Academic literature on the topic 'Лінійні динамічні системи'

Оскільки аналіз та синтез систем зі змінними параметрами традиційними методами виявляється складною роботою пропонується узагальнюючий алгоритм ідентифікації лінійних динамічних систем, побудований на сумісному використанні сплайн-функцій та функцій Уолша. Цій алгоритм може бути використано не тільки для систем з для систем з зосередженими параметрами, але і для систем з розподіленими параметрами. У випадку систем з розподіленими параметрами алгоритм передбачає застосування двовимірного сплайну інтерполяції і відповідно застосування подвійного ряду функції Уолша. Важливою перевагою цього алгоритму є те, що інтеграл функцій Уолша залишається в класі функцій Уолша, а інтеграція є невід'ємною частиною аналізу та синтезу лінійних динамічних систем. В цьому випадку операція інтегрування замінюється добутком вектора системи функцій Уолша та квадратної операційної матриці, розмірність якої 2n, де n - розмірність системи функцій Уолша. Окремим випадком цього алгоритму є лінійні динамічні системи з постійними параметрами. Очевидно, що даний алгоритм при певній доробці можна також узагальнити і на лінійні динамічні системи з післядією.

Формулювання проблеми. Навчання майбутніх вчителів математики потребує високий рівень візуалізації навчального матеріалу. Інтеграція динамічного середовища GeoGebra у навчальний процес може допомогти покращити навички та знання студентів, а також підвищити рівень викладання для досягнення бажаних цілей навчання. Матеріали і методи. У ході роботи використовувались наступні методи: теоретичні (аналіз науково-методичної літератури для дослідження стану проблеми застосування засобів візуалізації методами комп’ютерної математики); емпіричні (спостереження та систематизація інструментів GeoGebra на лекційних і практичних заняттях дисциплін «Лінійна алгебра» та «Диференціальна геометрія і топологія»). Показано, як за допомогою GeoGebra можна будувати та досліджувати просторові та плоскі криві; виконувати дії над матрицями. Результати. Розглянуто особливості використання авторських аплетів та інших розробок GeoGebra під час викладання дисциплін диференціальна геометрія та лінійна алгебра у процесі підготовки майбутніх вчителів математики, зокрема описано можливості застосування даного інструмента для дослідження властивостей просторових кривих і формування практичних вмінь та навичок виконання операцій над матрицями, знаходження обернених матриць. Висвітлено переваги та недоліки використання середовища GeoGebra в освітньому процесі з лінійної алгебри та диференціальної геометрії. Висновки. В сучасному світі впровадження інформаційних технологій в освітній процес є необхідною компонентою успішного засвоєння навчальних дисциплін з математики. Однією з потужних систем комп’ютерної математики для динамічної візуалізації, розрахунків під час розв’язування задач, обробки даних та науково-дослідницької роботи є середовище GeoGebra. В роботі на прикладі окремих математичних дисциплін показано переваги використання даної системи в освітньому процесі.

У роботі обґрунтовано сутність та актуальність проблеми екологізації економіки та становлення екологічної економіки, у якій продукти забруднення, що є наслідком виробничої та невиробничої діяльності людського сус­пільства, обов’язково утилізуються, зменшуючи рівень забруднення довкілля. Розроблено концептуальний підхід до моделювання екологічно та соціально збалансованої двосекторної економіки, у якій один сектор займається вироб­ництвом основної агрегованої продукції, а інший – утилізацією продуктів забруднення. На основі цього підходу запро­поновано модель еколого-економічної динаміки з лінійними поведінковими функціями її суб’єктів, яка враховує соціально-економічну кластеризацію, процеси екологізації та контроль над забрудненням довкілля та може бути у різний спосіб модифікована. Моделі такого класу призначені для дослідження на їх основі тенденцій та закономірностей реальної динаміки еколого-економічних систем і підтримки прийняття рішень щодо управління цими системами.

Пропонується розв’язання задачі підвищення надійності системи автоматичного управління (САУ) авіаційного двигуна ТВ3-117 на основі введення алгоритмічної надмірності. Метою дослідження є розробка алгоритмів діагностики та парирування відмов вимірювальних каналів для вхідних параметрів вбудованої в САУ лінійної адаптивної бортової математичної моделі авіаційного двигуна ТВ3-117 (LABEM). Наведено основні співвідношення LABEM. В якості основи статичної моделі двигуна використовується дросельна характеристика індивідуального двигуна, отримана на здавальних випробуваннях або на «гонці» в експлуатації після проведення обслуговування. Динамічна лінійна модель авіаційного двигуна ТВ3-117 нижнього рівня будується за методом простору станів. Технічні і теоретичних проблем практичної реалізації резервування за допомогою моделі пов’язані з високою розмірністю простору станів двигуна, що істотно перевищує розмірність вектору вимірюваних на борту параметрів. Виникає проблема ідентифікації відмови датчика з подальшим заміщенням інформації модельним значенням. Обґрунтовано необхідність побудови алгоритмів виявлення і локалізації відмов вимірювальних каналів двоканальних датчиків, що діють в умовах перешкод. Для підвищення надійності вхідної інформації по контуру витрати палива застосовуються алгоритми Калман-фільтрації з вбудованою логікою виявлення та локалізації відмови вимірювального каналу. Описано алгоритми виявлення та локалізації відмов датчиків в контурі дозуючої голки на основі фільтрів Калмана. Алгоритми будуються на обчисленні сигнатури відмови як зваженої суми квадратів відхилень (WSSR), яку порівнюють з обраним пороговим значенням. Результати випробувань на моторному стенді і моделювання в середовищі MatLab показали, що застосування запропонованих алгоритмів в складі LABEM дозволяє досягти високих показників надійності і якості автоматичного управління.

Наукові дослідження стають ефективними тоді, коли природу подій чи явищ можна розглядати з єдиних позицій, виробити універсальний підхід до них, сформувати загальні закономірності. Більшість сучасних фундаментальних наукових проблем і високих технологій тісно пов’язані з явищами, які лежать на границях різних рівнів організації. Природничі та деякі з гуманітарних наук (економіка, соціологія, психологія) розробили концепції і методи для кожного із ієрархічних рівнів, але не володіють універсальними підходами для опису того, що відбувається між цими рівнями ієрархії. Неспівпадання ієрархічних рівнів різних наук – одна із головних перешкод для розвитку дійсної міждисциплінарності (синтезу різних наук) і побудови цілісної картини світу. Виникає проблема формування нового світогляду і нової мови.Теорія складних систем – це одна із вдалих спроб побудови такого синтезу на основі універсальних підходів і нової методології [1]. В російськомовній літературі частіше зустрічається термін “синергетика”, який, на наш погляд, означує більш вузьку теорію самоорганізації в системах різної природи [2].Мета роботи – привернути увагу до нових можливостей, що виникають при розв’язанні деяких задач, виходячи з уявлень нової науки.На жаль, теорія складності не має до сих пір чіткого математичного визначення і може бути охарактеризована рисами тих систем і типів динаміки, котрі являються предметом її вивчення. Серед них головними є:– Нестабільність: складні системи прагнуть мати багато можливих мод поведінки, між якими вони блукають в результаті малих змін параметрів, що управляють динамікою.– Неприводимість: складні системи виступають як єдине ціле і не можуть бути вивчені шляхом розбиття їх на частини, що розглядаються ізольовано. Тобто поведінка системи зумовлюється взаємодією складових, але редукція системи до її складових спотворює більшість аспектів, які притаманні системній індивідуальності.– Адаптивність: складні системи часто включають множину агентів, котрі приймають рішення і діють, виходячи із часткової інформації про систему в цілому і її оточення. Більш того, ці агенти можуть змінювати правила своєї поведінки на основі такої часткової інформації. Іншими словами, складні системи мають здібності черпати скриті закономірності із неповної інформації, навчатися на цих закономірностях і змінювати свою поведінку на основі нової поступаючої інформації.– Емерджентність (від існуючого до виникаючого): складні системи продукують неочікувану поведінку; фактично вони продукують патерни і властивості, котрі неможливо передбачити на основі знань властивостей їх складових, якщо розглядати їх ізольовано.Ці та деякі менш важливі характерні риси дозволяють відділити просте від складного, притаманного найбільш фундаментальним процесам, які мають місце як в природничих, так і в гуманітарних науках і створюють тим самим істинний базис міждисциплінарності. За останні 30–40 років в теорії складності було розроблено нові наукові методи, які дозволяють універсально описати складну динаміку, будь то в явищах турбулентності, або в поведінці електорату напередодні виборів.Оскільки більшість складних явищ і процесів в таких галузях як екологія, соціологія, економіка, політологія та ін. не існують в реальному світі, то лише поява сучасних ЕОМ і створення комп’ютерних моделей цих явищ дозволило вперше в історії науки проводити експерименти в цих галузях так, як це завжди робилось в природничих науках. Але комп’ютерне моделювання спричинило розвиток і нових теоретичних підходів: фрактальної геометрії і р-адичної математики, теорії хаосу і самоорганізованої критичності, нейроінформатики і квантових алгоритмів тощо. Теорія складності дозволяє переносити в нові галузі дослідження ідеї і підходи, які стали успішними в інших наукових дисциплінах, і більш рельєфно виявляти ті проблеми, з якими інші науки не стикалися. Узагальнюючому погляду з позицій теорії складності властиві більша евристична цінність при аналізі таких нетрадиційних явищ, як глобалізація, “економіка, що заснована на знаннях” (knowledge-based economy), національні і світові фінансові кризи, економічні катастрофи і ряд інших.Однією з інтригуючих проблем теорії є дослідження властивостей комплексних мережеподібних високотехнологічних і інтелектуально важливих систем [3]. Окрім суто наукових і технологічних причин підвищеної уваги до них є і суто прагматична. Справа в тому, що такі системи мають системоутворюючу компоненту, тобто їх структура і динаміка активно впливають на ті процеси, які ними контролюються. В [4] наводиться приклад, коли відмова двох силових ліній системи електромережі в штаті Орегон (США) 10 серпня 1996 року через каскад стимульованих відмов призвели до виходу із ладу електромережі в 11 американських штатах і 2 канадських провінціях і залишили без струму 7 млн. споживачів протягом 16 годин. Вірус Love Bug worm, яких атакував Інтернет 4 травня 2000 року і до сих пір блукає по мережі, приніс збитків на мільярди доларів.До таких систем відносяться Інтернет, як складна мережа роутерів і комп’ютерів, об’єднаних фізичними та радіозв’язками, WWW, як віртуальна мережа Web-сторінок, об’єднаних гіперпосиланнями (рис. 1). Розповсюдження епідемій, чуток та ідей в соціальних мережах, вірусів – в комп’ютерних, живі клітини, мережі супермаркетів, актори Голівуду – ось далеко не повний перелік мережеподібних структур. Більш того, останнє десятиліття розвитку економіки знань привело до зміни парадигми структурного, функціонального і стратегічного позиціонування сучасних підприємств. Вертикально інтегровані корпорації повсюдно витісняються розподіленими мережними структурами (так званими бізнес-мережами) [5]. Багато хто з них замість прямого виробництва сьогодні займаються системною інтеграцією. Тому дослідження структури та динаміки мережеподібних систем дозволить оптимізувати бізнес-процеси та створити умови для їх ефективного розвитку і захисту.Для побудови і дослідження моделей складних мережеподібних систем введені нові поняття і означення. Коротко опишемо тільки головні з них. Хай вузол i має ki кінців (зв’язків) і може приєднати (бути зв’язаним) з іншими вузлами ki. Відношення між числом Ei зв’язків, які реально існують, та їх повним числом ki(ki–1)/2 для найближчих сусідів називається коефіцієнтом кластеризації для вузла i:. Рис. 1. Структури мереж World-Wide Web (WWW) і Інтернету. На верхній панелі WWW представлена у вигляді направлених гіперпосилань (URL). На нижній зображено Інтернет, як систему фізично з’єднаних вузлів (роутерів та комп’ютерів). Загальний коефіцієнт кластеризації знаходиться шляхом осереднення його локальних значень для всієї мережі. Дослідження показують, що він суттєво відрізняється від одержаних для випадкових графів Ердаша-Рені [4]. Ймовірність П того, що новий вузол буде приєднано до вузла i, залежить від ki вузла i. Величина називається переважним приєднанням (preferential attachment). Оскільки не всі вузли мають однакову кількість зв’язків, останні характеризуються функцією розподілу P(k), яка дає ймовірність того, що випадково вибраний вузол має k зв’язків. Для складних мереж функція P(k) відрізняється від розподілу Пуассона, який мав би місце для випадкових графів. Для переважної більшості складних мереж спостерігається степенева залежність , де γ=1–3 і зумовлено природою мережі. Такі мережі виявляють властивості направленого графа (рис. 2). Рис. 2. Розподіл Web-сторінок в Інтернеті [4]. Pout – ймовірність того, що документ має k вихідних гіперпосилань, а Pin – відповідно вхідних, і γout=2,45, γin=2,1. Крім цього, складні системи виявляють процеси самоорганізації, змінюються з часом, виявляють неабияку стійкість відносно помилок та зовнішніх втручань.В складних системах мають місце колективні емерджентні процеси, наприклад синхронізації, які схожі на подібні в квантовій оптиці. На мові системи зв’язаних осциляторів це означає, що при деякій критичній силі взаємодії осциляторів невелика їх купка (кластер) мають однакові фази і амплітуди.В економіці, фінансовій діяльності, підприємництві здійснювати вибір, приймати рішення доводиться в умовах невизначеності, конфлікту та зумовленого ними ризику. З огляду на це управління ризиками є однією з найважливіших технологій сьогодення [2, 6].До недавніх часів вважалось, що в основі розрахунків, які так чи інакше мають відношення до оцінки ризиків лежить нормальний розподіл. Йому підпорядкована сума незалежних, однаково розподілених випадкових величин. З огляду на це ймовірність помітних відхилень від середнього значення мала. Статистика ж багатьох складних систем – аварій і катастроф, розломів земної кори, фондових ринків, трафіка Інтернету тощо – зумовлена довгим ланцюгом причинно-наслідкових зв’язків. Вона описується, як показано вище, степеневим розподілом, “хвіст” якого спадає значно повільніше від нормального (так званий “розподіл з тяжкими хвостами”). У випадку степеневої статистики великими відхиленнями знехтувати вже не можна. З рисунку 3 видно, наскільки добре описуються степеневою статистикою торнадо (1), повені (2), шквали (3) і землетруси (4) за кількістю жертв в них в США в ХХ столітті [2]. Рис. 3. Системи, які демонструють самоорганізовану критичність (а саме такі ми і розглядаємо), самі по собі прагнуть до критичного стану, в якому можливі зміни будь-якого масштабу.З точки зору передбачення цікавим є той факт, що різні катастрофічні явища можуть розвиватися за однаковими законами. Незадовго до катастрофи вони демонструють швидкий катастрофічний ріст, на який накладені коливання з прискоренням. Асимптотикою таких процесів перед катастрофою є так званий режим з загостренням, коли одна або декілька величин, що характеризують систему, за скінчений час зростають до нескінченності. Згладжена крива добре описується формулою,тобто для таких різних катастрофічних явищ ми маємо один і той же розв’язок рівнянь, котрих, на жаль, поки що не знаємо. Теорія складності дозволяє переглянути деякі з основних положень ризикології та вказати алгоритми прогнозування катастрофічних явищ [7].Ключові концепції традиційних моделей та аналітичних методів аналізу і управління капіталом все частіше натикаються на проблеми, які не мають ефективних розв’язків в рамках загальноприйнятих парадигм. Причина криється в тому, що класичні підходи розроблені для опису відносно стабільних систем, які знаходяться в положенні відносно стійкої рівноваги. За своєю суттю ці методи і підходи непридатні для опису і моделювання швидких змін, не передбачуваних стрибків і складних взаємодій окремих складових сучасного світового ринкового процесу. Стало ясно, що зміни у фінансовому світі протікають настільки інтенсивно, а їх якісні прояви бувають настільки неочікуваними, що для аналізу і прогнозування фінансових ринків вкрай необхідним став синтез нових аналітичних підходів [8].Теорія складних систем вводить нові для фінансових аналітиків поняття, такі як фазовий простір, атрактор, експонента Ляпунова, горизонт передбачення, фрактальний розмір тощо. Крім того, все частіше для передбачення складних динамічних рядів використовуються алгоритми нейрокомп’ютинга [9]. Нейронні мережі – це системи штучного інтелекту, які здатні до самонавчання в процесі розв’язку задач. Навчання зводиться до обробки мережею множини прикладів, які подаються на вхід. Для максимізації виходів нейронна мережа модифікує інтенсивність зв’язків між нейронами, з яких вона побудована, і таким чином самонавчається. Сучасні багатошарові нейронні мережі формують своє внутрішнє зображення задачі в так званих внутрішніх шарах. При цьому останні відіграють роль “детекторів вивчених властивостей”, оскільки активність патернів в них є кодування того, що мережа “думає” про властивості, які містяться на вході. Використання нейромереж і генетичних алгоритмів стає конкурентноздібним підходом при розв’язанні задач передбачення, класифікації, моделювання фінансових часових рядів, задач оптимізації в галузі фінансового аналізу та управляння ризиком. Детермінований хаос пропонує пояснення нерегулярної поведінки і аномалій в системах, котрі не є стохастичними за природою. Ця теорія має широкий вибір потужних методів, включаючи відтворення атрактора в лаговому фазовому просторі, обчислення показників Ляпунова, узагальнених розмірностей і ентропій, статистичні тести на нелінійність.Головна ідея застосування методів хаотичної динаміки до аналізу часових рядів полягає в тому, що основна структура хаотичної системи (атрактор динамічної системи) може бути відтворена через вимірювання тільки однієї змінної системи, фіксованої як динамічний ряд. В цьому випадку процедура реконструкції фазового простору і відтворення хаотичного атрактора системи при динамічному аналізі часового ряду зводиться до побудови так званого лагового простору. Реальний атрактор динамічної системи і атрактор, відтворений в лаговому просторі по часовому ряду при деяких умовах мають еквівалентні характеристики [8].На завершення звернемо увагу на дидактичні можливості теорії складності. Розвиток сучасного суспільства і поява нових проблем вказує на те, що треба мати не тільки (і навіть не стільки) експертів по деяким аспектам окремих стадій складних процесів (професіоналів в старому розумінні цього терміну), знадобляться спеціалісти “по розв’язуванню проблем”. А це означає, що істинна міждисциплінарність, яка заснована на теорії складності, набуває особливого значення. З огляду на сказане треба вчити не “предметам”, а “стилям мислення”. Тобто, міждисциплінарність можна розглядати як основу освіти 21-го століття.

Актуальність. В умовах наявності єдиних державних стандартів загальної середньої освіти та класно-урочної системи можливість застосування індивідуальної освітньої траєкторії (ІОТ) досі залишається здебільшого лише потенційною. Також в інших галузях (наприклад, в IT підвищення кваліфікації педагогів та держслужбовців) формується потреба більш гнучкої підготовки фахівців. ІОТ передбачає можливість слухачу самостійно обирати темп, методи і засоби навчання. Переважна кількість програм та реалізованих дистанційних курсів мають лінійну структуру, що суттєво обмежує можливу варіативність вибору темпу та послідовності надання завдань. Актуальність розроблення таких інструментів або адаптація вже наявних для спрощення індивідуалізації навчання особливо відчутна в умовах зростання попиту на дистанційне навчання в умовах COVID-19 Постановка проблеми. У середовищі Google Classroom відсутні засоби забезпечення варіативності навчальних курсів та зменшення навантаження на викладача. Шляхи вирішення проблеми. Пропонується створення додатку до Google Classroom у системі G Suite for Education, який реалізує функціонал варіативності та зменшення навантаження на викладача. Результати. Представлено прототип додатку Classroom Х, який забезпечує можливості планування послідовності надання завдань за умови виконання попередніх, автоматичне надання завдань, автоматизацію перевірки завдань (за мінімальної участі викладача), організацію повторення матеріалу, динамічну зміну індивідуальної освітньої траєкторії при зміні обставин та потреб слухача. Це дозволяє суттєво зменшити навантаження на тьютора або зовсім відмовитись від нього. Додаток пройшов успішну апробацію. Висновки Проведене дослідження показало потенційну можливість удосконалення Google Classroom для організації варіативного дистанційного навчання. У ході експериментів у навчальних групах підвищення кваліфікації практично перевірено принциповий механізм, що забезпечує розширену варіативність подання навчального матеріалу та зменшення навантаження на викладача. Такий функціонал особливо цінний при тотальному вимушеному переході до дистанційного навчання в умовах карантину COVID-19.

У статті пропонується методика оцінки ефективності функціонування механізмів формування керуючих послідовностей для реалізації активної завадо- та імітозахисту завадозахисних систем зв'язку і управління на фізичному рівні. Реалізація активної завадо- та імітозахисту систем зв'язку і управління на фізичному рівні досягається при використанні динамічного режиму функціонування на рівні складних сигналів. В цьому випадку постановка імітаційних та структурних перешкод зловмисником еквівалентна постановці їм звичайних шумових завад. Максимальна ефективність динамічного режиму функціонування досягається за умови, що зловмиснику не відомий закон, який реалізує динамічний режим функціонування і він не може розкрити цей закон формування на заданому інтервалі часу. Отримано математичні вирази, що дозволяють сформулювати вимоги до пристроїв формування керуючих послідовностей і оцінити якості керівників послідовностей. Проведено аналіз і розроблена методика оцінки ефективності функціонування механізмів формування керуючих послідовностей для реалізації динамічного режиму функціонування. Встановлено, що пристрій формування керуючих послідовностей має забезпечувати високу структурну скритність і високу лінійну складність породжуючих послідовностей. Сформульовано вимоги до пристроїв формування керуючих послідовностей.

Математичні моделі в багатьох галузях є ефективним інструментом імітації динамічних процесів та прогнозування подальшого розвитку. Присутність неформалізованих і неоднозначних факторів, швидка зміна явищ – це основні проблеми, що заважають побудові адекватних математичних моделей, які б мали високі імітаційні та прогнозні властивості.

Економіко-математичне моделювання є важливим інструментом для вивчення і прогнозування економічних систем, процесів і явищ. У макроекономічному моделюванні найбільш відомим і розповсюдженим є підхід, пов’язаний з динамічними стохастичними моделями загальної рівноваги (DSGE). В останнє десятиріччя досягнутий значний прогрес, як в специфікації, так і в оцінці DSGE, зокрема, при дослідженні економічних циклів. На відміну від векторних авторегресій, DSGE моделі є теоретично обґрунтованими, пропонують використання конкретних економіко-математичних моделей. При цьому їхнім недоліком можна вважати сильну залежність від теоретичних передумов та слабкий зв’язок з реальними даними. DSGE моделі можуть бути представлені в двух формах. Аналітична форма містить опис моделей поведінки економічних агентів у вигляді рішення оптимі- заційних задач, а також аналіз рівноважного напрямку розвитку економіки. Наведений варіант містить в собі тільки лінійні рівняння динаміки ключових макроекономічних змінних.