Dissertationen zum Thema „Marche discrète“

Cette thèse explore expérimentalement et numériquement les invariants de volume et de bord dans un réseau photonique synthétique 2D soumis à des marches discrètes. Le réseau est réalisé par multiplexage temporal d'impulsions lumineuses dans deux anneaux de fibres optiques de longueurs inégales, couplés à un coupleur variable (VBS). Dans cette configuration, une dimension présente une dynamique dans l'espace réel, tandis que l'autre est gouvernée par un modulateur de phase externe (PM). En utilisant la détection hétérodyne, nous accédons aux informations spectrales et mesurons les valeurs propres et les vecteurs propres, ce qui permet d'extraire les invariants de volume tels que la courbure de Berry et le nombre de Chern associés aux bandes photoniques. De plus, nous dérivons une expression pour le nombre d'enroulement et démontrons que l'émergence des états de bord est liée à des frontières géométriques spécifiques. Enfin, nous soulignons l'impact de la topologie des bords sur la topologie globale du système, qui peut soit supprimer soit induire la présence d'états de bord
This thesis presents experimental and numerical investigations into bulk and edge invariants within a 2D synthetic photonic lattice subjected to discrete step walks. The lattice is engineered by time-multiplexing light pulses in two unequal-length optical fiber rings coupled with a variable beam splitter (VBS). In this configuration, one dimension exhibits real-space dynamics, while the other is governed by an external phase modulator (PM). Employing heterodyne detection, we access spectral information and measure eigenvalues and eigenvectors, enabling the extraction of bulk invariants such as Berry curvature and Chern number associated with the photonic bands. Furthermore, we derive an expression for the winding number and demonstrate that the emergence of edge states is tied to specific geometric boundaries. Finally, we highlight the impact of edge topology on the overall system topology, which can either suppress or induce the presence of edge states

Les marches a termes et d'options sont complementaires et efficaces parce qu'ils offrent des services specifiques et sont necessaires du fait de leur role informatif. Dans le cadre d'un modele d'equilibre partiel, qui abandonne l'approche courante par arbitrage, on montre que l'option est un actif financier non redondant. Le processus de formation des prix s'etablit grace a des agents qui eprouvent de l'aversion pour le risque et ont des anticipations rationnelles. A travers leurs transactions sur les marches financiers, les agents en couverture d'actifs parviennent a transferer aux speculateurs le risque de prix qu'ils ne sont pas prets a assumer, et a deceler toute leurs informations sur les realisateurs futures du marche au comptant a travers les prix a terme et d'options. Nous testons empiriquement le role informatif des prix a terme et d'options sur la base du marche du petrole brut
Futures and options markets are both complimentary and efficient because they offer specific services whose informative roles are necessary. In the frame work of partial equilibrium models, leaving behind a common approach of arbitrage, we can show that an option is a financial non redundant asset. The pricing process is established by agents who are frightened of risk and have rational anticipation, the hedgers through their financial transactions may transfer the risk to the speculators and may also be informed of future spot market conditions, we empirically test the informative role of futures and options prices on the basis of the crude oil market

Cette thèse étudie deux modèles de calcul: les marches quantiques (QW) et les automates cellulaires quantiques (QCA), en vue de les appliquer en simulation quantique. Ces modèles ont deux avantages stratégiques pour aborder ce problème: d'une part, ils constituent un cadre mathématique privilégié pour coder la description du système physique à simuler; d'autre part, ils correspondent à des architectures expérimentalement réalisables.Nous effectuons d'abord une analyse des QWs en tant que schéma numérique pour l'équation de Dirac, en établissant leur borne d'erreur globale et leur taux de convergence. Puis nous proposons une notion de transformée de Lorentz discrète pour les deux modèles, QW et QCA, qui admet une représentation diagrammatique s'exprimant par des règles locales et d'équivalence de circuits. Par ailleurs, nous avons caractérisé la limite continue d'une grande classe de QWs, et démontré qu'elle correspond à une classe d'équations aux dérivées partielles incluant l'équation de Dirac massive en espace-temps courbe de $(1+1)$-dimensions.Finalement, nous étudions le secteur à deux particules des automates cellulaires quantiques. Nous avons trouvé les conditions d'existence du spectre discret (interprétable comme une liaison moléculaire) pour des interactions à courte et longue portée, à travers des techniques perturbatives et d'analyse spectrale des opérateurs unitaires
This thesis is devoted to the development of two well-known models of computation for their application in quantum computer simulations. These models are the quantum walk (QW) and quantum cellular automata (QCA) models, and they constitute doubly strategic topics in this respect. First, they are privileged mathematical settings in which to encode the description of the actual physical system to be simulated. Second, they offer an experimentally viable architecture for actual physical devices performing the simulation.For QWs, we prove precise error bounds and convergence rates of the discrete scheme towards the Dirac equation, thus validating the QW as a quantum simulation scheme. Furthermore, for both models we formulate a notion of discrete Lorentz covariance, which admits a diagrammatic representation in terms of local, circuit equivalence rules. We also study the continuum limit of a wide class of QWs, and show that it leads to a class of PDEs which includes the Hamiltonian form of the massive Dirac equation in (1+1)-dimensional curved spacetime.Finally, we study the two particle sector of a QCA. We find the conditions for the existence of discrete spectrum (interpretable as molecular binding) for short-range and for long-range interactions. This is achieved using perturbation techniques of trace class operators and spectral analysis of unitary operators

Dans cette thèse nous nous sommes intéressés de trois types de problèmes : 1 -Existence et unicité d’une fonction harmonique strictement positive associée à une marche aléatoire inhomogène confinée dans un orthant. 2 -Etude de la convergence en loi des arbres de Galton Watson critiques conditionnés à avoir un nombre assez grand de noeuds protégés. 3 -Etude de la convergence en loi des arbres de Galton Watson conditionnés à avoir une génération anormalement grande
In this thesis we are interested in three types of problems: 1-Existence and uniqueness of a positive harmonic function associated with an inhomogeneous random walk confined in an orthant. 2-Study of convergence in distribution of critical Galton Watson trees conditioned to have a large enoughnumber of protected nodes. 3-Study of the convergence in distribution of Galton Watson trees conditioned to have a large generation

Les dénommées marches quantiques, évolutions quantiques locales sur graphes discrets, sont un outil très pratique pour simuler certains systèmes physiques. Nous nous limiterons à leur version à temps discret, les marches quantiques à temps discret (MQTD). Dans certaines limites en espace-temps continu, ces marches quantiques coïncident avec des équations d’onde pour fermions relativistes, dont l’archétype et pilier est l’équation de Dirac. Dans la présente thèse, nous poursuivons l'étude des propriétés des MQTD comme possibles schémas de simulation quantique. Nous pouvons résumer nos résultats en trois parties: i) Nous introduisons un schéma MQTD permettant de simuler, dans la limite au continu, la dynamique de fermions relativistes dans une théorie de branes; ceci ouvre la possibilité d’étudier différents modèles de théories Kaluza-Klein; ii) Nous discutons l’invariance de jauge U(1), i.e., électromagnétique, des MQTD, nous comparons notre modèle aux invariances précédemment introduites dans la littérature; notre invariance de jauge présente de fortes similitudes avec celle des théories de jauge sur réseau; iii) Nous introduisons des MQTD sur grilles non-rectangulaires, plus précisément, triangulaires et hexagonales, avec toujours comme condition de retrouver l’équation de Dirac au continuum; ces modèles peuvent être étendus au moyen d’opérateurs unitaires locaux spatio-temporelle inhomogènes et n’agissant que sur l’espace interne du marcheur, afin de générer dans la limite au continu l’équation de Dirac en espace-temps courbe
There are many problems that cannot be solved using current classical computers. One manner to approach a solution of these systems is by using quantum computers. However, building a quantum computer is really challenging from the experimental side. Quantum simulators have been capable to solve some of these problems, as they are realizable experimentally. Discrete Time Quantum Walks (DTQWs) have been proved to be an useful tool to quantum simulate physical systems. In the continuous limit, a family of differential equations can be achieved, in particular, the Dirac equation can be recovered. In this thesis we study QWs as possible schemes for quantum simulation. Specifically, we can summarize our results in: i) We introduce a QW-based model in which a brane theory can be simulated in the continuum, opening the possibility to study more general theories with extra dimensions; ii) Electromagnetic gauge invariance in QWs is discussed, presenting some similarities and differences to previous models. This QW model also makes a connection to gauge invariance in lattice gauge theories (LGT); iii) We introduce QWs over non-rectangular lattices, such a triangular or honeycomb structures, for the purpose of simulating the Dirac equation in the continuum. We also extent these models, by introducing local coin operators, that allow us to reproduce the dynamics of quantum particles under a curved space time

L'étude des marches aléatoires fait apparaître des connexions entre leurs propriétés algébriques, géométriques ou encore combinatoires et leurs propriétés stochastiques. Si les marches aléatoires sur les groupes - ou sur des espaces homogènes - fournissent beaucoup d'exemples, il serait appréciable d'obtenir de tels résultats de rigidité sur des structures algébriques plus faibles telles celles de semi-groupoide ou de groupoide. Dans cette thèse il est considéré un exemple de semi-groupoide et un exemple de groupoide, tous les deux sont définis a partir de sous-graphes contraints du graphe de Cayley d'un groupe - le premier graphe est dirige alors que le second ne l'est pas. Pour ce premier exemple, on précise un résultat de Campanino et Petritis (ils ont montre que la marche aléatoire simple était transiente pour cet exemple de graphe dirigé) en déterminant la frontière de Martin associée à cette marche et établissant sa trivialité Dans le second exemple apparaissant dans ce manuscrit, on considère des pavages quasi-périodiques de l'espace euclidien obtenus à l'aide de la méthode de coupe et projection. Nous considérons la marche aléatoire simple le long des arêtes des polytopes constituant le pavage, et nous répondons a la question du type de celle-ci, c'est-à-dire nous déterminons si elle est récurrente ou transiente. Nous montrons ce résultat en établissant des inégalités isopérimétriques Cette stratégie permet d'obtenir des estimées de la vitesse de décroissance du noyau de la chaleur, ce que n'aurait pas permis l'utilisation d'un critère de type Nash-Williams.

Dans cette thèse nous nous intéressons à deux types d'approches pour la planification de pas pour robots humanoïdes : d'une part les approches discrètes où le robot n'a qu'un nombre fini de pas possibles, et d'autre part les approches où le robot se base sur des zones de faisabilité continues. Nous étudions ces problèmes à la fois du point de vue théorique et pratique. En particulier nous décrivons deux méthodes originales, cohérentes et efficaces pour la planification de pas, l'une dans le cas discret (chapitre 5) et l'autre dans le cas continu (chapitre 6). Nous validons ces méthodes en simulation ainsi qu'avec plusieurs expériences sur le robot HRP-2.

Les caméras de surveillance font depuis quelques années partie de nos paysages urbains, voire même ruraux. Ces dispositifs n’ont pourtant pas réglé l’ensemble des problèmes qui ont amené à leurs déploiements dans de nombreux espaces publics. L’une des solutions proposées afin de régler ce défaut de la vidéosurveillance consiste alors en l’ajout de logiciels de détection automatique au système existant. Ces briques supplémentaires sont de différentes sortes : comptage de personnes, détection de types de véhicule, détection de dépôts sauvages, analyse de situations anormales, reconnaissance faciale etc. Les premiers usages de ces nouvelles formes de vidéosurveillance ont eu lieu en France, bien que celles-ci ne soient pas aussi nombreuses que dans d’autres pays. Cette thèse cherche à apporter des première réflexions concernant ces nouveaux outils de surveillance et le contexte qui les entoure en les abordant par trois aspects principaux. Le premier de ces aspects concerne les développements scientifiques qui participent de la construction de ces nouvelles solutions de surveillance. Le deuxième aspect se concentre sur le débat public autour de la vidéosurveillance automatisée et la forme particulière que prend ce débat. Le troisième et dernier aspect interroge les utilisations, expérimentales pour la plupart, qui ont lieu en France, les objectifs et les conditions de ces usages. Pour le premier aspect, ce travail tend à montrer l’importance particulière des infrastructures dans la réussite de ces outils d’intelligence artificielle. Que ce soit à l’étape du développement ou bien de l’usage, l’intelligence artificielle repose en grande partie sur tous outils, tous ces matériaux mobilisés dans son fonctionnement. Données, réseaux, capteurs sont autant de tamis par lesquels le travail du logiciel passe et qui imposent des limites techniques. Pour le second aspect, la recherche a exploré la question de la présentation de ces solutions techniques, de leur promotion ou de leur critique, en tant que problème, dans les débats publics ou bien dans les espaces économiques. Il en ressort que malgré une critique diffuse dans la société les arguments économiques dominent dans les rapports officiels. Pour le troisième aspect, alors que le sujet de la surveillance automatisée ne fait pas consensus, la thèse analyse l’ensemble des stratégies et ressources mobilisées afin de construire malgré tout un marché de la vidéosurveillance automatisée
CCTVs have been part of our urban and even rural landscapes for some years now. However, they have not solved all the problems that led to their deployment in many public spaces. One solution to this problem is to add automatic detection software to the existing system. These additional components come in a variety of forms: people counting, vehicle type detection, illegal dumping detection, analysis of abnormal situations, facial recognition, etc. The first uses of these new forms of video surveillance have taken place in France, although they are not as numerous as in other countries. This thesis seeks to provide some initial thoughts on these new surveillance tools and the context surrounding them, by approaching them from three main angles. The first concerns the scientific developments involved in the construction of these new monitoring solutions. The second focuses on the public debate surrounding automated video surveillance and the particular form this debate is taking. The third and final aspect examines the uses - most of them experimental - that are taking place in France, and the objectives and conditions of these uses. For the first aspect, this work tends to show the particular importance of infrastructures in the success of these artificial intelligence tools. Whether at the development stage or in use, artificial intelligence relies heavily on all the tools and materials mobilized for its operation. Data, networks and sensors are all sieves through which the software's work passes, and which impose technical limits. As for the second aspect, the research explored the question of how these technical solutions are presented, promoted or criticized as a problem, in public debates or in economic arenas. This revealed that, despite widespread social criticism, economic arguments dominate official reports. As for the third aspect, while there is no consensus on the subject of automated surveillance, the thesis analyzes all the strategies and resources mobilized to build an automated video surveillance market in spite of everything

Malgré sa plus grande complexité, la valorisation des options exotiques suit le même principe que celui des options traditionnelles, à savoir qu'une classe très large d'approximation et de diffusion de processus en vue de la valorisation d'actifs contingents s'obtient à partir d'un même formalisme. En temps continu, lorsque l'option est européenne, les praticiens aboutissent parfois à des formules paramétriques et non paramétriques sous forme analytiques avec des hypothèses de départ différentes, le dénominateur commun à toutes ces méthodes et qu'elles supposent la positivité de la loi de densité de distribution des rendements des actifs sous-jacents, ensuite grâce aux théorèmes de changement de probabilité, la valorisation se ramène aux calculs de lois de densité au sein d'une marche aléatoire gaussienne associée à une diffusion risque neutre. Cependant, lorsque l'option est américaine, il n'existe pas de solution analytique et les praticiens utilisent souvent des techniques d'interpolations et d'approximation par des options obtenues par des convolutions le long de la frontière d'exercice optimale. En temps discret, les méthodes de valorisation avec maillage (deux ou trois points d'appui) ou sans maillage (méthode des plus proches voisins) sont fondées sur des simulations numériques formulées en termes d'équations aux dérivées partielles stochastiques ou sous forme variationnelle intégrale, nécessitant une discrétisation nodale du domaine et une génération du nuage de points recouvrant le domaine dans le sens d'une répartition de densité de points, tenant compte à la fois de la géométrie du domaine et des informations réelles liées à la nature des équations de diffusion. De ce fait, la méthode discrète semble plus générale et permet de valoriser une classe importante d'options américaines ainsi que de nombreuses options exotiques plus complexes sur un ou plusieurs actifs sous-jacents

Dans cette thèse nous nous intéressons à deux types d'approches pour la planification de pas pour robots humanoïdes : d'une part les approches discrètes où le robot n'a qu'un nombre fini de pas possibles, et d'autre part les approches où le robot se base sur des zones de faisabilité continues. Nous étudions ces problèmes à la fois du point de vue théorique et pratique. En particulier nous décrivons deux méthodes originales, cohérentes et efficaces pour la planification de pas, l'une dans le cas discret (chapitre 5) et l'autre dans le cas continu (chapitre 6). Nous validons ces méthodes en simulation ainsi qu'avec plusieurs expériences sur le robot HRP-2
In this thesis we investigate two types of approaches for footstep planning for humanoid robots: on one hand the discrete approaches where the robot has only a finite set of possible steps, and on the other hand the approaches where the robot uses continuous feasibility regions. We study these problems both on a theoretical and practical level. In particular, we describe two original, coherent and efficient methods for footstep planning, one in the discrete case (chapter 5), and one in the continuous case (chapter 6). We validate these methods in simulation and with several experiments on the robot HRP-2

Un ordinateur quantique (OQ), i.e. utilisant les ressources de la physique Q, superposition et intrication, pourrait fournir un gain exponentiel de temps de calcul. Une simulation utilisant ces ressources est appelée simulation Q (SQ). L’avantage des SQs sur les simulations classiques est bien établi au niveau théorique, i.e. software. Leur avantage pratique requiert un hardware Q. L’OQ, sous-entendu universel (cf. plus bas), n’a pas encore vu le jour, mais les efforts en ce sens sont croissants et variés. Aussi la SQ a-t-elle déjà été illustrée par de nombreuses expériences de principe, grâce à des calculateurs ou simulateurs Qs de taille réduite. Les marches Qs (MQs) sont des schémas de SQ particulièrement étudiés, étant des briques élémentaires pour concevoir n’importe quel algorithme Q, i.e. pour le calcul Q universel. La présente thèse est un pas de plus vers une simulation des théories Qs des champs basée sur les MQs à temps discret (MQTD). En effet, il est montré, dans certains cas, comment les MQTD peuvent simuler, au continu, l'action d'un champ de jauge Yang-Mills sur de la matière fermionique, et la rétroaction de cette-dernière sur la dynamique du champ de jauge. Les schémas proposés préservent l’invariance de jauge au niveau de la grille d’espace-temps, i.e. pas seulement au continu. Il est proposé (i) des équations de Maxwell sur grille, compatibles avec la conservation du courant sur la grille, et (ii) une courbure non-abélienne définie sur la grille. De plus, il est montré comment cette matière fermionique à base de MQTD peut être couplée à des champs gravitationnels relativistes du continu, i.e. des espaces-temps courbes, en dimension 1+2
A quantum (Q) computer (QC), i.e. utilizing the resources of Q physics, superposition of states and entanglement, could fournish an exponential gain in computing time. A simulation using such resources is called a Q simulation (QS). The advantage of QSs over classical ones is well established at the theoretical, i.e. software level. Their practical benefit requires their implementation on a Q hardware. The QC, i.e. the universal one (see below), has not seen the light of day yet, but the efforts in this direction are both growing and diverse. Also, QS has already been illustrated by numerous experimental proofs of principle, thanks too small-size and specific-task Q computers or simulators. Q walks (QWs) are particularly-studied QS schemes, being elementary bricks to conceive any Q algorithm, i.e. to achieve so-called universal Q computation. The present thesis is a step more towards a simulation of Q field theories based on discrete-time QWs (DTQWs). Indeed, it is shown, in certain cases, how DTQWs can simulate, in the continuum, the action of Yang-Mills gauge fields on fermionic matter, and the retroaction of the latter on the gauge-field dynamics. The suggested schemes preserve gauge invariance on the spacetime lattice, i.e. not only in the continuum. In the (1+2)D Abelian case, consistent lattice equivalents to both Maxwell’s equations and the current conservation are suggested. In the (1+1)D non-Abelian case, a lattice version of the non-Abelian field strength is suggested. Moreover, it is shown how this fermionic matter based on DTQWs can be coupled to relativistic gravitational fields of the continuum, i.e. to curved spacetimes, in several spatial dimensions

Un groupe finiment engendré G a la propriété RD lorsque l'algèbre de Sobolev du groupe H^s(G) s'injecte dans la C^*-algèbre réduite C^*_r(G). Cette inclusion permet de contrôler la norme de l'opérateur de convolution sur l^2(G) par des normes l^2 pondérées, et induit des isomorphismes en K-théorie. Il est connu que la présence de sous-groupes moyennables à croissance sur-polynomiale est une obstruction à cette propriété. Parallèlement à cela, on dispose toujours d'une inclusion canonique de l^1(G) dans C^*_r(G), mais cette estimation est en général moins fine que celle donnée par RD, et l'existence d'isomorphismes de K-théorie découlant de cette inclusion est un problème généralement ouvert qui est souvent issu de la combinaison des conjectures de Bost et Baum-Connes. C'est pourquoi, dans cette thèse, nous présenterons une version relative de la propriété RD appelée propriété RD_H basée sur une interpolation entre les normes l^1 et l^2 paramétrée par un sous-groupe H de G. Nous verrons que cette propriété peut être vue comme une généralisation aux cas des sous-groupes non distingués du fait que le quotient G/H ait la propriété RD. Nous étudierons certaines propriétés géométriques liées à l'espace G/H permettant de déduire ou d'infirmer la propriété RD_H. En particulier, nous nous pencherons sur le cas où H est un sous-groupe co-moyennable de G et le cas où G est un groupe relativement hyperbolique par rapport au sous-groupe H. Nous montrerons que la propriété RD_H nous permet d'obtenir une famille d'isomorphismes en K-théorie paramétrée par le choix du sous-groupe H, et d'obtenir une borne inférieure concernant la probabilité de retour dans le sous-groupe H d'une marche aléatoire symétrique. Une autre partie de la thèse est consacrée à l'existence d'un isomorphisme entre les groupes de K-théorie des algèbres l^1(G) et C^*_r(G) où l'on prouve la véracité de ce résultat pour certains produits semi-directs en combinant deux types de suites exactes sans faire intervenir les conjectures de Bost et Baum-Connes
A finitely generated group G has the property RD when the Sobolev space H^s(G) embeds in the group reduced C^*-algebra C^*_r(G). This embedding induces isomorphisms in K-theory, and allows to upper-bound the operator norm of the convolution on l^2(G) by weighted l^2 norms. It is known that if G contains an amenable subgroup with superpolynomial growth, then G cannot have property RD. In another hand, we always have the canonical inclusion of l^1(G) in C^*_r(G), but this estimation is generally less optimal than the estimation given by the property RD, and in most of cases, it needs to combine Bost and Baum-Connes conjectures to know if that inclusion induces K-theory isomorphisms. That's the reason why, in this thesis, we define a relative version of property RD by using an interpolation norm between l^1 and l^2 which depends on a subgroup H of G, and we call that property: property RD_H. We will see that property RD_H can be seen as an analogue for non-normal subgroups to the fact that G/H has property RD, and we will study what kind of geometric properties on G/H can imply or deny the property RD_H. In particular, we care about the case where H is a co-amenable subgroup of G, and the case where G is relatively hyperbolic with respect to H. We will show that property RD_H induces isomorphisms in K-theory, and gives us a lower bound concerning the return probability in the subgroup H for a symmetric random walk. Another part of the thesis is devoted to show that if G is a certain kind of semi-direct product, the inclusion l^1(G)subset C^*_r(G) induces isomorphisms in K-theory, we prove this statement by using two types of exact sequences without using Bost and Baum-Connes conjectures

Cette these traite de certains aspects des marches aleatoires sur les groupes a croissance polynomiale. Tout d'abord, nous etudions un modele de croissance, appele agregation limitee par diffusion interne, defini sur un graphe connexe associe a une marche aleatoire. Nous degageons des resultats d'existence d'une forme limite et de fluctuations autour de cette forme, lorsque le modele est associe a une marche aleatoire sur un groupe finiment engendre. Sur z d, nous etendons des resultats connus pour la marche aleatoire simple, tandis que sur les groupes quelconques a croissance polynomiale, nous considerons des marches aleatoires symetriques. Enfin, nous etudions ce modele sur les groupes libres, pour la marche aleatoire simple. Puis, nous demontrons une propriete topologique des spheres des groupes a croissance polynomiale, appelee connexite relative. De ce resultat, nous deduisons un controle du comportement asymptotique des fonctions harmoniques hors d'un ensemble fini. De plus, nous etendons aux anneaux des inegalites fonctionnelles existant sur les boules (harnack, poincare). Enfin, nous etudions l'occurrence des temps de coupure d'une marche aleatoire, instants pour lesquels le passe et le futur de la marche aleatoire forment deux chemins disjoints. Ce phenomene a ete etudie de facon exhaustive sur z d, et nous completons les resultats existant sur les groupes a croissance polynomiale en etudiant le cas ou la croissance est de degre 4.

Le présent travail se veut une contribution à l’extension du domaine des applications de la théorie des chemins rugueux à travers l’étude de la convergence des processus discrets, qui permet un nouveau regard sur plusieurs problèmes qui se posent dans le cadre du calcul stochastique classique. Nous étudions la convergence en topologie rugueuse, d’abord des chaînes de Markov sur graphes périodiques, ensuite des marches de Markov cachées, et ce changement de cadre permet d’apporter des informations supplémentaires sur la limite grâce à l’anomalie d’aire, invisible en topologie uniforme. Nous voulons montrer que l’utilité de cet objet dépasse le cadre des équations différentielles. Nous montrons également comment le cadre des chemins rugueux permet d’en- coder la manière dont on plonge un modèle discret dans l’espace des fonctions continues, et que les limites des différents plongements peuvent être différenciées précisément grâce à l’anomalie d’aire. Nous définissons ensuite les temps d’occupation itérés pour une chaîne de Markov et montrons, en utilisant les sommes itérées, qu’ils donnent une structure combinatoire aux marches de Markov cachées. Nous proposons une construction des chemins rugueux en passant par les sommes itérées et la comparons à la construction classique, faite par les intégrales itérées, pour trouver à la limite deux types de chemins rugueux différents, non-géométrique et géométrique respectivement. Pour finir, nous illustrons le calcul et la construction de l’anomalie d’aire et nous donnons quelques résultats supplémentaires sur la convergence des sommes et temps d’occupation itérés
Through the present work, we hope to contribute to extending the domain of applications of rough paths theory by studying the convergence of discrete processes and thus allowing for a new point of view on several issues appearing in the setting of classical stochastic calculus. We study the convergence, first of Markov chains on periodic graphs, then of hidden Markov walks, in rough path topology, and we show that this change of setting allows to bring forward extra information on the limit using the area anomaly, which is invisible in the uniform topology. We want to show that the utility of this object goes beyond the setting of dierential equations. We also show how rough paths can be used to encode the way we embed a discrete process in the space of continuous functions, and that the limits of these embeddings dier precisely by the area anomaly term. We then define the iterated occupation times for a Markov chain and show using iterated sums that they form an underlying combinatorial structure for hidden Markov walks. We then construct rough paths using iterated sums and compare them to the classical construction, which uses iterated integrals, to get two dierent types of rough paths at the limit: the non-geometric and the geometric one respectively. Finally, we illustrate the computation and construction of the area anomaly and we give some extra results on the convergence of iterated sums and occupation times

Les simulateurs quantiques, qui utilisent un système quantique contrôlable pour étudier le comportement et les propriétés d'un autre système quantique, moins accessible, sont une ressource prometteuse. Dans les dernières années, des progrès significatifs ont été faits dans de nombreux domaines expérimentaux et théoriques. Les marches quantiques à temps discret sont des systèmes simples et sophistiqués. En particulier, il a été montré qu'à la limite continue, ces marches peuvent simuler certaines théories de champs. Dans ce travail de thèse, lesdites marches sont utilisées pour explorer certains sujets d'intérêt physique, qui s'articulent autour de trois axes : (i) la connexion entre les propriétés géométriques de la marche et celles de divers champs de jauge ; (ii) la limite classique et la limite quasi-quantique, en relation surtout avec les théories de champs ; (iii) l'équilibration spontanée pour certains modèles non linéaires de marches quantiques. Chaque résultat est appuyé par une étude numérique et analytique
Problems too demanding for classical computers can be approached promisingly with quantum simulators, which operate using one controllable quantum system in order to investigate the behavior and properties of a less accessible one. Over the past few years, significant progress has been made in a number of experimental and theoretical fields. Quantum Walks (QWs) are simple and sophisticated discrete space and time dynamical systems and it has been shown that in the continuous limit different emergent quantum fields can be simulated. In this thesis we will draw on QWs to further explore various areas of interest in Physics. More specifically our analysis will branch out into three main directions: (i) the connection between QWs and quantum field theory, with particular attention to bridging the quantum coin of QWs with the geometrical properties of gauge field theories; (ii) the study of QWs' classical limit and of the transient semi-classical dynamics, especially in relation with field theories; (iii) the spontaneous equilibration and thermalization in some nonlinear QWs-like models. Every step of this thesis will be validated by specific analytical results and numerical implementations

Au cours de cette thèse nous nous sommes intéressé à un jeu minimax différentiel et multi-étages à horizon fini (échéance), motivé par un problème d'évaluation d'options européennes. Le jeu différentiel est en dimension 3 plus temps. Il comporte une commande à la fois continue et impulsionnelle et une commande bornée, ainsi qu'un coût terminal discontinu dans le cas d'une option "digitale" dont l'étude constitue le coeur de la thèse. Ce jeu résulte d'une approche par commande robuste sur l'ensemble des trajectoires de prix permises par l'hypothèse du modèle de marché à intervalles pour le cours de l'actif sur lequel est assise l'option. Du point de vue des techniques financières, notre but est de développer en parallèle une théorie d'évaluation d'options en temps continu et en temps discret, en présence de coûts de transaction et à modèle de marché invariant. Nous obtenons la prime et la stratégie de transaction conseillées au cours du jeu. Notre théorie se veut donc une théorie normative (d'aide à la décision). Pour chaque jeu différentiel, nous utilisons une analyse géométrique des trajectoires extrémales et singulières du jeu qualitatif impulsionnel à cible unique à l'échéance, avec des outils géométriques de la théorie d'Isaacs-Breakwell. Cette analyse nous permet de résoudre complètement le problème. La solution obtenue s'avère riche en variétés singulières de codimension 2, à savoir qu'elle exhibe une dispersion, des variétés équivoques et une variété focale. Cette étude géométrique aboutit à une formule de représentation de la fonction Valeur. faisant intervenir la solution d'un système de deux EDP linéaires couplées du premier ordre. Nous complétons cette étude par une vérification analytique, plus classique, qui consiste à montrer que la fonction construite par la formule de représentation est solution de viscosité de l'équation d'Isaacs associée à un jeu différentiel standard sans commande impulsionnelle ayant la même valeur que le jeu initial. Pour chaque jeu multi-étages, la résolution se fait par le biais d'un algorithme de programmation dynamique classique. Cet algorithme aboutit à une formule de représentation de la Valeur, dont la forme est assez similaire à celle de la solution du jeu différentiel. Il en découle un algorithme rapide applicable en pratique. Nous montrons également la convergence monotone décroissante de la solution du jeu multi-étages vers celle du jeu différentiel lorsque le pas de temps tend vers 0, aussi bien pour une option "vanille" que "digitale", sans changer de modèle d'actif au fur et à mesure que l'on réduit le pas de temps. En conséquent, l'algorithme rapide en temps discret fournit une bonne approximation de la solution (prime et stratégie) en temps continu. Nous terminons ce manuscrit par une analyse critique de la solution du point du vue financier avec en particulier une étude de la robustesse du modèle de marché et une comparaison avec la théorie de F.Black et M.Scholes. Nous insistons sur le fait qu'en aucun cas nous n'avons la prétention de proclamer une quelconque supériorité de notre théorie sur celle de F.Black et M.Scholes. Nous souhaitons seulement montrer qu'elle peut être une alternative en temps discret et/ou en présence de coûts de transaction significatifs, au détriment de la complétude du modèle de marché.

Ce travail traite de la gestion et de la commande de systemes de production manufacturiere, en mettant l'accent sur les interactions entre entites cooperant dans une prise de decision de qualite. L'objectif est l'amelioration de l'efficacite du systeme de decision a travers une augmentation de la flexibilite dynamique et une rationalisation de la prise de decision obtenue en delimitant les champs et protocoles d'action de chaque agent. Trois approches complementaires sont proposees : la premiere releve de la recherche operationnelle et conduit a l'elaboration d'un modele de gestion de production hierarchisee en mettant en avant la dimension temporelle des decision. La deuxieme consiste dans le developpement d'un modele reseaux de petri communicants cooperants pour la synchronisation des activites de decision. La troisieme etudie la cooperation entre entites technico-economiques a travers des processus de marche et integre des aspects d'incitation financiere inherente au facteur humain dans les processus traditionnels de cooperation.

Cette thèse traite des phénomènes liés aux mathématiques financières et économiques. Elle est composée de deux sujets de recherche indépendants. La première partie est consacrée à deux contributions au problème de Merton. Pour commencer, nous étudions le problème de l’investissement optimal et de la consommation de Merton dans le cas de marchés discrets dans un horizon infini. Nous supposons qu’il y a des frictions sur les marchés en raison de la perte due aux échanges financières. Ces frictions sont modélisées par des fonctions de pénalités non linéaires où les modèles classiques de coût de transactions étudiés par Magill et Constantinides [31] et les marchés illiquides étudiés par Cetin, Jarrow et Protter dans [6] sont inclus dans cette formulation. Dans ce contexte, la région de solvabilité est définie en tenant compte de cette fonction de pénalité et chaque investisseur doit maximiser son utilité, dérivée de la consommation. Nous donnons la programmation dynamique du modèle et nous prouvons l’existence et l’unicité de la fonction valeur. Des stratégies optimales d’investissement et de consommation sont également construites. Ensuite, nous étendons le modèle de Merton à un problème à plusieurs investisseurs. Notre approche consiste à construire un modèle d’équilibre général déterministe dynamique. Nous prouvons ensuite l’existence d’un équilibre du problème qui est un ensemble de contrôles composés de processus de consommation et de portefeuille, ainsi que les processus de prix qui en découlent afin que la politique de consommation de chaque investisseur maximise son profil. Les résultats obtenus dans cette partie étendent principalement les résultats récemment obtenus par Chebbi et Soner [10] ainsi qu’aux d’autres résultats obtenus dans ce cadre dans la littérature. Dans la deuxième partie, nous traitons le problème de l’existence d’un équilibre d’une économie de production avec des ensembles d’allocations réalisables non-bornés où les consommateurs peuvent avoir des préférences non-transitives non-complètes. Nous introduisons une propriété asymptotique sur les préférences pour les consommations réalisables afin de prouver l’existence d’un équilibre. Nous montrons que cette condition est vraie lorsque l’ensemble des allocations réalisables est compact ou aussi lorsque les préférences sont représentées par des fonctions d’utilité dans le cas où l’ensemble des niveaux d’utilité rationnels individuels réalisables est compact. Cette hypothèse généralise la condition de CPP de Allouch [1] et couvre l’exemple de Page et al. [40] lorsque les niveaux d’utilité disponibles définis ne sont pas compacts. Nous étendons donc les résultats existants dans la littérature avec des ensembles réalisables non bornés de deux façons en ajoutant la production et en prenant en compte des préférences générales
This PhD dissertation studies two independent research topics dealing with phenomena issues from financial and economic mathematics.This thesis is organized in two parts. The first part is devoted to two contributions tothe Merton problem. First, we investigate the problem of optimal investment and consumption of Merton in the case of discrete markets in an infinite horizon. We suppose that there is frictions in the markets due to loss in trading. These frictions are modeled through nonlinear penalty functions and the classical transaction cost studied by Magill and Constantinides in [31] and illiquidity models studied by Cetin, Jarrow and Protter in [6] are included in this formulation. In this context, the solvency region is defined taking into account this penalty function and every investigator have to maximize his utility, that is derived from consumption, in this region. We give the dynamic programming ofthe model and we prove the existence and uniqueness of the value function. Optimalinvestment and consumption strategies are constructed as well. We second extend the Merton model to a multi-investors problem. Our approach is to construct a dynamic deterministic general equilibrium model. We then provide the existence of equilibrium of the problem which is a set of controls that is composed of consumption and portfolio processes, as well as the resulting price processes so that each investor’s consumption policy maximizes his lifetime expected. The results obtained in this part extends mainly the results recently obtained by Chebbi and Soner [10] and other corresponding results in the litterature.The second part of this thesis deals with the problem of the existence of an equilibrium of a production economy with unbounded attainable allocations sets where the consumers may have non-complete non-transitive preferences. We introduce an asymptotic property on preferences for the attainable consumptions in order to prove the existence of an equilibrium. We show that this condition holds true if the set of attainable allocations is compact or, when preferences are representable by utility functions, if the set of attainable individually rational utility levels is compact. This assumption generalizes the CPP condition of Allouch [1] and covers the example of Page et al. [40] when the attainable utility levels set is not compact. So we extend the previous existence results with unbounded attainable sets in two ways by adding a production sector and considering general preferences

Plus d'emploi féminin, mais de quelle qualité ? Sur les données longitudinales sud-coréennes du travail et des revenus de 1998 à 2008, et sur les données longitudinales françaises du Panel européen des ménages de 1994 à 2001, une analyse des correspondances multiples permet de comparer les situations de précarité d'emploi des femmes en Corée du Sud et en France. Elle montre que la conciliation entre famille et travail conditionne le sort des femmes sur le marché de l'emploi. Un modèle de durées multi-niveaux à temps discret permet de tester les déterminants de la mobilité entre types de précarité, et de mettre en évidence l'effet important de l'éducation et des charges de famille. Un modèle de chaînes de Markov permet de calculer les prévalences asymptotiques. Les indices de Gini associées à ces prévalences du moment dessinent une situation plus égalitaire que celle héritée du passé. La comparaison entre la Corée du Sud et la France apporte les preuves que les déterminants de l'emploi féminin conditionnent la mobilité entre les types de précarité professionnelle, avec des variantes d'un pays à l'autre. Dans les deux pays, le diplôme et l'expérience professionnelle constituent un moyen d'échapper à la précarité. La charge de famille ne détermine pas la variation de la précarité professionnelle des Sud-Coréennes comme en France, même si elle est une des caractéristiques majeures de la précarité des mères sud-coréennes. La participation continue des femmes des deux pays au marché de l'emploi rémunéré ne garantit pas l'amélioration de la précarité. La mobilité observée en 1998-2008 laisse présager l'amélioration du sort des femmes sur le marché de l'emploi
Female paid employment is increasing in quantity, but what about quality? In order to answer this question, it is necessary to understand the relationship between the déterminants of female employment and precariousness in employment over the course of the life cycle. Based on two panel data sets from the Korean Labor and Income Panel Study from 1998 to 2008 and the French portion of the European Community Household Panel between 1994 and 2001, a multiple correspondence analysis compares the situations of precarious employment of women in South Korea with that of those in France. It shows that the reconciliation of work and family life is very différent from one country to another, and that this détermines the fate of women in the labor market. A multi-level discrete-time hazard model examines the déterminants of transitions between différent types of precariousness in both countries, and highlights the important effect of âge and the life cycle, éducation, and family care responsibilities. Precariousness in employment générâtes inequalities between women. The Gini coefficient measures inequalities associated with the observed prevalence of différent types of precariousness among South Korean women from 1998 to 2008. A model of Markov chains calculâtes the prevalence associated with the conditions of the moment. The Gini coefficient corresponding to the inequalities of the moment reveals the current situation to be more egalitarian than that which has been inherited from the past. The comparison between South Korea and France provides évidence that the déterminants of female employment affect the transitions between différent types of precarious employment, with variations from country to country. In both countries, higher educational attainment and work expérience are a means of escaping from precariousness. For South Korean women, family responsibilities do not détermine the variation of precariousness, as they do in France, although this is a major characteristic of South Korean mothers' precariousness. Women's continuous participation in paid employment for both countries does not guarantee a decrease in precariousness. Observed changes from 1998 to 2008 in South Korea indicate an improvement of the lost of women in the employment market

Les propriétés de premier passage en général, et parmi elles le temps moyen de premier passage (MFPT), sont fréquemment utilisées dans les processus limités par la diffusion. Les processus réels de diffusion ne sont pas toujours Browniens : durant les dernières années, les comportements non-Browniens ont été observés dans un nombre toujours croissant de systèmes. Les milieux biologiques sont un exemple frappant où ce genre ce comportement a été observé de façon répétée. Nous présentons dans ce manuscrit une méthode basée sur les propriétés de premier passage permettant d'obtenir des informations sur le processus réel de diffusion, ainsi que sur l'environnement où évolue le marcheur aléatoire. Cette méthode permet de distinguer trois causes possibles de sous-diffusion : les marches aléatoires en temps continu, la diffusion en milieu fractal et le mouvement brownien fractionnaire. Nous étudions également l'efficacité des processus de recherche sur des réseaux discrets. Nous montrons comment obtenir les propriétés de premier passage sur réseau afin d'optimiser ensuite le processus de recherche, et obtenons un encadrement général du temps moyen de premier passage global (GMFPT). Grâce à ces résultats, nous estimons l'impact sur l'efficacité de recherche de plusieurs paramtres, notamment la connectivité de la cible, la mobilité de la cible ou la topologie du réseau.

Le travail présenté dans ce mémoire s'inscrit dans le domaine de la supervision des systèmes automatisés de production. Il traite plus particulièrement de la synthèse de lois de surveillance adaptées aux exigences des entreprises. La loi de surveillance est obtenue à partir d'un modèle de référence pour la supervision, la commande et la surveillance. Ce dernier fournit l'ensemble exhaustif de tous les traitements de supervision, de commande et de surveillance qui peuvent être appliqués en situation de défaillances au cours d'un cycle de production et ce, quel que soit le système de production considéré. La méthode de synthèse proposée s'appuie sur une démarche proche de la synthèse de correcteurs en automatique continue. Elle revient à raffiner successivement le modèle de référence par intégration progressive d'un ensemble de quatre propriétés qui doivent être recherchées. Ces propriétés, la sécurité, l'écologie, la qualité et la productivité sont à évaluer par le concepteur au moyen de grilles mettant en relation l'impact de quatre symptômes de défaillances sur l'ensemble des propriétés recherchées et ce, en fonction de la ressource physique considérée. Un exemple d'application basé sur un processus manufacturier réel, la plate-forme de recherche en productique SAPHIR du Laboratoire d'Automatique de Grenoble, illustre les apports de notre approche. Ces derniers se déclinent en terme de flexibilité des traitements proposés, de systématisation de la méthode proposée et de respect des propriétés recherchées.

Mon travail de thèse est composé de deux parties bien distinctes, la première partie est consacrée à l’analysestochastique en temps discret des marches aléatoires obtuses quant à la deuxième partie, elle est liée aux probabili-tés libres. Dans la première partie, on donne une construction des intégrales stochastiques itérées par rapport à unefamille de martingales normales d-dimentionelles. Celle-ci permet d’étudier la propriété de représentation chaotiqueen temps discret et mène à une construction des opérateurs gradient et divergence sur les chaos de Wiener correspon-dant. [...] d’une EDP non linéaire alors que la deuxième est de nature combinatoire.Dans un second temps, on a revisité la description de la mesure spectrale de la partie radiale du mouvement Browniensur Gl(d,C) quand d ! +¥. Biane a démontré que cette mesure est absolument continue par rapport à la mesurede Lebesgue et que son support est compact dans R+. Notre contribution consiste à redémontrer le résultat de Bianeen partant d’une représentation intégrale de la suite des moments sur une courbe de Jordon autour de l’origine etmoyennant des outils simples de l’analyse réelle et complexe
My PhD work is composed of two parts, the first part is dedicated to the discrete-time stochastic analysis for obtuse random walks as to the second part, it is linked to free probability. In the first part, we present a construction of the stochastic integral of predictable square-integrable processes and the associated multiple stochastic integrals ofsymmetric functions on Nn (n_1), with respect to a normal martingale.[...] In a second step, we revisited thedescription of the marginal distribution of the Brownian motion on the large-size complex linear group. Precisely, let (Z(d)t )t_0 be a Brownian motion on GL(d,C) and consider nt the limit as d !¥ of the distribution of (Z(d)t/d)⋆Z(d)t/d with respect to E×tr

Un automate cellulaire probabiliste (ACP) est une chaîne de Markov sur un espace symbolique. Le temps est discret, les cellules évoluent de manière synchrone, et le nouvel état de chaque cellule est choisi de manière aléatoire, indépendamment des autres cellules, selon une distribution déterminée par les états d'un nombre fini de cellules situées dans le voisinage. Les ACP sont utilisés en informatique comme modèle de calcul, ainsi qu'en biologie et en physique. Ils interviennent aussi dans différents contextes en probabilités et en combinatoire. Un ACP est ergodique s'il a une unique mesure invariante qui est attractive. Nous prouvons que pour les AC déterministes, l'ergodicité est équivalente à la nilpotence, ce qui fournit une nouvelle preuve de l'indécidabilité de l'ergodicité pour les ACP. Alors que la mesure invariante d'un AC ergodique est triviale, la mesure invariante d'un ACP ergodique peut être très complexe. Nous proposons un algorithme pour échantillonner parfaitement cette mesure. Nous nous intéressons à des familles spécifiques d'ACP, ayant des mesures de Bernoulli ou des mesures markoviennes invariantes, et étudions les propriétés de leurs diagrammes espace-temps. Nous résolvons le problème de classification de la densité sur les grilles de dimension supérieure ou égale à 2 et sur les arbres. Enfin, nous nous intéressons à d'autres types de problèmes. Nous donnons une caractérisation combinatoire des mesures limites pour des marches aléatoires sur des produits libres de groupes. Nous étudions les mesures d'entropie maximale de sous-décalages de type fini sur les réseaux et sur les arbres. Les ACP interviennent à nouveau dans ce dernier travail.

Dans de nombreux phénomènes régis par le hasard, le résultat de l'observation provient de la combinaison aléatoire d'événements élémentaires : le gain d'un joueur au jeu de pile ou face est le résultat de parties successives, mélanger un jeu de cartes s'effectue en plusieurs battages consécutifs, l'enchevêtrement d'une molécule d'ADN dans une cellule est le produit, entre autres, de croisements successifs. Ces événements élémentaires ont la particularité d'être réversibles (gagner/perdre au pile ou face, croiser/décroiser des brins d'ADN) et l'aléa régissant leur combinaison possède une certaine indépendance (l'issue d'une partie de pile ou face n'a a priori aucune influence sur la suivante). Un modèle possible pour ces phénomènes consiste à considérer un groupe G, fini ou dénombrable, que l'on munit d'une mesure de probabilité μ. On effectue des tirages successifs d'éléments dans G avec les hypothèses suivantes : les tirages sont indépendants, et, pour chaque tirage, μ(g) est la probabilité de tirer l'élément g. Si g1, g2,...,gn est le résul- tat de n tirages, on forme le produit g1.g2. ... . gn. C'est, par définition, la position à l'instant n de la marche aléatoire sur G de loi μ, et la question est : que peut-on dire du comportement asymptotique de g1.g2. ... .gn lorsque n augmente in- définiment ? La marche aléatoire s'en va-t'elle à l'infini ? Si oui, dans quelle direction ? Et à quelle vitesse ? Mes travaux depuis 2003 sont consacrés, pour l'essentiel, à l'étude du comportement asymptotique des marches aléatoires dans trois familles de groupes infinis, non abéliens et de type fini : les produits libres de groupes finis, les groupes d'Artin diédraux, ainsi que certaines extensions des groupes libres. Ils sont le fruit de collaborations avec Jean Mairesse (CNRS, Paris VI) et François Gautero (Université de Nice). Dans le cas des produits libres de groupes finis, nous décrivons précisément la mesure harmonique pour les marches aléatoires au plus proche voisin dans ces groupes, ce qui permet de calculer la vitesse et l'entropie asymptotique. En particulier, ces quantités dépendent de façon analytique des coefficients de μ. Considérant l'inégalité fondamentale de Yves Guivarc'h entre vitesse, entropie et croissance, nous montrons que les générateurs canoniques des produits libres de groupes finis sont extrémaux au sens de Vershik. Les groupes d'Artin diédraux forment une classe de groupes d'Artin qui généralise le groupe de tresses à trois brins B3 et pour laquelle nous donnons une description précise des géodésiques. La connaissance de la vitesse de fuite des marches aléatoires au plus proche voisin dans le groupe B3 est un premier outil de mesure de la complexité asymptotique d'une tresse aléatoire. Dans ce cas, on montre que la vitesse dépend de façon lipschitzienne mais non différentiable de μ, faisant apparaître certaines transitions de phase. Enfin, en ce qui concerne les extensions du groupe libre, nous montrons que, dans certains cas (comprenant notamment les extensions cycliques) les fonctions μ-harmoniques bornées sont entièrement décrites via le bord du groupe libre sous-jacent. La preuve repose sur l'existence d'actions non triviales de ces groupes sur des arbres réels, couplée à des critères généraux sur les compactifications des groupes développés par Vadim Kaimanovich.

Cette thèse étudie les urnes de Pólya à travers le prisme de la combinatoire analytique. Les urnes sont des modèles, conceptuellement très simples, de dynamique de croissance ou d'extinction dont les comportements limites sont extrêmement variés. Ces modèles sont largement étudiés par des approches probabilistes mais la compréhension précise des diverses lois limites reste une question ouverte. Les travaux de Flajolet et al. en 2005 ont illustré que pour ces questions, une approche par combinatoire analytique peut se révéler très fructueuse: l'étude des propriétés (nature, singularités) des séries génératrices associées aux urnes donne accès à des lois limites avec grande précision. Cette thèse s'inscrit dans la continuité de ces travaux et commence par identifier les séries des urnes de nature algébrique, grâce à un algorithme sophistiqué issu du calcul formel (Divination/Preuve automatique). Pour les classes d'urnes algébriques, nous menons des analyses, exacte et asymptotique, afin de connaître avec précision les comportements limites (structures des moments, vitesse de convergence, aspects limites locaux). Puis, l'étude d'urnes non algébriques est faite au travers d'exemples concrets portant sur la modélisation de réseaux sociaux, ainsi que sur la combinatoire des formules booléennes. Enfin, à travers des modèles d'urnes plus généraux (absence d'équilibre, présence d'aléa au sein des règles de substitution), nous montrons que l'approche symbolique de la combinatoire analytique est robuste. En particulier, une étude combinatoire générale des urnes sans condition d'équilibre est réalisée pour la première fois, unissant toute urne à une équation aux dérivées partielles.

Le but de cette thèse est d'établir des résultats énumératifs sur certaines classes de chemins et d'animaux. Ces résultats sont obtenus en appliquant la théorie des empilements de pièces développée par Viennot. Nous étudions les excursions discrètes (ou chemins de Dyck généralisés) de hauteur bornée; nous obtenons des interprétations combinatoires et des extensions de résultats de Banderier, Flajolet et Bousquet-Mélou. Nous décrivons et énumérons plusieurs classes de chemins auto-évitants, dits chemins faiblement dirigés. Ces chemins sont plus nombreux que les chemins prudents qui forment la classe naturelle la plus grande jusqu'alors. Nous calculons le périmètre de site moyen des animaux dirigés, prouvant des conjectures de Conway et Le Borgne. Enfin, nous obtenons des résultats nouveaux sur l'énumération des animaux de Klarner et les animaux multi-dirigés de Bousquet-Mélou et Rechnitzer.

Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la présence d’imperfections sur les marchés. Notre approche principale pour leur résolution est l’utilisation d’un cadre asymptotique pertinent dans lequel nous parvenons à obtenir des solutions approchées explicites pour les problèmes de contrôle associés. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons à l’évaluation et la couverture des options européennes. Nous considérons tout d’abord la problématique de l’optimisation des dates de rebalancement d’une couverture à temps discret en présence d’une tendance dans la dynamique du sous-jacent. Nous montrons que dans cette situation, il est possible de générer un rendement positif tout en couvrant l’option et nous décrivons une stratégie de rebalancement asymptotiquement optimale pour un critère de type moyenne-variance. Ensuite, nous proposons un cadre asymptotique pour la gestion des options européennes en présence de coûts de transaction proportionnels. En s’inspirant des travaux de Leland, nous développons une méthode alternative de construction de portefeuilles de réplication permettant de minimiser les erreurs de couverture. La seconde partie de ce manuscrit est dédiée à la question du suivi d’une cible stochastique. L’objectif de l’agent est de rester proche de cette cible tout en minimisant le coût de suivi. Dans une asymptotique de coûts petits, nous démontrons l’existence d’une borne inférieure pour la fonction valeur associée à ce problème d’optimisation. Cette borne est interprétée en terme du contrôle ergodique du mouvement brownien. Nous fournissons également de nombreux exemples pour lesquels la borne inférieure est explicite et atteinte par une stratégie que nous décrivons. Dans la dernière partie de cette thèse, nous considérons le problème de consommation et investissement en présence de taxes sur le rendement des capitaux. Nous obtenons tout d’abord un développement asymptotique de la fonction valeur associée que nous interprétons de manière probabiliste. Puis, dans le cas d’un marché avec changements de régime et pour un investisseur dont l’utilité est du type Epstein-Zin, nous résolvons explicitement le problème en décrivant une stratégie de consommation-investissement optimale. Enfin, nous étudions l’impact joint de coûts de transaction et de taxes sur le rendement des capitaux. Nous établissons dans ce cadre un système d’équations avec termes correcteurs permettant d’unifier les résultats de [ST13] et[CD13]
In this thesis, we study several mathematical finance problems related to the presence of market imperfections. Our main approach for solving them is to establish a relevant asymptotic framework in which explicit approximate solutions can be obtained for the associated control problems. In the first part of this thesis, we are interested in the pricing and hedging of European options. We first consider the question of determining the optimal rebalancing dates for a replicating portfolio in the presence of a drift in the underlying dynamics. We show that in this situation, it is possible to generate positive returns while hedging the option and describe a rebalancing strategy which is asymptotically optimal for a mean-variance type criterion. Then we propose an asymptotic framework for options risk management under proportional transaction costs. Inspired by Leland’s approach, we develop an alternative way to build hedging portfolios enabling us to minimize hedging errors. The second part of this manuscript is devoted to the issue of tracking a stochastic target. The agent aims at staying close to the target while minimizing tracking efforts. In a small costs asymptotics, we establish a lower bound for the value function associated to this optimization problem. This bound is interpreted in term of ergodic control of Brownian motion. We also provide numerous examples for which the lower bound is explicit and attained by a strategy that we describe. In the last part of this thesis, we focus on the problem of consumption-investment with capital gains taxes. We first obtain an asymptotic expansion for the associated value function that we interpret in a probabilistic way. Then, in the case of a market with regime-switching and for an investor with recursive utility of Epstein-Zin type, we solve the problem explicitly by providing a closed-form consumption-investment strategy. Finally, we study the joint impact of transaction costs and capital gains taxes. We provide a system of corrector equations which enables us to unify the results in [ST13] and [CD13]

Dans la première partie, on étudie la probabilité de retour des groupes métabéliens de type fini. On donne une caractérisation des tels groupes avec grande probabilité de retour en des termes purement algébriques, à l’aide de la dimension de Krull. Cela nécessite, pour les groupes métabéliens, une variation d’un théorème de Kaloujnine et Krasner qui respecte cette dimension. Au passage, on obtient des bornes inférieures et supérieures sur la probabilité de retour des groupes métabéliens en fonction de la dimension de Krull. La seconde partie concerne les profils isopérimétriques des groupes localement compacts compactement engendrés, qu’on utilise pour caractériser l’existence d’une suite de paires de Følner. On démontre que le profil isopérimétrique augmente lorsqu’on passe au quotient, avec des constantes indépendantes de l’échelle, améliorant une théorème de Tessera. Combinant les deux, on obtient que l’existence de suites de paires de Følner passe au quotient. On montre qu’elle passe au sous-groupe fermé, généralisant un résultat correspondant d’Erschler pour les groupes de type fini. Cela permet d’obtenir une preuve plus auto-contenue du théorème principal de la première partie.La troisième partie est un travail en commun avec Kropholler dans lequel on étudie la structure des groupes résolubles de rang sans torsion infini n’ayant pas de section isomorphe à ZwrZ. On en déduit qu’en présence d’une dimension de Krull, ce type de section est la seule obstruction à la finitude du rang sans torsion
In the fist part, we study the return probability of finitely generated metabelian groups. We give a characterization of such groups with large return probability in purely algebraic terms, namely the Krull dimension of the group. To do so, we establish, for metabelian groups, a variation of a famous embedding theorem of Kaloujinine and Krasner that respects this dimension. Along the way, we obtain lower and upper bounds on the return probability of metabelian groups according to their dimension.The second part of this thesis deals with isoperimetric profiles of locally compact compactly generated groups, that we use to characterize the existence of sequences of Følner couples. We generalize at a compact scale previous results of Tessera, in particular that they increase when going to a quotient group, so as to state in more generality a result from the first part, namely that the existence of Følner couples goes to a quotient group. We also prove that it goes to a closed subgroup. This allows to obtains a more self-contained proof of the main result of the first part of this thesis.The third part is a joint work with Kropholler in which we study the structure of soluble groups of infinite torsion-free rank with no ZwrZ. As a corollary, we obtain that a finitely generated soluble group with Krull dimension has finite torsion-free rank if and only if it has no ZwrZ