Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Poitou-Tate duality“

We extend the classical duality results of Poitou and Tate for finite discrete Galois modules over local and global fields (local duality, nine-term exact sequence, etc.) to all affine commutative group schemes of finite type, building on the recent work of Česnavičius (“Poitou-Tate without restrictions on the order,” 2015) extending these results to all finite commutative group schemes. We concentrate mainly on the more difficult function field setting, giving some remarks about the number field case along the way.

Dans cette thèse, nous étudions de divers problèmes arithmétiques, notamment l'existence de points rationnels et l'approximation faible sur certaines variétés sur des corps de nombres et leurs analogues géométriques.Après le premier chapitre d'introduction, nous présentons dans le deuxième chapitre quelques résultats obtenus par des calculs cocycliques en cohomologie galoisienne (abélienne ou non abélienne). Nous considérons d'abord une formule de Borovoi-Demarche-Harari pour le groupe de Brauer algébrique non ramifié d'espaces homogènes. Nous établissons ensuite le principe de Hasse et l'approximation faible pour une classe d'espaces homogènes de SLn sur un corps de nombres, à stabilisateurs géométriques finis nilpotents de classe 2, construits par Borovoi et Kunyavskii. Il s'agit d'un petit pas de plus vers une conjecture de Colliot-Thélène sur l'obstruction de Brauer-Manin pour les variétés rationnellement connexes.Le troisième chapitre est consacré à une conjecture récemment formulée par Wittenberg, qui concerne la théorie de la descente (une méthode qui a été initialement développée par Colliot-Thélène et Sansuc). Nous démontrons cette conjecture pour les torseurs sous un groupe algébrique linéaire connexe, généralisant un résultat antérieur de descente d'Harpaz et Wittenberg pour les torseurs sous un tore. Nous le faisons en adaptant leur technique avec la machinerie d'abélianisation de cohomologie galoisienne non abélienne à la Borovoi. Nous allons également prouver une version de cette « conjecture de descente » dans le contexte des zéro-cycles.Dans le dernier chapitre, nous suivons les travaux de Harari-Scheiderer-Szamuely, Izquierdo et Tian, en étudiant le principe local-global et l'approximation faible sur les corps de fonctions p-adiques. Sur ces corps, qui sont des corps de dimension cohomologique 3, il existe un analogue de dimension supérieure de l'obstruction de Brauer-Manin, qui repose sur la loi de réciprocité de Weil généralisée. Nous appliquons ici les théorèmes de dualité de type Poitou-Tate pour obtenir des résultats arithmétiques pour certains espaces homogènes. Nous y considérons également quelques corps de fonctions de dimension cohomologique supérieure à 3
In this thesis, we study various arithmetic problems, notably the existence of rational points and weak approximation on certain varieties over number fields and their geometric analogues.After the first introductory chapter, we present in the second one some results obtained by computations with (abelian or nonabelian) Galois cocycles. First, we consider a formula of Borovoi-Demarche-Harari for the unramified algebraic Brauer group of homogeneous spaces. Then, we establish the Hasse principle and weak approximation for a class of homogeneous spaces of SLn over number fields, whose geometric stabilizers are finite of nilpotency class 2, constructed by Borovoi and Kunyavskii. This is a small step towards a conjecture of Colliot-Thélène on the Brauer-Manin obstruction for rationally connected varieties.The third chapter is devoted to a recently formulated conjecture by Wittenberg, which concerns descent theory (a method orginially developped by Colliot-Thélène and Sansuc). We prove this conjecture for torsors under a connected linear algebraic group, generalizing a previous result of Harpaz and Wittenberg for torsors under a torus. We do this by adapting their technique with Borovoi's machinery of abelianization of non-abelian Galois cohomology. We shall also prove a version of this “descent conjecture” in the context of zero-cycles.In this last chapter, we follow the works of Harari-Scheiderer-Szamuely, Izquierdo and Tian, by studying the local-global principle and weak approximation over p-adic function fields. Over these fields, which are fields of cohomological dimension 3, there exists a higher-dimensional analogue of the Brauer-Manin obstruction that relies on the generalized Weil reciprocity law. Here, we apply Poitou-Tate style duality theorems to obtain some results for certain homogeneous spaces. We also consider some function fields of cohomological dimension greater than 3