Dissertationen zum Thema „Sous-Groupes discrets des groupes de Lie“

Soit G un groupe algébrique réel simple de rang réel au moins 2 et P un sous-groupe parabolique de G. On montre que tout sous-groupe discret de G intersectant le radical unipotent de P en un réseau est un réseau aritmétique de G, sauf éventuellement lorsque G = SO(2,4n+2) et P est le stabilisateur d'un 2-plan isotrope. Ceci répond partiellement à une conjecture de Margulis, déjà étudiée par Hee Oh. On étudie aussi le cas où G est le produit de plusieurs groupes de rang 1, généralisant des résultats de Selberg, Benoist et Oh
Let G be a real algebraic group of real rank at least 2 and P a parabolic subgroup of G. We prove that any discrete subgroup of G that intersects the unipotent radical of P in a lattice is an arithmetic lattice of G, except maybe when G=SO(2,4n+2) and P is the stabilizer of an isotropic 2-plane. This provide a partial answer to a conjecture of Margulis that was already studied by Hee Oh. We also study the case where G is a product of several rank 1 groups, generalising results of Selberg, Benoist and Oh

Dans cette these, nous considerons un sous-groupe discret zariski dense d'un groupe de lie semi-simple g. Nous associons a une fonction homogene definie sur une chambre de weyl de g qui generalise l'exposant de convergence de considere quand le rang reel de g est egal a 1. Nous montrons que cette fonction est concave et nous en deduisons des constructions de mesures de patterson pour. Nous demontrons aussi des analogues de ces resultats sur les corps locaux.

On etudie ici les degenerescences de representations fideles et discretes d'un groupe de type fini dans un groupe de lie semisimple reel g. On donne d'abord des proprietes fondamentales des immeubles de tits affines, les relations entre leurs differentes definitions apparaissant dans la litterature, et de nouvelles caracterisations pratiques. On demontre une classification de leurs isometries : elles fixent un point ou translatent une geodesique dans le complete. On donne la construction par les normes ultrametriques de l'immeuble de bruhat-tits du groupe lineaire gl n(f) sur un corps value f quelconque. On demontre qu'un sous-groupe de type fini de gl n(f), dont tout element fixe un point dans , admet un point fixe global dans le complete de. On considere ensuite l'espace x(, g) des classes de conjugaison de representations fideles et discretes de dans g, telles que les actions correspondantes de sur l'espace symetrique x = g/k n'admettent pas de point fixe global a l'infini. On definit le vecteur de translation d'un element g de g comme l'unique vecteur de longueur minimale adherent a l'ensemble des projections dans une chambre de weyl fermee fixee $$ de x des segments joignant un point de x a son image par g. On construit, par des methodes purement geometriques, une compactification de x(, g), induite par le spectre marque des vecteurs de translation, generalisant celle de thurston pour l'espace de teichmuller. On montre que les points du bord sont les spectres marques de vecteurs de translation soit de representations fideles et discretes de dans g ayant un point fixe global a l'infini dans x, soit d'actions de sur un immeuble affine, que l'on explicite. Lorsque est un groupe de surface et g = sl 3(r), ceci donne une compactification de la composante de hitchin de l'espace des modules de g-fibres plats sur la surface, dont on calcule explicitement le spectre marque des vecteurs de translation de certains points du bord.

Cette thèse est consacrée à l’étude des orbivariétés projectives convexes géométriquement finies, et fait suite aux travaux de Ballas, Cooper, Crampon, Leitner, Long, Marquis et Tillmann sur le sujet. Une orbivariété projective convexe est le quotient d’un ouvert convexe et borné d’une carte affine de l’espace projectif réel (appelé aussi ouvert proprement convexe) par un groupe discret de transformations projectives préservant cet ouvert. S’il n’y a pas de segment dans le bord du convexe, on dit que l’orbivariété est strictement convexe, et si de plus il y a un unique hyperplan de support en chaque point du bord, on dit qu’elle est ronde. Suivant Cooper-Long-Tillmann et Crampon-Marquis, on dit qu’une orbivariété strictement convexe est géométriquement finie si son cœur convexe est l’union d’un compact et d’un nombre fini de bouts, appelés pointes, où le rayon d’injectivité est inférieur à une constante ne dépendant que de la dimension. Comprendre la géométrie des pointes est primordial pour l’étude des orbivariétés géométriquement finies. Dans le cas strictement convexe, la seule restriction connue sur l’holonomie des pointes vient d’une généralisation du lemme de Margulis due à Cooper-Long-Tillmann et Crampon-Marquis, qui implique que cette holonomie est virtuellement nilpotente. On donne dans cette thèse une caractérisation de l’holonomie des pointes des orbivariétés strictement convexes et des orbivariétés rondes. En généralisant la méthode de Cooper, qui a produit le seul exemple connu jusqu’ici d’une pointe de variété strictement convexe dont l’holonomie n’est pas virtuellement abélienne, on construit des pointes de variétés strictement convexes et de variétés rondes dont l’holonomie est isomorphe à n’importe quel groupe nilpotent sans torsion de type fini. En collaboration avec M. Islam et F. Zhu, on démontre que dans le cas des groupes relativement hyperboliques sans torsion, les représentations relativement P1-anosoviennes (au sens de Kapovich-Leeb, Zhu et Zhu-Zimmer) qui préservent un ouvert proprement convexe sont exactement les holonomies des variétés rondes géométriquement finies.Dans le cas des orbivariétés projectives convexes non strictement convexes, il n’y a pas pour l’instant de définition satisfaisante de la finitude géométrique. Toutefois, Cooper-Long-Tillmann puis Ballas-Cooper-Leitner ont proposé une définition de pointe généralisée dans ce contexte. Bien qu’ils demandent que l’holonomie des pointes généralisées soit virtuellement nilpotente, tous les exemples connus jusqu’à présent avaient une holonomie virtuellement abélienne. On construit des exemples de pointes généralisées dont l’holonomie peut être n’importe quel groupe nilpotent sans torsion de type fini. On s’autorise également à modifier la définition originale de Cooper-Long-Tillmann en affaiblissant l’hypothèse de nilpotence en une hypothèse naturelle de résolubilité, ce qui nous permet de construire de nouveaux exemples dont l’holonomie n’est pas virtuellement nilpotente.Une orbivariété géométriquement finie qui n’a pas de pointes, c’est-à-dire dont le cœur convexe est compact, est dite convexe cocompacte. On dispose par les travaux de Danciger-Guéritaud-Kassel d’une définition de la convexe cocompacité pour les orbivariétés projectives convexes sans hypothèse de stricte convexité, contrairement au cas géométriquement fini. Ils démontrent que l’holonomie d’une orbivariété projective convexe convexe cocompacte est Gromov hyperbolique si et seulement si la représentation associée est P1-anosovienne. À l’aide de ce résultat, de la théorie de Vinberg et des travaux d’Agol et Haglund-Wise sur les groupes hyperboliques cubulés, on construit en collaboration avec S. Douba, T. Weisman et F. Zhu des représentations P1-anosoviennes pour tout groupe hyperbolique cubulé. Ceci fournit de nouveaux exemples de groupes hyperboliques admettant des représentations anosoviennes
This thesis is devoted to the study of geometrically finite convex projective orbifolds, following work of Ballas, Cooper, Crampon, Leitner, Long, Marquis and Tillmann. A convex projective orbifold is the quotient of a bounded, convex and open subset of an affine chart of real projective space (called a properly convex domain) by a discrete group of projective transformations that preserve it. We say that a convex projective orbifold is strictly convex if there are no non-trivial segments in the boundary of the convex subset, and round if in addition there is a unique supporting hyperplane at each boundary point. Following work of Cooper-Long-Tillmann and Crampon-Marquis, we say that a strictly convex orbifold is geometrically finite if its convex core decomposes as the union of a compact subset and of finitely many ends, called cusps, all of whose points have an injectivity radius smaller than a constant depending only on the dimension. Understanding what types of cusps may occur is crucial for the study of geometrically finite orbifolds. In the strictly convex case, the only known restriction on cusp holonomies, imposed by a generalization of the celebrated Margulis lemma proven by Cooper-Long-Tillmann and Crampon-Marquis, is that the holonomy of a cusp has to be virtually nilpotent. We give a complete characterization of the holonomies of cusps of strictly convex orbifolds and of those of round orbifolds. By generalizing a method of Cooper, which gave the only previously known example of a cusp of a strictly convex manifold with non virtually abelian holonomy, we build examples of cusps of strictly convex manifolds and round manifolds whose holonomy can be any finitely generated torsion-free nilpotent group. In joint work with M. Islam and F. Zhu, we also prove that for torsion-free relatively hyperbolic groups, relative P1-Anosov representations (in the sense of Kapovich-Leeb, Zhu and Zhu-Zimmer) that preserve a properly convex domain are exactly the holonomies of geometrically finite round manifolds.In the general case of non strictly convex projective orbifolds, no satisfactory definition of geometric finiteness is known at the moment. However, Cooper-Long-Tillmann, followed by Ballas-Cooper-Leitner, introduced a notion of generalized cusps in this context. Although they only require that the holonomy be virtually nilpotent, all previously known examples had virtually abelian holonomy. We build examples of generalized cusps whose holonomy can be any finitely generated torsion-free nilpotent group. We also allow ourselves to weaken Cooper-Long-Tillmann’s original definition by assuming only that the holonomy be virtually solvable, and this enables us to construct new examples whose holonomy is not virtually nilpotent.When a geometrically finite orbifold has no cusps, i.e. when its convex core is compact, we say that the orbifold is convex cocompact. Danciger-Guéritaud-Kassel provided a good definition of convex cocompactness for convex projective orbifolds that are not necessarily strictly convex. They proved that the holonomy of a convex cocompact convex projective orbifold is Gromov hyperbolic if and only if the associated representation is P1-Anosov. Using these results, Vinberg’s theory and work of Agol and Haglund-Wise about cubulated hyperbolic groups, we construct, in collaboration with S. Douba, T. Weisman and F. Zhu, examples of P1-Anosov representations for any cubulated hyperbolic group. This gives new examples of hyperbolic groups admitting Anosov representations

L'objet de cette thèse est l'étude de certaines classes de variétés complexes compactes non kählériennes. On regarde d'abord la classe des surfaces de Kato. Étant donnés une surface de Kato minimale S, D le diviseur maximal de S formé des courbes rationnelles de S et ϖ : Š ͢ S le revêtement universel de S, on démontre que Š \ϖ-1 (D) est une variété de Stein. Les variétés LVMB sont la seconde classe de variétés non kählériennes étudiées. Ces variétés complexes sont obtenues en quotientant un ouvert U de Pn par un sous-groupe de Lie fermé G de (C*)n de dimension m. On reformule ce procédé en remplaçant U par la donnée d'un sous-éventail de celui de Pn et G par un sous-espace vectoriel de Rn convenable. On construit ensuite de nouvelles variétés complexes compactes non kählériennes en combinant une méthode due à Sankaran et celle donnant les variétés LVMB. Sankaran considère un ouvert U d'une variété torique dont le quotient par un groupe W discret est une variété compacte. Ici, on munit une certaine variété torique Y de l'action d'un sous-groupe de Lie G de (C*)n de sorte que le quotient X de Y par G soit une variété, puis on quotiente un ouvert de X par un groupe discret W analogue à celui de Sankaran.Enfin, on étudie les variétés OT, une autre classe de variétés non kählériennes, dont on démontre que leur dimension algébrique est nulle. Ces variétés sont obtenues comme quotient d'un ouvert de Cm par le produit semi-direct du réseau des entiers d'une extension de corps finie K de Q et d'un sous-groupe des unités de K bien choisi
In this thesis we study certain classes of complex compact non-Kähler manifolds. We first look at the class of Kato surfaces. Given a minimal Kato surface S, D the divisor consisting of all rational curves of S and ϖ : Š ͢ S the universal covering of S, we show that Š \ϖ-1 (D) is a Stein manifold. LVMB manifolds are the second class of non-Kähler manifolds that we study here. These complex compact manifolds are obtained as quotient of an open subset U of Pn by a closed Lie subgroup G of (C*)n of dimension m. We reformulate this procedure by replacing U by the choice of a subfan of the fan of Pn and G by a suitable vector subspace of R^{n}. We then build new complex compact non Kähler manifolds by combining a method of Sankaran and the one giving LVMB manifolds. Sankaran considers an open subset U of a toric manifold whose quotient by a discrete group W is a compact manifold. Here, we endow some toric manifold Y with the action of a Lie subgroup G of (C^{*})^{n} such that the quotient X of Y by G is a manifold, and we take the quotient of an open subset of X by a discrete group W similar to Sankaran's one.Finally, we consider OT manifolds, another class of non-Kähler manifolds, and we show that their algebraic dimension is 0. These manifolds are obtained as quotient of an open subset of C^{m} by the semi-direct product of the lattice of integers of a finite field extension K over Q and a subgroup of units of K well-chosen

On s'intéresse dans cette thèse à quelques propriétés de répartition d'ensembles dans des variétés homogènes. Nous étudions principalement deux techniques : d'abord nous exploitons des résultats de mélange adélique dûs à Clozel-Oh-Ullmo et à Gorodnik-Maucourant-Oh, pour étudier certains ensembles de matrices rationnelles dans un groupe réel compact (par exemple un groupe orthogonal d'une forme quadratique entière définie positive). On donne des conditions d'existence de matrices dont le ppcm des dénominateurs des coefficients est égal à un entier n et on montre que l'ensemble de ces matrices de « dénominateur n » , dès qu'il est non-vide, s'équirépartit vers la probabilité de Haar dans le groupe réel quand n tend vers l'infini. ensuite, nous utilisons certaines propriétés des dynamiques polynomiales - par exemple le théorème de Ratner sur la rigidité des dynamiques unipotentes dans un espace homogène. Cela nous permet de montrer des résultats d'équirépartition d'orbites d'un réseau du groupe spécial linéaire d'un corps local de caractéristique nulle dans un certain espace homogène sous ce groupe. Ensuite, nous adaptons des techniques de Dani, Margulis et G.Tomanov pour montrer un analogue S-arithmétique d'un résultat d'équirépartition dû à Shah dans le cas réel. Dans un troisième temps, nous abordons un problème un peu différent : étant donné un corps local k de caractéristique nulle, et H un sous-groupe d'indice fini des inversibles de k, nous montrons que le groupe spécial linéaire sur k de dimension n admet un sous-groupe Zariski-dense dont toutes les matrices ont leur spectre inclus dans H si et seulement si -1 est dans H ou bien n n'est pas congru à 2 modulo 4.

Pour tout entier naturel impair d, on construit un domaine fondamental pour l'action sur l'espace affine de dimension 2d+1 de certains groupes de transformations affines libres non abéliens, discrets, agissant proprement et de partie linéaire Zariski-dense dans SO(d+1, d). Pour tout groupe de Lie semisimple réel non compact G, on construit ensuite un groupe de transformations affines de son algèbre de Lie g qui est libre non abélien, discret, agit proprement sur g et a sa partie linéaire Zariski-dense dans Ad G. Enfin, on donne quelques résultats sur le comportement local des fonctions harmoniques sur le triangle de Sierpinski, plus précisément de leur restriction à un bord du triangle
For every odd positive integer d, we construct a fundamental domain for the action on the 2d+1-dimensional space of certain groups of affine transformations which are free, nonabelian, act properly discontinuously and have linear part Zariski-dense in SO(d+1,d). Next for every semisimple noncompact real Lie group G, we construct a group of affine transformations of its Lie algebra g which is free, nonabelian, acts properly discontinuously and has linear part Zariski-dense in Ad G. Finally, we give some results about the local behavior of harmonic functions on the Sierpinski triangle restricted to a side of the triangle

Dans cette thèse, nous explicitons la décomposition en irréductibles de la restriction d’une série discrète du groupe SU(2,1) à un sous-groupe exponentiel maximal et à un sous-groupe de Borel et nous interprétons nos résultats dans le cadre de la méthode des orbites, de la géométrie hamiltonienne et de la quantification "Spinc". En particulier nous vérifions que l’admissibilité, c’est à dire le fait d’être une somme directe d’irréductibles intervenant tous avec multiplicité finie, est équivalent au fait que les variétés réduites sont compactes et nous relions les multiplicités à la quantification des variétés réduites
In this thesis we decompose in irreducibles the restriction of a discrete series representation of SU(2,1) to a maximal exponential solvable or a Borel subgroup and we interpret our results in the framework of the orbit method, hamiltonian geometry and "Spinc" quantization. In particular, we check that admissibility, which means that the restriction decomposes discretely in irreducibles, each one appearing with finite multiplicity, is equivalent to the compacity of the reduced spaces and we show that the multiplicities are related to the quantization of the reduced spaces

Dans cette thèse, on étudie les sous-groupes boréliens des groupes de Lie et leur dimension de Hausdorff. Si G est un groupe de Lie nilpotent connexe, on construit dans G des sous-groupes de dimension de Hausdorff arbitraire, tandis que si G est semisimple compact, on démontre que la dimension de Hausdorff d'un sous-groupe borélien strict de G ne peut pas être arbitrairement proche de celle de G
Given a Lie group G, we investigate the possible Hausdorff dimensions for a measurable subgroup of G. If G is a connected nilpotent Lie group, we construct measurable subgroups of G having arbitrary Hausdorff dimension, whereas if G is compact semisimple, we show that a proper measurable subgroup of G cannot have Hausdorff dimension arbitrarily close to the dimension of G

La thèse comprend deux parties relativement indépendantes. La première, plus probabiliste, traite des marches aléatoires sur les groupes de Lie et en particulier des problèmes d' équirépartition des marches aléatoires après un temps très long. Le chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équirépartition des marches symétriques à support fini dans les groupes de Lie nilpotents. Au chapitre 3, on démontre un théorème limite local pour les produits de matrices aléatoires sur le groupe de Heisenberg et on obtient un équivalent probabiliste du théorème d'équirépartition de Ratner pour les marches aléatoires unipotentes dans les espaces homogènes. Le chapitre 4 est indépendant et entièrement consacré au théorème limite local sur R^d et sa vitesse de convergence. La deuxième partie, plus algébrique, traite des sous-groupes denses et libres des groupes de Lie réels et p-adiques. On démontre une version topologique de l'alternative de Tits qui affirme que tout sous-groupe de GL(n, k), pour un corps local k, admet ou bien un sous-groupe résoluble relativement ouvert, ou bien un sous-groupe libre relativement dense. On illustre ensuite ce théorème par diverses applications aux théories des groupes profinis, des actions moyennables et des feuilletages Riemanniens
This dissertation consists of two relatively independent parts. The first part, more probabilistic in nature, deals with random walks on Lie groups and especially with equidistribution properties of random walks after a very large time. Chapter 2 is devoted to the study of equidistribution of finitely supported symmetric walks on nilpotent Lie groups. In Chapter 3, we prove a local limit theorem for product of random matrices in the Heisenberg group and we obtain a probabilistic equivalent of Ratner's equidistribution theorem for unipotent random walks on homogeneous spaces. Chapter 4 is independent and entirely devoted to the local limit theorem on R^d with a study of the speed of convergence. The second part, of a more algebraic fiavor, deals with dense free subgroups of real and p-adic Lie groups. We show a topological version of Tits' alternative asserting that any subgroup of GL(n. K), where k is a local field, contains either a relatively open solvable subgroup, or a relatively dense free subgroup. We then provide several applications of this theorem to the theory of profinite groups, of amenable actions and of Riemannian foliations

Dans ce mémoire, on présente un espace de la géométrie hyperbolique, le bidisque. On y parle de la géométrie du bidisque et pour ce faire on expose en détail la géométrie du plan hyperbolique. Ensuite, on présente les groupes d’isométries du bidisque pour lesquels on décrit les groupes d’isométrie du plan hyperbolique. Enfin, on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que des sous-groupes cycliques d’isométries du bidisque soient discrets.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux sous-groupes profinis et pro-p d'un groupe algébrique linéaire connexe défini sur un corps local. Dans le premier chapitre, on résume brièvement la théorie de Bruhat-Tits et on introduit les notations nécessaires à ce travail. Dans le second chapitre, on trouve des conditions équivalentes à l'existence de sous-groupes compacts maximaux d'un groupe algébrique linéaire G connexe quelconque défini sur un corps local K. Dans le troisième chapitre, on obtient un théorème de conjugaison des sous-groupes pro-p maximaux de G(K) lorsque G est réductif. On décrit ces sous-groupes, de plus en plus précisément, en supposant successivement que G est semi-simple, puis simplement connexe, puis quasi-déployé. Dans le quatrième chapitre, on s'intéresse aux présentations d'un sous-groupe pro-p maximal du groupe des points rationnels d'un groupe algébrique G semi-simple simplement connexe quasi-déployé défini sur un corps local K. Plus spécifiquement, on calcule le nombre minimal de générateurs topologiques d'un sous-groupe pro-p maximal. On obtient une formule linéaire en le rang d'un certain système de racines, qui dépend de la ramification de l'extension minimale L=K déployant G, explicitant ainsi les contributions de la théorie de Lie et de l'arithmétique du corps de base
In this thesis, we are interested in the profinite and pro-p subgroups of a connected linear algebraic group defined over a local field. In the first chapter, we briefly summarize the Bruhat-Tits theory and introduce the notations necessary for this work. In the second chapter we find conditions equivalent to the existence of maximal compact subgroups of any connected linear algebraic group G defined over a local field K. In the third chapter, we obtain a conjugacy theorem of the maximal pro-p subgroups of G(K) when G is reductive. We describe these subgroups, more and more precisely, assuming successively that G is semi-simple, then simply connected, then quasi-split in addition. In the fourth chapter, we are interested in the pro-p presentations of a maximal pro-p subgroup of the group of rational points of a quasi-split semi-simple algebraic group G defined over a local field K. More specifically, we compute the minimum number of generators of a maximal pro-p subgroup. We obtain a formula which is linear in the rank of a certain root system, which depends on the ramification of the minimal extension L=K which splits G, thus making explicit the contributions of the Lie theory and of the arithmetic of the base field

L'objet de cette thèse est l'étude de sous-groupes discrets de
$PU(2,1)$, groupe des isométries holomorphes de l'espace hyperbolique complexe de dimension (complexe) 2. On s'intéresse en particulier aux groupes engendrés par des transformations elliptiques, i.e. ayant un point fixe dans cet espace.

Les deux fils conducteurs de ce travail sont d'une part l'utilisation des sous-espaces lagrangiens (ou plans réels) ainsi que des réflexions associées (des involutions antiholomorphes), et de l'autre
l'étude et la compréhension des exemples de réseaux de $PU(2,1)$
construits par Mostow en 1980.

Dans la première partie, nous considérons une classe de groupes, appelés groupes de Ping-Pong sur l'espace projectif de Rd, dont nous établissons quelques propriétés utiles. Nous étudions ensuites les opérateurs de transfert associés à ces groupes, ce qui permet de préciser le comportement asymptotique de leur fonction orbitale. Dans la deuxième partie, nous tudions la répartition asymptotique de l'orbite d'un point de l'espace symétrique riemannien X associé à SL(d,R) sous l'action d'un sous-groupe discret G. Pour ce faire, nous introduisons et étudions une mesure de Radon, dite de Patterson-Sullivan, invariante par le flot des chambres de Weyl. Cette étude nous permet de décrire la fonction orbitale de deux classes importantes de sous-groupes discrets de SL(d,R), à savoir les réseaux et les groupes de Ping-Pong sur l'espace des drapeaux de Rd
In the first part, we consider a class of groups, called Ping-Pong groups on the projective space of Rd, and we prove a few properties of these groups. Then, we study the transfert operators that we associate to these groups. We deduce the asymptotic behaviour of the orbital function. In the second part, we study the asymptotic repartition of the orbit of a group in a symmetric space of SL(d,R). We introduce and study a Radon's measure, invariant with respect to the Weyl chambers' flow. We deduce the asymptotic behaviour of the orbital function of the lattices of SL(d,R) and the Ping-Pong groups of the flag space of Rd

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude des représentations de groupes fondamentaux de surfaces dans le groupe des isométries holomorphes du plan hyperbolique complexe. Le premier chapitre est consacré à des rappels classiques de géométrie hyperbolique complexe. Dans le deuxième chapitre, nous construisons des exemples de sous-groupes discrets du groupe des isométries holomorphes du plan hyperbolique complexe, engendrés par des réflexions complexes. Ces exemples nous permettent d'obtenir dans le troisième chapitre de nouvelles représentations discrètes et fidèles de groupes fondamentaux de surfaces dont nous calculons leur invariant de Toledo en trouvant une primitive de la forme de Kähler du plan hyperbolique complexe. Dans le quatrième chapitre, nous construisons une sous-variété de dimension 8g-8 ou 4g-4 de l'espace de Teichmüller des représentations irréductibles du groupe fondamental de la surface de genre g. Dans le dernier chapitre, nous donnons le premier exemple de représentation irréductible en genre 5 dont l'invariant de Toledo est fractionnaire.

Dans la première partie nous présentons l'algèbre de Weyl et nos résultats en ce qui concerne ses sous-algèbres de Lie de dimension finie. La deuxième partie est consacrée à une structure algébrique plus exotique, l'algèbre de Lie d'ordre 3. Nous posons les bases d'une théorie des déformations et contractions de ces structures algébriques. Nous choisissons après une telle algèbre de Lie d'ordre 3 qui étend d'une manière non-triviale, différente de la supersymétrie, l'algébre de Poincaré. Nous nous intéressons à la construction d'un modèle de théories des champs (la supersymétrie cubique ou la 3SUSY) basée sur cette algèbre. Dans ce but nous obtenons des multiplets bosoniques avec lesquels nous construisons des Lagrangiens invariants. Nous étudions la compatibilité entre cette nouvelle symétrie et la symétrie de jauge abelienne. L'analyse des termes d'interactions possible montre que ceux-ci ne sont pas permis par la 3SUSY. Finalement nous établirons les résultats de l'extension en dimension arbitraire de notre modèle
In the first part we present the Weyl algebra and our results concerning its finite-dimensional Lie subalgebras. The second part is devoted to a more exotic algebraic structure, the Lie algebra of order 3. We set the basis of a theory of deformations and contractions of these algebraic structures. We then concentrate on a particular such Lie algebra of order 3 which extends in a non-trivial way the Poincaré algebra, this extension being different of the supersymmetric extension. We then focus on the construction of a field theoretical model based on this algebra, the cubic supersymetry (3SUSY). For this purpose we obtain bosonic multiplets with whom we construct invariant Lagrangians. We then study the compatibility between this new symmetry and the abelian gauge symmetry. Furthermore, the analyse of possible interactions shows that interactions terms are not allowed by the 3SUSY invariance. Finally we establish results regarding the extension in arbitrary dimensions of our model

L’objet de cette thèse est l’étude de l’existence d’une quantification pour les sous-algèbres de Lie coisotropes des bigèbres de Lie. Une sous-algèbre de Lie coisotrope d’une bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications d’une sous-algèbre de Lie coisotrope fut posé par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité établi par N. Ciccoli et F. Gavarini. Dans cette thèse, nous cherchons à résoudre ce problème de quantification dans différents cadres. Premièrement, nous montrons qu’une quantification existe dans le cadre des bigèbres de Lie simple. Nous trouvons une quantification aux sous-algèbres de Lie coisotropes construites par M. Zambon. Puis nous établissons un lien entre ces quantifications et une classification des sous- algèbres coidéales à droite établie par I. Heckenberger et S. Kolb. Deuxièmement, nous trouvons une obstruction à la quantification universelle en utilisant une quantification d’ordre trois construite par V. Drinfeld. Nous montrons que cette obstruction disparait dans les exemples étudiés précédemment. Finalement, nous généralisons un résultat établi par P. Etingof et D. Kazhdan sur la quantification d’espaces de Poisson homogènes, liés aux sous-algèbres Lagrangiennes du double de Drinfeld
The aim of this thesis is the study of quantization of coisotropic Lie subalgebras of Lie bialgebras.A coisotropic Lie subalgebra of a Lie bialgebra is a Lie subalgebra which is also a Lie coideal. The problem of quantization of coisotropic Lie subalgebra was set forth by V. Drinfeld, in his study of quantization of Poisson homogeneous spaces G/C. These problems are closely related to the duality principle established by N. Ciccoli and F. Gavarini.In this thesis, we search for an answer to this quantization problem in different settings. Firstly, we show that a quantization exists for simple Lie bialgebras by constructing a quantization of examples provided by M. Zambon. We then establish a link between the quantization which we constructed and a classification of subalgebras right coideals established by I. Heckenberger and S. Kolb. Secondly, we find an obstruction to the quantization in the universal setting by using a third-order quantization constructed by V. Drinfeld. We show that this obstruction vanishes in the examples studied earlier. Finally, we generalize a result of P. Etingof and D. Kazhdan on the quantization of poisson homogeneous spaces, linked to Lagrangian Lie subalgebras of Drinfeld's double

Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une.De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass.

Nous étudions la propriété RD en terme de décroissance de coefficients matriciels de représentations unitaires. Nous nous concentrons en particulier sur des représentations provenant de l'action des groupes de Lie et de groupes discrets sur un "bord" approprié. Ces actions produisent des rerésentations unitaires à normalisation prés. Nous utilisons des techniques d'analyse harmonique et de théorie ergodique pour amorcer une nouvelle approche de la conjecture de Valette
We study property RD in terms of decay of matrix coefficients for unitary representations. We focus our attention on unitary representations arising from action of Lie groups and discrete groups of isometries of a CAT(-1) space on their appropriate boundary. We use some techniques of harmonic analysis, and ergodic theory to start a new approach of Valette's conjecture

Soit G un groupe de Lie résoluble connexe et H un de ses sous-groupes fermés connexes d'algèbres de Lie g et h respectivement. On note g* (resp. h*) le dual linéaire de g (resp. h) ). Le sujet de ma thèse consiste à étudier la restriction d'une série discrète π de G, associée à une orbite coadjointe Ω C g*, à H. Si la restriction de π à H se décompose en somme directe de représentations de H avec multiplicités finies, on dit que π est H-admissible. Notons Pg,n : Ω → h* l'application restriction. Il s'agit de démontrer la conjecture suivante due à Michel Duflo : 1. La représentation π est H-admissible si et seulement si l'application moment Pg,n est propre sur l'image. 2. Si π est H-admissible, et si T est une série discrète de H alors sa multiplicité dans la restriction de π à H doit pouvoir se calculer en « quantifiant » l'espace réduit correspondant (qui est compact dans ce cas). Dans cette thèse, nous apportons une réponse positive à cette conjecture dans deux situations, à savoir :(i) Le groupe G est résoluble exponentiel. (ii) Le groupe G est le produit semi direct d'un tore compact par le groupe de Heisenberg et H est un sous-groupe algébrique connexe
Let G be a connected solvable Lie group and H a closed connected subgroup with Lie algebra g and h respectively. We denote g* (resp. h*) the dual of g (resp. h). The aim of my thesis is to study the restriction of a discrete series π of G, associated with a coadjoint orbit Ω C g* to H. If the restriction of π to H can be decomposed in to a direct sum of representations of H with finite multiplicities, we say that π is H-admissible. Let Pg,n : Ω → h* denote the restriction map. My objective is to show the following conjecture due to Michel Duflo : 1. The representation π i s H-admissible if and only if the moment application Pg,n is proper on the image. 2. If π is H-admissible, and if T is a discrete series of H then it s multiplicity in the restriction of π to H must be calculated by « quantifying » the corresponding reduced space (that is compact in this case). In this thesis, we provide a positive response to this conjecture in two situations, namely when: (i) G is exponential solvable Lie group. (ii) G is the semi direct product of a compact torus and the Heisenberg group and H is a connected algebraic subgroup

Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie).Soit $\Gamma$ un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret $\Delta=I-P$, où $P$ est un opérateur de Markov.Sous des hypothèses géométriques convenables sur $\Gamma$, nous montrons la continuité $L^p$ de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy $H^1$ de fonctions et de $1$-formes différentielles sur $\Gamma$, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de $\Gamma$. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur $H^1$. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur $P$, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur $L^p$ pour $10$, $1\leq p\leq+\infty$ et $1\leq q\leq +\infty$. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules
This thesis is devoted to results in real harmonic analysis in discrete (graphs) or continuous (Lie groups) geometric contexts.Let $\Gamma$ be a graph (a set of vertices and edges) equipped with a discrete laplacian $\Delta=I-P$, where $P$ is a Markov operator.Under suitable geometric assumptions on $\Gamma$, we show the $L^p$ boundedness of fractional Littlewood-Paley functionals. We introduce $H^1$ Hardy spaces of functions and of $1$-differential forms on $\Gamma$, giving several characterizations of these spaces, only assuming the doubling property for the volumes of balls in $\Gamma$. As a consequence, we derive the $H^1$ boundedness of the Riesz transform. Assuming furthermore pointwise upper bounds for the kernel (Gaussian of subgaussian upper bounds) on the iterates of the kernel of $P$, we also establish the $L^p$ boundedness of the Riesz transform for $10$, $1\leq p\leq+\infty$ and $1\leq q\leq +\infty$.These results hold for polynomial as well as for exponential volume growth of balls

Dans ma thèse, je me suis intéressé à l'étude des sous-groupes discrets $\G$ de $\s$ (resp. de $ßs^{\pm}_{4}(\R)$) qui préservent un ouvert proprement convexe $\O$ de l'espace projectif réel $\P(\R)$ (resp. $\PP^3(\R)$). En dimension 2, j'ai caractérisé le fait que la surface quotient $\Quo$ est de volume fini de différentes façons, notamment à l'aide l'holonomie des pointes de la surface $S$, ou de l'ensemble limite du groupe $\G$. Cette étude m'a permis de montrer que lorsque le quotient $\Quo$ est de volume fini, alors l'ouvert proprement convexe $\O$ est strictement convexe et son bord $\partial \O$ est $C^1$. Enfin, j'ai montré que l'espace des modules des structures projectives proprement convexes de volume fini, sur une surface (de caractéristique d'Euler strictement négative) de genre $g$ et à $p$ pointes est homéomorphe à une boule de dimension $16g-16+6p$. En dimension 3, je me suis intéressé à l'espace des modules des structures projectives proprement convexes sur les 3-orbifolds de Coxeter compact. J'ai dû faire une hypothèse sur la forme de l'orbifold pour montrer que l'espace des modules est une réunion de $n$ boules de dimension $d$, où les entiers $n$ et $d$ se calculent à l'aide de la combinatoire de l'orbifold.

Dans le cadre du développement des énergies renouvelables, les activités offshores liées aux parcs éoliens ont grandement augmenté en nombre. Ainsi les coûts de maintenance et de surveillance de telles structures aussi bien en hommes qu'en moyens se sont accrus et cette tendance s'amplifiera sûrement au cours des prochaines années. Ceci a encouragé le développement des véhicules sous-marins autonomes (AUV). Ceux-ci sont encore très coûteux du fait des capteurs onéreux qu'ils embarquent. Ils sont donc encore rares, ce qui ne suffit pas à combler les actuels besoins. Ainsi le développement d'AUVs à bas-coût est un sujet de recherche en forte croissance. C'est dans ce champ de recherche que cette thèse vient s'inscrire. Un des problèmes principaux rencontré en robotique sous-marine est la localisation de l'engin. C'est la résolution de celui-ci qui nous servira d’objectif tout au long de ce travail. Pour ce faire, une nouvelle méthode d'intégration garantie, robuste aux incertitudes sur les conditions initiales est présentées dans ce manuscrit. Celle-ci se base sur l'utilisation des symétries de Lie appliquées aux équations différentielles. Nous la présenterons en premier lieu sur un problème théorique simple avant de l’appliquer sur le problème de localisation d’un robot sous-marin
With the development of offshore activities, the costs of maintenance and monitoring of offshore plants in terms of crew members, boats, and money have greatly increased and are still growing dramatically. This encouraged the development of autonomous underwater vehicles (AUV). These are still very expensive because of the numerous high-end sensors they need to embark on to accomplish their missions. Thus their number is relatively low. Therefore research is made to develop low-cost AUVs that could be produced in a larger amount to perform the same missions. This thesis comes within the scope of this research field. One of the main problems when dealing with AUVs is the localisation of the vehicle which will be the one addressed throughout this work. To tackle it, we present a new guaranteed integration method, which is more robust to the uncertainties on the initial condition than the ones currently available, based on Lie symmetries. This method is first presented through different simple theoretical examples. We then apply it to a localisation problem in a robotic context

Soit G un groupe de Lie connexe. On montre qu'une structure complexe sur l'espace total TG du fibré tangent de G, invariante à gauche, et telle qu'une G-orbite quelconque par rapport à translation à gauche soit totalement réelle, est induite par une immersion lisse de TG dans le complexifié de G. Pour G compact et connexe, on caractérise ensuite les structures complexes invariantes à gauche et également les structures complexes biinvariantes sur l'espace total T*G du fibré cotangent de G qui, combinées avec la structure symplectique tautologique, munissent T*G d'une structure kählérienne. On étudie enfin les courbures de Ricci de ces structures kählériennes
Let G be a connected Lie group. We show that every complex structure on the total space TG of the tangent bundle of G which is left invariant and such that an orbit with respect to the left translation action is totally real, is induced by a smooth immersion of TG into the complexifixed group of G. For G compact and connected, we also characterize the right invariant complex structures and the biinvariant complex structures on the total space T*G of the cotangent bundle of G which, combined with the tautological symplectic structure, endow T*G with a Kaehler structure. Finally, we study the Ricci curvature of these Kaehler structures

Nous étudions deux problèmes différents qui ont leur origine dans la théorie du contrôle géométrique. Le Problème I consiste à étendre le concept du groupe d'holonomie horizontale sur une variété affine. Plus précisément, nous considérons une variété connexe lisse de dimension finie M, une connexion affine ∇ avec le groupe d'holonomie H∇ et une distribution lisse ∆ complètement non intégrable. Dans un premier temps, nous définissons le groupe d'holonomie ∆-horizontale H∆∇ comme le sous-groupe de H∇ obtenu par le transport parallèle le long des lacets tangents à ∆. Nous donnons les propriétés élémentaires de H∆∇ et ensuite nous faisons une étude détaillée en utilisant le formalisme de roulement. Il est montré en particulier que H∆∇ est un groupe de Lie. Dans un second temps, nous avons étudié un exemple explicite où M est un groupe de Carnot libre d'ordre 2 avec m ≥ 2 générateurs, et ∇ est la connexion de Levi-Civita associé à une métrique riemannienne sur M. Nous avons montré dans ce cas particulier que H∆∇ est compact et strictement inclus dans H∇ dès que m≥3. Le Problème II étudie la modélisation du problème du solveur d'esquisse. Ce problème est une des étapes d'un logiciel de CFAO. Notre but est d'arriver à une modélisation mathématique bien fondée et systématique du problème du solveur d'esquisse. Il s'agira ensuite de comprendre la convergence de l'algorithme, d'en améliorer les résultats et d'en étendre les fonctionnalités. L'idée directrice de l'algorithme est de remplacer tout d'abord les points de l'espace des sphères par des déplacements (éléments du groupe) et puis d'utiliser une méthode de Newton sur les groupes de Lie ainsi obtenus. Dans cette thèse, nous avons classifié les groupes de déplacements possibles en utilisant la théorie des groupes de Lie. En particulier, nous avons distingué trois ensembles, chaque ensemble contenant un type d'objet: le premier est l'ensemble des points, noté Points , le deuxième est l'ensemble des droites, noté Droites, et le troisième est l'ensemble des cercles et des droites, que nous notons ∧. Pour chaque type d'objet nous avons étudié tous les groupes de déplacements possibles, selon les propriétés souhaitées. Nous proposons finalement d'utiliser les groupes de déplacements suivant: pour le déplacement des points, le groupe des translations, qui agit transitivement sur Points ; pour les droites, le groupe des translations et rotations, qui est de dimension 3 et agit transitivement (globalement mais pas localement) sur Droites ; sur les droites et cercles, le groupe des anti-translations, rotations et dilatations qui est de dimension 4 et agit transitivement (globalement mais pas localement) sur ∧
We study two problems arising from geometric control theory. The Problem I consists of extending the concept of horizontal holonomy group for affine manifolds. More precisely, we consider a smooth connected finite-dimensional manifold M, an affine connection ∇ with holonomy group H∇ and ∆ a smooth completely non integrable distribution. We define the ∆-horizontal holonomy group H∆∇ as the subgroup of H∇ obtained by ∇-parallel transporting frames only along loops tangent to ∆. We first set elementary properties of H∆∇ and show how to study it using the rolling formalism. In particular, it is shown that H∆∇ is a Lie group. Moreover, we study an explicit example where M is a free step-two homogeneous Carnot group with m≥2 generators, and ∇ is the Levi-Civita connection associated to a Riemannian metric on M, and show in this particular case that H∆∇ is compact and strictly included in H∇ as soon as m≥3. The Problem II is studying the modeling of the problem of solver sketch. This problem is one of the steps of a CAD/CAM software. Our goal is to achieve a well founded mathematical modeling and systematic the problem of solver sketch. The next step is to understand the convergence of the algorithm, to improve the results and to expand the functionality. The main idea of the algorithm is to replace first the points of the space of spheres by displacements (elements of the group) and then use a Newton's method on Lie groups obtained. In this thesis, we classified the possible displacements of the groups using the theory of Lie groups. In particular, we distinguished three sets, each set containing an object type: the first one is the set of points, denoted Points, the second is the set of lines, denoted Lines, and the third is the set of circles and lines, we note that ∧. For each type of object, we investigated all the possible movements of groups, depending on the desired properties. Finally, we propose to use the following displacement of groups for the displacement of points, the group of translations, which acts transitively on Lines ; for the lines, the group of translations and rotations, which is 3-dimensional and acts transitively (globally but not locally) on Lines ; on lines and circles, the group of anti-translations, rotations and dilations which has dimension 4 and acts transitively (globally but not locally) on ∧

L'objet de cette thèse est l'étude de deux exemples d'action d'un groupe sur un espace homogène et de leur dynamique topologique. Chacune de ces actions est conjuguée à un flot sur une fibration sur un espace localement symétrique. Le premier chapitre est consacré à des généralités sur les espaces hyperboliques, leur produit et leur groupe d'isométries. Dans le second chapitre, nous étudions l'action du groupe unipotent supérieur sur le quotient du groupe projectif unimodulaire complexe $2\times2$ par un sous-groupe discret. Cette action est conjuguée à un flot des repères orthonormés directs de l'espace tangent d'une variété hyperbolique de dimension $3$. Nous caractérisons les orbites denses et les orbites fermées et obtenons ainsi une caractérisation dynamique de certaines catégories de groupes kleiniens (géométriquement finis, convexe-cocompacts, réseaux). Nous considérons, dans le troisième chapitre, le produit de deux groupes projectifs unimodulaires réels $2\times2$ et nous étudions l'action du produit des sous-groupes diagonaux sur les quotients de mesure finie. Lorsqu'un tel quotient est irréductible, une conjecture de Margulis affirme que les orbites sont alors denses ou fermées. Nous caractérisons les orbites fermées et nous exhibons certains points de la frontière de Furstenberg du bi-disque donnant lieu à des orbites denses. Dans le quatrième chapitre, nous relions, pour les réseaux de Hilbert, la conjecture précédente à l'approximation diophantienne des couples de réels par les éléments d'un corps réel quadratique.

Ce mémoire s'organise autour de deux cadres d'étude : d'une part, celui des espaces symétriques riemanniens non compacts X = G/K, pour lesquels nous prouvons un encadrement optimal et global en les variables d'espace et de temps, du noyau de la chaleur associé à l'opérateur de Laplace-Beltrami L ; d'autre part, dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, nous montrons que tous les sous-laplaciens sur G qui induisent l'action de L sur X = G/K présentent des analogies avec L vis-à-vis de l'équation de la chaleur : le bas de leur spectre L^2 est le même, les distances de Carnot-Carathéodory associées sont comparables à la métrique riemannienne sur X et, surtout, les noyaux de la chaleur sont tous comparables (en temps grand) au noyau de la chaleur sur X. Nous en déduisons en particulier des encadrements très précis des noyaux de la chaleur dans ce cadre, ainsi que des fonctions de Green correspondantes.

Les symétries sont des transformations continues qui agissent sur les variables du système physique. Propriétés des équations différentielles qui gouvernent le système, elles conservent l'ensemble des solutions des équations, puisque sous l'action de telles transformations les équations s'écrivent à l'identique. Les symétries sont décrites par la théorie des groupes de Lie, qui fournit des outils incontournables dans l'analyse des équations différentielles. Elles permettent le calcul des solutions auto-similaires et de modèles invariants. Par ailleurs, lorsque le système différentiel dérive d'un Lagrangien, le théorème de Noether établit que toute symétrie de l'action d'un système physique est liée à une loi de conservation. Dans la première partie, nous introduisons la notion de symétrie, puis nous présentons quelques exemples d'application des techniques de symétrie de Lie. Ils montrent l'importance de ces propriétés dans la prédiction et la compréhension des phénomènes physiques. Dans la seconde partie, nous discutons de l'extension des techniques de symétries de Lie aux schémas numériques. Puis nous appliquons ces techniques à des schémas standard pour la résolution de l'équation de Burgers. La construction de méthodes numériques qui héritent des symétries d'équations différentielles est un thème récent, et fait partie du domaine de l'analyse numérique appelé intégration géométrique. Dans la troisième partie, nous mettons en oeuvre deux méthodes invariantes (une basée sur les équations équivalentes associées et une autre sur une extension discrète des symétries, avec maillage invariant adapté) pour la résolution d'équations unidimensionnelles de la mécanique des fluides

A travers la conception de robots porte-sonde ultrasonore pour une application médicale de télééchographie mobile, une étude de conception de structures cinématiques à modules sphériques optimisés est proposée. Le geste médical pendant l'examen d'échographie est analysé ; les résultats sont utilisés pour la définition du cahier des charges concernant la structure cinématique du robot. Une étude de synthèse basée sur les groupes de Lie des déplacements d'un corps rigide est effectuée pour établir un ensemble de mécanismes candidats pour le module de positionnement de translation plane et le module sphérique d'orientation constituant ce robot médical. Une optimisation multicritères sous contraintes est proposée pour les structures sphériques et appliquée sur trois structures : série, parallèle et hybride. La performance cinématique, le volume de l'espace de travail ainsi que des indices exprimant la compacité et la légèreté de la structure interviennent dans l'optimisation. La parcourabilité des structures cinématiques optimisées est étudiée. Les structures cinématiques des robots porte-sonde utilisés dans le système « Otelo » sont présentées.

Ce mémoire présente un point de vue basé sur la théorie des algèbres de Jordan pour faire une étude analytique, géométrique et topologique de certains espaces homogènes : espaces hermitiens symétriques, leurs frontières de Shilov et espaces symétriques causaux de type Cayley.
En particulier, nous passons en revue des résultats sur l'indice de Maslov, de Souriau et d'Arnold-Leray. Nous étudions aussi certaines propriétés de contractions et de compressions de ces espaces.
Le prolongement de la série discrète holomorphe est une partie importante du programme de Gelfand-Gindikin. Dans ce contexte, nous étudions les espaces de Hardy des fonctions holomorphes sur certains domaines Stein. Nous donnons en particulier le lien qui existe entre ces espaces de Hardy et les espaces de Hardy classiques des fonctions holomorphes sur les espaces hermitiens symétriques.
En dernier lieu, nous étudions la conjecture de Helgason pour la frontière de Shilov des espaces hermitiens symétriques. Plus précisément, nous caractérisons l'image par de la transformation de Poisson des hyperfonctions et des fonctions $L^p$ sur la frontière de Shilov.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres.
In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.

Plusieurs familles de fonctions spéciales de plusieurs variables, appelées fonctions d'orbites, sont définies dans le contexte des groupes de Weyl de groupes de Lie simples compacts/d'algèbres de Lie simples. Ces fonctions sont étudiées depuis près d'un siècle en raison de leur lien avec les caractères des représentations irréductibles des algèbres de Lie simples, mais également de par leurs symétries et orthogonalités. Nous sommes principalement intéressés par la description des relations d'orthogonalité discrète et des transformations discrètes correspondantes, transformations qui permettent l'utilisation des fonctions d'orbites dans le traitement de données multidimensionnelles. Cette description est donnée pour les groupes de Weyl dont les racines ont deux longueurs différentes, en particulier pour les groupes de rang $2$ dans le cas des fonctions d'orbites du type $E$ et pour les groupes de rang $3$ dans le cas de toutes les autres fonctions d'orbites.
Several families of multivariable special functions, called orbit functions, are defined in the context of Weyl groups of compact simple Lie groups/Lie algebras. These functions have been studied for almost a century now because of their relation to characters of irreducible representations of Lie algebras, their symmetries and orthogonalities. Our main interest is the description of discrete orthogonality relations and their corresponding discrete transforms which allow the applications of orbit functions in the processing of multidimensional data. This description is provided for the Weyl group of different lengths of root, in particular groups of rank 2 for so-called $E-$orbit functions and of rank 3 for all the other families of special functions.