Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Semi-Groupes d'évolution“

Dans cette thèse, nous considérons un modèle Euler-Maxwell linéarisé de propagation et d'absorption des ondes électromagnétiques dans un plasma magnétique. Deux types de conditions aux limites sont envisagées : conducteur parfait sur toute la frontière et Silver-Müller homogène ou non sur une partie de celle-ci. D'abord, j'établis les équations du modèle et je montre sa bonne position par la théorie des semi-groupes. Ensuite, je m'intéresse à la stabilisation du modèle. Dans un premier temps, je réalise une étude sur le comportement asymptotique en temps long de la solution. Je montre qu'elle décroît vers zéro sous certaines hypothèses physiquement raisonnables. Je conclus à sa convergence vers un état stationnaire non nul dans un espace d'énergie plus grand. Cet état stationnaire est lié aux propriétés de topologie du domaine, et s'exprime en fonction des données initiales. Dans un second temps, j'étudie la décroissance de l'énergie en utilisant la méthode du domaine fréquentiel. J'établis une décroissance polynomiale pour les deux conditions aux limites. Je démontre également un résultat conditionnel de décroissance exponentielle dans le cas Silver-Müller homogène. Dans le cas du conducteur parfait, nous montrons que le système Euler-Maxwell n'est pas exponentiellement stable. Nous concluons par un résultat de convergence vers le régime harmonique en temps en présence d'un forçage harmonique. Parmi les principales difficultés rencontrées, la résolvante de l'opérateur d'évolution est non compacte et l'absorption interne agit seulement sur les variables fluides. Aucune hypothèse d'homogénéité n'est faite, et les hypothèses topologiques et géométriques sur le domaine sont minimales. Ces résultats semblent fortement liés aux propriétés spectrales de diverses matrices décrivant l'anisotropie et d'autres propriétés du plasma. Enfin, nous donnons une extension de ces résultats à un problème d'interface vide-plasma
In this thesis, we consider a linearized Euler-Maxwell model for the propagation and absorption of electromagnetic waves in a magnetized plasma. Two types of boundary conditions are considered: perfectly conducting on the whole boundary and Silver-Müller, homogeneous or not, on part of it. First, I establish the equations of the model and show its well-posedness by the theory of semigroups. Then, I am interested in the stabilization of the model. First, I carry out a study on the long- term asymptotic behavior of the solution. I show that it decreases towards zero under certain physically reasonable assumptions. I conclude that it converges to a non-zero stationary state in a larger energy space. This stationary state is linked to the topology properties of the domain, and is expressed as a function of the initial data. Secondly, I study the energy decay rate by using the frequency domain method. I establish a polynomial decay for both boundary conditions. I also prove a conditional exponential decay result in the homogeneous Silver-Müller case. In the perfectly conducting case, we show that the Euler-Maxwell system is not exponentially stable. We conclude by a result of convergence towards the time-harmonic regime in the presence of a harmonic forcing. Among the main difficulties encountered, the resolvent of the evolution operator is not compact and the internal absorption acts only on the fluid variables. No homogeneity assumption is made, and the topological and geometrical assumptions on the domain are minimal. These results appear strongly linked to the spectral properties of various matrices describing the anisotropy and other plasma properties. Finally, we extend those results to the case of a vacuum-plasma interface problem

Cette thèse porte sur les équations d'évolution et s'articule autour de trois parties. Dans la première partie, on se propose de se concentrer sur le critère oscillatoire de certaines équations différentielles. Des résultats classiques sur les fonctions presque-périodiques sont rassemblés dans le premier chapitre. Le deuxième chapitre de cette thèse a pour objectif de prouver l'existence d'une solution presque-périodique de Besicovitch d'une équation différentielle de second ordre sur un espace de Hilbert. L'approche utilisée se base sur un formalisme variationnel. La deuxième partie de cette thèse traite le comportement asymptotique des problèmes de Cauchy dans le cas non autonome. Les semi-groupes et les familles d'évolution étant les outils principaux utilisés dans cette partie, le troisième chapitre introduit des résultats importants de cette théorie, notamment ceux permettant de caractériser la stabilité des semi-groupes et des familles d'évolution périodiques. Dans le quatrième chapitre de cette contribution, on prouve, en utilisant une approche basée sur les semi-groupes, un résultat liant la bornitude de solutions de problèmes de Cauchy périodiques et la stabilité exponentielle uniforme des familles d'évolution issues de ces problèmes. Dans une troisième partie, on focalise l'attention sur quelques résultats sur la dichotomie exponentielle comme une propriété liée au comportement asymptotique des systèmes différentiels. Quelques résultats connus sont, par suite, réunis au cinquième chapitre qui introduit brièvement la notion de dichotomie exponentielle. Dans un dernier chapitre, une caractérisation de la dichotomie exponentielle d'une famille d'évolution en termes de bornitude des solutions de problèmes de Cauchy opératoriels correspondants sera démontrée.