Dissertationen zum Thema „Symétries asymptotiques“

L'objet de l'étude est double. Dans un premier temps, on s'intéresse
à la classification des symétries du phénomène de couplage piézoélectrique
linéaire; on se focalise ensuite sur la dérivation de modèles de plaques,
toujours dans le cadre de la piézoélectricité linéarisée. On obtient ainsi
des résultats qui permettent de présenter des propriétés de solides
piézoélectriques relatives au matériau, à la structure ainsi qu'à leurs
interactions.

Les trois premiers Chapitres concernent les symétries. On rappelle d'abord
que ces dernières peuvent être de différentes natures. Ensuite, les outils
qui permettent de les appréhender et de les lier entre elles sont présentées.
Les divers outils utilisés conduisent alors au principal résultat de la
première partie : la classification des symétries du phénomène de couplage
piézoélectrique linéaire en quinze familles distinctes.

Dans les deux derniers Chapitres, on obtient des modèles de plaques
linéairement piézoélectriques à l'aide d'une méthode mathématique rigoureuse
consistant à étudier le comportement d'un solide tridimensionnel lorsque son
épaisseur, vue comme un paramètre, tend vers zéro. Dans le cas statique, il
apparaît deux modèles différents. Ils dépendent en fait du type de chargement
électrique et sont reliés aux cas pour lesquels les plaques piézoélectriques
sont utilisés comme capteurs ou comme actionneurs. Les cinématiques limites
sont précisées et les deux lois de comportement sont explicitement fournies
pour tous les types de matériau constitutif. Dans le cas dynamique, on montre
que c'est l'ordre de grandeur du rapport entre l'épaisseur et la densité de
la plaque qui joue un rôle déterminant.

Le travail que nous présentons dans cette thèse est structuré autour de la notion de théorie des champs et de géométrie, qui sont appliquées à la gravité et la thermalisation.En gravité, notre travail donne un éclairage nouveau sur la structure asymptotique du champ gravitationnel dans le contexte des espace-temps asymptotiquement plats, ceci en utilisant l'information codée sur leur bord conforme. Ce dernier est une hypersurface de genre lumière sur laquelle émerge la physique carrollienne au lieu de la physique relativiste. Une structure carrollienne sur une variété est constituée une métrique dégénérée et un champ de vecteurs couvrant le noyau de cette dernière. Ce vecteur sélectionne une direction particulière qui peut être le point de départ de la description des structures carrolliennes dans un cadre séparé. Nous développons d'abord la géométrie carrollienne, y compris une étude complète des connexions et isométries (conformes). Des actions effectives peuvent vivre sur un arrière-plan carrollien. Les moments canoniques conjugués à la géométrie ou à la connexion peuvent être définis, et la variation de l'action donnera leurs équations de conservation, à partir desquelles les charges isométriques peuvent être bâties.La physique carrollienne émerge également lorsque la vitesse de la lumière tend vers zéro. Cette limite donne généralement plus de descendants carrolliens que ce qui est attendu après une analyse intrinsèque, comme le montrent les exemples explicites des fluides carrolliens, des champs scalaires carrolliens (pour lesquels deux actions, électrique et magnétique, apparaissent dans la limite) et du tenseur de Cotton carrollien. La richesse de la limite est due à sa possibilité de décrire plus de degrés de liberté, ce qui s'avère être un outil fondamental dans l'étude de la relation entre les espace-temps asymptotiquement anti de Sitter et plats.Les espace-temps asymptotiquement plats peuvent être écrits comme une expansion infinie dans une jauge covariante par rapport à leur bord nul. Cette légère extension de la jauge de Newman-Unti est également valable dans AdS, ce qui permet de prendre la limite plate dans le bulk, équivalente à la limite carrollienne sur le bord. Nous démontrons que l'espace des solutions infini des espace-temps Ricci-plat provient en fait du développement en série de Laurent du tenseur énergie-impulsion d'AdS. Ces répliques obéissent à chaque ordre une dynamique carrollienne (lois de flux). Dans le cadre des espaces algébriquement spéciaux de Petrov (pour lesquels le développement infinie se resomme), nous utilisons les lois de flux carrolliennes ainsi que la conservation des tenseurs énergie-impulsion et de Cotton pour construire, du point de vue du bord, deux tours duales de charges du bulk. Parmi elles, nous retrouvons l'expansion mutipolaire de la masse et du moment angulaire pour la famille Kerr-Taub-NUT. La jauge covariante est également le cadre approprié pour dévoiler l'action des symétries cachées de la gravité sur le bord nul. Dans ce travail, nous étudions le cas de la symétrie SL(2,R) d'Ehlers.Du côté de la théorie thermique des champs, nous travaillons sur l'ensemble minimal de données nécessaires pour les décrire à température finie. Alors qu'à température infinie toutes les valeurs moyennes des opérateurs primaires s’annulent, leurs valeurs non nulle dans le cas thermique constituent les données supplémentaires qu'il faut calculer pour caractériser la théorie. Les simulations numériques, la dualité avec un trou noir dans AdS ou une analyse spectrale sont généralement les méthodes employées pour trouver la valeur de ces coefficients. Notre travail propose une nouvelle approche à ce problème en montrant, à partir de deux oscillateurs harmoniques couplés, que ces coefficients sont en fait liés à des graphes conformes de théories de type fishnet. A partir de cette observation, nous avons établi une correspondance entre les fonctions de partition thermique et ces graphes
The work we present in this thesis is structured around the concepts of field theories and geometry, which are applied to gravity and thermalisation.On the gravity side, our work aims at shedding new light on the asymptotic structure of the gravitational field in the context of asymptotically flat spacetimes, using information encoded on the conformal boundary. The latter is a null hypersurface on which Carrollian physics instead of relativistic physics is at work. A Carroll structure on a manifold is a degenerate metric and a vector field spanning the kernel of the latter. This vector selects a particular direction which can be the starting point for describing Carroll structures in a split frame. We first elaborate on the geometry one can construct on such a manifold in this frame, including a comprehensive study of connections and (conformal isometries). Effective actions can be defined on a Carrollian background. Canonical momenta conjugate to the geometry or the connection are introduced, and the variation of the action shall give their conservation equations, upon which isometric charges can be reached.Carrollian physics is also known to emerge as the vanishing speed of light of relativistic physics. This limit usually exhibits more Carrollian descendants than what might be expected from a naive intrinsic analysis, as shown in the explicit examples of Carrollian fluids, Carrollian scalar fields (for which two actions, electric and magnetic arise in the limit) and the Carrollian Chern-Simons action. The richness of the limiting procedure is due to this versatility in describing a palette of degrees of freedom. This turns out to be an awesome tool in studying the relationship between asymptotically anti de Sitter (AdS) and flat spacetimes.Metrics on asymptotically flat spacetimes can be expressed as an infinite expansion in a gauge, covariant with respect to their null boundaries. This slight extension of the Newman-Unti gauge is shown to be valid also in AdS, which allows to take the flat limit in the bulk i.e. the Carrollian limit on the boundary, while preserving this covariance feature. We demonstrate that the infinite solution space of Ricci-flat spacetimes actually arises from the Laurent expansion of the AdS boundary energy-momentum tensor. These replicas obey at each order Carrollian dynamics (flux/balance laws). Focusing our attention to Petrov algebraically special spacetimes (for which the infinite expansion resums), we use the Carrollian flux/balance laws together with the conservation of the energy-momentum and Cotton tensors to build two dual towers of bulk charges from a purely boundary perspective. Among them we recover the mass and angular momentum mutipolar moments for the Kerr-Taub-NUT family. The covariant gauge is also the appropriate framework to unveil the action of hidden symmetries of gravity on the null boundary. In this thesis we study exhaustively the case of Ehlers' $SL(2,mathbb{R})$ symmetry.On the side of thermal field theory we see that while at infinite temperature a CFT is described by its spectrum and the OPE coefficients, additional data is needed in the thermal case. These are the average values of primary operators, completely determined up to a constant coefficient. Numerical simulations, duality with black-hole states in AdS or spectral analyses are the methods usually employed to uncover the latter. Our work features a new breadth. Starting from two coupled harmonic oscillators, we show that they are related to conformal ladder graphs of fishnet theories. This observation is the first step for setting a new correspondence between thermal partition functions and graphs

Cette thèse a pour objet la construction d’estimateurs non-linéaires à base d’observateurs asymptotiques. Nous développons d’abord un observateur destiné à estimer des concentrations en réactifs dans un réacteur de polymérisation du groupe TOTAL. A partir d’un modèle, et des mesures de températures et débits, on remonte aux concentrations en temps réel. L’estimateur a été installé et validé sur l’unité industrielle. La convergence est indépendante des unités choisies (mol/l ou kg/l). Fort de ce constat nous avons montré qu’une approche basée sur les symétries (ou invariances) pouvait suggérer des structures d’estimateur et des changements de variables propices à l’étude de convergence globale pour des observateurs non-linéaires dont la forme est du type observateur de Luenberger ou filtre Kalman Etendu. Nous avons alors développé une méthode générale sur les observateurs et les symétries. La contribution théorique principale de la thèse est d’isoler une sous-classe de systèmes, et de donner pour ceux-ci une méthode de construction systématique d’observateurs non-linéaires candidats. L’équation de l’erreur entre état estimé et « vrai » état présente de fortes propriétés, qui rappellent les avantages du cas linéaire. Cette nouvelle théorie des observateurs invariants a été appliquée à plusieurs exemples issus de problèmes de l’ingénieur, en particulier la navigation inertielle aidée par mesure de vitesse. La dernière partie de la thèse montre que la méthodologie développée permet d’aborder des systèmes qui échappent au cadre de la théorie, nous développons notamment un observateur pour l’assimilation de données en océanographie
This thesis aims at developing nonlinear estimators, namely observers of the type of Luenberger or extended Kalman filter. We first build an observer to estimate internal concentrations in a polymerisation reactor of TOTAL. Using a model and the measurement of flows and temperatures we give a real-time estimation of the concentrations. The estimator was implemented on an industrial plant. Noticing the kinetic equations of chemistry are independent of the choice of units (mol/l of kg/l) we wondered on the possibility to preserve this property when building estimators. We realized this new constraint allows suggesting interesting candidates observers, and fruitful change of variables to study the asymptotic behaviour. Then we developed a general theory on observers and symmetries. The main contribution of the thesis is to isolate a large class of systems for which one can build interesting candidates observers. The error (between true and estimated state) equation has strong properties, reminding the linear stationary case. The theory was applied to several examples of engineering interest, in particular velocity-aided inertial navigation. The last part of the thesis shows the methodology is a useful guide to tackle some examples which do not belong to the theory’s framework. In particular we built an observer for data assimilation in oceanography

Présentation d'un ensemble de travaux sur les propriétés des solutions singulières d'équations de la chaleur semi-linéaire. Obtention, sous une hypothèse de monotonie de la nonlinéarité, des conditions dans un ouvert borné contenant la singularité. Ensuite, classification des différents types de singularités pour une équation parabolique semi-linéaire dans l'espace tout entier et études des divers comportements asymptotiques possibles pour une telle solution. Etude numérique des solutions radiales de cette même équation.

Cette thèse porte sur plusieurs questions liées aux mesures de Yang-Mills planaires et aux champs markoviens d'holonomies planaires. Les problèmes sont de deux sortes : étude des champs markoviens d'holonomies planaires pour un groupe de structure donné et l'étude asymptotique des mesures de Yang-Mills lorsque la dimension du groupe tend vers l'infini. On définit la notion de champs markoviens d'holonomies planaires qui axiomatise la notion de mesures de Yang-Mills planaires. En utilisant une nouvelle symétrie en théorie des probabilités, l'invariance par tresse, on construit, caractérise et classifie les champs markoviens d'holonomies planaires. Nous montrons que tout champ markovien d'holonomies planaire est associé à un processus de Lévy qui satisfait une condition de symétrie et vice-versa. Ceci nous permet de caractériser, pour les surfaces sphériques, les champs markoviens d'holonomies tels que définis précédemment par Thierry Lévy. Lorsque le groupe de structure est le groupe symétrique, on peut construire le champ markovien d'holonomies planaire associé grâce à un modèle de revêtements aléatoires. On prouve la convergence des monodromies de ce revêtement aléatoire en s'appuyant sur l'étude, développée dans cette thèse, de l'asymptotique des matrices aléatoires invariantes par conjugaison par le groupe symétrique
This thesis focuses on planar Yang-Mills measures and planar Markovian holonomy fields. We consider two different questions : the study of planar Markovian holonomy fields with fixed structure group and the asymptotic study of the planar Yang-Mills measures when the dimension of the structure group grows. We define the notion of planar Markovian holonomy fields which generalizes the concept of planar Yang-Mills measures. We construct, characterize and classify the planar Markovian holonomy fields by introducing a new symmetry : the invariance under the action of braids. We show that there is a bijection between planar Markovian holonomy fields and some equivalent classes of Lévy processes. We use these results in order to characterize Markovian holonomy fields on spherical surfaces. The Markovian holonomy fields with the symmetric group as structure group can be constructed using random ramified coverings. We prove that the monodromies of these models of random ramified coverings converge as the number of sheets of the covering goes to infinity. To prove this, we develop general tools in order to study the limits of families of random matrices invariant by the symmetric group. This allows us to generalize ideas, developped by Thierry Lévy in order to study the planar Yang-Mills measure with the unitary structure group, to the setting where the structure group is the symmetric group

Au cours de cette thèse, nous avons étudié des modèles de partitions aléatoires issus de la théorie des représentations des groupes symétriques et des groupes de Chevalley finis classiques, en particulier les groupes GL(n,Fq). Nous avons démontré des résultats de concentration gaussienne pour :- les q-mesures de Plancherel (de type A), qui correspondent à l'action de GL(n,Fq) sur la variété des drapeaux complets de (Fq)^n, et sont liées à la théorie des représentations des algèbres d'Hecke des groupes symétriques.- l'analogue en type B du modèle précédent, correspondant à l'action de Sp(2n,Fq) sur la variété des drapeaux totalement isotropes complets dans (Fq)^2n.- les mesures de Schur-Weyl, qui correspondent aux actions commutantes de GL(N,C) et Sn sur l'espace des n-tenseurs d'un espace vectoriel de dimension N.- et les mesures de Gelfand, qui correspondent à la représentation du groupe symétrique qui est la somme directe sans multiplicité de toutes les représentations irréductibles de Sn.Dans chaque cas, nous avons établi une loi des grands nombres et un théorème central limite tout à fait semblable à la loi des grands nombres de Logan-Shepp-Kerov-Vershik (1977) et au théorème central limite de Kerov (1993) pour les mesures de Plancherel des groupes symétriques.Nos résultats peuvent presque tous être traduits en termes de combinatoire des mots, et d'autre part, les techniques employées sont inspirées des techniques de la théorie des matrices aléatoires. Ainsi, on a calculé pour chaque modèle l'espérance de fonctions polynomiales sur les partitions, qui jouent un rôle tout à fait analogue aux polynômes traciaux en théorie des matrices aléatoires. L'outil principal des preuves est ainsi une algèbre d'observables de diagrammes de Young, qu'on peut aussi interpréter comme algèbre de permutations partielles. Nous avons tenté de généraliser cette construction au cas d'autres groupes et algèbres, et nous avons construit une telle généralisation dans le cas des algèbres d'Hecke des groupes symétriques. Ces constructions rentrent dans le cadre très abstrait des fibrés de semi-groupes par des semi-treillis ; dans le même contexte, on peut formaliser des problèmes combinatoires sur les permutations, par exemple le problème du calcul des nombres de Hurwitz

S'il fallait résumer le sujet de cette thèse en une expression, cela pourrait être quelque chose comme: phénomènes de grande dimension (mais néanmoins finie) en théorie quantique de l'information. Cela étant dit, essayons toutefois de développer brièvement. La physique quantique a inéluctablement affaire à des objets de grande dimension. Partant de cette observation, il y a, en gros, deux stratégies qui peuvent être adoptées: ou bien essayer de ramener leur étude à celle de situations de plus petite dimension, ou bien essayer de comprendre quels sont les comportements universels précisément susceptibles d'émerger dans ce régime. Nous ne donnons ici notre préférence à aucune de ces deux attitudes, mais au contraire oscillons constamment entre l'une et l'autre. Notre but dans la première partie de ce manuscrit (Chapitres 5 et 6) est de réduire autant que possible la complexité de certains processus quantiques, tout en préservant, évidemment, leurs caractéristiques essentielles. Les deux types de processus auxquels nous nous intéressons sont les canaux quantiques et les mesures quantiques. Dans les deux cas, la complexité d'une transformation est mesurée par le nombre d'opérateurs nécessaires pour décrire son action, tandis que la proximité entre la transformation d'origine et son approximation est définie par le fait que, quel que soit l'état d'entrée, les deux états de sortie doivent être proches l'un de l'autre. Nous proposons des solutions universelles (basées sur des constructions aléatoires) à ces problèmes de compression de canaux quantiques et d'amenuisement de mesures quantiques, et nous prouvons leur optimalité. La deuxième partie de ce manuscrit (Chapitres 7, 8 et 9) est, au contraire, spécifiquement dédiée à l'analyse de systèmes quantiques de grande dimension et certains de leurs traits typiques. L'accent est mis sur les systèmes multi-partites et leurs propriétés ayant un lien avec l'intrication. Les principaux résultats auxquels nous aboutissons peuvent se résumer de la façon suivante: lorsque les dimensions des espaces sous-jacents augmentent, il est générique pour les états quantiques multi-partites d'être à peine distinguables par des observateurs locaux, et il est générique pour les relaxations de la notion de séparabilité d'en être des approximations très grossières. Sur le plan technique, ces assertions sont établies grâce à des estimations moyennes de suprema de processus gaussiens, combinées avec le phénomène de concentration de la mesure. Dans la troisième partie de ce manuscrit (Chapitres 10 et 11), nous revenons pour finir à notre état d'esprit de réduction de dimensionnalité. Cette fois pourtant, la stratégie est plutôt: pour chaque situation donnée, tenter d'utiliser au maximum les symétries qui lui sont inhérentes afin d'obtenir une simplification qui lui soit propre. En reliant de manière quantitative symétrie par permutation et indépendance, nous nous retrouvons en mesure de montrer le comportement multiplicatif de plusieurs quantités apparaissant en théorie quantique de l'information (fonctions de support d'ensembles d'états, probabilités de succès dans des jeux multi-joueurs non locaux etc.). L'outil principal que nous développons dans cette optique est un résultat de type de Finetti particulièrement malléable
If a one-phrase summary of the subject of this thesis were required, it would be something like: miscellaneous large (but finite) dimensional phenomena in quantum information theory. That said, it could nonetheless be helpful to briefly elaborate. Starting from the observation that quantum physics unavoidably has to deal with high dimensional objects, basically two routes can be taken: either try and reduce their study to that of lower dimensional ones, or try and understand what kind of universal properties might precisely emerge in this regime. We actually do not choose which of these two attitudes to follow here, and rather oscillate between one and the other. In the first part of this manuscript (Chapters 5 and 6), our aim is to reduce as much as possible the complexity of certain quantum processes, while of course still preserving their essential characteristics. The two types of processes we are interested in are quantum channels and quantum measurements. In both cases, complexity of a transformation is measured by the number of operators needed to describe its action, and proximity of the approximating transformation towards the original one is defined in terms of closeness between the two outputs, whatever the input. We propose universal ways of achieving our quantum channel compression and quantum measurement sparsification goals (based on random constructions) and prove their optimality. Oppositely, the second part of this manuscript (Chapters 7, 8 and 9) is specifically dedicated to the analysis of high dimensional quantum systems and some of their typical features. Stress is put on multipartite systems and on entanglement-related properties of theirs. We essentially establish the following: as the dimensions of the underlying spaces grow, being barely distinguishable by local observers is a generic trait of multipartite quantum states, and being very rough approximations of separability itself is a generic trait of separability relaxations. On the technical side, these statements stem mainly from average estimates for suprema of Gaussian processes, combined with the concentration of measure phenomenon. In the third part of this manuscript (Chapters 10 and 11), we eventually come back to a more dimensionality reduction state of mind. This time though, the strategy is to make use of the symmetries inherent to each particular situation we are looking at in order to derive a problem-dependent simplification. By quantitatively relating permutation symmetry and independence, we are able to show the multiplicative behavior of several quantities showing up in quantum information theory (such as support functions of sets of states, winning probabilities in multi-player non-local games etc.). The main tool we develop for that purpose is an adaptable de Finetti type result

Ce mémoire se veut une synthèse, destinée à la communauté combinatoricienne, de quelques outils développés pour aborder le problème d'Hurwitz ainsi qu'une présentation des résultats récoltés. Le problème d'Hurwitz consiste à évaluer, dans un groupe symétrique, le nombre (dit d'Hurwitz) de factorisations transitives de la permutation identité dont on a imposé le type cyclique des facteurs. Nous décrivons tout d'abord les origines topologiques de ce problème à travers le dénombrement des revêtements ramifiés de la sphère. Nous présentons également un cadre algébrique naturel, le monoïde des permutations scindées, qui permet d'exprimer les nombres d'Hurwitz comme coefficients de structure de l'algèbre de ce monoïde, plus précisément de la sous-algèbre engendrée par les classes de conjugaison, dont une base naturelle est indexée par les multipartitions (ou partitions scindées). La théorie des représentations de cette algèbre fournit un algorithme pour calculer les nombres d'Hurwitz à une partition dont la complexité (minimale, uniforme et exponentielle) est bien meilleure que celle d'une approche naïve. Ce cadre algébrique donne par ailleurs une formule décrivant les séries d'Hurwitz à plusieurs partitions comme polynômes en les séries d'Hurwitz à une seule partition. Nous présentons secondement le cadre géométrique dans lequel s'expriment d'une part la formule ELSV, laquelle décrit les nombres d'Hurwitz à une partition comme fonctions de certaines intégrales, d'autre part un théorème de M. Kazarian exprimant les séries de Hurwitz à une partition comme polynômes en certaines séries formelles dont l'étude asymptotique est achevée. Une fois décrit le fonctionnement de ce cadre intégral, nous récoltons l'asymptotique de tous les nombres d'Hurwitz

Cette thèse porte sur l'étude expérimentale et l'interprétation théorique des processus de photoassociation et de formation de molécules froides de césium, ainsi que sur l'étude des forces dipolaires entre une paire d'atomes de césium froids excités. La photoassociation moléculaire d'atomes froids de césium a été réalisée expérimentalement : deux atomes absorbent un photon pour former une molécule électroniquement excitée dans un état de rotation-vibration donné. L'expérience a permis la première observation de molécules translationnellement froides obtenues après désexcitation spontanée des molécules photoassociées. La forme en double puits des courbes de potentiel des états moléculaires $0_g^- (6s+6p_(3/2))$ et $1_u (6s+6p_(3/2))$ du césium est la clé de l'efficacité du processus. Ces molécules froides formées sont détectées sélectivement par temps de vol après leur photoionisation en ions Cs$_2^+$. Des températures de $20-200\,\mu$K ont été mesurées. La photoassociation offre une méthode de spectroscopie à haute résolution qui permet d'atteindre des états moléculaires de grande élongation, donnant accès aux données asymptotiques. La spectroscopie du puits de potentiel externe de l'état $0_g^-(6s+6p_(3/2))$ du césium a été effectuée et est analysée par une approche R.K.R.. Une théorie unifiée de la photoassociation en champ faible, vue comme une collision assistée par laser, est développée dans ce manuscrit. Les expériences avec les atomes froids permettent l'étude des collisions entre deux atomes soumis à une interaction mutuelle à grande distance de type dipôle-dipôle. Deux systèmes physiques différents sont étudiés : une assemblée d'atomes de Rydberg et la photoassociation. La modification du mouvement d'une paire d'atomes offre la possibilité de ``contrôler" les forces dipolaires et de ``choisir" les vitesses relatives entre atomes.

In this thesis, the symmetry structure of gravitational theories at null infinity is studied further, in the case of pure gravity in four dimensions and also in the case of Einstein-Yang-Mills theory in d dimensions with and without a cosmological constant.

The first part of this thesis is devoted to the presentation of asymptotic methods (symmetries, solution space and surface charges) applied to gravity in the case of the BMS gauge in three and four spacetime dimensions.

The second part of this thesis contains the original contributions.

Firstly, it is shown that the enhancement from Lorentz to Virasoro algebra also occurs for asymptotically flat spacetimes defined in the sense of Newman-Unti. As a first application, the transformation laws of the Newman-Penrose coefficients characterizing solution space of the Newman-Unti approach are worked out, focusing on the inhomogeneous terms that contain the information about central extensions of the theory. These transformations laws make the conformal structure particularly transparent, and constitute the main original result of the thesis.

Secondly, asymptotic symmetries of the Einstein-Yang-Mills system with or without cosmological constant are explicitly worked out in a unified manner in $d$ dimensions. In agreement with a recent conjecture, a Virasoro-Kac-Moody type algebra is found not only in three dimensions but also in the four dimensional asymptotically flat case.

These two parts of the thesis are supplemented by appendices.
Doctorat en Sciences
info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans ce travail, nous proposons des procédures de test paramétriques et nonparamétrique localement et asymptotiquement optimales au sens de Hajek et Le Cam, pour trois modèles d'asymétrie.

La construction de modèles d'asymétrie est un sujet de recherche qui a connu un grand développement ces dernières années, et l'obtention des tests optimaux (pour trois modèles différents) est une étape essentielle en vue de leur mise en application.

Notre approche est fondée sur la théorie de Le Cam d'une part, pour obtenir les propriétés de normalité asymptotique, bases de la construction des tests paramétriques optimaux, et la théorie de Hajek d'autre part, qui, via un principe d'invariance permet d'obtenir les procédures non-paramétriques.

Nous considérons dans ce travail deux classes de distributions univariées asymétriques, l'une fondée sur un développement d'Edgeworth (décrit dans le Chapitre 1), et l'autre construite en utilisant un paramètre d'échelle différent pour les valeurs positives et négatives (le modèle de Fechner, décrit dans le Chapitre 2).

Le modèle d'asymétrie elliptique étudié dans le dernier chapitre est une généralisation multivariée du modèle du Chapitre 2.

Pour chacun de ces modèles, nous proposons de tester l'hypothèse de symétrie par rapport à un centre fixé, puis par rapport à un centre non spécifié.

Après avoir décrit le modèle pour lequel nous construisons les procédures optimales, nous obtenons la propriété de normalité locale asymptotique. A partir de ce résultat, nous sommes capable de construire les tests paramétriques localement et asymptotiquement optimaux. Ces tests ne sont toutefois valides que si la densité sous-jacente f est correctement spécifiée. Ils ont donc le mérite de déterminer les bornes d'efficacité paramétrique, mais sont difficilement applicables.

Nous adaptons donc ces tests afin de pouvoir tester les hypothèses de symétrie par rapport à un centre fixé ou non, lorsque la densité sous-jacente est considérée comme un paramètre de nuisance.

Les tests que nous obtenons restent localement et asymptotiquement optimaux sous f, mais restent valides sous une large classe de densités.

A partir des propriétés d'invariance du sous-modèle identifié par l'hypothèse nulle, nous obtenons les tests de rangs signés localement et asymptotiquement optimaux sous f, et valide sous une vaste classe de densité. Nous présentons en particulier, les tests fondés sur les scores normaux (ou tests de van der Waerden), qui sont optimaux sous des hypothèses Gaussiennes, tout en étant valides si cette hypothèse n'est pas vérifiée.

Afin de comparer les performances des tests paramétriques et non paramétriques présentés, nous calculons les efficacités asymptotiques relatives des tests non paramétriques par rapport aux tests pseudo-Gaussiens, sous une vaste classe de densités non-Gaussiennes, et nous proposons quelques simulations.
Doctorat en sciences, Orientation statistique
info:eu-repo/semantics/nonPublished

Un des grand défis de la physique actuelle est la quantification de la gravit é. La théorie d’Einstein est remarquable pour ses prédictions. Malheureusement, elle reste une théorie classique et de ce fait en désaccord avec les progrès actuels en physique des particules qui montrent qu’à faible distance, une théorie physique doit être quantique. Une des pistes pour résoudre ce problème est d’étudier la version classique de la gravité dans l’espoir d’en déduire des propriétés ou même la forme de la théorie quantique.

Un des outils pour étudier une theorie est la notion de dualité. On dit que deux théories sont duales quand elles décrivent le même système par des moyens différents. La dualité est le dictionnaire permettant de passer d’une description à l’autre. Dans ma thèse, j’ai étudié deux dualités s’appliquant à la gravité en 4 dimensions.

La première est connue sous le nom de dualité électromagnétique. A l’origine, cette dualité s’applique à l’électromagnétisme où elle échange les rôles du champ &
Doctorat en Sciences
info:eu-repo/semantics/nonPublished

Le groupe de recherche Instabilités et Méthodes Numériques Spécifiques mène ses activités dans le développement d’outils numé- riques pour la résolution de problèmes non linéaires en utilisant, no- tamment, la Méthode Asymptotique Numérique (MAN). Basée sur le couplage d’une méthode de perturbation et de discrétisation spa- tiale, la MAN est efficace et permet de déterminer précisément les transitions telles que, par exemple, la perte d’unicité de la solution. L’objectif de ce travail de thèse est de proposer des méthodes numé- riques alternatives à la fois robustes, performantes pour la résolution des équations de Navier-Stokes. Nous nous intéressons à l’analyse de bifurcation stationnaire, mais aussi à la simulation d’écoulement dépendant du temps. Dans un premier temps, des techniques d’analyse de bifurcation nu- mérique pour des problèmes stationnaires à très grand nombre de degrés de liberté sont décrites. Nous implémentons ces techniques, basées sur la MAN, dans le logiciel open-source multi-physique ELMER . Nous détaillons l’implémentation des méthodes d’analyse de bifurcation stationnaire telles que la continuation de branches solutions, les techniques de détection des valeurs critiques du pa- ramètre de charge et les changements de branche en un point de bifurcation stationnaire. L’émergence d’une progression géométrique dans les termes de séries MAN à l’approche d’une singularité est dé- crite. Des discussions sont proposées pour le cas de bifurcations par brisure de symétrie. Les méthodes proposées dans ce travail sont validées en utilisant des cas référencés dans la littérature, tels que des écoulements dans des conduites à expansion/contraction sou- daine. Une étude paramétrique permet de présenter de nouveaux ré- sultats pour les écoulements tridimensionnels dans une expansion brusque. L’utilisation de librairies de calculs intensifs rend possible la réalisation d’analyse de bifurcation pour des modèles à très grand nombre de degrés de liberté, en des temps de calcul abordables. Dans un deuxième temps, des solveurs d’ordre élevé sont proposés pour la simulation d’écoulements instationnaires. Une technique d’homotopie à combinaison convexe et une technique de pertur- bation, sont couplées à un schéma d’intégration temporelle pour résoudre les équations instationnaires de Navier-Stokes. Le cas d’un écoulement bidimensionnel autour d’un cylindre fixe est étudié. Ce problème de référence nous permet de valider et discuter des amélio- rations proposées. De cette manière, nous confirmons, au cours des essais numériques, qu’il est possible de réduire les temps de cal- cul en évitant des assemblages d’opérateurs et des résolutions de systèmes linéaires qui n’apportent aucune information supplémen- taire pour la qualité des solutions. De plus, un nouvel éclairage est apporté sur l’utilisation des approximants de Padé par rapport aux travaux antérieurs. L’utilisation de ces solveurs non linéaires nous permet de réduire significativement le nombre de factorisations de matrice en les conservant valides pour un grand nombre de pas de temps, et parfois sur le domaine temporel complet. De nombreuses perspectives sont envisagées, notamment pour l’analyse des séries pour le cas d’un point limite, la bifurcation de Hopf, l’étude d’autre cas d’écoulements tridimensionnels, le couplage fluide-structure. De même, l’association des techniques MAN aux techniques de réductions de modèles et l’analyse de stabilité des orbites périodiques sont envisageables
The research group "Instabilités et Méthodes Numériques Spéci-fiques" operates in the development of numerical tools for solving nonlinear problems by using, in particluar, the Asymptotic Numer- ical Method (ANM). Based on coupling a perturbation method and a spatial discretization, the ANM is effective and makes it possible to precisely determine the transitions such as, for example, loss of uniqueness of the solution. The objective of this thesis is to offer al- ternative numerical methods both robust and effective, for solving the Navier-Stokes equations. We are interested in steady bifurcation analysis, and in time dependent flow simulation .Initially, numerical bifurcation analysis techniques for steady flow problems in very large number of degrees of freedom are de- scribed. These techniques, based on the ANM, are implemented in the multiphysics ELMER open-source software. We detail the im- plementation of the steady bifurcation analysis methods such as continuation of solution branches, detection of load parameter critical values and branch switching at steady bifurcation point. The emer- gence of a geometric progression in ANM series terms in the vicinity of a singularity is described. Discussions are proposed for the case of symmetry breaking bifurcations. The methods described in this the- sis are validated using reference cases of the literature, such as flow in pipe with sudden expansion/contraction. New results for three- dimensional flow in a sudden expansion, are obtained according to a parametric study. The use of high performance computing libraries makes possible the bifurcation analysis for models with high number of degrees of freedom, in affordable computing times. Secondly, high-order solvers are proposed for the simulation of un- steady flows. Homotopy with convex combination and a perturba- tion technique, are coupled to a time integration scheme in order to solve the unsteady Navier-Stokes equations. The case of two- dimensional flow around a fixed cylinder is studied. This reference problem allows us to validate and discuss proposed improvements. In this way, we confirm, in the numerical tests, that it is possible to reduce the computation time by avoiding operators assembly and resolution of unuseful linear systems in respect to the solution quality. In addition, new lighting is provided on the use of Padé approximants over previous work. The use of these nonlinear solvers allows us to significantly reduce the number of matrix factorization retaining them valid for many time steps, and sometimes on the complete time do- main. Many opportunities are envisaged, in particular the analysis of ANM series for the case of limit point, the Hopf bifurcation, the study of other cases of three-dimensional flow, the fluid-structure interaction. Similarly, the combination of ANM models with reduction techniques f stable periodic orbits are possible

The present thesis is divided into three parts. In Part I we address a problem within Higher-Spin Gauge Theory in dimension three: namely, that of computing the asymptotic symmetry algebra of supersymmetric models, describing an infinite spectrum of integer and half-integer higher-spin fields. In Part II we investigate higher-spin theories in dimension four or greater, where we classify the consistent cross interactions between free gauge fermions of arbitrary spin and a photon or a graviton. A third part supplements the bulk of the manuscript with technical appendices.

Part I is concerned with the Higher-Spin Theory extending the anti-de Sitter orthosymplectic Supergravity in three dimensions. After recalling the construction of the latter we exhibit the structure of the former, and then explain how to generalize the boundary conditions for Supergravity to the higher-spin case. Following the usual procedure, we compute the form of the residual gauge parameter and then identify the Poisson-bracket algebra governing the asymptotic dynamics. It is found to be a nonlinear, supersymmetric algebra of the W-infinity type with same central charge as pure Gravity in the Virasoro sector, which is a subalgebra thereof. The simply supersymmetric case is treated explicitly whereas the details of the extended cases are relegated to the appendices.

Part II deals with the interaction problem for gauge fermions coupled to Electromagnetism and Gravity in flat spacetime of arbitrary dimension. First we recall the so-called BRST-Antifield techniques, which reformulate the deformation problem as a cohomological one, recasting the familiar Noether procedure for finding out interactions in a mathematically systematic way. We then use these methods to classify and obtain expressions for the gauge-invariant cubic couplings between a symmetric tensor-spinor and a spin-1 and spin-2 gauge field. With no input from previous works, we find the complete list of interaction terms with minimal assumptions and in particular shed light on the quartic obstructions to full consistency.
Doctorat en Sciences
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Cette thèse s'est construite avec une approche double, à la fois théorique et pratique. D'un coté, nous avons mené un travail de régulation sur des réacteurs de polymérisation de la société ATOFINA. De l'autre, nous avons développé des observateurs asymptotiques pour des systèmes nonlinéaires présentant des symétries.

Le travail de régulation concernait des réacteurs tubulaires en boucle, fonctionnant en phase liquide. Nous avons à partir des lois de conservation de masse et d'énergie, établis des modèles. Ces derniers étant nonlinéaires, nous avons utilisé des techniques de contrôle (linéarisation par bouclage) et d'observateur
(contraction) nonlinéaires, que nous avons installées sur les unités.

Ce projet nous a amené à réfléchir sur la manière dont on peut tenir compte des symétries d'un système pour élaborer des observateurs. Nous avons considéré le cas de systèmes invariants sous l'action de groupe de transformations: notre contribution réside dans la définition de la notion d'erreur invariante,ingrédient important dans la conception d'observateurs invariants. Nous décrivons ensuite un observateur asymptotique, localement convergent pour une classe de système Lagrangiens, qui a la propriété d'être intrinsèque tout comme le sont les équations d'Euler-Lagrange. Ces deux études remettent ainsi en perspective la notion d'erreur pour les systèmes nonlinéaires, en tenant compte de la géométrie qui structure ces systèmes.

Les transformations qui conservent l'ensemble des solutions des équations de Navier-Stokes (NS) sont appelées les symétries de NS. Elles forment un groupe de Lie dénommé groupe de symétrie de NS. Ce groupe jouent un rôle important dans la description de la physique des équations (loi de conservation, loi de paroi, ...). Ainsi, les modèles de turbulence devraient être invariant sous l'action de ce groupe. Dans la première partie de la thèse, on effectue alors une analyse de quelques modèles de sous-maille courants sous l'angle des symétries, puis, on construit une classe de modèles de sous-maille qui, d'une part, respectent le groupe de symétrie de NS et, d'autre part, sont conformes au second principe de la thermodynamique. Un modèle très simple de la classe est alors testé et validé numériquement. L'analyse et la construction de modèles sont également étendues au cas de la convection thermique. Dans la seconde partie de la thèse, on explore la possibilité d'intégrer la LES (simulation des grandes échelles) dans un algorithme de la famille MAN (méthode asymptotique numérique). La MAN est une technique numérique de perturbation, qui consiste à calculer la solution sous forme d'une série entière. Dans un premier temps, on construit et on teste un algorithme associant la MAN et la LES, avec l'aide d'une technique d'homotopie. Face aux limites de ce premier algorithme, on étudie dans un second temps l'utilisation d'un autre algorithme où on effectue un développement en série temporelle. Pour augmenter le domaine de validité de la série obtenue, ou bien pour calculer une solution analytique à partir de la série lorsque celle-ci diverge, on propose d'effectuer la méthode de resommation de Borel-Laplace. Dans les exemples numériques, on applique cette méthode à des modèles réduits issus des équations de Navier-Stokes.

In a preamble, a quick summary of the line of thought from Noether's theorems to modern views on conserved charges in gauge theories is attempted. Most of the background material needed for the thesis is set out through a small survey of the literature. Emphasis is put on the concepts more than on the formalism, which is relegated to the appendices.

The treatment of exact conservation laws in Lagrangian gauge theories constitutes the main axis of the first part of the thesis. The formalism is developed as a self-consistent theory but is inspired by earlier works, mainly by cohomological results, covariant phase space methods and by the Hamiltonian formalism.

The thermodynamical properties of black holes, especially the first law, are studied in a general geometrical setting and are worked out for several black objects: black holes, strings and rings. Also, the geometrical and thermodynamical properties of a new family of black holes with closed timelike curves in three dimensions are described.

The second part of the thesis is the natural generalization of the first part to asymptotic analyses. We start with a general construction of covariant phase spaces admitting asymptotically conserved charges. The representation of the asymptotic symmetry algebra by a covariant Poisson bracket among the conserved charges is then defined and is shown to admit generically central extensions. The asymptotic structures of three three-dimensional spacetimes are then studied in detail and the consequences for quantum gravity in three dimensions are discussed.
Doctorat en Sciences
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L'instabilité du spectre des opérateurs non-autoadjoints constitue la thématique centrale de cette thèse. Notre premier objectif est de mettre en évidence ce phénomène dans le cas de certains modèles naturels tels que l'opérateur d'Airy, l'oscillateur harmonique ou l'oscillateur cubique complexes. Dans ce but, nous nous intéressons au comportement des projecteurs spectraux associés aux valeurs propres de ces opérateurs, poursuivant une démarche initiée par E. B. Davies. Le second objectif de notre travail consiste à montrer de quelle manière ces modèles peuvent contribuer à la compréhension de certains problèmes issus de domaines mathématiques et physiques aussi variés que la mécanique quantique, la supraconductivité ou la théorie du contrôle. Nos résultats sur l'instabilité spectrale de l'oscillateur cubique complexe viennent ainsi corroborer un travail de B. Krejcirik et P. Siegl, soulignant l'impossibilité de fournir une justification rigoureuse aux théories actuelles de la mécanique quantique non-hermitienne. Par ailleurs, nous nous appuyons sur les propriétés des modèles mentionnés ci-dessus pour obtenir des résultats sur le spectre et la résolvante d'opérateurs de Schrödinger à potentiels imaginaires purs dans des ouverts bornés. Ces résultats peuvent en particulier être appliqués à l'étude du système de Ginzburg-Landau dépendant du temps en supraconductivité. Enfin, nous présentons des résultats sur la contrôlabilité d'équations paraboliques dégénérées qui reposent sur une étude spectrale et pseudospectrale de l'opérateur d'Airy et de l'oscillateur harmonique complexes. Ce dernier travail est le fruit d'une collaboration avec K. Beauchard, B. Helffer et L. Robbiano.