Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Théorèmes de Fatou“

Soit G un groupe de lie semi-simple de type non compact et G son algèbre de lie. Si K est un sous-groupe compact maximal de G. K son algèbre de lie et P le supplémentaire orthogonal de K dans G par rapport à la forme de Killing de G, alors K opère sur P par la représentation adjointe. Le groupe de déplacements de Cartan associé est le produit semi-direct de K par P. L'objet de la thèse est l'étude d'un certain nombre de questions d'analyse harmonique sur l'espace P considéré comme espace homogène du groupe de déplacements de cartan. Ces questions concernent la compactification de P, l'étude des valeurs au bord des intégrales de poisson (théorème de Fatou) et la caractérisation de l'image par la transformée de poisson de certains espaces fonctionnels. Une fois la compactification construite, on définit un mode de convergence aux points frontières appelé convergence admissible et on démontre des théorèmes de Fatou pour ce mode de convergence

Lorsque k > = 2, il existe des domaines stricts de Ck qui sont biholomorphiquement équivalents à Ck ; ce sont les domaines dits de Fatou-Bieberbach. Notre travail est de savoir si le bassin d'attraction d'une chaine de contractions holomorphes est équivalent à Ck. Nos méthodes permettent d'établir des résultats nouveaux qui englobent ceux connus à ce jour. A cet effet, nous démontrons un théorème de Linéarisation de Poincaré pour les chaines et un théorème de Poincaré-Dulac perturbé
When k > = 2, there exist domains not belonging to Ck which are biholomorphically equivalent to Ck, these are the domains called Fatou-Bieberbach. Our work consisted of studying if the basin of attraction of a chain of holomorphic contractions is equivalent to Ck. Our proposed method permitted establishing new results which generalizes all known results till nowadays. For this purpose, we proved a linearization theorem of Poincaré for chains and a perturbed Poincaré-Dulac theorem as well

La thèse se compose de quatre articles. Dans l'article I, " Hardy spaces for the Laplacian with lower order perturbations ", on considère les espaces de Hardy des fonctions harmoniques pour le Laplacien avec une perturbation de type gardient ou de Schrödinger, sous des conditions de Kato. On y montre le théorème de représentation pour les espaces de Hardy sur les domaines bornés au bord lisse dans l'espace euclidien. L'article II, " On hardy spaces ", traite des caractérisations des espaces de Hardy et des espaces de Hardy conditionnels du Laplacien et du Laplacien fractionnaire à l'aide des identités de Hardy-Stein. Dans l'article III, " Boundary behavior of alpha-harmonic functions on the complement of the sphere and hyperplane ", on étudie les fonctions harmoniques pour le Laplacien fractionnaire sur l'espace euclidien privé d'une sphère ou d'un hyperplan. On obtient les théorèmes de représentation pour les espaces de Hardy ainsi que les théorèmes de Fatou. On établit également la formule explicite pour le noyau de Martin sur l'espace euclidien privé d'une sphère et pour la fonction de Green, le noyau de Martin et la mesure harmonique sur l'espace euclidien privé d'un hyperplan. L'article IV, " Martin représentation, Relative Fatou Theorem and Hardy spaces for fractional Laplacian with a gardient perturbation ", concerne la théorie du potentiel pour le Laplacien fractionnaire avec une perturbation de type gardient. On y montre l'existence de noyau de Martin pour les domaines bornés au bord lisse ainsi que la représentation de Martin pour les fonctions harmoniques. Le théorème de Fatou relatif et le théorème de représentation pour les espaces de Hardy y sont également établis.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux thèmes d'analyse géométrique. Le premier concerne le comportement asymptotique des fonctions harmoniques en relation avec la géométrie, sur des graphes et des variétés. Nous étudions des critères de convergence au bord des fonctions harmoniques, comme celui de la bornitude non-tangentielle, de la finitude de l'énergie ou encore de la densité de l'énergie. Nous nous plaçons pour cela dans différents cadres comme les graphes hyperboliques au sens de Gromov, les variétés hyperboliques au sens de Gromov, les graphes de Diestel-Leader ou encore dans un cadre abstrait pour obtenir des résultats pour les points du bord minimal de Martin. Les méthodes probabilistes utilisées exploitent le lien entre les fonctions harmoniques et les martingales. Le deuxième thème abordé dans cette thèse concerne l'étude des propriétés des ensembles rectifiables de dimension 1 dans le groupe de Heisenberg, en relation avec des opérateurs d'intégrales singulières. Nous étendons à ce contexte sous-riemannien une partie des résultats de la théorie des ensembles uniformément rectifiables de David et Semmes. Nous obtenons notamment un théorème géométrique du voyageur de commerce qui fournit une condition pour qu'un ensemble Ahlfors-régulier du premier groupe de Heisenberg soit contenu dans une courbe Ahlfors-régulière.