Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Structures Abéliennes“

AbstractDichotomies in various conjectures from algebraic geometry are in fact occurrences of the dichotomy among Zariski structures. This is what Hrushovski showed and which enabled him to solve, positively, the geometric Mordell–Lang conjecture in positive characteristic. Are we able now to avoid this use of Zariski structures? Pillay and Ziegler have given a direct proof that works for semi-abelian varieties they called ‘very thin’, which include the ordinary abelian varieties. But it does not apply in all generality: we describe here an abelian variety which is not very thin. More generally, we consider from a model-theoretical point of view several questions about the fields of definition of semi-abelian varieties.

Le but de cette thèse est d'étudier la structure galoisienne de torseurs sous des schémas en groupes finis (ou quasi-finis) et plats. Pour cela, nous utilisons (et généralisons) un homomorphisme défini par W. Waterhouse, ainsi que le << class invariant homomorphism >> défini par M. J. Taylor.

Dans le chapitre I, nous étudions les propriétés fonctorielles de ces homomorphismes. Nous en déduisons une généralisation de résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas concernant le noyau du class invariant homomorphism pour les variétés abéliennes ayant partout bonne réduction qui sont isogènes à un produit de courbes elliptiques.

Dans le chapitre II, nous donnons une lecture du class invariant homomorphism dans le langage des 1-motifs.

Dans le chapitre III, nous généralisons la construction du class invariant homomorphism pour un sous-groupe fini et plat d'un schéma en groupes semi-stable (sur un schéma de base intègre, normal et noethérien) dont la fibre générique est une variété abélienne. Nous étendons également les résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas à cette situation.

Dans le chapitre IV, nous généralisons la construction du chapitre III en considérant un sous-groupe fermé, quasi-fini et plat du modèle de Néron d'une variété abélienne (la base étant un schéma de Dedekind). Ceci nous permet de généraliser un résultat arakélovien du à Agboola et Pappas.

Cette thèse est une contribution à la théorie des modèles des corps valués. On étudie la déviation dans les corps valués, ainsi que certains de leurs réduits. On s'intéresse particulièrement aux corps pseudo-locaux, les ultraproduits de caractéristique résiduelle nulle des corps valués p-adiques. Nous considérons d'abord aux groupes des valeurs des corps valués qui nous intéressent, les groupes Abéliens ordonnés réguliers. Nous y établissons description géométrique de la déviation, ainsi qu'une classification détaillée des extensions globales non-déviantes ou invariantes d'un type donné. Nous démontrons ensuite des principes d'Ax-Kochen-Ershov pour la division et la déviation dans la théorie resplendissante des expansions de suites exactes courtes pures de structures Abéliennes, telles qu'étudiées dans l'article sur la distalité d'Aschenbrenner-Chernikov-Gehret-Ziegler. En particulier, nos résultats s'appliquent aux groupes des termes dominants des (expansions de) corps valués. Pour finir, nous donnons diverses conditions suffisantes pour qu'un ensemble de paramètres soit une base d'extension dans un corps valué Hensélien de caractéristique résiduelle nulle. En particulier, nous démontrons que la déviation coïncide avec la division dans les corps pseudo-locaux de caractéristique résiduelle nulle. Nous discutons aussi des résultats de Ealy-Haskell-Simon sur la déviation pour les extensions séparées de corps valués Henséliens de caractéristique résiduelle nulle. Nous contribuons à la question en démontrant que, dans le cas d'une extension Abhyankar, et avec quelques hypothèses supplémentaires, la non-déviation d'un type dans in corps pseudo-local implique l'existence d'une mesure de Keisler globale invariante dont le support contient ce type, à l'instar des corps pseudo-finis
This thesis is a contribution to the model theory of valued fields. We study forking in valued fields and some of their reducts. We focus particularly on pseudo-local fields, the ultraproducts of residue characteristic zero of the p-adic valued fields. First, we look at the value groups of the valued fields we are interested in, the regular ordered Abelian groups. We establish for these ordered groups a geometric description of forking, as well as a full classification of the global extensions of a given type which are non-forking or invariant. Then, we prove an Ax-Kochen-Ershov principle for forking and dividing in expansions of pure short exact sequences of Abelian structures, as studied by Aschenbrenner-Chernikov-Gehret-Ziegler in their article about distality. This setting applies in particular to the leading-term structure of (expansions of) valued fields. Lastly, we give various sufficient conditions for a parameter set in a Henselian valued field of residue characteristic zero to be an extension base. In particular, we show that forking equals dividing in pseudo-local of residue characteristic zero. Additionally, we discuss results by Ealy-Haskell-Simon on forking in separated extensions of Henselian valued fields of residue characteristic zero. We contribute to the question in the setting of Abhyankar extensions, where we show that, with some additional conditions, if a type in a pseudo-local field does not fork, then there exists some global invariant Keisler measure whose support contains that type. This behavior is well-known in pseudo-finite fields

Dans cette thèse, nous construisons des compactifications des variétés modulaires de Siegel en leurs places de mauvaise réduction de type parahorique. Nous construisons tout d'abord des compactifications toroïdales, qui sont relativement explicites et dont l'on contrôle les singularités. Ces compactifications ne sont pas canoniques, mais dépendent d'un choix combinatoire. L'étape essentielle de la construction est une approximation des variétés abéliennes de Mumford qui préserve un sous-groupe de torsion. Cette approximation nous permet de recoller les différentes cartes locales des compactifications. Nous utilisons ces résultats pour contruire les compactifications minimales, qui sont canoniques, mais moins explicites et plus singulières. Nous donnons comme application une nouvelle preuve de l'existence du sous-groupe canonique pour les variétés abéliennes
In this thesis, we construct compactifications of Siegel modular varieties at bad reduction places of parahoric type. We first construct the toroidal compactifications, which are quite explicit and whose singularities are controlled. These compactifications are not canonical, but depend on some combinatorial choice. The main point in our construction is an approximation of Mumford degenerating abelian varieties that preserves a torsion subgroup. This allows us to glue together the different local charts of the compactifications. We use these results to construct the minimal compactifications, which are canonical but less explicit and more singular. As an application, we give a new proof of the existence of the canonical subgroup for abelian varieties

Soient k un corps de nombres, Ok son anneau d’entiers et Cl(k) son groupe des classes. Soient G un groupe fini, N/k une extension galoisienne à groupe de Galois isomorphe à G et ON l’anneau des entiers de N. Soient M un Ok-ordre maximal dans l’algèbre semi-simple k[G] contenant Ok [G], et Cl(M) son groupe des classes (i. E. , le groupe des classes des M-modules localement libres). Lorsque N/k est modérément ramifiée, l’extension des scalaires permet d’associer à ON la classe de M*ON , notée [M*ON ], dans Cl(M). On définit l’ensemble R(M) des classes réalisables comme étant l’ensemble des classes c de Cl(M) telles qu’il existe une extension N/k modérément ramifiée, à groupe de Galois isomorphe à G, avec [M*ON ] = c. Il est bien connu que R(M) est inclus dans Cl◦ (M), où Cl◦ (M) est le noyau du morphisme de Cl(M) dans Cl(k) induit par l’augmentation de M dans Ok. Les résultats de McCulloh vont dans le sens de la conjecture suivante : R(M) est un sous-groupe de Cl◦ (M). Lorsque G est abélien et k un corps de nombres quelconque, les travaux de McCulloh entraînent que cette conjecture est vraie. Soient p un nombre premier et x une racine primitive p-ième de l’unité. Dans cette thèse, en supposant x dans k, nous démontrons la conjecture dans le cas où G = V*\rhoC, où V est un Fp-espace vectoriel de dimension r ≥ 1, C un groupe cyclique d’ordre p^r − 1, et \rho une représentation linéaire fidèle de C dans V ; un exemple d’un tel groupe est le groupe symetrique S3. Par ailleurs, lorsque nous essayons d’étudier cette conjecture, nous sommes confrontés au problème de plongement en liaison avec les classes de Steinitz. Une autre partie de cette thèse est l’étude des classes de Steinitz des extensions à groupe de Galois isomorphe à V*\rhoC, ou à un groupe non abélien d’ordre p^3
Let k be a number field, Ok its ring of integers and Cl(k) its classgroup. Let G be a finite group, N/k a Galois extension with Galois group isomorphic to G, and ON the ring of integers of N. Let M be a maximal Ok -order in the semi-simple algebra k[G] containing Ok[G], and Cl(M) its classgroup (i. E. The classgroup of locally free M-modules). When N/k is tame (i. E. , at most tamely ramified), extension of scalars allows us to assign to ON the class of M*ON , denoted [M*ON ], in Cl(M). We define the set R(M) of realizable classes to be the set of classes c of Cl(M) such that there exists a Galois extension N/k which is tame, with Galois group isomorphic to G, and for which [M*ON ] = c. It is well known that R(M) is included in Cl◦(M), where Cl◦(M) is the kernel of the morphism from Cl(M) to Cl(k) induced by the augmentation from M to Ok. The results of McCulloh lead one to the following conjecture : R(M) is a subgroup of Cl◦(M). If G is abelian and k is any number field, it follows from the works of McCulloh that this conjecture is true. Let p be a prime number and x a primitive p-th root of unity. In this thesis, assuming x in k, we prove the conjecture when G = V*\rhoC, where V is an Fp -vector space of dimension r ≥ 1, C a cyclic group of order p^r −1, and \rho a faithful representation of C in V ; an example is the symmetric group S3. When we attempt to study this conjecture, we are faced with the embedding problem connected with the Steinitz classes. Another part of this thesis is the study of Steinitz classes of extensions with Galois group isomorphic to V*\rhoC, or to a nonabelian group of order p^3. Keywords : Rings of integers, Galois module structure, Realizable classes, Steinitz classes, Maximal order, Fröhlich’s Hom-description of locally free class groups, Fröhlich-Lagrange resolvent, Embedding problem, Cyclic codes, Primitive polynomials

La question à laquelle la thèse tente de répondre est la suivante: étant donné un schéma relatif X sur un anneau de valuation discrète R et un G'-torseur y' au dessus de la fibre générique X' de X, existe-t-il un R-schéma en groupes G et un G-torseur Y au dessus de X qui étende le torseur de départ ? On aborde cette question sous l'angle du schéma en groupes fondamental introduit par Nori pour un schéma propre et réduit sur un corps k et généralisé par Gasbarri au cas d'un schéma réduit et irréductible fidèlement plat sur un schéma de Dedekind. On montre que le morphisme naturel f du schéma en groupes fondamental de X' dans la fibre générique du schéma en groupe fondamental de X est toujours surjectif pour la topologie fpqc et que tout torseur peut être étendu ssi f est un isomorphisme. Les deux premiers chapitres de la thèse sont consacrés à l'introduction des outils nécessaires pour accomplir ce programme. En particulier la définition tannakienne du schéma en groupes fondamental et du torseur universel de Nori est revisitée. Dans le troisième chapitre, la preuve des résultats mentionnés ci-dessus est donnée. Le quatrième chapitre est quant à lui consacré à une question connexe : étant donné un morphisme f entre deux schémas Y et X sur un corps k t.q. l'image directe F du faisceau structural de Y est essentiellement fini, est-il possible de définir une clôture galoisienne? On montre que le torseur universel associé à la sous-catégorie tannakienne de la catégorie des fibrés essentiellement finis engendrée par F joue le rôle de clôture galoisienne
The question we try to answer in this thesis is the following: let X be a relative scheme over a discrete valuation ring R and y' a G'-torsor over the generic fibre X' of X. Does it exist an R-group scheme G and a G-torsor Y over X whose generic fibre is isomorphic to the given torsor? We face this problem by means of the fundamental group scheme introduced by Nori for a reduced scheme X complete over a field and then generalized by Gasbarri for an irreducible and reduced scheme faithfully flat over a Dedekind scheme. We prove that the natural morphism f between the fundamental group scheme of X' and the generic fibre of the fundamental group scheme of X is always surjective for the fpqc topology. Moreover we prove that any torsor can be extended iff f is an isomorphism. The firstt two chapters of the thesis are devoted to an introduction of the objects used in the last two chapters. ln particular the tannakian definition of the fundamental group scheme and of the universal torsor of Nori are revisited. ln the third chapter a proof of the results mentioned before is given. The fourth chapter is devoted to a related question: let f be a morphism between two schemes Y and X over a field k.s.t. the direct image F of the structural sheaf of Y is essentially finite, is it possible to defme a Galois cIosure? We prove that the universal torsor associated to the sub-category of the category of essentially finite vector bundles generated by F is the desired Galois closure

Cette thèse a pour objet central l'étude des systèmes hamiltoniens à deux degrés de liberté. Le travail se situe dans le cadre de la géométrie symplectique, de la géométrie algébrique et des fonctions hypergéométriques. Nous décrivons plusieurs méthodes et de nombreux exemples, permettant de trouver une variété invariante engendrée par une fonction et ses dérivées temporelles. Les modes normaux du système et leurs périodes sont ainsi déterminés ainsi que des nouvelles relations entre fonctions hypergéométriques, en utilisant la notion de sous-systèm̀e hamiltonien. Nous introduisons la notion de (R,S)-structure bi-hamiltonienne qui généralise la notion de structure bi-hamiltonienne classique (où les exemples non triviaux sont très rares). Lorsque les fonctions R et S ne sont pas des invariants, les valeurs propres du qotient des deux crochets de Poisson ne sont plus des intégrales premières du mouvement. Cependant, elles donnent des informations sur les variables qui séparent le système, et enfin sur les paires de Lax que l'on peut construire d'une façon systématique pour une certaine classe de systèmes hamiltoniens. En particulier la fonction S est très utile pour construire une paire de Lax correspondant au flot défini par le second invariant (qui rend le système intégrable). Les divers exemples de systèmes intégrables étudiés (hamiltonien de Hénon-Heiles, de Calogero, de Gelfand-Dikii, de Toda, de Garnier, de Kolossof, de la machine d'Atwood oscillante, etc. . . . ) nous ont permis de constater l'existence des crochets de Lie-Poisson linéaires, quadratiques, cubiques ou encore des crochets de Lie-Poisson plus compliqués.

Le fameux théorème de la base normale donne la structure galoisienne d'une extension de corps de nombres. Il est naturel d'étudier la question de la structure galoisienne pour les modules arithmétiques. La réponse pour l'anneau des entiers algébriques est rappelée dans la première partie. Un autre module arithmétique fondamental est le groupe des unités, lié au groupe de classes. Les techniques mises en œuvre dans le cas des entiers semblent difficiles à adapter. On présente ici deux types d'approche. Au moyen des outils de la théorie d'Iwasawa, on obtient des informations sur la structure galoisienne des composantes isotypiques du groupe des unités de certaines extensions. Enfin, grâce aux systèmes d'Euler, on peut construire de nouveaux groupes d'unités qui coïncident dans certains cas avec les unités cyclotomiques
The well-known normal basis theorem gives the Galois structure of a Galois number field extension, thus raising the question for arithmetic modules within. This dissertation is concerned with two fundamental such objects, namely the ring of integers and the group of units linked to the class group. We start with recalling the Galois structure of the former. The study of the latter requires different techniques and occupies the major part of the dissertation. At first, using Iwasawa theory, we obtain results on the Galois structure of isotypical components for a certain class of extensions. Susenquently, we construct new groups of units by means of Euler systems and prove that they coincide with the cyclotomic units in some cases

Cette thèse s'attache à comprendre le rôle du champ de fond antisymétrique B en théorie des cordes. Nouveauté essentielle et prometteuse par rapport à la théorie des champs, puisqu'il accompagne naturellement la courbure de l'espace-temps g, son importance a été soulignée ces dernières années dans différents domaines, auxquels j'ai tenté de contribuer. Le premier chapitre étudie la transformation de Seiberg-Witten, qui relie des branes ordinaires plongées dans un champ B à des branes non-commutatives. A la recherche d'une expression explicite sur le secteur de jauge, il tente d'en éclaircir la signification. Le chapitre 2 s'attaque à la dynamique non abélienne des branes M5 en M-théorie. Par différentes approches, supersymétrique ou plus géométrique, je tente d'y proposer un contenu en champs pour un paquet de N M5-branes, expliquant leur anomalie en N^3. Ces champs formeraient alors une version non-abélienne des théories de jauge à connexion tensorielle. Enfin, la présence d'un champ B autorise des variétés de compactification plus générales que les espaces de Calabi-Yau, dites variétés à structure SU(3). La symétrie-miroir peut être étendue dans ce cadre, en la décrivant comme une T-dualité le long d'une fibration toroïdale. Sa description géométrique met alors en jeu les composantes de la torsion intrinsèque, qui sont mélangées à celles de la courbure H=dB, ainsi que je le détaille dans le chapitre 3.

L’étude des vides avec flux est une étape primordiale afin de mieux comprendre la compactification en théorie des cordes ainsi que ses conséquences phénoménologiques. En présence de flux, l’espace interne ne peut plus être Calabi-Yau, mais admet tout de même une structure SU(3) qui devient un outil privilégié. Après une introduction aux notions géométriques nécessaires, cette thèse examine le rôle des flux dans la compactification supersymétrique sous différents angles. Nous considérons tout d’abord des troncations cohérentes de la supergravité IIA. Nous montrons alors que des condensats fermioniques peuvent aider à supporter des flux et générer une contribution positive à la constante cosmologique. Ces troncations admettent donc des vides de Sitter qu’il serait autrement très difficile d’obtenir, si ce n’est impossible. L’argument est tout d’abord employé avec des condensats de dilatini puis améliorer en suggérant un mécanisme pour générer des condensats de gravitini à partir d’instantons gravitationnels. Ensuite l’attention se tourne sur les branes et leur comportement sous T-dualité non abélienne. Nous calculons les configurations duales à certaines solutions avec D branes de la supergravité de type II, et examinons les flux ainsi que leurs charges afin d’identifier les branes après dualité. La solution supersymétrique avec brane D2 est étudiée plus en détails en vérifiant explicitement les équations sur les spineurs généralisés, puis en discutant de la possibilité d’une déformation massive. Le dernier chapitre fournit une construction systématique de structures SU(3) sur une large classe de variétés toriques compactes. Cette construction définit un fibré en sphère au-dessus d’une variété torique 2d quelconque, mais fonctionne tout aussi bien sur une base Kähler-Einstein
The study of flux vacua is a primordial step in the understanding of string compactifications and their phenomenological properties. In presence of flux the internal manifold ceases to be Calabi-Yau, but still admits an SU(3) structure which becomes thus the preferred framework. After introducing the relevant geometrical notions this thesis explores the role that fluxes play in supersymmetric compactification through several approaches. At first consistent truncations of type IIA supergravity are considered. It is shown that fermionic condensates can help support fluxes and generate a positive contribution to the cosmological constant. These truncations thus admit de Sitter vacua which are otherwise extremely difficult to get, if not impossible. The argument is initially performed with dilatini condensates and then improved by suggesting a mechanism to generate gravitini condensates from gravitational instantons. Then the focus shifts towards branes and their behavior under non abelian T-duality. The duals of several D-brane solutions of type II supergravity are computed and the branes are tracked down by investigating the fluxes and the charges they carry. The supersymmetric D2 brane is further studied by checking explicitly the generalized spinor equations and discussing the possibility of a massive deformation. The last chapter gives a systematic construction of SU(3) structures on a wide class of compact toric varieties. The construction defines a sphere bundle on an arbitrary two-dimensional toric variety but also works when the base is Kähler-Einstein