Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Hybridizable DG“

Abstract In this paper we propose and analyze a mixed discontinuous Galerkin (DG) method and an hybridizable DG (HDG) method for the stationary magnetohydrodynamics (MHD) equations with two types of boundary (or constraint) conditions. The mixed DG method is based on a recent work proposed by Houston et al. (2009, A mixed DG method for linearized incompressible magnetohydrodynamics. J. Sci. Comput., 40, 281–314) for the linearized MHD. With two novel discrete Sobolev embedding type estimates for the discontinuous polynomials, we provide a priori error estimates for the method on the nonlinear MHD equations. In the smooth case we have optimal convergence rate for the velocity, magnetic field and pressure in the energy norm; the Lagrange multiplier only has suboptimal convergence order. With the minimal regularity assumption on the exact solution, the approximation is optimal for all unknowns. To the best of our knowledge, these are the first a priori error estimates for DG methods for the nonlinear MHD equations. In addition, we also propose and analyze the first divergence-free HDG method for the problem with several unique features comparing with the mixed DG method.

Abstract Hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) methods retain the main advantages of standard discontinuous Galerkin (DG) methods, including their flexibility in meshing, ease of design and implementation, ease of use within an $hp$-adaptive strategy and preservation of local conservation of physical quantities. Moreover, HDG methods can significantly reduce the number of degrees of freedom, resulting in a substantial reduction of computational cost. In this paper, we study an HDG method for the second-order elliptic problem with discontinuous coefficients. The numerical scheme is proposed on general polygonal and polyhedral meshes with specially designed stabilization parameters. Robust a priori and a posteriori error estimates are derived without a full elliptic regularity assumption. The proposed a posteriori error estimators are proved to be efficient and reliable without a quasi-monotonicity assumption on the diffusion coefficient.

Une méthode haut ordre de résolution des équations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible basée sur une discrétisation éléments finis Galerkin discontinu hybride est présentée pour laquelle la stabilité énergétique est assurée et la masse et la quantité de mouvement sont conservées. La formulation calcule exactement des champs de vitesse solénoïdaux pour des types d'élément standard sans avoir recours à des opérateurs de post-traitement ou à des espaces fonctionnels \textit{H}(div) conformes. Ceci est réalisé en proposant une définition simple et nouvelle de l'espace fonctionnel pour la pression, de sorte qu'il contienne la divergence de la vitesse discrétisée. Une attention particulière est accordée à l'application de cette méthode à différentes formes d'éléments en introduisant le concept d'éléments d'ordre réduit pour toutes les formes standard en 2D et 3D. En outre, la contrainte d'incompressibilité est gérée via la condensation statique pour résoudre le problème du point selle. De plus, dans le but de simuler des écoulements à nombres de Reynolds élevés, la signification de la stabilisation de la diffusion dans le cadre discontinue de Galerkin hybride est analysée. Alors que dans la littérature, le terme de stabilisation de la diffusion est directement proportionnel à la diffusivité ou à la viscosité pour les équations de Navier-Stokes, la présente étude dérive mathématiquement une nouvelle expression pour le terme de stabilisation de diffusion où le terme est inversement proportionnel à la diffusivité ou à la viscosité. Son importance pour les écoulements dominés par la convection est soulignée et étayée par de nombreux exemples numériques. De plus, la formulation proposée pour les équations de Navier-Stokes en régime incompressible est étendue pour résoudre ces équations en moyenne de Reynolds (RANSE) pour les modèles de turbulence TNT, BSL et SST $ k- \omega $ pour des nombres de Reynolds jusqu'à $ 10 ^ 9 $. La résolution des équations en formulation RANSE est une tâche difficile pour les méthodes d'ordre élevé, en raison de profils non réguliers des quantités caractérisant la turbulence. Dans le cadre de la formulation Galerkin discontinu, l'approximation polynomiale de ces quantités conduit à de grandes oscillations qui impactent le solveur non linéaire. Compte tenu de la complexité des méthodes d'ordre élevé et des erreurs de modélisation assez importantes de la modélisation RANS, les méthodes d'ordre inférieur sont par conséquent, souvent considérées dans la littérature comme plus pragmatiques. Cependant, cette thèse montre que la résolution des équations RANSE avec la méthode d'ordre élevé proposée est robuste et conduit à des amplitudes d'erreur significativement plus faibles par rapport aux solveurs basés sur les volumes finis du second ordre. De plus, on observe une réduction remarquable du nombre d'itérations pour obtenir une solution convergée. Une attention particulière est portée au traitement du taux spécifique de dissipation de la turbulence $\omega$ dans le cadre des approximations d’ordre élevé. Les possibilités et les limites de la simulation d'écoulements incompressibles industriels à l'aide de cette formulation haut-ordre sont évaluées afin de tirer des conclusions générales pour les applications industrielles
A high-order energy-stable method for solving the incompressible Navier-Stokes equations based on hybrid discontinuous Galerkin method is presented for which the mass and momentum are conserved. The formulation computes exactly pointwise divergence-free velocity fields for standard element types without post-processing operators nor using \textit{H}(div)-conforming spaces. This is achieved by proposing a simple and novel definition to the functional space of the pressure, such that it contains the divergence of the approximate velocity. Specific focus is given on applying this method on different element shapes by introducing the concept of reduced-order elements for all standard shapes in 2D and 3D. Further, the incompressibility constraint is handled via the static condensation to solve the saddle point problem. Furthermore, with the aim to simulate high Reynolds numbers flows, the significance of the diffusion stabilization in the hybridizable discontinuous Galerkin framework is analyzed. Referring to literature, the diffusion stabilization term is directly proportional to the diffusivity or the viscosity for the Navier-Stokes equations. In this work, a new expression for the diffusion stabilization term is mathematically derived, where the term is inversely proportional to the diffusivity or viscosity. Its importance for convection dominated flows is emphasized and supported by numerical examples.Moreover, the proposed formulation for the incompressible Navier-Stokes is extended to solve the RANSE for the TNT, BSL, and SST $k-\omega$ models for Reynolds numbers up to $10^9$.Solving RANSE is a resilient task for high-order methods, due to the non-smooth profiles of the turbulence quantities. In the discontinuous Galerkin framework, the polynomial approximation for these quantities leads to large oscillations that obstruct the non-linear solver. Taking into account the complexity with high-order methods and the fairly large modeling errors of the RANS modeling, low-order methods are believed to be more pragmatic. However, it is illustrated that solving RANSE with high-order methods leads to significantly smaller error magnitudes compared with second-order finite volume based solvers. Additionally, there is a remarkable improvement regarding the number of iterations to obtain a converged solution. Attention is given to the treatment of the specific rate of turbulence dissipation $\omega$ in the high-order framework. The possibilities and limitations of simulating industrial incompressible flows using discontinuous Galerkin based methods are assessed in order to draw some general conclusions for industrial applications