Journal articles on the topic 'Матричні рівняння'

У цій статті представлено теоретичне дослідження просторово розділених електронних і діркових розподілів, яке відображається у самоузгодженому розв'язанні рівнянь Шредінгера для електронів та дірок і рівняння Пуассона. Результати проілюстровано дляGaN/Al0,3Ga0,7N квантової ями. Спектр оптичного підсилення в [0001]-орієнтованої GaN/Al0,3Ga0,7N квантової ями обчислено в ультрафіолетовій області. Знайдено, що як матричні елементи оптичних переходів з важкої діркової підзони в зону провідності, так і спектр оптичного підсилення мають строго x (або y) поляризацію світла. Показано вплив конфайнменту хвильових функцій на оптичне підсилення, яке неявно залежить від вбудованого електричного поля, що обчислене і дорівнює 2,3 MВ/cм. Якщо структури з вузькою шириною ями проявляють звичайну залежність розвитку максимуму підсилення світла майже без зміщення спектральної області, то значного голубого зміщення максимуму підсилення зі зростанням густини плазми набувають структури зі значною шириною квантової ями. Це голубе зміщення відносять до взаємодії між екрануючим п'єзоелектричним полем, створеним деформацією і зонною структурою. Велике зоммерфельдівське або кулонівське підсилення присутнє у квантовій ямі.

Робота присвячена побудові мікроскопічної та макроскопічної теорій системи N взаємодіючих дворівневих атомів у сильному та слабкому електромагнітних полях. Побудовані мікроскопічні кінетичні рівняння для матричних елементів густини станів атомів та атомного руху N-атомної системи, які враховують взаємодію між атомами та атомів із полем. Відповідна макроскопічна кінетика побудована для одно- та двочастинкової функцій розподілів матриці густини атомних станів. Самоузгоджена система макроскопічних одночастинкових рівнянь для усереднених елементів матриці густини атомних станів разом із рівняннями Максвелла дозволяє описувати випромінювальні та поглинальні властивості системи і пояснити залежність оптичних властивостей від густини частинок у термінах далекодійної диполь-дипольної взаємодії між атомами.

Методом добутку областей, узагальненому на матричні оператори розсіювання, отримано строгий розв’язок задачі дифракції мод на індуктивному і ємнісному штирях в прямокутному хвилеводі. Квадратна область взаємодії мод, яка містить провідний циліндр, розглядається як загальна частина декількох допоміжних областей, що допускають відокремлення змінних в хвильовому рівнянні. У цій області зв'язку комплексна амплітуда поля представлена у вигляді суперпозиції циліндричних хвиль, породжених штирем, і хвильових мод, які поширюються від плоских граничних поверхонь. Застосування техніки матричних операторів призводить до математичної моделі у вигляді операторного перетворення (типу "правила складання тангенсів") для узагальненої матриці розсіювання. Аналітично доведена коректність отриманої матричної моделі і безумовна збіжність проекційних наближень до точного рішення. Приведені результати чисельного дослідження коефіцієнта відбиття основної моди хвилеводу для ємнісного штиря в широкому діапазоні зміни частоти і геометрії області зв'язку.

При математичному описанні різноманітних явищ і процесів, що виникають в математичній фізиці, електротехніці, економіці, доводиться мати справу з матричними диференціальними рівняннями. Тому такі рівняння є актуальними как для математиків, так і для фахівців в інших галузях природознавства. В даній статті розглядається квазілінійне матричне диференціальне рівняння з коефіцієнтами, зображуваними у вигляді абсолютно та рівномірно збіжних рядів Фур'є з повільно змінними в певному сенсі коефіцієнтами та частотою (клас F). Різниці діагональних елементів матриць лінійної частини є суто уявними, тобто ми маємо справу з критичним випадком. Але між цими діагональними елементами припускаються певні співвідношення, що вказують на відсутність резонансу між власними частотами системи і частотою зовнішньої збуджуючої сили. Розглядається задача встановлення ознак існування у такого рівняння розв'язків класу F. За допомогою низки перетворень рівняння зводиться до рівняння некритичного випадку, і розв'язок класу F цього рівняння шукається методом послідовних наближень за допомогою принципа стискуючих відображень. Потім на підставі властивостей розв'язків перетвореного рівняння робляться висновки щодо властивостей початкового рівняння.

В статті запропоновано розв’язок електродинамічної задачі знаходження узагальненої матриці розсіювання нескінченно тонкої несиметричної односторонньої індуктивної діафрагми у прямокутному хвилеводі методом інтегральних рівнянь. Задача зведена до розв’язання системи інтегральних рівнянь по числу хвиль, що падають на неоднорідність із лівої часткової області. Ефективність нового розв’язку електродинамічної задачі досягається завдяки коректному врахуванню особливості тангенціального електричного поля у вікні діафрагми за допомогою поліномів Гегенбауера. Кожне інтегральне рівняння методом Гальоркіна зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно комплексних коефіцієнтів розкладання тангенціального електричного поля у вікні діафрагми. Проведено чисельне дослідження отриманого розв’язку для визначення еквівалентних параметрів діафрагми в діапазоні частот, у якому уздовж хвилеводу може поширюватися без згасання лише основна хвиля. Підтверджено можливість ефективного високоточного обчислення узагальненої матриці розсіювання нескінченно тонкої несиметричної індуктивної діафрагми у прямокутному хвилеводі з урахуванням особливості тангенціального електричного поля на гострому ребрі у вікні діафрагми.

Однією з особливостей хімії ХХІ століття є її інформатизація та математизація, при цьому хімія виходить на новий рівень розвитку з новими для неї можливостями. Багато авторів приділяють увагу місцю математики та інформатики в сучасній хімії: Н. Д. Вишнивецька, В. С. Вишнивецька, Т. М. Деркач, С. А. Неділько, М. Є. Соловйов, М. М. Соловйов, А. А. Черняк, Ж. А. Черняк, А. А. Якимович та інші.Загальновідомо, що в умовах вищих навчальних закладів та середніх шкіл дуже гостро стоїть питання про роботу на комп’ютерах тільки з ліцензійними програмами, що на даному етапі не завжди можливо. В той же час комп’ютери в навчальних закладах та в домашніх умовах налагоджені, в основному, на операційну систему Windows з пакетом програм Microsoft Office. Табличний процесор Excel входить до цього пакету програм, має великі обчислювальні можливості, зручний та простий в користуванні, має російський інтерфейс, тому раціонально математичні методи в хімії здійснювати в Excel. Ряд авторів присвятили свої роботи математичному моделюванні в Excel [1; 3; 6]. Про популярність цієї програми говорить і той факт, що табличний процесор Excel активно розглядається та використовується в соціальних мережах.Метою даної роботи є подання прикладів хімічних систем та процесів, які описуються за допомогою системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), і алгоритмів розв’язування СЛАР в Excel.Більшість фізичних, фізико-хімічних, хімічних та технологічних процесів описуються СЛАР. Наведено приклади хімічних систем та хімічних процесів, математичними моделями яких є СЛАР.Неорганічна хімія. Розчини та їх приготування з вихідного розчину та кристалічної речовини. Розрахунок маси вихідних компонентів для приготування розчину певної маси та певної концентрації речовини. При цьому складають систему рівнянь, перше з яких є рівнянням балансу за масою розчину, який треба приготувати, друге є рівнянням матеріального балансу за речовиною в кінцевому розчині.Фізична хімія. Тиск багатокомпонентної хімічної системи. Розрахунок тиску пари чистих компонентів, якщо відомо сумарний тиск суміші цих компонентів в однофазній системі за певної сталої температури та склад суміші. В даному випадку складають систему рівнянь, в кожному з яких підводиться баланс за тиском суміші. Кількість рівнянь повинна бути неменше кількості компонентів у суміші.Аналітична хімія. Спектрофотометричний аналіз багатокомпонентної суміші. Розрахунок кількісного складу багатокомпонентної суміші за результатами вимірювання оптичної густини суміші при різних довжинах хвиль. При цьому складають систему рівнянь, в кожному з яких підводиться баланс за оптичною густиною суміші при певній довжині хвилі. Система рівнянь має розв’язок, якщо кількість довжин хвиль, при яких проводили вимірювання оптичної густини суміші, неменше кількості компонентів цієї суміші.Регресійний аналіз результатів хімічного експерименту. За методом найменших квадратів знаходять рівняння регресії (математична модель експерименту), яке оптимально відповідає залежності функції, яку вивчають, від аргументів в експерименті (наприклад, розчинності речовин від температури).Хімічна технологія. Суміші та їх приготування для проведення певного технологічного процесу з компонентів, в тому числі, відходів виробництва. Розрахунок маси вихідних компонентів для приготування суміші певної маси та певного складу. Для цього складають систему рівнянь, перше з яких є рівнянням балансу за масою суміші, яку треба приготувати, інші є рівняннями матеріального балансу за окремими речовинами в кінцевій суміші.Наступний етап в роботі хіміка – це розв’язання СЛАР, яке іноді є складним та довготривалим процесом. Застосування Excel значно спрощує та прискорює цей процес і дозволяє хіміку більше уваги приділити хімічній суті даного процесу. Тому розглянемо методи розв’язування СЛАР із застосуванням Excel.Існує багато способів розв’язання СЛАР, які поділяють на дві групи:1) точні методи, за допомогою яких знаходимо за певним алгоритмом точні значення коренів системи. До них відносяться метод Крамера, метод Жордана-Гауcса, метод Гаусcа, метод оберненої матриці та інші;2) ітераційні методи, за допомогою яких знаходимо корені системи з заданою заздалегідь точністю шляхом збіжних нескінченних процесів. Це такі методи, як метод простої ітерації, метод Гауcса-Зейделя, метод верхньої та нижньої релаксації та інші.Легко реалізуються в Excel такі методи розв’язування СЛАР, як метод Крамера та матричний метод (або метод оберненої матриці).Розв’язання СЛАР точними методамиМетод КрамераНехай задана система n лінійних рівнянь з n невідомими, (1)тоді їй відповідає матриця:(2)Якщо детермінант det A = Δ ≠ 0, ця система має єдиний розв’язок.Замінимо у визначнику основної матриці Δ i-ий стовпець стовпцем вільних членів, тоді одержимо n інших визначників для знаходження n невідомих Δ1, Δ2, …, Δ n. За формулами Крамера знаходимо невідомі:;; …; . (3)Таким чином, з формули (3) видно, що якщо визначник системи не дорівнює нулю (Δ ≠ 0), то система має лише один розв’язок.Цей метод можна реалізувати в Excel за допомогою математичної функції майстра функцій МОПРЕД (масив матриці), яка знаходить визначник матриці.Метод оберненої матриці1. Записуємо систему в матричній формі:Ах = b,де А – матриця коефіцієнтів; х – вектор невідомих; b – вектор вільних членів.2. Обидві частини матричного рівняння множаться на матрицю, обернену до А:А-1Ах = А-1b. (4)За визначенням, добуток матриці на обернену до неї дає одиничну матрицю, а добуток одиничної матриці на будь-який вектор дорівнює цьому ж вектору, тому рівняння (4) перетворюється до наступного вигляду:х = А-1b.Це і є розв’язок системи рівнянь.Для здійснення цього методу в Excel застосовують математичну функцію МОПРЕД (масив вихідної матриці А), МОБР (масив вихідної матриці А), за допомогою якої знаходять обернену матрицю А-1, та функцію МУМНОЖ (масив матриці А-1; масив вектора b), яка знаходить добуток матриць. Функції подані з указанням їх синтаксису в Excel. Функції «МУМНОЖ» та «МОБР» – функції масивів, які в якості результату повертають масив значень.Розв’язання СЛАР ітераційними методамиМетод простої ітерації1. Нехай маємо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (1), основна матриця А (2) якої має детермінант det A = Δ ≠ 0. Таким чином, система має єдиний розв’язок.2. Перевіримо задану систему на виконання для всіх рівнянь наступної умови, достатньої на цьому етапі для збіжності наступного процесу ітерацій:, і = 1, 2, …, n. (5)Якщо система n лінійних алгебраїчних рівнянь не задовольняє цій умові, то перетворюємо її на еквівалентну систему елементарними перетвореннями так, щоб виконувалась умова (5) для всіх діагональних коефіцієнтів. Вважаємо, що представлена система рівнянь (1) відповідає умові (5).3.Розв’яжемо перше рівняння відносно х1, друге – відносно х2 і так далі. В результаті одержимо таку систему в ітераційній формі:, (6)де ; при i ≠ j та ai,j = 0 при i = j.Тоді одержимо систему в матричному вигляді:х = β + αх, (7)де; ; .4. Розв’яжемо систему методом послідовних наближень (ітерацій). За нульовий розв’язок приймемо або розв’язок якимось прямим методом, або стовпець вільних членів, тобто, х(0) = β, або будь-які довільні числа.5. Підставимо одержані значення х(0) у праві частини рівнянь системи в ітераційній формі (6) і одержимо перше наближення х(1) = β + αх(0). потім друге наближення х(2) = β + αх(1) і так далі. В загальному вигляді маємо, що (k)-е наближення розраховуємо за формулою х(k) = β + αх(k-1).Якщо послідовність наближень х(1), х(2), …, х(k), … має границю, тобто, i = 1,2 … , n ,то ця границя буде розв’язком системи (7) xj*= (x1*, xj*,… , xn* ).Умова закінчення ітераційного процесу для отримання розв’язку наступна:, i = 1,2,…, n, (8)де ε > 0, не більше граничної похибки наближеного розв’язку.Метод Гауcса-ЗейделяЯкщо в методі простої ітерації при обчисленні k-го наближення х(k)=(х1(k), х2(k), х3(k)) використовуємо тільки результати (k-1)-го наближення, то в ітераційному методі Гауcса-Зейделя для обчислення хі(k) використовують вже знайдені значення х1 (k), … , хі-1(k). Умови збіжності методу Гауcса-Зейделя ті ж самі, що і для методу простої ітерації, але ітераційний процес в цьому випадку відбувається швидше, хоч обчислення більш громіздкі.Для здійснення цього методу в Excel треба привести СЛАР до ітераційної форми, налагодити обчислювальний ітераційний процес за допомогою меню «сервіс», ініціалізувати ітераційний процес уведенням початкових наближень та застосуванням логічної функції ЕСЛИ(лог_выражение; знач_если_истина; знач_если_ложь), при введенні рівнянь використати посилання. Ітераційний процес продовжують до тих пір, поки не досягають задовільної збіжності до розв’язку.Цей метод більш складний для реалізації в Excel, тому покажемо алгоритм на прикладі.Приклад. Нехай треба розв’язати таку систему рівнянь: Перетворимо систему лінійних рівнянь до ітераційної форми Відкриваємо робочий аркуш Excel і налагоджуємо обчислювальний ітераційний процес:- обираємо команду Сервис → Параметры;- відкриваємо вкладку Вычисления;- вмикаємо режим Вручную;- ставимо відмітку на перемикач Итерации;- уводимо в поле Предельное число итераций значення 1;- відмикаємо режим Пересчёт перед сохранением;- тиснемо на кнопку ОК.До комірки А1 вводимо «Розвязок систем рівнянь. Метод Гаусса-Зейделя».До комірки А3 вводимо «Поч. флаг».До комірки В3 вводимо початковий флаг ініціалізації (спочатку ИСТИНА, потім ЛОЖЬ), який би переводив обчислювальний процес в певний початковий стан.При введенні значення ИСТИНА функція ЕСЛИ (лог_выражение; знач_если_истина; знач_если_ложь) повертає початкові наближення в стовпець розв’язку (0;0;0), тобто, в якості аргументу функції (ЕСЛИ) знач_если_истина використовуємо початкові наближення 0;0;0.При введенні значення ЛОЖЬ функція ЕСЛИ (лог_выражение; знач_если_истина; знач_если_ложь) повертає наступні наближення в стовпець розв’язку, тобто, в якості аргументу функції (ЕСЛИ) знач_если_ложь використовуємо стовпець приведених рівнянь.До комірки А6 вводимо «Початкові значення».До комірок А7:А9 вводимо стовпець початкових наближень, нехай це будуть нулі (0;0;0).Вводимо стовпець рівнянь в ітераційній формі:До комірки В6 вводимо «Рівняння».До комірки В7 вводимо =(С8+2*С9)/8.До комірки В8 вводимо =(10-5*С7+С9)/7.До комірки В9 вводимо =(2+2*С7+С8)/4.В комірку С6 вводимо «Розв’язки».В комірку С7 вводимо формулу: =ЕСЛИ($B$3; A7; B7) і копіюємо її в комірки С8 та С9.Для проведення розрахунків встановлюємо флаг ініціалізації рівним ИСТИНА і натискаємо клавішу F9. Після ініціалізації листа змінюємо значення флага ініціалізації на ЛОЖЬ і натискаємо клавішу F9. Перехід до наступної ітерації здійснюємо за допомогою клавіші F9. Ітераційний процес продовжуємо доти, поки не буде виконуватись умова (8).ВисновкиБільшість фізичних, фізико-хімічних, хімічних та технологічних процесів описується системами лінійних рівнянь.Наведені приклади хімічних систем та процесів, які описуються за допомогою системи лінійних алгебраїчних рівнянь.Застосування Excel значно спрощує та прискорює розв’язок систем лінійних рівнянь.Описані алгоритми розв’язання систем лінійних рівнянь в Excel точними методами (метод Крамера та метод оберненої матриці) та ітераційним методом Гауcса-Зейделя.Представлені приклади систем з різних областей хімії та алгоритми розв’язання систем лінійних рівнянь в Excel можуть бути корисними для викладачів вищих навчальних закладів та вчителів шкіл з поглибленим вивченням хімії.ℼ佄呃偙⁅呈䱍倠䉕䥌⁃ⴢ⼯㍗⽃䐯䑔䠠䵔⁌⸴‰牔湡楳楴湯污⼯久㸢㰊呈䱍ਾ䠼䅅㹄ऊ䴼呅⁁呈偔䔭啑噉∽佃呎久ⵔ奔䕐•佃呎久㵔琢硥⽴瑨汭※档牡敳㵴瑵ⵦ∸ਾ㰉䥔䱔㹅⼼䥔䱔㹅ऊ䴼呅⁁䅎䕍∽䕇䕎䅒佔≒䌠乏䕔呎∽楌牢佥晦捩⁥⸴⸱⸳′䰨湩硵∩ਾ㰉䕍䅔丠䵁㵅䌢䕒呁䑅•佃呎久㵔〢〻㸢ऊ䴼呅⁁䅎䕍∽䡃乁䕇≄䌠乏䕔呎∽㬰∰ਾ㰉呓䱙⁅奔䕐∽整瑸振獳㸢ऊℼⴭऊ䀉慰敧笠洠牡楧㩮㈠浣素ऊ倉笠洠牡楧⵮潢瑴浯›⸰ㄲ浣※楤敲瑣潩㩮氠牴※潣潬㩲⌠〰〰〰※整瑸愭楬湧›番瑳晩㭹眠摩睯㩳〠※牯桰湡㩳〠素ऊ倉眮獥整湲笠猠ⵯ慬杮慵敧›歵唭⁁੽उ⹐瑣⁻潳氭湡畧条㩥愠⵲䅓素ऊ䄉氺湩⁻潣潬㩲⌠〰〰晦素ऊⴭਾ㰉匯奔䕌ਾ⼼䕈䑁ਾ䈼䑏⁙䅌䝎∽畲刭≕吠塅㵔⌢〰〰〰•䥌䭎∽〣〰昰≦䐠剉∽呌≒ਾ值䰠乁㵇產⵫䅕•䱃十㵓眢獥整湲•呓䱙㵅琢硥⵴湩敤瑮›⸰挷㭭洠牡楧⵮潢瑴浯›挰≭ਾ黐듐뷐雑铑軑퀠₷뻐臑뻐뇐믐룐닐뻐臑苑뗐말턠톅킖톼톖ₗꗐꗐ蛐턠톁킂킾톻톖톂톂એ铑턠톗ₗ雑뷐蓑뻐胑볐냐苑룐럐냐蛑雑近턠킂₰볐냐苑뗐볐냐苑룐럐냐蛑雑近ਬ뿐胑룐턠톆킌킾톼₃藑雑볐雑近퀠킲톸킅킾킴톸톂₌뷐냐퀠킽킾킲킸₹胑雑닐뗐뷐賑턊킀킾킷킲톸킂톺₃럐퀠킽킾킲킸킼₸듐믐近퀠킽통ₗ볐뻐뛐믐룐닐뻐臑苑近볐룐ਮ釐냐돐냐苑뻐퀠킰톲킂톾톀킖₲뿐胑룐듐雑믐近軑苑賑턠킃킲킰톳₃볐雑臑蛑軑퀊킼톰킂킵킼톰킂킸킺₸苑냐턠킖톽킄톾킀킼톰킂킸킺₸닐턠톁톃킇톰킁톽킖હ藑雑볐雑韑›鷐☮扮灳퀻⺔渦獢㭰鋐룐裑뷐룐닐뗐蛑賑뫐냐ਬ鋐☮扮灳퀻⺡渦獢㭰鋐룐裑뷐룐닐뗐蛑賑뫐냐‬ꋐ☮扮灳퀻⺜渦獢㭰铐뗐胑뫐냐蟑ਬꇐ☮扮灳퀻⺐渦獢㭰鷐뗐듐雑믐賑뫐뻐‬鳐☮扮灳퀻⺄渦獢㭰ꇐ뻐믐뻐닐말뻐닐ਬ鳐☮扮灳퀻⺜渦獢㭰ꇐ뻐믐뻐닐말뻐닐‬郐☮扮灳퀻⺐渦獢㭰Ꟑ뗐胑뷐近뫐ਬ雐☮扮灳퀻⺐渦獢㭰Ꟑ뗐胑뷐近뫐‬郐☮扮灳퀻⺐渦獢㭰꿐뫐룐볐뻐닐룐蟑턠킂ર雑뷐裑雑㰮倯ਾ值䰠乁㵇產⵫䅕•䱃十㵓眢獥整湲•呓䱙㵅琢硥⵴湩敤瑮›⸰挷㭭洠牡楧⵮潢瑴浯›挰≭ਾ韐냐돐냐믐賑뷐뻐닐雑듐뻐볐뻐‬觑뻐퀠₲菑볐뻐닐냐藑퀠킲톸킉톸અ뷐냐닐蟑냐믐賑뷐룐藑퀠킷킰킺킻킰톴킖₲苑냐턠킁통킀킵킴톽톖₅裑뫐雑믐퀊톴킃킶₵돐뻐臑苑胑뻐턠톁킂톾톗톂₌뿐룐苑냐뷐뷐近퀠톿킀₾胑뻐뇐뻐苑菑퀊킽₰뫐뻐볐뿐胢톙톎킂통킀톰₅苑雑믐賑뫐룐퀠₷믐雑蛑뗐뷐럐雑말뷐룐볐룐퀊톿킀킾톳킀킰킼킰킼Ⲹ턠킉₾뷐냐퀠킴킰킽킾톼₃뗐苑냐뿐雑퀠킽₵럐냐닐뛐듐룐퀊킼킾킶킻킸킲⺾퀠ₒ苑뻐말퀠킶₵蟑냐臑퀠킺킾킼馀軑苑뗐胑룐퀠લ뷐냐닐蟑냐믐賑뷐룐藑퀠킷킰킺킻킰킴톰₅苑냐퀠₲듐뻐볐냐裑뷐雑藑턠킃킼킾킲톰અ뷐냐믐냐돐뻐듐뛐뗐뷐雑‬닐퀠톾킁킽킾킲킽킾톼ⲃ퀠킽₰뻐뿐뗐胑냐蛑雑말뷐菑턊킁톸톁킂킵톼₃楗摮睯⁳럐퀠킿킰킺통킂킾₼뿐胑뻐돐胑냐볐䴠捩潲潳瑦伊晦捩⹥퀠킢킰킱킻톸킇킽킸₹뿐胑뻐蛑뗐臑뻐胑䔠捸汥퀠톲킅킾킴톸톂₌듐뻐턊톆킌킾킳₾뿐냐뫐뗐苑菑퀠톿킀킾톳킀킰Ⲽ퀠킼톰ₔ닐뗐믐룐뫐雑퀊킾톱킇톸킁톻킎킲킰톻킌톽ₖ볐뻐뛐믐룐닐뻐臑苑雑‬럐胑菑蟑뷐룐말턠킂ર뿐胑뻐臑苑룐말퀠₲뫐뻐胑룐臑苑菑닐냐뷐뷐雑‬볐냐铑턠킀톾톁킖톹톁킌킺킸હ雑뷐苑뗐胑蓑뗐말臑‬苑뻐볐菑턠킀톰톆킖킾킽킰톻킌킽₾볐냐苑뗐볐냐苑룐蟑뷐雑퀊킼통킂킾킴₸닐턠톅킖톼톖ₗ럐듐雑말臑뷐軑닐냐苑룐퀠₲硅散⹬퀠토킏઴냐닐苑뻐胑雑닐퀠톿킀톸킁톲톏킂킸킻₸臑닐뻐韑턠킀킾킱톾킂સ볐냐苑뗐볐냐苑룐蟑뷐뻐볐菑퀠킼킾킴킵톻킎킲킰킽톽ₖ닐䔠捸汥嬠㬱㌠※崶ਮ鿐胑뻐퀠킿킾톿킃톻톏킀톽톖톁톂₌蛑雑铑韑퀠톿킀킾톳킀킰킼₸돐뻐닐뻐胑룐苑賑턊ₖ苑뻐말턠킄킰톺Ⲃ턠킉₾苑냐뇐믐룐蟑뷐룐말퀠톿킀톾킆통킁톾₀硅散੬냐뫐苑룐닐뷐뻐턠킀킾킷킳톻킏킴톰톔톂톌톁₏苑냐퀠킲킸킺톾킀톸톁킂킾톲톃톔톂톌톁એ닐턠킁톾톆킖킰톻킌킽톸₅볐뗐胑뗐뛐냐藑㰮倯ਾ值䰠乁㵇產⵫䅕•䱃十㵓眢獥整湲•呓䱙㵅琢硥⵴湩敤瑮›⸰挷㭭洠牡楧⵮潢瑴浯›挰≭ਾ䈼퀾킜통킂톾㲎䈯‾듐냐뷐뻐韑턠킀킾킱톾킂₸铑퀠킿킾킴킰킽톽₏뿐胑룐뫐믐냐듐雑닐턊톅킖톼톖킇킽톸₅臑룐臑苑뗐볐턠킂₰뿐胑뻐蛑뗐臑雑닐‬近뫐雑퀊킾킿톸톁톃톎톂톌톁₏럐냐퀠킴킾킿킾킼킾킳톾₎臑룐臑苑뗐볐룐퀠톻킖톽킖킹킽톸અ냐믐돐뗐뇐胑냐韑蟑뷐룐藑턠톀킖킲톽킏톽₌퀨킡킛킐⦠‬雑퀠킰킻킳톾킀톸킂톼킖લ胑뻐럐닐胢톙킏톷킃킲킰킽톽₏ꇐ鯐郐ꃐ퀠₲硅散⹬⼼㹐㰊⁐䅌䝎∽歵唭≁䌠䅌卓∽敷瑳牥≮匠奔䕌∽整瑸椭摮湥㩴〠㜮浣※慭杲湩戭瑯潴㩭〠浣㸢퀊톑킖톻톌톈톖톁톂₌蓑雑럐룐蟑뷐룐藑‬蓑雑럐룐뫐뻐턭톅킖톼톖킇킽톸ⲅ턊톅킖톼톖킇킽톸₅苑냐턠킂통킅킽킾킻킾톳톖킇킽톸₅뿐胑뻐蛑뗐臑雑닐퀊킾킿톸톁톃톎톂톌톁₏ꇐ鯐郐ꃐ‮鷐냐닐뗐듐뗐뷐뻐퀠톿킀킸킺킻킰킴સ藑雑볐雑蟑뷐룐藑턠킁톸톁킂킵₼苑냐턠톅킖톼톖킇킽톸₅뿐胑뻐蛑뗐臑雑닐ਬ볐냐苑뗐볐냐苑룐蟑뷐룐볐룐퀠킼킾킴킵톻킏킼₸近뫐룐藑턠ₔꇐ鯐郐ꃐ㰮倯ਾ值䰠乁㵇產⵫䅕•䱃十㵓眢獥整湲•呓䱙㵅琢硥⵴湩敤瑮›⸰挷㭭洠牡楧⵮潢瑴浯›挰≭ਾ唼퀾킝킵톾킀킳킰톽톖킇킽₰藑雑볐雑近㰮唯㰾㹉퀠킠킾톷킇킸킽₸苑냐턠톗અ뿐胑룐돐뻐苑菑닐냐뷐뷐近퀠₷닐룐藑雑듐뷐뻐돐뻐턠킀킾톷킇킸톽₃苑냐퀊톺킀톸톁킂킰톻톖

У статті запропоновано новий метод формування символьної системи лінійних алгебраїчних рівнянь (ССЛАР), що описує лінійне параметричне коло у частотній області. Невідомими у ній виступають коефіцієнти поліномів Фур’є, якими апроксимуються передавальні функції кола у символьному вигляді. Такі передавальні функції є хорошою основою для розв’язування задач багатоваріантного аналізу та оптимізації радіоелектронних пристроїв, що моделюються колами з змінними у часі параметрами. З зростанням складності параметричного кола порядок формованої ССЛАР зростає. Це вимагає додаткових витрат комп’ютерного часу не тільки для її розв’язування, але й для її формування. Пропонований метод суттєво зменшує час формування ССЛАР. Метод названо «методом параметричних матричних моделей» і полягає у тому, що елементи кола представляються деякими матрицями їх параметрів. Для опису кола обрано метод вузлових напруг, тому такі матриці це матриці провідності елементів кола, які (за звичними правилами для елементів кола з постійними параметрами) формують матрицю провідності ССЛАР параметричного кола в цілому. Наведено результати комп’ютерних експериментів.

Робота присвячена комп’ютерному моделюванню систем, що змінюються з часом. У процесі пізнання та практичної діяльності людство широко використовує різноманітні моделі. Моделювання – це універсальний метод наукового пізнання, який базується на побудові, дослідженні та використанні моделей об’єктів і явищ. Найбільш важливим різновидом моделей є математичні моделі. До їхньої основи покладено припущення про те, що всі параметри досліджуваного об’єкта можна подати у кількісному вигляді й описати математичними співвідношеннями. Унаслідок широкого впровадження обчислювальної техніки і відповідного програмного забезпечення методи математичного моделювання поширилися в повсякденній практиці. Комп’ютерна реалізація дослідження складних математичних моделей ґрунтується на основі чисельних методів. Тому сучасне математичне моделювання завжди передбачає застосування чисельних методів аналізу та комп’ютерних обчислювальних експериментів. Водночас значення аналітичних методів з розвитком ЕОМ і обчислювальної математики ніяк не зменшується. Великі можливості проведення математичного моделювання відкриває, наприклад, матрична система комп’ютерної математики MATLAB у дослідженні складних технічних процесів, які характеризуються нелінійністю та багатогранністю зв’язків між елементами. Система пристосована до будь-якої галузі науки й техніки,міст ить засоби, які особливо зручні для електро- і радіотехнічних обчислень (операції з комплексними числами, матрицями, векторами й поліномами, опрацювання даних, аналіз сигналів, моделювання динамічних процесів і цифрова фільтрація). У роботі обґрунтовано динаміку процесів у лінійному колі (електричному фільтрі), побудовано математичну модель, що відображає процес протікання електричного струму в колі, у вигляді системи диференціальних рівнянь другого порядку. Отриману систему диференціальних рівнянь розв’язано аналітичним методом. Крім того, на основі вбудованих в MATLAB чисельних алгоритмів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь побудовано наближений розв’язок математичної моделі, що відображає зміну струму в колі залежно від часу. Поряд з цим, використовуючи пакет імітаційного моделювання Simulink, складено структурну модель, яка повністю імітує роботу електричного фільтру. Розв’язок диференціального рівняння можна побачити на віртуальному осцилографі, який дозволяє представити результати моделювання у вигляді часових графіків або у вигляді чисел, графіків, таблиць.

Процеси пресування і волочіння труб в одній і тій же конічній матриці розрізняються схемами навантаження. При вирішенні завдань для цих процесів спостерігаються певні подібності та відмінності. З огляду на те, що процес волочіння спрощеним методом вивчений в більш повному обсязі, для дослідження процесу пресування спеченої тонкостінної труби в конічній матриці був проведений порівняльний аналіз рішення задачі зазначеним вище спрощеним методом процесу волочіння. Дана оцінка деформованого і напруженого станів пресованих труб та труб отриманих методом волочіння. Обґрунтовується спрощення основного рівняння рівноваги для вирішення завдання волочіння труб в разі відсутності контактного тертя, а для вирішення завдання пресування труб вибирається більш проста умова пластичності. Обговорюється умова пластичності та основне рівняння рівноваги для вирішення завдання пресування труб. Для визначення пористості при пресуванні спечених труб використовується формула деформаційної теорії пластичності пористих матеріалів. Чисельні розрахунки проводилися в програмному середовищі MS EXEL для початкової пористості матеріалу труби 10, 20 і 30%. Визначаються безрозмірні меридіональні, окружні та середні напруги в трубах, а також величини зміни інтенсивності деформацій і поточної пористості матеріалів залежності від параметра безрозмірного радіусу.

УДК 517.587 Якщо --- формальний ряд за ортонормованими многочленами на дійсній осі з додатними коефіцієнтами товідповідні часткові суми будуть асоційованими зі жмутками якобієвого типу.Отже, вони мають рекурентне співвідношення та спеціальні співвідношення ортонормальності.Випадки, коли є многочленами Якобі або Лагерра, мають додатковий інтерес.Придатний підбір параметрів забезпечує те, що будуть соболевськими ортогональними многочленамиз матричною мірою.Більше того, подальший відбір параметрів забезпечує диференціальні рівняння для В останньому випадку многочлени є розв'язками узагальнених задач на власні значення відносно та

Розглянуто доцільність застосування методу кореляції Пірсона для знаходження взаємозв’язків між відсотковими співвідношеннями вмісту складових хімічних елементів первинного каоліну. Розглянуто суть та базові принципи розрахунку коефіцієнта кореляції за допомогою методу Пірсона, надано коротку характеристику вихідних даних, на основі яких може бути виконано даний розрахунок. Описано приклад інтервальної градації ступеня інтенсивності коефіцієнта кореляції, яку рекомендується застосовувати під час роботи з емпіричними даними. Виконано побудову матриці кореляційних залежностей між складовими хімічними елементами первинного каоліну на основі результатів хімічного аналізу, отриманих у процесі проведення геологорозвідувальних робіт за умов Йосипівського родовища первинного каоліну. Визначено ступінь інтенсивності кореляційних зв’язків низки складових хімічних елементів первинного каоліну. Виведено лінійні рівняння для опису залежностей між складовими елементами з коефіцієнтом кореляції середнього та низького, але наближеного до середнього, ступеня інтенсивності.

З огляду на зобов'язання, які стоять перед Україною відповідно до Паризької угоди, є нагальна потреба в обліку обсягу поглинання вуглецю й удосконаленні методичних підходів до кліматостабілізаційної здатності деревних рослин. Для цього здійснено низку наукових досліджень, які охоплювали визначення особливостей росту та приросту за діаметром ялинових лісових насаджень в Українських Карпатах за лісогосподарськими округами: Прикарпатському, Гірськокарпатському і Закарпатських рівнин і передгір'я. Під час аналізу запропоновано математичні залежності розвитку ялини європейської (Picea abies (L.) H. Karst.) за висотою, діаметром та віком дерева. За емпіричними рівняннями встановлено, що ялина європейська краще росте у Гірськокарпатському лісогосподарському окрузі. У зазначеному окрузі висота ялини вища на 7 %, ніж у Передкарпатському округу і на 16 %, ніж у Закарпатському окрузі. Також встановлено, що у Гірськокарпатському лісогосподарському окрузі діаметр ялини є більшим за Передкарпатський на 2 %, а за Закарпатський на 1 %. За допомогою пакету аналізу даних Microsoft Excel побудовано кореляційні матриці, за допомогою яких встановлено тісні взаємозв'язки між такими показниками, як вік, висота, діаметр і фітомаса окремих фракцій дерева. Здійснено регресійний і дисперсний аналізи та отримано математичні залежності, за допомогою яких встановлено біологічну продуктивність Picea abies (L.) H. Karst. в Українських Карпатах. За методиками IPCC (Intergovernmental Panelon Climate Change, 2015), П. І. Лакиди (2002), G. Matthews (1993) і І. Я. Лієпи (1980) визначено вуглецепоглинальну та киснетвірну здатність ялини європейської у віці 70 років на площі 1 га за умов Українських Карпат. Визначено, що на площі 1 га ялинові насадження найбільше поглинають вуглець – 93,9 т, і виробляють кисень – 276,8 т в окрузі Закарпатських рівнин і передгір'я. У Гірськокарпатському лісогосподарському окрузі Picea abies (L.) H. Karst поглинає 85,9 т вуглецю і виробляє 253,1 т кисню, а в Прикарпатському – 67,1 і 197,7 т відповідно. Проаналізовано викиди діоксиду вуглецю в навколишнє середовище в умовах Українських Карпат за період 2010-2020 рр. З'ясовано, що за десятирічний період середній показник викидів вуглекислого газу (СО2) становив 18,6 млн т. Визначено, що ялинові насадження в повному обсязі знижують викиди діоксиду вуглецю в середовищі. Запропоновані математичні рівняння дадуть змогу здійснювати моніторинг обсягу поглинання вуглецю і продукування кисню Picea abies (L.) H. Karst. у різних лісорослинних округах Українських Карпат.

УДК 517.925 Досліджено -вимірну систему звичайних диференціальних рівнянь з релейною нелінійністю гістерезисного типу й періодичною функцією збурення у правій частині.Дійсна симетрична матриця системи має власні числа, серед яких власне число кратності два.Розглянуто неперервні обмежені коливальні розв'язки з двома фіксованими точками у фазовому просторі системи й однаковим часом повернення в кожну з цих точок.Доведено теореми існування й неіснування таких розв'язків.Числовий приклад демонструє отримані результати для тривимірної системи.

Проведено огляд експериментальних та теоретичних досліджень процесів пороутворення в процесі одержання газонаповнених полімерних матеріалів. Експериментальні дослідження багатьох авторів показали залежності динаміки зростаня, морфології та структури пухирів у розплавах полімерів, з яких утворюються пори в процесі створення газонаповнених матеріалів. Встановлено, що їх зростання у розплаві полімерів за постійної температури може тривати практично необмежено, що дозволяє ругулювати розміри пор за рахунок зміни часу їх створення. Визначено, що розміри пухирів у розплавах полімерів збільшуються за підвищення температури розплаву і форми, концентрації порофору та зменщується із збільшенням тиску й в’язкості розплаву. У теоретичних дослідженнях розглянуто основні теорії, що дозволяють моделювати й оптимізувати процеси утворення пор і структуру газонаповнених полімерних матеріалів, а також їх властивості, у тому числі, коефіцієнт теплопровідності й густину. Для аналізу поведінки газових пухирів, а саме, зміну радіусу пор і тиску всередині пухиря в якості оптимальної системи координат вибрали циліндричну, при цьому зв'язок між компонентами тензора напружень і компонентами тензора швидкостей деформацій (реологічні рівняння стану), залежно від реологічних властивостей матеріалів, описувався різними моделями (Де Вітта, Максвелла). Побудовано математичну модель динамічного поводження газового пухиря в полімерній матриці для двошарової схеми з метою досягнення необхідних розмірів газових пухирів.

Мета роботи. Зробити термодинамічний опис перенесення морфоліній 2-((4- (2-метоксифеніл)-5-(піридин-4-іл)-4H-1,2,4-тріазол-3-іл)тіо) ацетату, піридин-4-карбогідразиду, 2-ізонікотиноїл-N-(2-метоксифеніл) гідразин-1-карботіоаміду і 4-(2-метоксифеніл)-5-(піридин-4-іл)-2,4-дигідро-3Н-1,2,4-тріазол-3-тіону з рухомої фази в стаціонарну. Матеріали і методи. Високоефективна рідинно-хроматографічна система Agilent 1260 Infinity (дегазатор, бінарний насос, автосамплер, термостат колонки, діодно-матричний детектор, програмне забезпечення OpenLAB CDS). Результати й обговорення. Для визначення термодинамічних параметрів було визначено коефіцієнт ємності в залежності від зміни абсолютної температури. За допомогою методу найменших квадратів розраховано рівняння лінійної залежності. Розраховано значення стандартної молярної ентальпії перенесення аналітів із рухомої в стаціонарну фазу. Ентальпії перенесення для більшості речовин є негативними, тобто процес адсорбції на обернено-фазовому сорбенті відбувається з виділенням теплоти, тобто є екзотермічним. Висновки. Визначено стандартні ентальпії перенесення аналітів із рухомої фази в стаціонарну фазу для морфоліній 2-((4-(2-метоксифеніл)-5-(піридиніл)-4H-1,2,4-тріазол-3-іл)тіо) ацетату, піридин-4-карбогідразиду, 2-ізонікотиноїл-N-(2-метоксифеніл) гидразин-1-карботіоамиду та 4-(2-метоксифеніл)-5-(піридиніл)-2,4-дигідро-3Н-1,2,4-тріазол-3-тіону. Усі сполуки, за винятком піридин-4-карбогідразиду, мають негативне значення ентальпії перенесення, що свідчить про переважний перехід цих аналітів із рухомої фази в стаціонарну.

Розглядається схема електроживлення електроприводу водяного насоса підвищувача тиску води системи внутрішнього протипожежного водопроводу від резервного джерела з акумуляторними батареями і автономними інверторами напруги, її математична модель та результати моделювання електромагнітних і електромеханічних процесів в двигуні під час пуску і роботи насоса у випадку відсутності основного електроживлення від мережі, що забезпечує використання внутрішнього протипожежного водопроводу при надзвичайних ситуаціях протягом розрахункового часу. Така резервна система може використовуватись також для підтримки неперервності технологічних процесів. Загальна математична модель електроприводу формувалась з математичних моделей окремих елементів схеми, які представлені багатополюсниками, а процеси в них описуються замкненою системою рівнянь, – диференційних, алгебраїчних та логічних. Розрахункову схему моделі електроприводу сформовано шляхом з’єднання між собою зовнішніх віток окремих елементів-багатополюсників, а саме: джерела живлення з акумуляторною батареєю, інверторів напруги(катодні та анодні вентильні групи), трансформаторів та асинхронного двигуна. Спосіб з’єднання між собою зовнішніх віток багатополюсників математично описується матрицями з’єднань, які складаються для кожного елемента за принципом: кількість рядків матриці рівна кількості незалежних вузлів схеми, а кількість стовпців рівна кількості зовнішніх віток елемента. Обчислення реалізовано мовою FORTRAN. Загальні підпрограми призначені для виконання математичних операцій над матрицями; чисельного інтегрування систем диференційних рівнянь методом Рунге-Кутта 2-го порядку; розв’язування систем алгебраїчних рівнянь методом Гауса; визначення моментів природного закривання вентилів. Отримано результати моделювання при прямому пуску асинхронного двигуна від мережі, встановлено струм статора; кутову швидкість обертання ротора та електромагнітний момент і момент навантаження. Результати обчислень підтверджені даними експериментальних досліджень, практично співпадають криві струму і напруги живлення асинхронного двигуна від мережі і автономного джерела з акумуляторною батареєю при пуску і роботі насоса, форма вихідної напруги джерела і тиску насоса, впродовж тривалої роботи електроприводу насоса.

Метою роботи є порівняння різних підходів до розрахунку наслідків сейсмічного впливу на будівлі і споруди. Розглядаються три основні групи: методи, засновані на спектральному аналізі, наближені методи обліку фізичної нелінійності, «Pushover Analysis», методи прямого інтегрування рівнянь руху. Описано основні принципи реалізації «Pushover Analysis» в програмному комплексі «ЛІРА САПР». За всіма реалізованими методами були проведені порівняльні розрахунки для тестової моделі. Це рамно-в’язевий каркас з фундаментною плитою на пружній основі; кількість вузлів - 13 613; кількість елементів – 18 316; кількість рівнянь в матриці жорсткості – 71 575; час розрахунку – 0,78 хв. Проаналізовано результати, отримані за дев'ятьма різними методами обчислення сейсмічних навантажень. Для повного та достовірного опису напружено-деформованого стану будь-якої будівлі необхідно не тільки врахувати абсолютно всі фактори, що описують реальний об'єкт, такі, як його геометричні параметри, фізико-механічні властивості матеріалу, формування початкових напружень і деформацій при зведенні будівлі, але і з високим ступенем точності визначити зовнішні впливи та їх характер. Система «Динаміка плюс», що реалізована в ПК «ЛІРА САПР», дозволяє моделювати поведінку конструкції при динамічних впливах в часі. Проаналізовано результати, отримані за дев'ятьма різними методиками розрахунку сейсмічних навантажень. Перевірено збіг та відмінності методів, основаних на різних передумовах. Показано, що за ДБН В.1.1-12:2014 «Будівництво в сейсмічних районах України» отримано меньші значення зусиль і переміщень, тобто можемо спостерігати деяке «пом'якшення» нормативів, що давно очікують проектувальники.

Один з методів динамічного аналізу відповідальних споруд – застосування імпедансних чи передаточних функцій частоти, які можуть бути включені до динамічних розрахункових схем будівель, що проектуються. На основі аналізу традиційних та сучасних методів визначення характеристик динамічної взаємодії фундаментів споруд з ґрунтовою основою пропонується для оцінки залежності реакції по підошві фундаменту від частоти у випадках водонасичення пористого незв’язного ґрунту в основі та горизонтально-шаруватої його неоднорідності використовувати хвильові рівняння руху ґрунтової пористопружної насиченої стисливою і в’язкою рідиною основи (модель Біо двофазного середовища). Методом інтегральних перетворень визначаються символьні вирази точного розв’язку для переміщень фаз на границі основи (під підошвою фундаменту) від розподілених вертикальних гармонічних навантажень на фази. При вертикальних коливаннях малозаглибленого фундаменту (смуги) розглядаються складові реакції з боку твердої пористої та рідинної порової фаз. Функції імпедансу для жорсткої полоси з непроникною для порової рідини підошвою на шаруватій пористопружній насиченій рідиною (ППНР) основі знаходяться з розв’язку динамічної контактної задачі методомортогональних поліномів (при поліноміальних розкладаннях реакцій фаз з урахуванням особливостей на контакті) і оригінального програмного забезпечення по заданих геометричним і фізико-механічним параметрам фундаментів та моделі основи. На числових прикладах показано, як реакція (імпеданс) ППНР основи відрізняється від реакції пружного півпростору, а взаємодія між фундаментом з недренованою підошвою і водонасиченим ґрунтом неоднобічна внаслідок змінного (до знаку) тиску порової рідини у пружній пористій матриці під підошвою. Визначаютьсярезонансні частоти для моделі одношарової основи з затисненою тильною гранню в залежності від висоти шару, ширини фундаменту і властивостей матеріалу двофазної основи.

Досліджено особливості сорбційного вилучення важких металів (Cu(II), Cd(II), Zn(II), Co(II), Cr(VI)) зі складних за вмістом стічних вод, що містять суміш цих іонів, композитом на основі нанорозмірного заліза з використанням високоактивного дисперсного мінералу монтморилоніту як неорганічної матриці. Отримано залежності величин сорбції важких металів від рН. На основі моделей поверхневого комплексоутворення (модель дифузного подвійного шару (DDLM)) кількісно описано процеси сорбції. За селективністю досліджені катіони важких металів утворюють ряд Cu > Zn > Co > Cd, властивий як природному монтморилоніту, так і композиційному сорбенту. Встановлено, що одержаний композиційний матеріал має значно кращі сорбційні властивості щодо вилучення іонів важких металів із водних розчинів порівняно з природним монтморилонітом. Аналіз ізотерм сорбції проведено із застосуванням рівнянь Ленгмюра і Фрейндліха. Високі сорбційні характеристики композиційного сорбенту на основі нанорозмірного нульвалентного заліза і дисперсного силікату монтморилоніту щодо іонів важких металів обумовлюють перспективність його застосування в процесах очищення багатокомпонентних стічних вод гальванічних виробництв і гідрометалургійних підприємств.

Інтенсивне впровадження електротехніки, радіотехніки й електроніки майже у всі галузі народного господарства, науку, техніку, медицину, побут поставило перед широким колом фахівців (радіоінженери, інженери з прискорювальних установок, з ядерної техніки, електроніки, автоматики тощо) завдання активного освоєння методів розрахунків електродинамічних задач. Створення та експлуатація новітніх радіоелектронних пристроїв та приладів визначають зростаючу потребу у добре підготованих фахівцях радіотехнічного напряму.У сучасній радіотехніці й зв’язку широке застосування знаходять електромагнітні хвильові процеси і різноманітні пристрої, у яких ці процеси відіграють суттєву роль: передавальні лінії й хвилеводи, випромінювачі й приймальні антени, об’ємні резонатори й фільтри, невзаємні пристрої з феритами, елементи обчислювальних машин і комутаційних пристроїв, що працюють у сантиметровому або оптичному діапазоні.Курс «Технічна електродинаміка» та подібні до нього є обов’язковими для вивчення під час підготовки фахівців. Крім того, електродинаміка є важливою частиною теоретичної фізики, тому курси з електродинаміки читаються у переважній більшості університетів, й, у тій або іншій формі, і в ряді вищих технічних навчальних закладів.За програмою цього курсу найчастіше розглядаються наступні теми:1. Елементи векторного аналізу та математичної теорії поля2. Рівняння Максвелла3. Пласкі електромагнітні хвилі4. Відбиття та переломлення пласких електромагнітних хвиль5. Стале електричне поле6. Стале магнітне поле7. Поширення електромагнітних хвиль8. Хвилеводи9. Об’ємні резонаториВивчення вище перелічених тем вимагає використовувати такі операції з математичної теорії поля, як градієнт, ротор, дивергенція, скалярний та векторний добуток векторів тощо, розв’язувати рівняння у частинних похідних за методами Д’Аламбера (поширення хвиль), відокремлення змінних (рівняння Лапласа, Пуассона, Гельмгольця), визначати структури полів (типи хвиль) у хвилевідних лініях та об’ємних резонаторахЗ іншого боку, чільне місце у підготовці майбутнього фахівця посідає місце вміння використовування систем комп’ютерної математики (СКМ). Підготовка майбутнього фахівця до використання інформаційно-комунікаційних технологій має відбуватися не тільки на заняттях з дисциплін природничо-наукового циклу, а насамперед під час вивчення фундаментальних дисциплін.До простих і відносно нескладних систем комп’ютерної математики, щоправда з дещо обмеженими можливостями, відносять системи Derive та різні версії системи Mathcad. Система Derive вважається навчальною СКМ початкового рівня. Вона функціонує на основі мови штучного інтелекту (MuLisp) і є найменш вимогливою до апаратних можливостей персональних комп’ютерів: це єдина система, яка здатна працювати навіть на комп’ютерах раритетного класу IBM PC ХТ без жорсткого диску. Проте за можливостями вона не може конкурувати з системами більш високого класу ані у чисельних розрахунках, ані у символьних перетвореннях, ані у графічній візуалізації результатів обчислень.До середнього рівня СКМ відносять системи класу Mathcad. Ця СКМ має висококласну систему чисельних обчислень, проте дещо обмежену систему символьних перетворень, що реалізовано системою MuPAD (достатньо сказати, що лише 300 функцій ядра MuPAD доступні у Mathcad). Втім, графічні можливості різних версій Mathcad мало чим поступаються графіці більш складних СКМ.Більшість перших CKM призначалася для чисельних розрахунків. Їх результат завжди конкретний – це або число, або набір чисел, що зображується у вигляді таблиці, матриці або точок графіків. Однак вони не надавали можливості одержати загальні формули, що описують розв’язок задач. Як правило, з результатів чисельних обчислень неможливо було зробити загальні теоретичні, а часом і практичні висновки. Символьні (чи, інакше, аналітичні) операції – це якраз те, що кардинально відрізняє системи класу Maple та Mathematica (і подібні їм символьні математичні системи) від систем для виконання чисельних розрахунків. Під час виконання символьних операцій завдання на обчислення складаються у вигляді символьних (формульних) виразів, і результати обчислень також подаються у символьному вигляді. Числові результати при цьому є окремими, частковими випадками символьних.Вирази, що зображено у символьному вигляді, відрізняються високим ступенем загальності.Maple та Mathematica мають приблизно однакові можливості як в галузі символьних обчислень, так і в галузі числових розрахунків. Варто відзначити, що інтерфейс Maple є більш інтуїтивно зрозумілим, ніж у більш строгої системи Mathematica. Обидві системи в останніх реалізаціях зробили якісний стрибок у напрямі ефективності розв’язання задач в числовому вигляді, зокрема через підвищення швидкості виконання матричних операцій або застосування СКМ Matlab.Як ілюстрацію застосування СКМ Maple до курсу технічної електродинаміки розглянемо кілька прикладів розв’язання типових задач.1. Визначити дивергенцію і ротор векторного поля , яке має в декартовій системі координат єдину складову .with(VectorCalculus):F := VectorField(<20*sin(x/Pi),0,0>, ’cartesian’[x,y,z]); div := Divergence(F); rot := Curl(F); 2. Визначити дивергенцію і ротор векторного поля , яке характеризується такими складовими в циліндричній системі координат: , Аφ = 0, Аz = 0.F := VectorField(<10/r^2,0,0>, ’cylindrical’[r,phi,z]); div := Divergence(F); rot := Curl(F); 3. Визначити дивергенцію і ротор векторного поля , яке має в сферичній системі координат єдину складову Аθ = 8r ехр (– 10r).F := VectorField( <0,0,8*r*exp(-10*r)>, ’spherical’[r,phi,theta] ); div := Divergence(F); rot := Curl(F); 4. Побудувати структуру поля для хвилі типу Н12 у прямокутному хвилеводіcontourplot(H0*cos(m1*Pi*x/a)*cos(n1*Pi*y/b), x=0..a, y=0..b, contours=30, numpoints=2000, coloring=[white,white], filled=true, labels=["a","b"], title="Структура поля класу H (TE)"); 5. Побудувати структуру поля для хвилі типу Е21 у прямокутному хвилеводіcontourplot(E0*sin(m*Pi*x/a)*sin(n*Pi*y/b), x=0..a, y=0..b, contours=30, numpoints=2000, coloring=[white,white], filled=true, labels=["a","b"], title="Структура поля класу Е (TM)"); 6. Побудувати структуру поля для хвилі типу Е21 у круглому хвилеводіcontourplot([r,phi,E0*(epsilonmn/R)^2*BesselJ(m,r*epsilonmn/R)* sin(m*phi)], r=0..R, phi=0..2*Pi, coords=cylindrical, contours=30, numpoints=2000, coloring=[white,white], filled=true, title="Структура поля класу Е (TM)"): З вище викладеного та проілюстрованого випливає, що систему комп’ютерної математики Maple доцільно використовувати під час викладання курсу «Технічна електродинаміка» або подібні до нього, особливо на практичних заняттях або під час самостійної підготовки студентів, щоб суттєво зменшити час на непродуктивні дії обчислень чи графічних побудов.

Інтеграція України у Європейський і світовий освітній простір ставить перед національною системою освіти завдання, пов’язані з необхідністю модернізації змісту освіти, і організації її адекватно світовим тенденціям і вимогам ринку праці, впровадження нових освітніх технологій з метою підвищення якості підготовки та конкурентоспроможності майбутніх фахівців, здатних до навчання протягом всього життя. Відображенням вказаних тенденцій є Національна стратегія розвитку освіти на 2012–2020 роки, відповідно до якої одним із головних напрямів державної політики є інформатизація освіти, що передбачає впровадження сучасних інформаційно-комунікаційних технологій (ІКТ) у всі рівні освітньої галузі і зокрема у методичні системи навчання математичних дисциплін.Сучасні ІКТ навчання як інноваційні педагогічні технології розглядаються у роботах О. О. Андрєєва, В. Ю. Бикова, М. І. Жалдака, В. М. Кухаренка, А. Ф. Манако, Н. В. Морзе, С. О. Семерікова, Ю. В. Триуса та ін.Проблемі ІКТ-підтримки навчання математичних дисциплін у середній та вищій школі присвячено роботи М. С. Голованя, З. В. Бондаренко, В. І. Клочка, С. А. Ракова, О. В. Співаковського, Н. В. Рашевської, Т. Г. Крамаренко, Ю. В. Триуса та інших.Крім того, актуальною залишається проблема організації та контролю самостійної роботи студентів, на яку припадає від 1/3 до 2/3 загального обсягу навчального часу студента. У дослідженнях О. В. Ващук, С. Є. Коврової, П. М. Маланюка, К. С. Собеніної, М. А. Умрик, С. В. Шокалюк доведено, що ефективним засобом підтримки самостійної роботи є сучасні ІКТ.До ІКТ навчання відносять Інтернет-технології, мультимедійні програмні засоби, офісне та спеціалізоване програмне забезпечення, електронні посібники та підручники, системи дистанційного навчання (системи комп’ютерного супроводу навчання).У процесі навчання вищої математики ІКТ доцільно використовувати для:1) подання навчального матеріалу (електронні підручники, презентації, лекційні демонстрації);2) проведення обчислень (табличні процесори, системи комп’ютерної математики, системи динамічної геометрії);3) тренування (програми-тренажери);4) забезпечення контролю (тести).Продемонструємо можливості використання хмарних офісних засобів для реалізації кожного із зазначених напрямів.Найпростішим та найдоступнішим хмарним офісним засобом є Google Docs, побудований на технології AJAX. Google Writely надає можливості створювати гіпертекст, картинки, схеми, таблиці, а також оприлюднивати документи у мережі Інтернеті. Google Cloud Connect for Microsoft Office надає можливість зберігати документи Microsoft Office у хмарному сховищі Google Docs безпосередньо з Microsoft Word, PowerPoint та Excel.Для створення електронного підручника в Microsoft Word достатньо скористатись таким алгоритмом:– підготувати необхідний матеріал за допомогою текстового редактора;– оформити заголовки стилями за допомогою вкладки «Стилі» пункту меню «Головна»;– створення навігації за допомогою вкладки «Вигляд» команда «Схема документу» (рис. 1) (надає можливість користувачеві переходити до довільного розділу підручники без перелистування сторінок);– додавання до документу змісту, за допомогою вкладки «Посилання» команда «Зміст» (рис. 2) (надає можливість користувачеві відкрити необхідний розділ одразу, як було відкрито підручник).Рис. 1. Створення навігації в електронному підручнику Синхронізація електронного підручника з Google Docs виконується автоматично або за запитом.Рис. 2. Створення змісту електронного підручника Проте використання засобів для створення презентацій не обмежується лише поданням навчального матеріалу. За допомогою Microsoft PowerPoint та Google Cloud Connector можна розробляти засоби для тренування та тестування, що забезпечують контроль засвоєння знань на різних етапах навчання. Основними перевагами Microsoft PowerPoint для розробки тестів є:– розробник не обов’язково повинен володіти навичками програмування;– можливість створювати тести як для перевірки знань, так і відпрацювання навичок;– можливість створювати тести з великою кількістю завдань;– може містити як слайди із завданнями, так і слайди з навчальними відомостями (підказки);– можливість створення тесту що передбачає: вибір єдиної правильної відповіді (з перемикачами); вибір кількох правильних відповідей (з прапорцями); встановлення відповідностей (з переміщуваними об'єктами); встановлення правильної послідовності.– у будь-який момент розробки тесту можна додавати або видаляти потрібні слайди та міняти порядок їх розташування;– кількість варіантів відповідей для вибору може бути різною на різних слайдах.Крім того, при використані Microsoft PowerPoint передбачено можливість виводу підсумків тестування у прихований текстовий файл, що надає можливість контролювати та узагальнювати результати тестування за допомогою «Менеджера тестування».Для створення тесту за допомогою Microsoft PowerPoint перед початком роботи необхідно встановити додаток «Конструктор для створення тестів в редакторі презентацій Microsoft PowerPoint» [Ошибка: источник перёкрестной ссылки не найден]. Після встановлення цього додатку з’явиться шаблон для тестів, що містить такі основні компоненти: головне вікно та вікно висновків (які є обов’язковими та не можуть бути видалені), слайди із завданнями (з вибором однієї відповіді та з вибором декількох відповідей) та навчальними відомостями (дані види слайдів можна копіювати та видаляти) (рис. 3): а) головне вікнов) слайд з завданням б) слайд з висновкамиг) слайд для подання необхідних відомостейРис. 3. Види шаблонів слайдів для створення тесту Для задання правильної відповіді та параметрів тестування необхідно скористатись відповідним значком у головному вікні тесту (рис. 3 а) після першого запуску програми тестування.Налаштування параметрів тестування відбувається у панелі «Тестування», яка встановлюється на початку першого проходження тесту (рис. 4). При виборі підпункту «Правильні відповіді» викладач одержує можливість вказати правильну відповідь на те чи інше питання або завдання (рис. 5): Рис. 4. Панель тестування Рис. 5 Встановлення правильної відповіді Після введення всіх параметрів тестування та правильних відповідей бажано встановити пароль для попередження доступу студентів до настроювання та відповідей. Останнім кроком у створенні тестів за допомогою Microsoft PowerPoint є збереження результатів у файлі з розширенням .pps (з підтримкою макросів).У процесі вивчення вищої математики виникає необхідність у здійсненні громіздких обчислень. Використання таких засобів ІКТ, як табличні процесори (електронні таблиці), надає можливість автоматизувати обчислювальний процес розв’язання задач прикладної спрямованості, зосереджуючись на побудові моделі та інтерпретації результатів обчислювального експерименту.Найпопулярнішим хмарним табличним процесором є Google Spreadsheets. Розглянемо приклад його використання для розв’язання задач лінійної алгебри.Задача. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою оберненої матриці та методом Крамера: Розв’язання. Проведемо обчислення за допомогою електронної таблиці Google Spreadsheets.Введемо дані значення коефіцієнтів системи рівнянь в комірки А2:С4 – матриця А і в комірки D2:D4 – матриця В (рис. 6).Розв’яжемо систему методом оберненої матриці.Знайдемо матрицю, обернену матриці А. Для цього в комірку А9 введемо формулу =MINVERSE(A2:C4). Після цього виділимо діапазон А9:С11, починаючи з комірки, що містить формулу. Натиснемо клавіші Ctrl+Shift+Enter. Формула вставиться як формула масиву =ArrayFormula(MINVERSE(A2:C4)). Знайдемо добуток матриць A-1 та B. В комірки F9:F11 введемо формулу: =MMULT(A9:C11;D2:D4) як формулу масиву. Одержимо в комірках F9:F11 корені системи (рис. 7). Рис. 6. Введення коефіцієнтів системи Рис. 7. Розв’язування системи методом оберненої матриці Розв’яжемо систему методом Крамера. Спочатку обчислимо визначник основної матриці системи, увівши у комірку B15 формулу =MDETERM(A2:C4). Потім обчислимо визначники матриці шляхом заміни одного стовпця на стовпець вільних коефіцієнтів. У комірку В16 введемо формулу =MDETERM(D15:F17). У комірку В17 введемо формулу =MDETERM(D19:F21). У комірку В18 введемо формулу =MDETERM(D23:F25). Потім знайдемо корені системи, для чого в комірку В21 введемо: =B16/$B$15, у комірку В22 введемо: =B17/$B$15, у комірку В23 введемо: =B18/$B$15. Після чого одержимо результати, представлені на рисунку 8. Рис. 8. Розв’язування системи методом Крамера Крім того, електронні таблиці може використовуватись і для створення тестів різного виду.Таким чином, розглянуті хмарні офісні програмні засоби можна використати для підготовки та проведення різних видів навчальних занять. Ураховуючи, що пакети Google Docs та Microsoft Office Web Apps є вільно поширюваними, за умови постійного доступу до Інтернет це є прийнятним для вітчизняних ВНЗ.

пропонуються нові підходи до розв'язання поліноміально-нелінійних матричних рівнянь за допомогою матричними гіллястих ланцюгових дробів. Для запису розв’язків матричних поліномів пропонуються алгоритми, які дозволяють одержати розвинення шуканих невідомих у так звані фігурні J- дроби, Т-дроби та С-дроби, також періодичні матричні гіллясті дроби канонічного вигляду. Результати можуть використані у системах комп’ютерної алгебри таких як REDUCE, muMATH, MATHEMATICA, MAPLE, MatLab, MathCad і DERIVE.

Надано оцінку стійкості популяцій земноводних на основі даних динаміки чисельності. Зроблено спробу оцінити напрям динамічних змін популяцій земноводних. Визначено швидкість відхилення системи від стаціонарного стану внаслідок впливу можливих чинників навколишнього середовища за допомогою такого поняття як реактивність, ступінь реактивності та еластичності системи із застосуванням їх індексів. Установлено, що стаціонарний стан угруповань земноводних заплави р. Самара стійкий. Характерною ознакою є еластичність системи. Підтверджено еластичність системи особин Bufo bufo (Linnaeus, 1758). Визначено Pelobates fuscus (Laurenti, 1768) як фактор стійкості екосистеми у кількісному відношенні. Встановлено залежність динамічних показників популяцій від їх чисельності за допомогою рівняння регресії. Динаміка угруповання залежить від дії можливих предикторів, у відповідь на яких популяція B. bufo не змінюється. Стаціонарний стан угруповання нестабільний відносно динамічної матриці, яка описує поведінку угруповання в околиці першого стаціонарного стану. Другий стаціонарний стан стабільний, але система повертається у нього протягом хвилеподібної динаміки. На основі проведених досліджень встановлено, що чисельність угруповань земноводних залишається стійкою, системи поводяться по-різному, динаміка їх повернення до стаціонарного стану еластична або реактивна.