Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Systèmes faiblement hyperboliques“

Dans cette thèse, nous étudions les sujets suivants :- la stabilité ergodique pour les systèmes conservatifs ;- la généricité de l'existence d'exposants positifs pour certains produits tordus avec fibres de dimension deux ;- rigidité des mesures $u$-Gibbs pour certains systèmes partiellement hyperboliques ;- la transitivité robuste.Nous donnons une preuve de la stabilité ergodique pour certains systèmes partiellement hyperboliques sans utiliser l'accessibilité. Ces systèmes ont été introduits par Pierre Berger et Pablo Carrasco, et ils ont les propriétés suivantes : ils possèdent une direction centrale bidimensionnelle ; ils sont non-uniformément hyperboliques avec un exposant positif et un exposant négatif le long de la direction centrale pour presque tout point, et la décomposition d'Oseledets n'est pas dominée.Dans un autre travail, nous donnons des critères de stabilité ergodique pour des systèmes ayant une décomposition dominée. En particulier, nous explorons la notion d'hyperbolicité par chaîne introduite par Sylvain Crovisier et Enrique Pujals. À l'aide de cette notion, nous donnons des critères explicites de stabilité ergodique et nous donnons quelques applications.Dans un travail commun avec Mauricio Poletti, nous prouvons que le produit aléatoire de difféomorphismes de surface conservatifs possède génériquement une région avec des exposants positifs. Nos résultats s'appliquent également aux produits tordus plus généraux.Nous étudions également les perturbations dissipatives de l'exemple de Berger-Carrasco. Nous classifions toutes les mesures $u$-Gibbs qui peuvent apparaître dans un voisinage de l'exemple. Dans ce voisinage, nous prouvons que toute mesure $u$-Gibbs est soit l'unique mesure SRB du système, soit la désintégration dans le feuilletage central est atomique. Dans un travail commun avec Pablo Carrasco, nous prouvons que cet exemple est robustement transitif (en fait robustement topologiquement mélangeant)
In this thesis we study the following topics:-stable ergodicity for conservative systems;-genericity of the existence of positive exponents for some skew products with two dimensional fibers;-rigidity of $u$-Gibbs measure for certain partially hyperbolic systems;-robust transitivity.We give a proof of stable ergodicity for a certain partially hyperbolic system without using accessibility. This system was introduced by Pierre Berger and Pablo Carrasco, and it has the following properties: it has a two dimensional center direction; it is non-uniformly hyperbolic having both a positive and a negative exponent along the center for almost every point, and the Oseledets decomposition is not dominated.In a different work, we find criteria of stable ergodicity for systems with a dominated splitting. In particular, we explore the notion of chain-hyperbolicity introduced by Sylvain Crovisier and Enrique Pujals. With this notion we give explicit criteria of stable ergodicity, and we give some applications.In a joint work with Mauricio Poletti, we prove that the random product of conservative surface diffeomorphisms generically has a region with positive exponents. Our results also hold for more general skew products.We also study dissipative perturbations of the Berger-Carrasco example. We classify all the $u$-Gibbs measures that may appear inside a neighborhood of the example. In this neighborhood, we prove that any $u$-Gibbs measure is either the unique SRB measure of the system or it has atomic disintegration along the center foliation. In a joint work with Pablo Carrasco, we prove that this example is robustly transitive (indeed robustly topologically mixing)

Nous considérons dans cette thèse le problème de Cauchy pour des systèmes d'EDP quasilinéaires, du premier ordre. Dans le cas initialement elliptique, c'est-à-dire un spectre non-réel pour le symbole principal du système à t=0, nous prouvons un résultat d'instabilité au sens d'Hadamard. La preuve est basée sur la construction d'une famille de solutions présentant une croissance exponentielle en temps et fréquence. Cette famille invalide la régularité Hölder du flot, partant d'espaces de Gevrey vers L². Nous prouvons un résultat analogue pour différents cas de transition de l'hyperbolique vers l'elliptique, avec une restriction possible sur l'indice Gevrey pour lequel l'instabilité est observée. Dans un second temps, nous considérons le cas faiblement hyperbolique et semilinéaire. Grâce à des estimations d'énergie dans les espaces de Gevrey et à la construction d'un symétriseur adapté, nous prouvons le caractère localement bien-posé pour un tel système. Pour ce faire, nous utilisons et démontrons aussi un résultat d'action d'opérateurs pseudo-différentiels dont le symbole possède une régularité Gevrey dans la variable d'espace
We consider the Cauchy problem for first-order, quasilinear systems of PDEs. In the initially elliptic case, that is when the principal symbol of the system has nonreal spectrum at time t=0, we prove an instability result in the sense of Hadamard. The proof is based on the construction of a family of exact solutions which exhib an exponential growth, both in time and frequency. That family leads to a defect of Hölder regularity of the flow, starting from evrey spaces to L² space. We prove analogous results for some cases of transition from hyperbolicity to ellipticity, with a potential restriction on the Gevrey index for which we may observe the instability. In a second time, we consider weakly hyperbolic systems. Thanks to an energy estimate in Gevrey spaces and the construction of a suitable symetriser, we prove local well-posedness for such a system. In doing so we use and prove a result on actions of pseudo-differential operators whose symbols have Gevrey regularity in the spatial variable

Une technique efficace pour accroître la production d’un champ pétrolier consiste à y injecter un mélange d’eau et de polymère. La viscosité du polymère réduit en effet la mobilité de l’eau, qui pousse alors mieux l’huile, d’où un taux d’extraction plus élevé. La simulation numérique d’un tel procédé de récupération d’hydrocarbures revêt donc d’une importance capitale. Or, malgré des décennies de recherche, la modélisation des écoulements avec polymère en milieu poreux et sa résolution numérique demeurent un sujet difficile. D’une part, les modèles habituellement employés par les ingénieurs de réservoir présentent, au mieux, des singularités de type résonance qui les rend faiblement hyperboliques. Ce défaut donne lieu à certaines complicationsD’une part, les modèles habituellement employés par les ingénieurs de réservoir présentent, au mieux, des singularités de type résonance qui les rend faiblement hyperboliques. Ce défaut donne lieu à certaines complications mais reste acceptable. Au pire, quand on veut incorporer l’effet du volume de pore inaccessible (IPV), les modèles deviennent non hyperboliques, ce qui aggrave les instabilités numériques susceptibles d’apparaître.D’autre part, les schémas numériques classiques ne conduisent pas à des résultats satisfaisants. Sans IPV, la diffusion excessive autour de l’onde de contact fait perdre les informations pertinentes. Avec IPV, l’existence des valeurs propres complexes crée des instabilités exponentielles au niveau continu qu’il faut traiter au niveau discret sous peine d’arrêt prématuré du code.L’objectif de cette thèse est de remédier à ces difficultés. Au niveau des modèles, nous analysons plusieurs lois d’IPV et établissons une équivalence entre deux d’entre elles. Nous proposons de surcroît des conditions suffisantes raisonnables sur la loi d’IPV en vue de l’hyperbolicité faible du système d’écoulement. Au niveau des schémas pour le problème sans IPV, nous préconisons une correction afin d’améliorer la précision des discontinuités de contact. Pour le problème avec IPV,nous élaborons une méthode de relaxation qui garantit la stabilité des calculs quelle que soit la loi IPV
An effective technique to increase production in an oil field is to inject a mixture of water and polymer. The viscosity of polymer reduces the mobility of water, which then pushes oil better, resulting in a higher extraction rate. The numerical simulation of such an enhanced oil recovery is therefore of paramount importance. However, despite decades of research, the modeling of polymer flows in porous media and its numerical resolution remains a difficult subject.On the one hand, the models traditionally used by reservoir engineers exhibit, in the best case, resonance-like singularities that make them weakly hyperbolic. Thisdefect gives rise to some complications but remains acceptable. In the worst case, when we wish to incorporate the effect of the inaccessible pore volume (IPV), themodels become non-hyperbolic, which exacerbates the numerical instabilities that are likely to appear.On the other hand, classical numerical schemes do not yield satisfactory results. Without IPV, the excessive diffusion around the contact wave causes the most relevant information to be lost. With IPV, the existence of complex eigenvalues generates exponential instabilities at the continuous level that must be addressed at the discrete level to avoid a premature stop of the code.The objective of this thesis is to remedy these difficulties. Regarding models, we analyze several IPV laws and show an equivalence between two of them. Furthermore, we propose reasonable sufficient conditions on the IPV law to enforce weak hyperbolicity of the flow system. Regarding schemes for the problem without IPV, we advocate a correction to improve the accuracy of contact discontinuities. For the problem with IPV, we design a relaxation method that guarantees the stability of the calculations for all IPV laws

Le modèle multi-fluide permet de décrire par une approche Eulérienne les sprays polydispersés et apparaît donc comme une méthode indiquée pour les applications de combustion diphasique. Sa pertinence pour la simulation à l'échelle d'applications industrielles est évaluée dans ce travail, par sa mise en oeuvre dans des configurations bi-dimensionnelle et tri-dimensionnelle plus représentatives de ce type de simulations. Cette évaluation couple une étude de faisabilité en terme de coût de calcul avec une analyse de la précision obtenue, par des comparaisons avec les résultats de méthodes de références pour la description des sprays. Afin de définir une telle référence, une hiérarchisation des modèles de spray est proposée dans ce travail, soulignant les niveaux de modélisation associée aux diverses méthodes. Une première configuration d'écoulements tourbillonnaires est utilisée pour caractériser la méthode multi-fluide. L'étude de la structure mathématique du système de lois de conservation permet d'analyser la formation de singularités et de fournir les outils permettant d'évaluer leur impact sur la modélisation. Cette étude permet également de dériver un schéma numérique robuste et efficace pour des configurations bi- et tri-dimensionnelle. La description des dynamiques de gouttes conditionnées par la taille est évaluée dans ces configurations tourbillonnaires au moyen de comparaisons quantitatives, sur des champs instantanés, où le multi-fluide est confronté à une méthode Lagrangienne, ainsi qu'à des résultats expérimentaux. Afin d'évaluer le comportement de la méthode multi-fluide dans des configurations plus représentatives des problématiques industrielles, le solveur MUSES3D est développé, permettant, entre autres, une évaluation fine des méthodes de résolution des sprays. Une implémentation originale de la méthode multi-fluide, conciliant généricité et efficacité pour le calcul parallèle, est réalisée. Le couplage de ce solveur avec le code ASPHODELE, développé au CORIA, permet d'effectuer une évaluation opérationnelle des approches Euler/Lagrange et Euler/Euler pour la description des écoulements diphasiques à inclusions dispersées. Finalement, le comportement de la méthode multi-fluide dans des jets bi-dimensionnels et dans une turbulence homogène isotrope tri-dimensionnelle permet de montrer sa précision pour la description de la dynamique de sprays évaporant dans des configurations plus complexes. La résolution de la polydispersion du spray permet de décrire précisément la fraction massique de combustible en phase vapeur, un élément clé pour les applications de combustion. De plus, l'efficacité du calcul parallèle par décomposition de domaine avec la méthode multi-fluide permet d'envisager son utilisation à l'échelle d'applications industrielles.

Cette thèse s'appuie sur deux branches des systèmes dynamiques : la théorie du nombre de rotation des endomorphismes du cercle de degré un et des applications de l'anneau déviant la verticale, ainsi que la théorie des systèmes non-uniformément hyperboliques. Nous nous intéressons tout d'abord à une classe d'applications bimodales du cercle, dilatantes et affines par morceaux. Chaque application de cette famille possède un nombre de rotation presque sûr : c'est le nombre de rotation de presque tout point du cercle. Nous étudions sa régularité et montrons que le nombre de rotation presque sûr est irrationnel pour un ensemble de paramètres de mesure totale. Nous considérons ensuite les applications de l'anneau qui dévient la verticale et plus particulièrement les applications bimodales de la famille d'Arnol'd épaissie. Un rôle essentiel est joué par les orbites de torsion nulle. Elles permettent de montrer que l'ensemble des applications qui possèdent un nombre de rotation fixé, forme dans l'espace des paramètres une langue d'Arnol'd bordée par deux surfaces. La frontière des langues rationnelles est associée à des bifurcations selle-noeud et homoclines. Nous obtenons enfin des estimations sur la taille de l'ensemble de rotation et de l'attracteur de Birkhoff. L'appendice est consacré aux bifurcations selles-noeud d'ensembles hyperboliques localement maximaux dont la direction instable est de dimension un. Cette bifurcation préserve la décomposition géométrique de l'espace tangent en espaces stables et instables. En revanche, l'expansion dans la direction instable dégénère près d'une orbite périodique. Nous obtenons alors une bifurcation de codimension un.

La relativité générale est une théorie physique de la gravitation élaborée il y a un siècle, dans laquelle l'univers est modélisé par une variété Lorentzienne (N,gamma) de dimension 4 appelée espace-temps et vérifiant les équations d'Einstein. Lorsque l'on sépare la dimension temporelle des trois dimensions spatiales, les équations de contrainte découlent naturellement de la décomposition 3+1 des équations d'Einstein. Elles constituent une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir considérer l'espace-temps N comme l'évolution temporelle d'une hypersurface Riemannienne (m,g) plongée dans N avec une seconde forme fondamentale K. Le triplet (m,g,K) constitue alors une donnée initiale solution des équations de contrainte dont on note C l'ensemble. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode de Robert Bartnik pour établir la structure de sous-variété de Hilbert de C pour des données initiales faiblement asymptotiquement hyperboliques, dont la régularité peut être reliée à la conjecture de courbure L^{2} bornée. Les difficultés inhérentes au cas faiblement AH ont nécessité l'introduction de deux opérateurs différentiels d'ordre deux et l'obtention d'estimées de type Poincaré et Korn pour ces opérateurs. Une fois la structure de Hilbert obtenue, nous définissons une fonctionnelle masse lisse sur la sous-variété C et compatible avec nos conditions de faible régularité. L'invariance géométrique de la masse est étudiée et montrée, modulo une conjecture en faible régularité relative au changement de cartes au voisinage de l'infini. Enfin, nous faisons le lien entre les points critiques de la masse et les métriques statiques
General relativity is a gravitational theory born a century ago, in which the universe is a 4-dimensional Lorentzian manifold (N,gamma) called spacetime and satisfying Einstein's field equations. When we separate the time dimension from the three spatial ones, constraint equations naturally follow on from the 3+1 décomposition of Einstein's equations. Constraint equations constitute a necessary condition,as well as sufficient, to consider the spacetime N as the time evolution of a Riemannian hypersurface (m,g) embeded into N with the second fundamental form K. (m,g,K) is then an element of C, the set of initial data solutions to the constraint equations. In this work, we use Robert Bartnik's method to provide a Hilbert submanifold structure on C for weakly asymptotically hyperbolic initial data, whose regularity can be related to the bounded L^{2} curvature conjecture. Difficulties arising from the weakly AH case led us to introduce two second order differential operators and we obtain Poincaré and Korn-type estimates for them. Once the Hilbert structure is properly described, we define a mass functional smooth on the submanifold C and compatible with our weak regularity assumptions. The geometrical invariance of the mass is studied and proven, only up to a weak regularity conjecture about coordinate changes near infinity. Finally, we make a correspondance between critical points of the mass and static metrics

Le modèle multi-fluide permet de décrire par une approche Eulérienne les sprays polydispersés et apparaît donc comme une méthode indiquée pour les applications de combustion diphasique. Sa pertinence pour la simulation à l’échelle d’applications industrielles est évaluée dans ce travail, par sa mise en oeuvre dans des configurations bi-dimensionnelle et tri-dimensionnelle plus représentatives de ce type de simulations. Cette évaluation couple une étude de faisabilité en terme de coût de calcul avec une analyse de la précision obtenue, par des comparaisons avec les résultats de méthodes de références pour la description des sprays. Afin de définir une telle référence, une hiérarchisation des modèles de spray est proposée dans ce travail, soulignant les niveaux de modélisation associée aux diverses méthodes. Une première configuration d’écoulements tourbillonnaires est utilisée pour caractériser la méthode multi-fluide. L’étude de la structure mathématique du système de lois de conservation permet d’analyser la formation de singularités et de fournir les outils permettant d’évaluer leur impact sur la modélisation. Cette étude permet également de dériver un schéma numérique robuste et efficace pour des configurations bi- et tri-dimensionnelle. La description des dynamiques de gouttes conditionnées par la taille est évaluée dans ces configurations tourbillonnaires au moyen de comparaisons quantitatives, sur des champs instantanés, où le multi-fluide est confronté à une méthode Lagrangienne, ainsi qu’à des résultats expérimentaux. Afin d’évaluer le comportement de la méthode multi-fluide dans des configurations plus représentatives des problématiques industrielles, le solveur MUSES3D est développé, permettant, entre autres, une évaluation fine des méthodes de résolution des sprays. Une implémentation originale de la méthode multi-fluide, conciliant généricité et efficacité pour le calcul parallèle, est réalisée. Le couplage de ce solveur avec le code ASPHODELE, développé au CORIA, permet d’effectuer une évaluation opérationnelle des approches Euler/Lagrange et Euler/Euler pour la description des écoulements diphasiques à inclusions dispersées. Finalement, le comportement de la méthode multi-fluide dans des jets bi-dimensionnels et dans une turbulence homogène isotrope tri-dimensionnelle permet de montrer sa précision pour la description de la dynamique de sprays évaporant dans des configurations plus complexes. La résolution de la polydispersion du spray permet de décrire précisément la fraction massique de combustible en phase vapeur, un élément clé pour les applications de combustion. De plus, l’efficacité du calcul parallèle par décomposition de domaine avec la méthode multi-fluide permet d’envisager son utilisation à l’échelle d’applications industrielles
The multi-fluid model, providing a Eulerian description of polydisperse sprays, appears as an interesting method for two-phase combustion applications. Its relevance as a numerical tool for industrial device simulations is evaluated in this work. This evaluation assesses the feasibility of multi-fluid simulations in terms of computational cost and analyzes their precision through comparisons with reference methods for spray resolution. In order to define such a reference, the link between the available methods for spray resolution is provided, highlighting their corresponding level of modeling. A first framework of 2-D vortical flows is used to assess the mathematical structure of the multi-fluid model governing system of equations. The link between the mathematical peculiarities and the physical modeling is provided, and a robust numerical scheme efficient for 2-D/3-D configurations is designed. This framework is also used to evaluate the multi-fluid description of evaporating spray sizeconditioned dynamics through quantitative, time-resolved, comparisons with a Lagrangian reference and with experimental data. In order to assess the multi-fluid efficiency in configurations more representative of industrial devices, a numerical solver is designed, providing a framework devoted to spray method evaluation. An original implementation of the multifluid method, combining genericity and efficiency in a parallel framework, is achieved. The coupling with a Eulerian/Lagrangian solver for dispersed two-phase flows, developed at CORIA, is conducted. It allows a precise evaluation of Euler/Lagrange versus Euler/Euler approaches, in terms of precision and computational cost. Finally, the behavior of the multi-fluid model is assessed in 2D-jets and 3-D Homogeneous Isotropic Turbulence. It illustrates the ability of the method to capture evaporating spray dynamics in more complex configurations. The method is shown to describe accurately the fuel vapor mass fraction, a key issue for combustion applications. Furthermore, the method is shown to be efficient in domain decomposition parallel computing framework, a key issue for simulations at the scale of industrial devices

Ce travail étudie une nouvelle formulation des équations d'Euler compressibles écrites en coordonnées lagrangiennes multidimensionnelles, sous la structure d'un système de lois de conservation associé à une contrainte de divergence nulle. Cette structure s'applique également à une physique plus large, incluant par exemple la magnétohydrodynamique. Elle permet l'étude mathématique du problème global couplant les inconnues physiques avec les inconnues géométriques associées au déplacement de la matière. Nous montrons que la partie physique du système, dont l'ensemble est faiblement hyperbolique, est symétrisable sous cette contrainte, alors que la perte de régularité des inconnues géométriques est caractéristique des cisaillements. Nous construisons ensuite une méthode d'approximation originale, de type Volumes-Finis sur maillage mobile, avec degrés de liberté aux noeuds. Le schéma repose uniquement sur des considérations physiques (principe de conservation, croissance de l'entropie), qui assurent sa stabilité ainsi qu'un résultat de positivité et de non-croisement sur maillage triangulaire. On montre théoriquement qu'il converge avec un ordre sur les équations linéaires de l'acoustique. Enfin, une extension à la géométrie axisymétrique généralise la structure symétrisée et la contrainte différentielle, ainsi que la méthode d'approximation associée
This work studies a new formulation of compressible Euler equations written in multidimensionnal Lagrangian coordinates, as a system of conservation laws linked to a free divergence constraint; it applies also to an extended physics, including for instance magnetohydrodynamics. This structure allows the mathematical study of the whole Lagrangian problematics, coupling physical unknowns with geometrical one's, associated to the displacement of matter. We prove that the physical part of the system, whose entire formulation is known to be only weakly hyperbolic, is symmetrizable under the differential constraint, although the loss of regularity of geometrical unknowns is characteristic of shear discontinuities. We then derive an original approximate method, of Finite Volumes kind on moving mesh, whose degree of freedom are placed on nodes. The scheme relies only on physical considerations (conservation principle, entropy production), which ensure its stability as well as a result of positivity and non-crossing on triangular mesh. We prove theoretically its convergenge with a rate of on the linearized equations of acoustics. Eventually, we extent the symmeterized structure and numerical method to the case of axisymmetric geometry