Academic literature on the topic 'Математичне моделювання ймовірностей'

Предметом вивчення в статті є оцінка ризику для випадку виникнення особливої ситуації-відмові двигуна на повітряному судні в польоті. Метою є моделювання та кількісна оцінка ризику для випадку виникнення ситуацій, які можуть призвести до відмови двигуна на повітряному судні з використанням байєсівських мереж. Завдання: аналіз ряду математичних моделей, які доцільно використовувати для кількісної оцінки ризику в області безпеки польотів, побудова математичної моделі ризику, яка відображає розвиток можливих подій внаслідок відмови двигуна з використанням байєсівських мереж для визначення ймовірності виникнення авіаційних подій різного ступеня. Використовуваними методами є: теорія графів, байєсівські мережі, методи аналізу і синтезу складних інформаційних систем, методи імітаційно-статистичного моделювання. Отримані такі результати. Розроблений метод оцінки ризику в сфері безпеки польотів, внаслідок реалізації такої небезпеки, як відмова двигуна на повітряному судні, заснований на застосуванні мереж Байєса. Побудована математична модель, що дозволяє визначити рівень ризику для випадку виникнення ситуацій, які можуть призвести до відмови двигуна в польоті у вигляді графа з таблицями безумовних, умовних та сумісних розподілів ймовірностей. За допомогою побудованої моделі визначено найбільш ймовірний наслідок прояву такої небезпеки як відмова двигуна на повітряному судні, а також найбільший рівень ризику. Висновки. Напрямком подальших досліджень є розробка та побудова системи підтримки прийняття рішень для удосконалення технології роботи авіадиспетчера управління повітряним рухом.

Стаття присвячена використанню ймовірнісних моделей у неймовірнісних задачах. Нові приклади, що наведені в роботі, допоможуть збільшити кількість прихильників рандомізації в математичному моделюванні. Розглядаються задачі відновлення фінітних функцій (функції-«кришки», функції Ерміта), які дуже поширені в методі скінченних елементів (МСЕ). Функція-«кришка» – це інша назва барицентричної координати, запропонованої Мьобіусом. На відміну від інтерполяції за Лагранжем, інтерполяція за Ермітом передбачає наявність у вершинах контрольного інтервалу інформації про функцію та її похідну. Зростаючі поліноми Ерміта на канонічних інтервалах [0; 1] і [-1; 1] розглядаються як функції розподілу ймовірностей. Порівнюються два методи побудови поліномів Ерміта: традиційний (матричний) і нетрадиційний (ймовірнісний). Показано, що щільність і середнє квадратичне відхилення закону розподілу ймовірностей Ерміта мають тісний зв’язок із формулами наближеного інтегрування (квадратурами) підвищеної точності: Гаусса- Бернуллі (два вузли на [0; 1]), Гаусса-Лежандра (два вузли на [-1; 1]), Гаусса-Лобатто (для чотирьох вузлів). Ці результати свідчать про наявність «зворотного руху» ідей і методів із теорії ймовірностей в інші математичні науки. На гостру необхідність «зворотного руху» неодноразово звертав увагу видатний український науковець, фахівець з теорії ймовірностей і випадкових процесів академік А.В. Скороход. Дуже важливо, щоб «зворотний рух» підтримували усі математики, як «ймовірнісники», так і «неймовірнісники» (термін А.В. Скорохода). Отримані результати вже не вперше переконують, що геометрична ймовірність – це простий, наочний і дуже ефективний метод математичного моделювання. Не дивно, що сучасні інформаційні технології починаються з когнітивних моделей прикладної геометрії. Такі моделі, як правило, математично обґрунтовані і фізично адекватні.

Одним з питань, яке на сьогодні активно вивчається всіма ланками вищої школи в Україні, є питання шляхів та методів впровадження дистанційної форми навчання. Дане питання викликане не стільки важливістю чи необхідністю існування вказаної форми навчання, скільки конкретними формами прояву дистанційного навчання в освітньому просторі України, а також тими проблемами, які при цьому випливають. Спробуємо розглянути основні з таких проблем та можливі шляхи їх подолання.Однією з основних проблем, на наш погляд, є недостатня кількість інформації щодо дистанційних курсів на українських теренах. Слабкий рівень ознайомленості користувачів з можливостями та правилами використання спеціалізованого програмного забезпечення, яке застосовується при дистанційному навчанні (саме навчанні, а не спілкуванні!), низька пропускна здатність мереж, відсутність активної промоції... І це – враховуючи терміни впровадження системи дистанційного навчання в державі [1]. Як показує досвід, в Росії вже давно функціонує віртуальний навчальний заклад INTUIT (Інтернет-університет інформаційних технологій), який на сьогодні дає можливість дистанційно отримати вищу освіту (рис. 1). Ще одним «каменем спотикання» є надзвичайна складність щодо узгодження навчальних планів для різних навчальних закладів. З одного боку, певні вимоги і нормативи відповідного міністерства, з іншого – індивідуальний підхід до змісту навчальних планів і програм. Це вносить певну напруженість у процес наповнення дистанційних курсів, оскільки зажди існує небезпека відхилення від програми.Але найсерйознішою проблемою є однотипність підходу до методичного забезпечення дистанційних курсів, тобто, вимоги щодо його структури. З точки зору змісту й ролі різних дисциплін в процесі оволодіння фахом такі вимоги повинні бути строго диференційованими. Навіть викладання однієї й тієї ж дисципліни студентам різних спеціальностей вимагає вибіркового підходу викладача до співвідношення між обсягами матеріалу різних тем і розділів (наприклад, при викладанні курсу «Математичка для економістів» для студентів спеціальностей «Маркетинг» і «Економічна кібернетика»).У жовтні минулого року на базі Чернівецького торговельно-економічного інституту КНТЕУ відбувся міжвузівський науково-методичний семінар на тему «Шляхи і методи впровадження дистанційної форми навчання при викладанні дисциплін математичного та інформаційного циклів». Як показало обговорення, для різних навчальних закладів характерним є власне бачення такого виду навчання. Однак, в загальному використовується шаблонний підхід, спрямований на пряме перенесення аудиторних методів роботи зі студентами на віртуально-електронне спілкування [2].В першу чергу, це проявляється у переліку форм подання матеріалу. Як правило, викладачі, які розробляють такі дистанційні курси, змушені:а) створити друкований формат конспекту лекцій, до якого додати:б) типові задачі та приклади для демонстрації практичного застосування теоретичного матеріалу;в) список основних питань для самоперевірки знань;г) перелік літературних джерел.По-друге, контроль знань студентів зазвичай набуває форм:а) комп’ютерного тестування;б) розв’язування нескладних задач та прикладів у заданому обсязі;в) контрольних робіт за матеріалом змістовного тематичного модуля.Всі інші засоби (електронна пошта, соціальні мережі, чати та ін.) є просто різними видами передачі інформації в обох напрямках (викладач  студент).І найголовнішою проблемою, яка стоїть на шляху якісного й ефективного впровадження дистанційного навчання в Україні, є відсутність (у більшості випадків) переконливої особистої мотивації для нинішніх студентів щодо отримання ґрунтовних знань з більшості навчальних дисциплін, зокрема, й математичних.Висвітлені проблеми жодною мірою не повинні привести до висновку про недоцільність впровадження дистанційного навчання в українських навчальних закладах. І причин тому є кілька.По-перше, наявність спеціалізованого програмного забезпечення E-Learning (Atutor, Moodle), достатньо потужного, різноманітного і доступного з точки зору користувача, яке дозволяє застосувати широкий спектр засобів подачі матеріалу та перевірки знань студентів. Вагомим аргументом на користь деяких з платформ є їх безкоштовне поширення як Open Source-проектів.Інша перевага проявляється з урахуванням поширеної практики паралельного навчання студентів у кількох вищих навчальних закладах. Застосування дистанційного навчання в такій ситуації звільняє студента від необхідності вишукувати час на безпосереднє відвідування занять та спілкування з викладачем.З точки зору викладання дисциплін математичного циклу, то ту немає однозначного типового підходу до дистанційної форми навчання. Зупинимося на цьому детальніше.Вивчення курсу «Математика для економістів» логічно можна розбити на кілька етапів – «Вища математика», «Теорія ймовірностей і математична статистика», «Економіко-математичне моделювання».Враховуючи важливість чіткого і логічно виваженого подання основних фундаментальних понять, термінів, правил та способів їх застосування, курс «Вища математика» на сьогодні повинен викладатися суто аудиторно, коли викладач має змогу вже в ході лекції чи практичного заняття розібрати зі студентами основні позиції та незрозумілі питання. Орієнтація нинішньої базової середньої освіти на просте накопичення знань учнями та тестовий їх контроль призвели до втрати ними (у більшості випадків) здатності самостійно проаналізувати матеріал і зробити обґрунтовані висновки з вивченого. Тому викладачам вищих навчальних закладів на перших курсах приходиться формувати логічно-аналітичний апарат студентів, як кажуть, «з чистого аркуша». Тим більше, коли це стосується вміння студентів, наприклад, економічних спеціальностей, застосувати вивчений математичний апарат при розв’язуванні фахових задач.При вивченні курсу «Теорія ймовірностей і математична статистика», першого, так би мовити, прикладного розділу математики, викладач змушений сформувати у студента здатність абстрактно-логічної побудови процесу знаходження розв’язку та вироблення системи статистичної обробки числових даних. На цьому етапі особисте спілкування є також конче необхідним, враховуючи надзвичайну різноманітність задач та деяку нестандартність підходу до їх розв’язування в кожному конкретному випадку. Хоча проведення контролю, наприклад, модульного, вже допускає використання дистанційних засобів, особливо при вивченні статистичних методів.Та, як показує практика, стан справ тут далеко не такий втішний. Дослідження усереднених якісних показників успішності студентів кількох чернівецьких вузів впродовж 10 років показали (рис. 2), що тут спостерігається стійка тенденція до спадання (кількість студентських груп та навчальних закладів дозволяє вважати вибірку репрезентативною). Дещо інша ситуація формується, коли студенти переходять до вивчення третього розділу – «Економіко-математичного моделювання». Як правило, цей розділ вони вивчають або на другому, або аж на третьому курсі (залежно від навчального плану для різних спеціальностей), досягнувши при цьому певного рівня знань фахового характеру. Отримані знання в даному етапі вже дозволяють більшості студентів свідомо підійти до осмислення умови задачі, вибору потрібного математичного інструментарію та його застосування в задачі. Тому на цьому етапі безпосередня присутність викладача не завжди є обов’язковою, і серії очних консультацій буває достатньо для деталізації способів та правил отримання позитивного результату при обробці даних.В останні кілька років для студентів ЧТЕІ КНТЕУ кількох спеціальностей («Економіка підприємства» та «Міжнародна економіка») в навчальних планах освітньо-кваліфікаційного рівня «спеціаліст» та «магістр» з’явився достатньо цікавий і, на наше переконання, потрібний курс – «Статистичний аналіз та економіко-математичне моделювання в економічних дослідженнях». Цінність даного курсу можна сформулювати трьома позиціями:1. Студенти п’ятого курсу мають вже майже повний набір знань фахового характеру і досить вільно здатні розібратися в економічній постановці різноманітних практичних задач.2. Програма курсу, складена викладачами кафедри вищої математики та інженерно-технічних дисциплін ЧТЕІ КНТЕУ, дозволяє цілісно й повно розглянути перелік та основні правила застосування математичних методів обробки економічної інформації різного типу.3. Враховуючи необхідність проведення досліджень в рамках виконання дипломних робіт, перші два пункти суттєво полегшують роботу студентів, підвищуючи її ефективність.При викладанні даного курсу викладач може активно використати дистанційні засоби, даючи студентам практичні завдання комплексного характеру та контролюючи хід їх розв’язування та отримані результати, що допоможе виробити у студентів навички самостійного вибору оптимальних методів розв’язування, проведення комплексних обчислень, аналізу отриманих результуючих даних.В ході модульного контролю можна шляхом тестування перевірити знання студентами основних термінів і понять, типових алгоритмів розв’язування, а також правильність застосування цих алгоритмів для нескладних розрахункових задач.Висновки:1. Дистанційне навчання як сучасний спосіб отримання знань та їх контролю є прогресивною методикою, яка дозволяє використати віддалену передачу даних від викладача до студента та отримання результатів виконання завдань.2. Відсутність в Україні єдиної політики щодо шляхів впровадження дистанційного навчання (враховуючи методичне, змістове, мотиваційне, нормативне та матеріальне забезпечення) робить дистанційну освіту недостатньо популярною, позбавленою законодавчої підтримки.3. При вивченні дисциплін математичного циклу студентами вищих навчальних закладів різної спеціалізації застосування дистанційного навчання повинно бути диференційованим, з огляду на різний ступінь складності та важливості матеріалу та підготовки студентів.4. Суттєвим покращенням умов впровадження і використання дистанційного навчання може стати орієнтування базової загально-освітньої школи на вироблення в учнів здатності аналізувати отримувані знання, а не просте їх накопичення.

АНОТАЦІЯ У статті розглянуто питання математичної підготовки студентів екологів, наведені приклади професійно спрямованих задач з вищої математики. Проаналізовано підходи до вибору прикладних екологічних задач і прикладів, наведено деякі приклади, що сприятимуть розвитку мотивації до вивчення математики та її застосування в майбутній професійній діяльності під час моделювання екологічних явищ і процесів. Встановлено, що викладання вищої математики потрібно проводити на високому науково-методичному рівні із застосуванням як математичних, так і прикладних задач професійного спрямування. Зазначено, що спрямовувати майбутнього еколога на успішне застосування математичних методів потрібно саме на заняттях з вищої математики. Наголошено, що наслідком вивчення вищої математики в процесі підготовки майбутніх екологів має стати успішне застосування математичних знань у низці загальноосвітніх та спеціальних дисциплін. Наведено деякі задачі екологічного спрямування, які доцільно наводити як приклади у відповідних розділах вищої математики Запропоновані задачі можуть привернути увагу студентів, сприяти їх професійній спрямованості і підвищувати інтерес до обраної спеціальності. Також зазначено, що навчальна дисципліна «Вища математика» включає в себе основні розділи: «Лінійна алгебра», «Аналітична геометрія», «Диференціальне та інтегральне числення функції однієї змінної», «Диференціальне та інтегральне числення функції багатьох змінних. Диференціальні рівняння», «Ряди», «Теорія ймовірностей» та «Математична статистика». На прикладі окремих розділів розглянуто завдання та задачі екологічного змісту. Вказано, що основну увагу студентів варто звертати на те, як саме цей розділ ефективно ілюструється різноманітними прикладами, пов'язаними з екологією. Поглиблене вивчення математичних компонентів під час підготовки екологів допоможе сформувати необхідні професійні компетентності фахівців, які зможуть перетворити систему моніторингу довкілля та управління його складниками на сучасну інформаційну систему, що ефективно сприятиме охороні й раціональному використанню природних ресурсів. Key words: preparation of students-ecologists, higher mathematics, ecological problems, mathematical modeling.

Робота присвячена важливій темі теорії інформаційних систем – теорії і практиці виявлення сигналів у завадах. У будь-якому середовищі на поширення сигналів діють завади, що спотворюють структуру сигналів і, відповідно, інформацію, яку вони несуть. Загальною властивістю сигналів є їх випадковий характер, тому для математичного опису сигналів використовують апарат теорії ймовірностей. Сигнал – носій інформації, якої немає в точці приймання до моменту його прийняття. Оскільки інформація про об’єкт кодується в одному або декількох параметрах сигналу – амплітуді, частоті, фазі, часі затримки, то принаймні один з цих параметрів невідомий для спостерігача. Крім того, наявність завад і шумів, що є випадковими процесами, а також випадкові параметри каналу поширення сигналу зумовлюють потребу в застосуванні методів теорії ймовірностей, теорії випадкових процесів та методів математичної статистики під час проведення досліджень з обробки сигналів. Для математичного опису сигналів і завад використовують ті чи інші моделі випадкових процесів – гауссівські випадкові процеси, негауссівські випадкові процеси із складеним розподілом, негауссівські марковські випадкові процеси. Моделюють випадковий процес заданою багатовимірною щільністю розподілу ймовірностей. В роботі обґрунтовано методологічні принципи обробки сигналів за умов апріорної невизначеності, коли щільність розподілу ймовірностей невідома. В основу статистичної обробки інформаційних параметрів сигналів покладено знаходження таких інформаційних ознак: середніх значень інтервалів, статистичний розподіл вибірки, дисперсії амплітуд. Використовуючи комп’ютерне моделювання в системі Matlab, за допомогою адаптивних алгоритмів проведено генерацію сумішей радіотехнічних завад різних видів. У процесі оброблення за цими алгоритмами також визначено статистичні оцінки параметрів суміші сигналу і завад. Обчислені параметри сигналу використовуються для з’ясування наскільки узгоджена з дослідними даними гіпотеза про те, що невідома характеристика має саме те значення, яке отримане в результаті її оцінювання. Для візуалізації досліджень створено програмний код в системі Matlab з використанням спеціального середовища візуального програмування GUIDE, який дозволяє: генерувати випадкові сигнали з різними формами спектрів завад, демонструвати їх, будувати гістограми та підбирати закони розподілу, що якнайкраще описують випадковий процес. Крім того, в програмі обчислено ймовірність виявлення сигналу і побудовано графік залежності ймовірності виявлення сигналу від ймовірності хибної тривоги і відношення сигналу до шуму при різних обсягах вибірки.

Натепер посів є одним із найактуальніших завдань, саме тому широко затребувана універсальна посівна техніка, яка повинна забезпечити рівномірний розподіл числа рослин на одиницю площі для створення однакових умов розвитку. Теоретичні дослідження проводили з використанням методів теоретичної механіки, опору матеріалів, теорії ймовірності, математичного аналізу й моделювання. Дослідження проводяться на основі численної реалізації рівнянь динаміки суцільного середовища у прикладних програмах інженерного розрахунку – CAE-системах. У статті проведений теоретичний аналіз взаємодії ґрунтового шару із поверхнею робочого органа сівалки під виконання технологічного процесу висіву насіння зернових культур на схилах. Отримали схему сил що діють на ґрунт під час робочого процесу, схему сил які діють на шар ґрунту під час руху вздовж схила, схему для визначення параметрів робочої площини, початкові і граничні умови взаємодії робочого органа з ґрунтовим середовищем. Розглянули процес взаємодії робочого органа, який має форму плоского двогранного клина, з ґрунтовим середовищем під час роботи у горизонтальній площині і отримали схему сил що діють на ґрунтовий шар. З метою визначення товщини шару ґрунту, що потрапляє на робочу поверхню робочого органа зобразили векторну діаграму швидкості шару ґрунту, тобто визначили співвідношення швидкостей руху робочого органа та відносної швидкості шару ґрунту по робочій поверхні сошника. Отримали схему зміни швидкостей шару ґрунту на схилах. Для знаходження сили тяжіння шару ґрунту, що діє на робочий орган, зобразили схему роботи робочого органа на схилі і отримали схему сил які діють на шар ґрунту на схилах. Під час переміщення робочого органа вгору по схилу отримали залежність сили тяжіння шару ґрунту на поверхні робочого органа та сили підпирання від кута нахилу схила. Розглянуто початкові і граничні умови математичної моделі технологічного процесу, та розроблено методику реалізації математичної моделі технологічного процесу роботи робочого органа на схилах з різними значеннями кута нахилу робочої поверхні. Розроблено математичну модель технологічного процесу обробітку ґрунту на різних типах агроландшафтів експериментальними робочими органами. Встановлено початкові та граничні умови математичної моделі технологічного процесу обробітку ґрунту з врахуванням нахилу робочої поверхні поля.

Розглянуто принципи організації систем захисту процесу передачі даних у глобальних інформаційних мережах на базі інтерфейсу неортогонального множинного доступу. Запропонована математична модель побудови телекомунікаційної мережі організованої відповідно до стандарту 5G, у рамках якої інформаційні вузли користувачі та зловмисників розташовані випадковим чином. Оцінка ефективності стратегії запобігання витокам «чутливих даних» було модифіковано асимптотичні рівняння ймовірності збою системи захисту. Система оцінки надійності передачі даних базується на статичних даних поточного співвідношення сигналу до суми шуму і інтерференції сигналів тапоточного співвідношення сигналу до шуму для користувачів сервісу, а також сторонніх осіб з неавторизованим доступом до мережевого ресурсу.

В Україні наявна тенденція до збільшення розвитку ускладнення вагітності пізніми гестозами, тому дослідження методом математичного моделювання прогнозування виникнення прееклампсії середнього ступеня є доцільним та необхідним для спрощення верифікації даної патології. Мета – розроблення математичної моделі для визначення ймовірності та відсотка прогнозування виникнення прееклампсії середнього ступеня у жінок групи високого ризику розвитку пізнього гестозу на тлі метаболічного синдрому. Матеріал і методи. На сьогодні, окрім точної діагностики та ефективного лікування прееклампсії з ожирінням, постало питання прогнозування виникнення прееклампсії за допомогою біохімічних маркерів діагностики. Іншими словами, з якою ймовірністю може виникнути прееклампсія середнього ступеня у жінок групи ризику виникнення пізнього гестозу на тлі метаболічного синдрому. Для вирішення завдань такої складності застосували нейронні мережі, або «штучний інтелект». Результати. Математично доведено, що при наявності протеїнурії, що відповідає діагностичним критеріям прееклампсії легкого ступеня, дефіциту вітаміну D та підвищення рівня інгібіну А, ймовірність розвитку прееклампсії середнього ступеня становить 89 % . Висновки. У пацієнток віком понад 35 років ризик виникнення прееклампсії середнього ступеня, враховуючи додаткові прогностичні маркери, зокрема вітамін D та інгібін А, зростає ймовірність розвитку даного ускладнення вагітності на тлі метаболічного синдрому.

Одне із основних завдань техніки зв'язку – це забезпечення високої якості передачі інформації в умовах дії завад. У випадку, що розглядається, досліджується завадостійка передача числової вимірювальної інформації при передачі показів вимірювальних приладів обліку, наприклад, кількості спожитої води, електроенергії, тощо. В такому випадку важливим фактором підвищення якості передачі інформації є використання завадостійких кодів для кодування десяткових цифр, з допомогою яких передається інформація з вимірювальних приладів. В даній роботі використовуються рівноважні коди, які прості за своєю структурою і в той же час мають непогану завадостійкість як в симетричних каналах передачі інформації, так і в несиметричних. Кодові комбінації цих кодів складаються з п’яти розрядів, два з яких одиничні, а три нульові. Порушення кількості одиниць і відповідно кількості нулів в кодовій комбінації є ознакою її помилки. Однак оцінка рівня завадостійкості двійково-десяткових рівноважних кодів не має на сьогодні закінченого вигляду і тому потребує подальших досліджень. Робота, що розглядається, спрямована на проведення такої оцінки. Вона дозволить в кінцевому підсумку оцінити ефективність роботи системи передачі числових даних, яка використовує двійково-десяткові рівноважні коди. Ця оцінка підтверджується програмним моделюванням системи передачі двійково-десяткових цифр, результати якого надані в вигляді графіків. Таке моделювання потрібно проводити для кожної системи передачі вимірювальної інформації окремо, тому що ймовірність помилкових переходів для них різна. У роботі розглянута математична модель визна чення ймовірності помилкового переходу рівноважної кодової комбінації, що передається. При створенні математичної моделі враховані особливості, які притаманні рівноважному коду. Побудовані алгоритми і програма для здійснення оцінки завадостійкості кодів та її відповідності різним класам достовірності, з допомогою якої проведена оцінка завадостійкості двійково-десяткових рівноважних кодів. Аналіз результатів дослідження показав, що застосування рівноважних кодів забезпечує необхідний рівень захисту вимірювальної інформації у відповідності до вимог стандартів при введенні мінімального рівня надлишковості. За результатами дослідження зроблено висновок, що надана методика оцінки завадостійкості та ефективності кодування двійково-десяткових чисел рівноважними кодами дає можливість ефективно використовувати її на практиці.

Анотація. Обґрунтовано основні характерні властивості кривої PD (Probabilityofdefault), що сформувалися у практиці моделювання. Доведено, що основними характеристиками кривої PD є те, що вона ґрунтуватися на даних про фактичну відносну частоту дефолтів у кожному з ризик-класів за обраний період часу і має форму, що апроксимує або збігається з експонеційнійною функцією. Показано, що важливим аспектом, який впливає на калібрування, є кількість рейтингових класів і способи їх побудови. Визначено, що нахил кривої демонструє класифікаційну ефективність моделі. Для моделей із високими дискримінаторними властивостями характерна форма кривої, що має повільне зростання в рейтингових класах верхньої частини шкали і значне пришвидшення зростання в останніх класах ризику. Проаналізовано два основних підходи до визначення кількості класів ризику: підхід на основі процентіліві підхід на основі рівних діапазонів балів. Показано, що при формуванні класів варто враховувати загальний обсяг вибіркових спостережень, пропорцію «хороших» і «поганих» та обирати кількість класів таким чином, щоб воно було не надто велике і не надто мале. Доведено, що на практики калібрування впливають дані, мета та обмеження дослідження. На практичних прикладах розглянуто застосування методу найменших квадратів і методу екстраполяції. Метод найменших квадратів, і зокрема похідний метод екстраполяції, дозволяють будувати калібраційну криву на основі даних про відносну частоту дефолтів. Визначено, що математичний апарат сімейства нелінійних кривих дозволяє моделювати процес експоненційного зростання з різним рівнем інтенсивності. Експоненційна крива і споріднені з нею функції можуть бути корисними при моделюванні більш консервативних оцінок PD або для моделей з високими дискримінаційними властивостями, у той час як функція Вейбулла, S-крива і степенева функція можуть краще пристосовуватися до процесів помірного зростання. Застосування практичних прийомів побудови шкали PD є важливим для багатьох вітчизняних банківських спеціалістів, хто займається внутрішніми моделями кредитного ризику. Ключові слова:калібрування, дефолт, імовірність, криві, калібрація кривої ймовірності дефолту, метод найменших квадратів, метод екстраполяції. Формул: 21; рис.: 1; табл.: 7; бібл.: 10.

Статтю присвячено методиці побудови та дослідження стохастичних моделей на основі методу Монте-Карло. Розглядається модель броунівського руху, побудова й опрацювання якої вводить у світ випадкових чисел і математичної статистики, сприяє формуванню уявлень про розподіли ймовірностей, зокрема ілюструє два поширених розподіли: рівномірний та нормальний.