Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Théorème des métriques bosselées“

Soient x et y deux variétés kahleriennes compactes telles qu'il existe une submersion holomorphe pi de x sur y. Soit xi une fibre vectorielle holomorphe hermitien sur x et r. Le faisceau image directe de xi par pi. D'après Knudsen et Mumford, les inverses l(xi) et l(r. ) Des déterminants des cohomologies de xi et r. Sont canoniquement isomorphes. Une construction explicite de cet isomorphisme peut être déduite de la suite spectrale de Leray. Dans la première partie de la thèse, sous l'hypothèse que r. Est localement libre, On établit une formule de comparaison des métriques de Quillen sur l(xi) et l(r. ) En termes d'intégrales de formes de transgression de Bott-chern et de formes de torsion analytique de Bismut-Kohler. Dans la seconde partie de la thèse, on étudie le cas du fibre de Poincaré p sur le produit d'un tore complexe t et de son dual t, la submersion étant ici la projection sur t. Les faisceaux image directe de p ne sont pas localement libres. Le modèle a suivre est alors donne par un travail de Bismut-Lebeau sur les immersions de variétés complexes: On montre dans notre cas une certaine compatibilite entre les formules de Bismut-Lebeau et de la 1ere partie. Un calcul explicite montre que tous les termes s'annulent

Cette thèse comporte deux parties: - Dans la première partie, nous traitons d'abord une version kahlérienne du célèbre théorème d'extension d'Ohsawa-Takegoshi, puis, un problème de prolongement des courants positifs fermés. Notre motivation provient de la conjecture de Siu sur l'invariance des plurigenres dans le cas d'une famille kahlérienne. En effet, dans la preuve du célèbre théorème d'invariance des plurigenres de Siu, le théorème d'extension d'Ohsawa-Takegoshi joue un rôle important. Il est donc naturel de penser que la preuve de la conjecture fera également intervenir un théorème d'extension de type Ohsawa-Takegoshi dans le cas kahlérien. Suite aux difficultés techniques qui proviennent de la régularisation des fonctions quasi-psh sur les variétés kahlériennes compactes, nous obtenons seulement deux cas particuliers du résultat espéré. Pour ce qui est du prolongement des courants positifs fermés, notre résultat est un cas particulier de la conjecture qui prédit que tout courant positif fermé défini sur le fibré central d'une classe de cohomologie kahlérienne tordue par la classe de Chern du fibré canonique admet un prolongement. - Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'unicité des solutions des équations de type Monge-Ampère généralisées. Il s'agit d'une généralisation d'un théorème de Bando-Mabuchi concernant les métriques de Kahler-Einstein sur les variétés de Fano. Nous suivons la méthode introduite par Berndtsson et généralisons son résultat en travaillant avec un courant positif fermé à la place d'une paire klt dans son contexte. Les propriétés de convexité des métriques de Bergman jouent un rôle important dans cette partie
This thesis consists in two parts: -In the first part, we first deal with a Kahler version of the famous Ohsawa-Takegoshi extension theorem; then, a problem of extending the closed positive currents. Our motivation comes from the Siu's conjecture on the invariance of plurigenera over a Kahler family. Indeed, in the proof of his famous theorem, the Ohsawa-Takegoshi theorem plays an important role. It is, therefore, natural to think that the proof for the conjecture involves an extension theorem of Ohsawa-Takegoshi type in the Kahler case. Because of the technical difficulties coming from the regularization process of quasi-psh functions over the compact Kahler manifolds, we only obtain two special cases of the hoped result. As for the extension of closed positive currents, our result is a special case of the conjecture which predicts that every closed positive current defined over the central fiber in a Kahler cohomology class twisted by the first Chern class of the canonical bundle admits an extension. -In the second part, we are interested in the uniqueness of the solutions of the equations of generalized Monge-Ampère type, a generalized Bando-Mabuchi theorem concerning the Kahler-Einstein metrics over Fano manifolds. We follow the method introduced by Berndtsson and generalize his result by working with a closed positive current in place of a klt pair in his context. The properties of the convexity of the Bergman metrics play an important role in this part

Nous étudions les propriétés métriques locales des ensembles de niveau des applicationshorizontalement différentiables entre des groupes de Carnot, c'est-à-dire différentiable par rapport à la structure sous-riemannienne intrinsèque.Nous considérons des applications dont la différentielle horizontale est surjective,et notre étude peut être vue comme une généralisation du théorème des fonctions implicites pour les groupes de Carnot.Tout d'abord, nous présentons deux notions de tangence dans les groupes de Carnot:la première basée sur la condition de platitude au sens de Reifenberg et la deuxième issue de l'analyse convexe classique.Nous montrons que dans les deux cas, l'espace tangent à un ensemble de niveau coïncide avec le noyau de la différentielle horizontale.Nous montrons que cette condition de tangence caractérise en fait les ensembles de niveaudits ‘co-abéliens', c'est-à-dire ceux pour lesquels l'espace d'arrivée est abélien, et qu'une telle caractérisation n'est pas vraie en général.Ce résultat sur les espaces tangents a plusieurs conséquences remarquables.La plus importante est que la dimension de Hausdorff des ensembles de niveau est celle à laquelle l'on s'attend.Nous montrons également la connectivité locale des ensembles de niveau, et le fait que les ensembles de niveau de dimension 1 sont topologiquement des arcs simples.Pour les ensembles de niveau de dimension 1 nous trouvons une formule de l'aire qui permet d'exprimer la mesure de Hausdorff en termes d'intégrales de Stieltjes généralisées.Ensuite, nous menons une étude approfondie du cas particulier des ensembles de niveau dans les groupes d'Heisenberg.Nous montrons que les ensembles de niveau sont topologiquement équivalents à leurs espaces tangents.Il s'avère que la mesure de Hausdorff des ensembles de niveau de codimension élevée est souvent irrégulière, étant, par exemple, localement nulle ou infinie.Nous présentons une condition simple de régularité supplémentaire pour une application pour assurer la régularité au sens d'Ahlfors des ses ensembles de niveau.Parmi d'autres résultats, nous obtenons une nouvelle caractérisation généraledes graphes Lipschitziens associés à une décomposition en produit semi-direct d'un groupe de Carnot.Nous traitons, en particulier, le cas des groupes de Carnot dont le nombre de stratesest plus grand que $2$.Cette caractérisation nous permet de déduire une nouvelle caractérisation des ensemblesde niveau co-abéliens qui admettent une représentation en tant que graphe
Metric properties of level sets of differentiable maps on Carnot groupsAbstract.We investigate the local metric properties of level sets of mappings defined between Carnot groups that are horizontally differentiable, i.e.with respect to the intrinsic sub-Riemannian structure. We focus on level sets of mapping having a surjective differential,thus, our study can be seen as an extension of implicit function theorem for Carnot groups.First, we present two notions of tangency in Carnot groups: one based on Reifenberg's flatness condition and another coming from classical convex analysis.We show that for both notions, the tangents to level sets coincide with the kernels of horizontal differentials.Furthermore, we show that this kind of tangency characterizes the level sets called ``co-abelian'', i.e.for which the target space is abelian andthat such a characterization may fail in general.This tangency result has several remarkable consequences.The most important one is that the Hausdorff dimension of the level sets is the expected one. We also show the local connectivity of level sets and, the fact that level sets of dimension one are topologically simple arcs.Again for dimension one level set, we find an area formula that enables us to compute the Hausdorff measurein terms of generalized Stieltjes integrals.Next, we study deeply a particular case of level sets in Heisenberg groups. We show that the level sets in this case are topologically equivalent to their tangents.It turns out that the Hausdorff measure of high-codimensional level sets behaves wildly, for instance, it may be zero or infinite.We provide a simple sufficient extra regularity condition on mappings that insures Ahlfors regularity of level sets.Among other results, we obtain a new general characterization of Lipschitz graphs associated witha semi-direct splitting of a Carnot group of arbitrary step.We use this characterization to derive a new characterization of co-ablian level sets that can be represented as graphs

Dans la première partie de cette thèse, nous donnons une description des surfaces lorentziennes simplement connexes et maximales dont le groupe d’isométries est de dimension 1 (c’est-à-dire possédant un champ de Killing complet), à l’aide d’une variété riemannienne de dimension 1 (généralement non séparée) et d’une fonction lisse définie dessus ; nous étudions ensuite la complétude géodésique de telles surfaces. Dans la deuxième partie qui est la partie principale de cette thèse, nous donnons une infinité de nouveaux exemples de surfaces lorentziennes compactes sans points conjugués. De plus, nous étudions l’existence et la stabilité de cette propriété parmi les métriques lorentziennes admettant un champ de Killing. Nous obtenons une nouvelle obstruction et prouvons que le tore de Clifton-Pohl et certains de nos exemples sont aussi stables que possible. Cela montre que, contrairement au théorème de Hopf riemannien, l’absence de points conjugués dans le cadre de Lorentzian n’est ni "spéciale" ni rigide
In the first part of this thesis, we give a description of simply connected maximal Lorentzian surfaces whose group of isometries is of dimension 1 (i.e. with a complete Killing field), in terms of a 1-dimensional generally non-Hausdorff Riemannian manifold and a smooth function defined there. Next, we study the geodesic completeness of such surfaces. In the second part which is the main part of this thesis, we give infinitely many new examples of compact Lorentzian surfaces without conjugate points. Further, we study the existence and the stability of this property among Lorentzian metrics with a Killing field. We obtain a new obstruction and prove that the Clifton- Pohl torus and some of our examples are as stable as possible. This shows that in constrast with the Riemannian Hopf theorem, the absence of conjugate points in the Lorentzian setting is neither "special" nor rigid