динамічного факторного аналізу, яка дозволяє в ex post прогнозі мінімізувати похибку довільно обраного показника. Динаміку обраної системи проаналізовано з позицій двох систем часових рядів показників із різним кроком за часом при використанні щоденних та усереднених за місяць даних статистики. Прогнози цін попиту і споживання криптовалют знайдені при застосуванні методів інтервального і рекурсивного покрокового прогнозування.

Розглянуто сучасні методи розпізнавання аномальних патернів у зразках кодових послідовностей для ідентифікації типу аварії на об'єктах критичної інфраструктури за допомогою прихованих марковських моделей. Представлена комплексна методика, що базується на аналізі функції густини ймовірності аномальних паттернів, що застосовується у прихованій марковській та напівмарковській моделі. Вказано, що зазначений підхід дозволяє визначити функцію часової залежності рядів даних, відповідно класифікація проводиться на основі наборів аномальних даних, що не відповідають класам навчальної вибірки. На основі математичної моделі показано, що представлена методика надає можливість оптимізувати ефективність розпізнавання аномальних паттернів при ідентифікації аварійного стану на об'єкті інфраструктури.

Проблема недостатності інформації суттєво впливає на вибір підходів та методів аналізу рядів даних, а також на якість отримуваних результатів. Зважаючи на таку проблему, автори роботи вважають, що актуальним є питання розробки й аналізу підходів та моделей для подовження рядів даних. Основною задачею є описання та реалізація технології подовження рядів даних. В основу реалізації технології закладено використання значень схожих рядів даних як ознак для подовження певного ряду даних, представленого тими ж показниками, що й схожі ряди даних. В роботі описано схему визначення схожих рядів даних. Згідно з цією схемою найбільш схожими рядами даних є такі, що мають найменше значення відстані та сильний прямий кореляційний зв’язок, обчислені між потенційно схожим рядом та рядом, для якого буде відбуватися подовження. Для подовження ряду розглядаються сім моделей. За результатами обчислювального експерименту встановлено, що найкращі результати отримано при використанні двох моделей: суми зважених значень по групі схожих рядів та середньозважених значень по групі схожих рядів, з коригуванням на середнє значення ряду, для якого виконується подовження. В результаті проведеного аналізу можна дійти висновку про можли-вість використання розробленої технології для вирішення задачі подовження рядів даних. При подальших дослідженнях планується використання отриманих результатів для розробки та аналізу методів поповнення пропущених значень у часових рядах.

The method of construction of the combined model of forecast ing of time series based on basic models of forecasting is developed in the work. The set of basic models is dynamic, ie new prediction models can be included in this set. Models also can be deleted depending on the properties of the time series. For the synthesis of a combined model of forecasting time series with a given forecast step, the optimal step of prehistory is determined at the beginning. Next the functional is constructed. The optimal prehistory step is determined using the autoregression method for a fixed forecast step. It determines the period of time at which the accuracy of models from the base set is analyzed. For each basic model during the process of the construction of the combined model is determined by the weighting factor with which it will be included in the combined model. The weights of the basic models are determined based on their forecasting accuracy for the time period determined by the prehistory step. The weights reflect the degree of influence of the base models on the accuracy of the combined model forecasting. After construction of the combined model, its training is carried out and those basic models which will be included in the final combined model of forecasting are defined. The rule of inclusion of basic models in the combined model is established. While including basic models in the combined forecasting model, their weights are taken into account, which depends on the same parameter. The optimal value of the parameter is determined by minimizing the given functional, which sets the standard deviation between the actual and predicted values ​​of the time series. Weights with optimal parameters are ranked in decreasing order and are used to include basic models in the combined model. As a result of this approach, as predicted values for the real time series show, it was possible to significantly improve the forecasting accuracy of the combined model in many cases. The developed method of training provides the flexibility of the combined model and its application to a wide class of time series. The results obtained in this work contribute to solving the problem of choosing the most effective basic models by synthesizing them into one combined model.

Подано результати попереднього оброблення первинних даних, отриманих із режимної геофізичної автоматичної станції. Як методи оброблення використано описову статистику та моделювання часових рядів. Подання результатів багатовимірними графіками дало змогу виявити феномен збігу в першому показнику описової статистики, а в другому – збіг коефіцієнтів моделі для подобових вимірів природного електричного поля. Використання мір центральної тенденції та мір варіації дають не лише основні загальні характеристики отриманої вибірки даних, але і їх подання у вигляді багатоелементного графіка, що дає змогу виявити окремі специфічні точки для послідовності діб місяця. Їхня специфічність полягає в тому, що вони вказують на доби, які за цими показниками є найбільш подібні між собою. Цей феномен можна трактувати по-різному: відсутність зовнішніх впливів, у ці доби відбувся один і той самий вплив тощо. Цілком зрозуміло, що на всьому проміжку, отриманих за весь час роботи станції даних, цей феномен повинен мати якесь пояснення в майбутніх дослідженнях. Тому використання методів описової статистики та часових рядів є доцільним для оброблення первинних даних, оскільки їх результати визначають нові задачі для подальшого аналізу не тільки геофізичних даних, але й інших подібних явищ, таких як: кардіологічні сигнали, показники сонячної активності та інші.

Timely detection of changes in the characteristics of space hardware objects during their long-term operation is one of the main tasks in the development and study of onboard systems that maintain the efficiency of their operation. This paper presents a statistical method for simulating the motion of space objects (spacecraft and used launch vehicle stages) in the class of autoregressive models. The method allows one to improve the quality of description and prediction of the motion of space objects based on simulating time series of their TLE-elements (two-line orbital element sets). The purpose of this work is to increase the accuracy of mathematical models of the observed motion of space objects in the problems of deorbit time determination, satellite collision prediction, and space debris cataloging. The paper presents a system for simulating the motion of space objects, which allows one to determine an optimal amount of learning samples in simulating time series of TLE elements, determine the order of autoregression and find an optimal model structure for each variable element, identify model parameters in conditions of unequally spaced observations, identify features of the time behavior of the root-mean-square errors of the constructed autoregressive models on the basis of dividing the initial time series of TLE-elements into successive learning intervals, and obtain predictive estimates of the values of variable elements. The proposed statistical method of space object motion simulation can be recommended to describe and predict the motion of spacecraft and used launch vehicle stages represented as time series of TLE-elements (which are publicly available and regularly updated). The application of the proposed statistical method will increase the accuracy of mathematical models of the observed motion of space objects in the problems of deorbit time determination, satellite collision prediction, and space debris cataloging.

У статті проведено аналіз місця характеристики надійність програмного забезпечення в структурі моделей якості програмного забезпечення. Визначено, що в ієрархічній структурі більшості моделей якості програмного забезпечення характеристика надійність є першою підхарактеристикою характеристики якість. Виділені п’ять принципів урахування вторинних дефектів програмних засобів. Для урахування вторинних дефектів програмних засобів використовується: теорія динаміки програмних систем, у якій процеси прояву дефектів у програмних засобах розглядаються як результат дії детермінованих потоків дефектів; теорія часових рядів, де виділяються вторинні дефекти із загального потоку дефектів; імітаційне моделювання; модифікація функцій ризику моделей оцінки надійності програмних засобів та функцій, що характеризують параметри цих моделей, внесенням імовірнісних коефіцієнтів; модифікація функцій ризику моделей оцінки надійності програмних засобів шляхом внесення параметра, що визначає число вторинних дефектів, який визначається порівнянням значень полігона частот дефектів з відповідними значеннями функції регресії. Проаналізовано поняття недосконалого відлагодження програмного забезпечення у контексті урахування вторинних дефектів. Обґрунтовано вибір експоненціальної апроксимації полігона частот виявлених дефектів програмних засобів. Наведено приклади моделей оцінки надійності програмних засобів, функції ризику яких містять експоненціальну складову. Розглянуто послідовність знаходження коефіцієнтів функції, одержаної в результаті зміщення лінії експоненціальної апроксимації полігона частот виявлених дефектів програмних засобів. Показано застосування одержаних коефіцієнтів для методики оцінювання числа вторинних дефектів, що ґрунтується на порівнянні даних статистики числа дефектів і даних зміщеної лінії експоненціальної апроксимації полігона частот дефектів. Одержані рівняння скоригованої лінії експоненціальної апроксимації для вибірок малих і великих об’ємів. Одержані формули для обчислення числа вторинних дефектів на часових інтервалах без урахування та із урахуванням поправки Бесселя.

Вітчизняні страхові компанії беруть менш активну участь в інвестиційних процесах, а вкладені ними кошти не задовольняють потреб інвестиційного ринку в повному обсязі. Діяльність страхової компанії полягає у проведенні власне страхування і у виконанні нею ролі активного інвестора, що зумовлює специфіку формування внутрішніх джерел його фінансових ресурсів за рахунок доходів, які пов’язані зі страховою та перестраховою діяльністю, доходів від інвестування та розміщення тимчасово вільних коштів, інших доходів. Оскільки величина капіталу страхових компаній визначається, зокрема, величиною зібраних страхових премій, то при її аналізі ми пропонуємо скористатися статистичними методами аналізу часових рядів, які є більш універсальними з тієї точки зору, що дозволяють будувати прогнозні моделі для будь-якого наперед визначеного ступеня точності (рівня довіри). Для оцінювання величини фінансових ресурсів страхових компаній використано методологію множинного кореляційно-регресійного аналізу. Отримано множинне лінійне рівняння регресії, яке виражає залежність величини капіталу страховика від обсягу зібраних страхових премій часткою перестрахування і рівнем страхових виплат. Знайдені коефіцієнти регресії дозволяють визначити вплив наведених факторних ознак на величину капіталу страховика. Методологія динамічних рядів надає можливість на основі обсягів зібраних валових страхових премій за попередні роки визначити інтервальну оцінку прогнозу на наступний рік. Зокрема, побудоване множинне рівняння регресії виражає залежність величини активів страховика від обсягу зібраних страхових премій, частки перестрахування та рівня страхових виплат. З нього випливає, що позитивно на зростання активів страховика впливає величина зібраних страхових премій. Зокрема, збільшення на 1 тис. грн страхових премій без врахування впливу двох інших факторів призводить до зростання активів страховика на 1,24 тис. грн.

Наукові дослідження стають ефективними тоді, коли природу подій чи явищ можна розглядати з єдиних позицій, виробити універсальний підхід до них, сформувати загальні закономірності. Більшість сучасних фундаментальних наукових проблем і високих технологій тісно пов’язані з явищами, які лежать на границях різних рівнів організації. Природничі та деякі з гуманітарних наук (економіка, соціологія, психологія) розробили концепції і методи для кожного із ієрархічних рівнів, але не володіють універсальними підходами для опису того, що відбувається між цими рівнями ієрархії. Неспівпадання ієрархічних рівнів різних наук – одна із головних перешкод для розвитку дійсної міждисциплінарності (синтезу різних наук) і побудови цілісної картини світу. Виникає проблема формування нового світогляду і нової мови.Теорія складних систем – це одна із вдалих спроб побудови такого синтезу на основі універсальних підходів і нової методології [1]. В російськомовній літературі частіше зустрічається термін “синергетика”, який, на наш погляд, означує більш вузьку теорію самоорганізації в системах різної природи [2].Мета роботи – привернути увагу до нових можливостей, що виникають при розв’язанні деяких задач, виходячи з уявлень нової науки.На жаль, теорія складності не має до сих пір чіткого математичного визначення і може бути охарактеризована рисами тих систем і типів динаміки, котрі являються предметом її вивчення. Серед них головними є:– Нестабільність: складні системи прагнуть мати багато можливих мод поведінки, між якими вони блукають в результаті малих змін параметрів, що управляють динамікою.– Неприводимість: складні системи виступають як єдине ціле і не можуть бути вивчені шляхом розбиття їх на частини, що розглядаються ізольовано. Тобто поведінка системи зумовлюється взаємодією складових, але редукція системи до її складових спотворює більшість аспектів, які притаманні системній індивідуальності.– Адаптивність: складні системи часто включають множину агентів, котрі приймають рішення і діють, виходячи із часткової інформації про систему в цілому і її оточення. Більш того, ці агенти можуть змінювати правила своєї поведінки на основі такої часткової інформації. Іншими словами, складні системи мають здібності черпати скриті закономірності із неповної інформації, навчатися на цих закономірностях і змінювати свою поведінку на основі нової поступаючої інформації.– Емерджентність (від існуючого до виникаючого): складні системи продукують неочікувану поведінку; фактично вони продукують патерни і властивості, котрі неможливо передбачити на основі знань властивостей їх складових, якщо розглядати їх ізольовано.Ці та деякі менш важливі характерні риси дозволяють відділити просте від складного, притаманного найбільш фундаментальним процесам, які мають місце як в природничих, так і в гуманітарних науках і створюють тим самим істинний базис міждисциплінарності. За останні 30–40 років в теорії складності було розроблено нові наукові методи, які дозволяють універсально описати складну динаміку, будь то в явищах турбулентності, або в поведінці електорату напередодні виборів.Оскільки більшість складних явищ і процесів в таких галузях як екологія, соціологія, економіка, політологія та ін. не існують в реальному світі, то лише поява сучасних ЕОМ і створення комп’ютерних моделей цих явищ дозволило вперше в історії науки проводити експерименти в цих галузях так, як це завжди робилось в природничих науках. Але комп’ютерне моделювання спричинило розвиток і нових теоретичних підходів: фрактальної геометрії і р-адичної математики, теорії хаосу і самоорганізованої критичності, нейроінформатики і квантових алгоритмів тощо. Теорія складності дозволяє переносити в нові галузі дослідження ідеї і підходи, які стали успішними в інших наукових дисциплінах, і більш рельєфно виявляти ті проблеми, з якими інші науки не стикалися. Узагальнюючому погляду з позицій теорії складності властиві більша евристична цінність при аналізі таких нетрадиційних явищ, як глобалізація, “економіка, що заснована на знаннях” (knowledge-based economy), національні і світові фінансові кризи, економічні катастрофи і ряд інших.Однією з інтригуючих проблем теорії є дослідження властивостей комплексних мережеподібних високотехнологічних і інтелектуально важливих систем [3]. Окрім суто наукових і технологічних причин підвищеної уваги до них є і суто прагматична. Справа в тому, що такі системи мають системоутворюючу компоненту, тобто їх структура і динаміка активно впливають на ті процеси, які ними контролюються. В [4] наводиться приклад, коли відмова двох силових ліній системи електромережі в штаті Орегон (США) 10 серпня 1996 року через каскад стимульованих відмов призвели до виходу із ладу електромережі в 11 американських штатах і 2 канадських провінціях і залишили без струму 7 млн. споживачів протягом 16 годин. Вірус Love Bug worm, яких атакував Інтернет 4 травня 2000 року і до сих пір блукає по мережі, приніс збитків на мільярди доларів.До таких систем відносяться Інтернет, як складна мережа роутерів і комп’ютерів, об’єднаних фізичними та радіозв’язками, WWW, як віртуальна мережа Web-сторінок, об’єднаних гіперпосиланнями (рис. 1). Розповсюдження епідемій, чуток та ідей в соціальних мережах, вірусів – в комп’ютерних, живі клітини, мережі супермаркетів, актори Голівуду – ось далеко не повний перелік мережеподібних структур. Більш того, останнє десятиліття розвитку економіки знань привело до зміни парадигми структурного, функціонального і стратегічного позиціонування сучасних підприємств. Вертикально інтегровані корпорації повсюдно витісняються розподіленими мережними структурами (так званими бізнес-мережами) [5]. Багато хто з них замість прямого виробництва сьогодні займаються системною інтеграцією. Тому дослідження структури та динаміки мережеподібних систем дозволить оптимізувати бізнес-процеси та створити умови для їх ефективного розвитку і захисту.Для побудови і дослідження моделей складних мережеподібних систем введені нові поняття і означення. Коротко опишемо тільки головні з них. Хай вузол i має ki кінців (зв’язків) і може приєднати (бути зв’язаним) з іншими вузлами ki. Відношення між числом Ei зв’язків, які реально існують, та їх повним числом ki(ki–1)/2 для найближчих сусідів називається коефіцієнтом кластеризації для вузла i:. Рис. 1. Структури мереж World-Wide Web (WWW) і Інтернету. На верхній панелі WWW представлена у вигляді направлених гіперпосилань (URL). На нижній зображено Інтернет, як систему фізично з’єднаних вузлів (роутерів та комп’ютерів). Загальний коефіцієнт кластеризації знаходиться шляхом осереднення його локальних значень для всієї мережі. Дослідження показують, що він суттєво відрізняється від одержаних для випадкових графів Ердаша-Рені [4]. Ймовірність П того, що новий вузол буде приєднано до вузла i, залежить від ki вузла i. Величина називається переважним приєднанням (preferential attachment). Оскільки не всі вузли мають однакову кількість зв’язків, останні характеризуються функцією розподілу P(k), яка дає ймовірність того, що випадково вибраний вузол має k зв’язків. Для складних мереж функція P(k) відрізняється від розподілу Пуассона, який мав би місце для випадкових графів. Для переважної більшості складних мереж спостерігається степенева залежність , де γ=1–3 і зумовлено природою мережі. Такі мережі виявляють властивості направленого графа (рис. 2). Рис. 2. Розподіл Web-сторінок в Інтернеті [4]. Pout – ймовірність того, що документ має k вихідних гіперпосилань, а Pin – відповідно вхідних, і γout=2,45, γin=2,1. Крім цього, складні системи виявляють процеси самоорганізації, змінюються з часом, виявляють неабияку стійкість відносно помилок та зовнішніх втручань.В складних системах мають місце колективні емерджентні процеси, наприклад синхронізації, які схожі на подібні в квантовій оптиці. На мові системи зв’язаних осциляторів це означає, що при деякій критичній силі взаємодії осциляторів невелика їх купка (кластер) мають однакові фази і амплітуди.В економіці, фінансовій діяльності, підприємництві здійснювати вибір, приймати рішення доводиться в умовах невизначеності, конфлікту та зумовленого ними ризику. З огляду на це управління ризиками є однією з найважливіших технологій сьогодення [2, 6].До недавніх часів вважалось, що в основі розрахунків, які так чи інакше мають відношення до оцінки ризиків лежить нормальний розподіл. Йому підпорядкована сума незалежних, однаково розподілених випадкових величин. З огляду на це ймовірність помітних відхилень від середнього значення мала. Статистика ж багатьох складних систем – аварій і катастроф, розломів земної кори, фондових ринків, трафіка Інтернету тощо – зумовлена довгим ланцюгом причинно-наслідкових зв’язків. Вона описується, як показано вище, степеневим розподілом, “хвіст” якого спадає значно повільніше від нормального (так званий “розподіл з тяжкими хвостами”). У випадку степеневої статистики великими відхиленнями знехтувати вже не можна. З рисунку 3 видно, наскільки добре описуються степеневою статистикою торнадо (1), повені (2), шквали (3) і землетруси (4) за кількістю жертв в них в США в ХХ столітті [2]. Рис. 3. Системи, які демонструють самоорганізовану критичність (а саме такі ми і розглядаємо), самі по собі прагнуть до критичного стану, в якому можливі зміни будь-якого масштабу.З точки зору передбачення цікавим є той факт, що різні катастрофічні явища можуть розвиватися за однаковими законами. Незадовго до катастрофи вони демонструють швидкий катастрофічний ріст, на який накладені коливання з прискоренням. Асимптотикою таких процесів перед катастрофою є так званий режим з загостренням, коли одна або декілька величин, що характеризують систему, за скінчений час зростають до нескінченності. Згладжена крива добре описується формулою,тобто для таких різних катастрофічних явищ ми маємо один і той же розв’язок рівнянь, котрих, на жаль, поки що не знаємо. Теорія складності дозволяє переглянути деякі з основних положень ризикології та вказати алгоритми прогнозування катастрофічних явищ [7].Ключові концепції традиційних моделей та аналітичних методів аналізу і управління капіталом все частіше натикаються на проблеми, які не мають ефективних розв’язків в рамках загальноприйнятих парадигм. Причина криється в тому, що класичні підходи розроблені для опису відносно стабільних систем, які знаходяться в положенні відносно стійкої рівноваги. За своєю суттю ці методи і підходи непридатні для опису і моделювання швидких змін, не передбачуваних стрибків і складних взаємодій окремих складових сучасного світового ринкового процесу. Стало ясно, що зміни у фінансовому світі протікають настільки інтенсивно, а їх якісні прояви бувають настільки неочікуваними, що для аналізу і прогнозування фінансових ринків вкрай необхідним став синтез нових аналітичних підходів [8].Теорія складних систем вводить нові для фінансових аналітиків поняття, такі як фазовий простір, атрактор, експонента Ляпунова, горизонт передбачення, фрактальний розмір тощо. Крім того, все частіше для передбачення складних динамічних рядів використовуються алгоритми нейрокомп’ютинга [9]. Нейронні мережі – це системи штучного інтелекту, які здатні до самонавчання в процесі розв’язку задач. Навчання зводиться до обробки мережею множини прикладів, які подаються на вхід. Для максимізації виходів нейронна мережа модифікує інтенсивність зв’язків між нейронами, з яких вона побудована, і таким чином самонавчається. Сучасні багатошарові нейронні мережі формують своє внутрішнє зображення задачі в так званих внутрішніх шарах. При цьому останні відіграють роль “детекторів вивчених властивостей”, оскільки активність патернів в них є кодування того, що мережа “думає” про властивості, які містяться на вході. Використання нейромереж і генетичних алгоритмів стає конкурентноздібним підходом при розв’язанні задач передбачення, класифікації, моделювання фінансових часових рядів, задач оптимізації в галузі фінансового аналізу та управляння ризиком. Детермінований хаос пропонує пояснення нерегулярної поведінки і аномалій в системах, котрі не є стохастичними за природою. Ця теорія має широкий вибір потужних методів, включаючи відтворення атрактора в лаговому фазовому просторі, обчислення показників Ляпунова, узагальнених розмірностей і ентропій, статистичні тести на нелінійність.Головна ідея застосування методів хаотичної динаміки до аналізу часових рядів полягає в тому, що основна структура хаотичної системи (атрактор динамічної системи) може бути відтворена через вимірювання тільки однієї змінної системи, фіксованої як динамічний ряд. В цьому випадку процедура реконструкції фазового простору і відтворення хаотичного атрактора системи при динамічному аналізі часового ряду зводиться до побудови так званого лагового простору. Реальний атрактор динамічної системи і атрактор, відтворений в лаговому просторі по часовому ряду при деяких умовах мають еквівалентні характеристики [8].На завершення звернемо увагу на дидактичні можливості теорії складності. Розвиток сучасного суспільства і поява нових проблем вказує на те, що треба мати не тільки (і навіть не стільки) експертів по деяким аспектам окремих стадій складних процесів (професіоналів в старому розумінні цього терміну), знадобляться спеціалісти “по розв’язуванню проблем”. А це означає, що істинна міждисциплінарність, яка заснована на теорії складності, набуває особливого значення. З огляду на сказане треба вчити не “предметам”, а “стилям мислення”. Тобто, міждисциплінарність можна розглядати як основу освіти 21-го століття.

Мета. Дослідження розповсюдження пандемії COVID-19 в Україні на підставі статистичної інформації шляхом математичного моделювання з застосуванням ARIMA-моделей задля прогнозування постраждалих від COVID-19. Методи. Проблема, яка потребує як найшвидшого вирішення, аналізу статистики хворих COVID-19 задля відповідного прогнозування. Моніторинг щодо чисельності постраждалих від COVID-19, опублікованих в засобах масової інформації, дає підстави вважати про наявність процесів з невизначеністю. Застосування методу математичного моделювання дозволяє проаналізувати стан захворюваності COVID-19 з метою прогнозування постраждалих від пандемії. Показано, що статистична інформація постраждалих від COVID-19, утворюють стохастичні часові ряди з дискретністю в одну добу. Аналіз цих рядів дозволив дійти висновку щодо можливості моделювання на підставі кореляційної теорії випадкових процесів. Зведення нестаціонарних часових рядів, які містять стаціонарні збільшення, до лінійних стаціонарних рядів шляхом визначення другої різниці дало можливість синтезувати структуру математичної моделі у вигляді авторегресії другого порядку. Застосування статистичних даних щодо постраждалих від COVID-19, дозволило ідентифікувати параметри математичних моделей відповідно до постраждалих від COVID-19. Результати. Досліджено процес розповсюдження пандемії COVID-19 в Україні на підставі статистичних даних Розроблені математичні моделі дозволили спрогнозувати кількість постраждалих від COVID-19. Це надало можливість обчислити залежність чисельності постраждалих від COVID-19, що припадає на одного одужаного або померлого в залежності від часу. Отримані аналітичні співвідношення в оцифрованому вигляді довели, що за досить тривалий період, порядку 80 діб, кількість постраждали від COVID-19 зростає. У той же час швидкість збільшення кількості, які захворіли і померли від COVID-19 зменшується, що дає підстави визначити оптимістичний сценарій щодо терміну закінчення спалаху COVID-19. Запропоновано скористатися розробленою методикою задля порівняння динаміки кількості постраждалих від COVID-19, що забезпечить можливість визначити ефективність заходів по попередженню COVID-19. Ключові слова: пандемія, модель, стохастичність, часовий ряд, авторегресія, прогноз.

У роботі розглянуто основні теоретичні особливості вирішення завдань аналізу та прогнозування фінансових тимчасових рядів, позначено актуальність та затребуваність даного наукового спрямування. Проаналізовано специфіку побудови та використання глибокого навчання на прикладі згорткових моделей штучних нейронних мереж. Розроблено та апробовано програмне забезпечення створення та моделювання згорткових моделей штучних нейронних мереж для вирішення завдань прогнозування фінансових тимчасових рядів, виконано оцінку точності створених моделей.