Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Inégalités matricielles linéaires et bilinéaires“

Le récent développement des LMI a conduit a envisager la synthèse de la commande sous l'angle d'un problème d'optimisation multicritères. L'évolution croissante des activités spatiales ainsi que la flexibilité de ses structures génèrent des spécifications de robustesse et de performance de plus en plus contraignantes. Pour faire face a cette complexité croissante, nous nous sommes naturellement orientes vers la mise au point d'algorithmes génériques bases sur l'utilisation de LMI, en tenant compte des problèmes délicats de conditionnement qui caractérisent ce type de systèmes. Afin de gérer ces spécifications, nous utilisons une résolution de type commande mixte h 2/h par retour de sortie pour les systèmes linéaires continus et discrets. Pour optimiser l'implémentation, une réduction de l'ordre des correcteurs ainsi obtenus est réalisée. Les travaux de ce mémoire ont été développes en collaboration avec la société matra marconi space sous l'agie du CNES et appliqués au contrôle de ligne de visée ainsi qu'au contrôle d'attitude des satellite de télécommunications. L'approche précédente, basée sur les LMI, peut être appliquée à la classe particulière des systèmes bilinéaires. Nous proposons donc une synthèse par LMI d'observateurs et de correcteurs pour ces systèmes. Nous nous attachons a la caractérisation des observateurs d'ordre plein à entrées inconnues avec découplage entre ces dernières et l'erreur d'observation en assurant une convergence exponentielle et uniforme vis-à-vis des entrées. Nous avons établi une généralisation de cette approche au cas des systèmes singuliers, ainsi qu'une extension, par le biais d'un paramétrage de la solution des LMI, aux générateurs de résidus. Puis, nous avons propose une synthèse de correcteurs d'ordre réduit bases sur un observateur avec l'introduction d'un critère de type gain induit en garantissant une stabilité exponentielle
The growing power and popularity of LMI rnethods for control yield to consider the control design problem as a multiobjectives optimization one. The growing evolution of aerospace activities and the flexibility of its structures require more and more constraining robustness and performance specifications. In face of this growing complexity, we turn to the use of generical LMI-based algorithms, taking into account the poor conditionning of such systems. To treat this kind of specifications, we use a mixed H2/H[infini] output feedback control for both continuous and dis crete time linear systems. To facilitate its implementation, an arder reduction of the obtained controller is then realized. This thesis work was realized under a collaboration between Matra Marconi Space and the CNES, and applied to the line sight and attitude control of a telecommunication satellite

La commande et l'estimation des systèmes bilinéaires restent un problème ouvert en automatique du fait de la nature non linéaire des systèmes. Même si ces systèmes semblent proches des systèmes linéaires, leur étude nécessite une approche différente. En effet, les entrées peuvent générer des singularités qui doivent être explicitement prises en compte dans la synthèse de lois de commande et des observateurs. Cette spécifité du rôle des entrées dans les propriétés des systèmes bilinéaires nous a amenés à traiter le problème de l'observation à partir de deux approches : - une approche de type LPV (Linear Parameter Varying, Linéaire à Paramètres Variants) ; une approche basée sur l'analyse structurelle des systèmes. L'une des contributions présentées dans ce mémoire réside dans l'utilisation de l'approche LPV pour la prise en compte des entrées de commande afin de concevoir un observateur pour les systèmes bilinéaires. L'approche H8 pour le filtrage des perturbations a été étudiée pour deux types d'observateurs, l'observateur à grand gain et l'observateur fonctionnel. Des approches LMI permettent la synthèse et l'optimisation de ces filtres. Ainsi différentes commandes saturées basées sur ces observateurs ont été proposées : la commande bang bang, la commande quadratique, la commande linéaire, l'utilisation couplée de di_érentes commandes. Une autre partie de mon travail a consisté à exploiter la structure des systèmes bilinéaires afin de relaxer le conservatisme dans le traitement des entrées lors de la synthèse d'un observateur. Nous avons ainsi conçu des observateurs à deux étages afin de séparer les dynamiques uniformément observables et celles qui ne le sont pas afin d'y appliquer différents types d'observateurs LPV. Cette approche montre en outre les possibilités d'association de divers types d'observateurs pour les systèmes de grandes dimensions
The control and the estimation of the bilinear systems remain an unsolved problem in control theory because of the nonlinear nature of the systems. Even if these systems seem close to the linear systems, their study requires a different approach. Indeed, control input can generate singularities which must be explicitly taken into account in the synthesis of the control laws and the observers. Therefore the problem of the observation was treated following two main approaches : LPV approach ; approach based on the structural analysis of the bilinear systems. One of the contributions presented in this thesis is the use of the LPV approach taking into account the inputs of command in order to design an observer for the bilinear systems. The H8 approach for filtering of the disturbances was studied for two kinds of observers, the observer with high gain, especially adapted to the uniformly observable systems, and the functional observer. LMI approaches allow the synthesis and the optimization of these filters. So thanks to this approach, various saturated control laws based on these observers were proposed : bang bang control, quadratic control, linear control, coupled use of controls. Another part of this thesis focuses on exploiting the structure of the bilinear systems in order to reduce conservatism in the processing of the inputs in observer synthesis. A two-stage observer is designed in order to separate dynamics of the uniformly observable part and those of the non uniformly observable part, in order to apply various types of LPV observers to each part. Moreover this approach shows the possibilities of association of various types of observers for the large-scale systems

Cette thèse présente des contributions aux problèmes d’analyse de stabilité et de synthèse de contrôleurs par retour d’état pour des systèmes dynamiques qui ont des éléments non-linéaires, à partir de conditions sous la forme d’inégalités matricielles linéaires et de fonctions de Lyapunov. Pour les systèmes à commutations soumis à saturation sur les actionneurs, sont fournies des conditions convexes pour le calcul des gains commutés et robustes. La saturation est modélisée comme une non-linéaritéde secteur et une estimation du domaine de la stabilité est déterminée. Pour les systèmes linéaires avec des incertitudes polytopiques et des non-linéarités de secteurs,sont fournies des conditions convexes de dimension finie pour construire des fonctions de Lur’e avec dépendance polynomiale homogène en les paramètres. Si elles sont satisfaites, les conditions garantissent la stabilité pour tout le domaine d’incertitudes et pour toutes les non-linéarités dans le secteur, et permettent le calcul de contrôleurs stabilisants robustes par retour linéaire et non-linéaire. Pour les systèmes bilinéaires instables, continus et en temps discret, est fournie une procédure pour calculer un gain stabilisant de commande par retour d’état. La méthode est basée sur la solution alternée de deux problèmes d’optimisation convexe décrits par des inégalités matricielles linéaires, et caractérise une estimation du domaine de la stabilité. Des extensionspourtraiterles contrôleurs robustes etlinéaires variants avec des paramètres sont aussi présentées
This thesis presents contributions to the solution of theproblems of stability analysis and synthesis of state feedback controllers for dynamic systems with non-linear elements, by means of conditions based on linear matrix inequalities and Lyapunov functions. For switched systems subject to saturation in the actuators, convex conditions to design switched and robust controllers are presented. The saturation is modeled as a sector non-linearity and an estimate of the domain of stability is determined. For linear systems with polytopic uncertainties and sector non-linearities, convex conditions of finite dimension to build Lur’e functions with homogeneous polynomially parameter dependence are provided. If satisfied, the conditions guarantee the stability of the entire domain of uncertainty for all sector non-linearities, allowing the design oflinear and non-linear robust statefeedback stabilizing controllers. For continuous and discrete-time unstable bilinear systems, a procedure to design a state feedback stabilizing control gain is proposed. The method is based on the alternate solution of two convex optimization problems described by linear matrix inequalities, providing an estimate of the domain of stability. Extensions to handle robust and linear parameter varying controllers are also presented

Les travaux présentés dans ce mémoire de thèse visent à développer de nouvelles approches basées sur une nouvelle classe particulière d’estimateurs d´état : les filtres dits par intervalles. Tout comme la classe des observateurs intervalles, l’objectif est d’estimer les bornes supérieures et inférieures des états d’un système, à chaque instant de temps. L’approche proposée repose sur la théorie des systèmes monotones et sur la connaissance a priori du domaine d’appartenance, supposé borné, des incertitudes de modèle et des entrées exogènes (perturbations, bruit de mesure, etc). L’élément clé de l’approche proposée repose sur l’utilisation de filtre d’ordre quelconque, sans structure a priori fixée, plutôt qu’une structure basée sur l’observateur (reposant uniquement sur une structure dynamique du système étudié). La synthèse des paramètres du filtre repose sur la résolution d’un problème d’optimisation sous contraintes de type inégalités matricielles linéaires et bilinéaires (LMI et BMI) permettant de garantir simultanément les conditions d’existence du filtre ainsi qu’un niveau de performance, soit dans un contexte énergie, soit dans un contexte amplitude ou soit dans un contexte mixte énergie/amplitude. La méthodologie de synthèse proposée est illustrée sur un exemple académique et est comparée avec d’autres méthodes existantes dans la littérature. Enfin, la méthodologie est appliquée au cas du contrôle d’attitude et d’orbite d’un satellite, sous des conditions de simulations réalistes
The work of this thesis aims at developing new approaches based on a new particular class of state estimators, the so-called interval or ensemble filters.Like the class of interval observers, the objective is to estimate, in a guaranteed way, the upper and lower bounds of the states of a system, at each time instant.The proposed approach is based on the theory of monotonic systems and on the knowledge of the domain of membership, supposedly bounded, of the uncertainties of the system, such as disturbances, noise and bias of sensors, etc.The key element of the proposed approach is to use a filter structure advantage, rather than an observer-based structure (relying only on a dynamic structure of the studied system).The synthesis of the filter parameters is based on the resolution of a constrained optimization problem of linear and bilinear matrix inequalities (LMI and BMI) allowing to guarantee simultaneously the existence conditions of the filter as well as a performance level, either in an energy context for LTI systems, or in an amplitude context or in a mixed energy/amplitude context for LPV systemsThe proposed synthesis methodology is illustrated on an academic example and is compared with other existing methods in the literature. Finally, the methodology is applied to the case of attitude and acceleration control of a satellite, under realistic simulation conditions

Cette thèse présente des contributions aux problèmes d'analyse de stabilité et de synthèse de contrôleurs par retour d'état pour des systèmes dynamiques qui ont des éléments non-linéaires, à partir de conditions sous la forme d'inégalités matricielles linéaires et de fonctions de Lyapunov. Pour les systèmes à commutations soumis à saturation sur les actionneurs, sont fournies des conditions convexes pour le calcul des gains commutés et robustes. La saturation est modélisée comme une non-linéarité de secteur et une estimation du domaine de la stabilité est déterminée. Pour les systèmes linéaires avec des incertitudes polytopiques et des non-linéarités de secteurs, sont fournies des conditions convexes de dimension finie pour construire des fonctions de Lur'e avec dépendance polynomiale homogène en les paramètres. Si elles sont satisfaites, les conditions garantissent la stabilité pour tout le domaine d'incertitudes et pour toutes les non-linéarités dans le secteur, et permettent le calcul de contrôleurs stabilisants robustes par retour linéaire et non-linéaire. Pour les systèmes bilinéaires instables, continus et en temps discret, est fournie une procédure pour calculer un gain stabilisant de commande par retour d'état. La méthode est basée sur la solution alternée de deux problèmes d'optimisation convexe décrits par des inégalités matricielles linéaires, et caractérise une estimation du domaine de la stabilité. Des extensions pour traiter les contrôleurs robustes et linéaires variants avec des paramètres sont aussi présentées.

Les approches H∞ sont maintenant classiques pour aborder les problèmes de commande robuste. Mais elles conduisent en général à des correcteurs d'ordre élevé, et ne permettent pas de prendre en compte des contraintes de structure du correcteur. L'utilisation des inégalités matricielles linéaires permet certes de rechercher un correcteur d'ordre et de structure donnés, mais elle conduit à un problème d'optimisation non convexe. Dans cette optique, plusieurs algorithmes itératifs ont été mis au point: la K-itération permet la synthèse d'un correcteur d'ordre fixé par l'introduction d'un scalaire paramétrant l'espace des solutions; la RA-BMI est une résolution alternative d'une inégalité matricielle bilinéaire par utilisation conjointe d'un algorithme de descente coordonnée et d'une approche de type gradient. Nous avons également proposé une nouvelle formulation du lemme borné réel qui permet de relaxer les inégalités matricielles par l'ajout de nouvelles variables, et débouche sur 2 algorithmes de synthèse supplémentaires. Enfin la difficulté de prendre en compte des spécifications de natures très diverses nous a conduit à envisager d'autres outils d'optimisation, et à combiner les approches précédentes avec l'utilisation d'algorithmes génétiques. Ceux-ci peuvent en effet prendre en compte de manière explicite la totalité des spécifications et se placent ainsi dans la classe des outils d'optimisation multi-critères. Deux cas d'application ont été utilisés pour valider les approches proposées: la régulation d'un générateur de vapeur proposée par le groupe Contrôle Commande de Centrales d'EDF, et l'atténuation de vibrations par suspension active
The H∞ approach is nowadays a classic tool to design robust controllers. Unfortunately it usually leads to high order control laws, and do not takes into account their structure. It is possible to use matrix inequalities to derive controller of given order or structure but the corresponding problem is then non convex. According to these considerations, some iterative algorithms have been developed: the K-iteration synthesis which designs fixed order controllers by adding a scalar unknown parametrizing the search space; the RA-BMI synthesis is an approach using a coordinate search together with a gradient search and can deal with fully free controller structure. We also derived new equivalent formulations for the bounded real lemma and then used them to design two new synthesis algorithms. At least, the difficulty to consider a wide range of different specifications with the H∞ approach, made us take into consideration other optimization tools such as the Genetic Algorithms and made them combine with the former approaches. Indeed the genetic algorithm can deal all kinds of specifications as well as all kinds of structures for the control law. Two benchmarks have been used to validate our work: the regulation of a steam generator proposed by the Contrôle Commande de Centrales of Electricité de France, and the control of an active suspension system

Dans cette thèse, on s’est intéressé à deux thèmes principaux de la théorie de contrôle, à savoir l’étude des systèmes à retard et l’observation des systèmes impulsifs. Dans la 1ère partie, on a traité le problème de la stabilité et la stabilisation absolue des systèmes de Lur’e à retard variable dans un intervalle. Les critères sont fournis sous forme d’inégalité linéaire matricielle (LMI). Ensuite, on a étudié la stabilité pratique exponentielle d’une classe de systèmes non linéaires non autonomes à retard, dont l’origine n’est pas un point d’équilibre. Dans la 2ème partie, on a entamé le problème de la stabilisation pratique uniforme exponentielle d’un système non linéaire à retard multiple, via un contrôle linéaire. Finalement, on a construit des observateurs pour des systèmes impulsifs linéaires et non linéaires, en s’inspirant de ceux déjà établis dans le cas continu. Un principe de séparation est aussi établi
In this thesis, we focused on two main themes of control theory, namely the study of delay systems and observation of impulsive systems. In the first part, we treated the problem of absolute stability and stabilization of Lur'e systems with variable delay in range. The criteria are provided in the form of linear matrix inequalities(LMI). Then we studied the exponential stability of a practical class of non autonomous nonlinear systems with delay, whose origin is not a point of equilibrium. In the second part, we began the problem of practical stabilization of uniform exponential nonlinear systems with multiple delays via linear control. Finally, we built observers for linear and nonlinear impulsive systems, inspired by those already established in the continuous case. A separation principle is also established

Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur la commande multi-contrôleurs de systèmes non linéaires. Deux hypothèses de base concernant le procédé considéré sont associées à cette étude. La première repose sur le fait que les non-linéarités sont suffisamment importantes pour qu’un unique contrôleur linéaire ne puisse pas donner d’assez bonnes performances. La deuxième hypothèse est basée sur le fait que nous avons à notre disposition un minimum d’informations sur le comportement du système : connaissance d’un ensemble fini de points de fonctionnement et des dynamiques locales correspondantes. La commande multi-contrôleurs permet la commutation de lois de commandes selon l’environnement du procédé. Elle autorise l’utilisation de contrôleurs obtenus par des méthodes diverses et a l’avantage de réagir plus rapidement qu’une commande adaptative classique à un changement brusque de l’environnement. Elle va consister en deux étapes. La première étape se sert de la deuxième hypothèse précitée. En effet, connaissant a priori le comportement du système autour de plusieurs points de fonctionnement, la synthèse de contrôleurs locaux est possible. L’étape suivante consiste à prendre en compte ces contrôleurs locaux afin d’élaborer le signal de commande effectivement appliqué au procédé. Ce rôle est rempli par un “commutateur” contrôlé par un superviseur. La synthèse d’un commutateur et d’un superviseur sont deux étapes cruciales. Ce mémoire présente tout d’abord différentes approches de la commande multi-contrôleurs. Plusieurs méthodes sont envisageables en considérant la structure du contrôleur local, la structure du commutateur et du superviseur. Deux types de commutateurs sont étudiés : le premier consiste à sélectionner un seul contrôleur parmi l’ensemble des contrôleurs locaux (commutation franche). Le deuxième est nommé “commutateur flou”. Il s’agit en fait d’un “mélangeur” capable de pondérer les différents signaux de commande. Deux types de mélangeurs sont envisagés : Takagi-Sugeno-Kang (TSK) et système symbolique flou. Quelques propriétés de stabilité sont en outre apportées à l’aide de fonctions de Lyapunov locales et de leurs dérivées, et en résolvant un ensemble d’inégalités matricielles. Nous gardons ainsi la philosophie du multi-contrôleurs en calculant la dérivée d’une fonction de Lyapunov globale à partir de dérivées de fonctions de Lyapunov locales. Finalement, une application à un poignet de robot est présentée. L’objectif est de valider certaines de nos approches en exposant des résultats expérimentaux.

Cette thèse porte sur la commande robuste en temps discret de systèmes stationnaires et non stationnaires avec application au pilotage de missiles. La partie théorique du mémoire traite principalement de deux méthodes de synthèse de correcteurs en temps discret: la synthèse H∞ avec contrainte d'ordre et la synthèse de correcteurs Linéaires à Paramètres Variants par optimisation de gain L2. Dans les deux cas, ces problèmes sont résolus en tenant compte de la présence éventuelle de plusieurs cadences d'échantillonnage dans l'architecture de la loi de commande recherchée. Les méthodes de résolution reposent sur l'utilisation des inégalités matricielles affines (LMI). La partie pratique du mémoire porte sur l'application de ces méthodes de synthèse à trois cas de figure: le pilotage non-linéaire de la voie de tangage d'un missile fortement manœuvrant, le contrôle des trois voies d'un missile piloté en dérapage en phase manœuvrant et le pilotage d'un missile de croisière sur une large enveloppe de vol. Ces applications permettent de mettre en lumière les avantages et éventuelles limitations de l'utilisation des méthodes proposées pour l'élaboration de lois de pilotage de missiles
This thesis deals with discrete-time robust control techniques for stationary and non-stationary systems with application to missile control. On a theoretical point of view, this dissertation mainly concerns two discrete-time synthesis problems : the fixed-order H∞ synthesis and the synthesis of LPV controllers based on an L2-gain optimisation. The proposed methods tackle with both single-rate and multirate cases and rely on LMI optimisation. The practical application of those methods is detailed in three case studies : the non-linear control of a missile with a high level of manoeuvrability, the six degree-of-freedom control of a manoeuvring skid-to-turn missile and the control of a missile on a wide flight envelop. These case studies point out the advantages and the possible limitations of the proposed techniques to design missile control laws