Dissertationen zum Thema „Hole spin quantum bit“

Les bits quantiques de spin (qubits) établis dans des boîtes quantiques au sein de semiconducteurs du groupe IV constituent une plateforme prometteuse en vue de futurs processeurs quantiques à grande échelle, du fait de leur faible encombrement et de leur processus de fabrication compatibles avec l'industrie des semiconducteurs traditionnelle. En particulier, les particules de trous ont gagné en attention ces dernières années en vue de leur potentiel en tant que qubit de spin car elles permettent une manipulation rapide de l'orientation du spin, entièrement induites par des champs électriques grâce à leur couplage spin-orbite intrinsèquement important. Ce dernier est toutefois à double tranchant car il expose aussi le spin de trou à des fluctuations électriques indésirables provenant du milieu environnant, ce qui en somme, dégrade le temps de cohérence du qubit. Au cours des dernières années, de nombreux efforts ont été déployés pour réduire l'influence du bruit électrique provenant de l'environnement sur les qubits de spins, révélant ainsi l'existence de points préférentiels, appelés "sweetspots", où le temps de cohérence est grandement étendu dépendamment de l'orientation du champ magnétique.Dans ce manuscrit, l'accent est mis sur la caractérisation des contributions de bruit électrique ayant un impact sur un qubit de spin à trou unique en fonction de l'orientation du champ magnétique dans un échantillon de silicium naturel dopé P ayant une structure MOS. La particule de trou est confinée spatialement dans une boîte quantique définie électrostatiquement à l'intérieur du dispositif. L'orientation de son spin est lue par réflectométrie radio-fréquence basée sur une méthode de discrimination en énergie des états de spin. Nous démontrons expérimentalement que les "sweetspots" précédemment mentionnés appartiennent en fait à des lignes continues, dites "sweetlines" autour de la sphère angulaire du champ magnétique, en accord avec les prédictions théoriques. Nous montrons également qu'en plus d'un temps de cohérence étendu, le fonctionnement des sweetlines est compatible avec une manipulation efficace avec des fréquences de Rabi, f_R, dépassant confortablement 10 MHz, et un facteur de qualité défini comme Q = 2 f_R T_2^R s'élevant jusqu'à environ 690, rivalisant avec les estimations rapportées pour les électrons. En outre, cette étude met en évidence un contrôle accru de la position angulaire des sweetlines en fonction de la tension de grille. Ceci constitue un aspect particulièrement important dans le contexte d'une future implémentation à plus grande échelle. Enfin, l'étude expérimentale de ces points de fonctionnement optimaux est reproduite pour un système à deux qubits soulignant l'importance des sweetlines pour les systèmes de qubits de spin
Spin quantum bits (qubits) established in group-IV semiconductor quantum dots structures (QD) embody a promising platform for large-scale quantum processors leveraging on small footprint and compatible fabrication processes with mainstream semiconductor industry. In particular, hole particles recently gained attention as spin qubit platform as they enable fast and all-electrical manipulation due to their intrinsically large spin-orbit coupling. The latter coupling however stands as a two-edged sword as it also exposes the hole spin to undesired interactions with the surrounding environment, which in turn degrade the qubit coherence time. Over the past years, many efforts have been conducted to mitigate electrical noise influence stemming from the environment thus revealing the existence of preferential points of enhanced coherence time, named ``sweetspots'', depending on magnetic field orientation.In this manuscript, the emphasis is laid on the characterization of electrical noise contributions impacting a single hole spin qubit with respect to magnetic field orientation on a P-doped natural silicon-MOS architecture. The hole particle is spatially confined in a QD defined electrostatically within the device. Spin orientation is readout by radio-frequency reflectometry based on energy-selective readout method. We experimentally demonstrate that the reported ``sweetspots'' belong in fact to continuous ``sweetlines'' wrapped around the sphere of magnetic-field polar-angle components, in agreement with theoretical predictions. We also show that, in addition to extended coherence time, sweetline operation is compatible with efficient electric-dipole spin resonance with Rabi frequencies, f_R, comfortably exceeding 10 MHz, and a qubit quality factor Q = 2 f_R T_2^R as high as 690, competing with reported values for electrons. Our study evidences ample gate-voltage control of the sweetlines position in magnetic field, an aspect particularly relevant in the purview of scalability. Finally, the experimental investigation of such optimal operation points is extended to a two qubit system as a proof of concept underscoring the importance of sweetlines tuning for spin qubit systems

As the technology underlying modern electronics advances, it is unlikely that previous rates of power use and computational speed improvement can be maintained. Devices using the spin of an electron or hole, "spintronic" systems, can begin to address these problems, creating new devices which can be used as a continuation and augmentation of existing electronic systems. In addition, spintronic devices could make special use of coherent quantum states, making it feasible to address certain problems which are computationally intractable using classical electronic components. Unlike higher-dimensional nanostructures such as quantum wires and wells, quantum dots allow a single electron or hole to be confined to the dot. Through the spin-orbit effect, the electron and hole g-tensor can be influenced by quantum dot shape and applied electric fields, leading to the possibility of gating a single quantum dot and using a single electron or hole spin for quantum information storage or manipulation. In this thesis, the spin of electrons and holes in isolated semiconductor quantum dots are investigated in the presence of electric and magnetic fields using realspace numerical 8-band strain-dependent k · p theory. The calculations of electron and hole g-tensors are then used to predict excitonic g-tensors as a function of electric field. These excitonic g-factors are then compared against existing experimental work, and show that in-plane excitonic g-factor dependence on electric field is dominated by the hole g-factor. The dependence of the electron and hole g-tensors on the applied electric field are then used to propose a class of novel quantum dot devices which manipulate the electron or hole spins in either a resonant or a non-resonant mode. Because of the highly parabolic dependence of some components of the hole g-tensor on the applied electric field, a shift in the Larmor frequency and an additional resonance are predicted, with additional shifts and resonances occurring for higher-order dependencies. Spin manipulation times down to 3.9ns for electrons and 180ps for holes are reported using these methods.

L’optique quantique avec électron est un domaine de recherche en expansion depuis ses débuts au cours des années 90 prenant suite aux premières expériences d’interférence avec électrons réalisées dans les années 80. Ce domaine est dédié à la réalisation d’expérience d’optique quantique avec des électrons plutôt que des photons. Leur intérêt est double, d’une part les électrons étant des fermions de nouveaux phénomènes, en comparaison des photons qui sont des bosons, peuvent être observés. L’électron anti-bunching, en comparaison du bunching des photons obtenu dans des expériences de corrélations en est un exemple. Le deuxième avantage des électrons est le fait qu’ils peuvent être contrôlés et manipulés à l’aide de champ électrique, un tel contrôle n’est pas possible avec des photons. Alors que les composants de base pour la réalisation de ces expériences sont déjà existant comme la lame séparatrice, ou encore les sources cohérentes à électrons uniques, la détection immédiate d’un électron unique dans de telles expériences est toujours manquante. La difficulté étant le faible temps d’interaction entre l’électron en déplacement et le détecteur de charge qui est limité typiquement à moins de 1ns principalement à cause de la vitesse élevée de déplacement de l’électron qui est égale à la vitesse de Fermi soit 10-100km/s. Ce temps d’interaction est environ deux ordres de grandeurs plus petits que ce qui est nécessaire pour le meilleur détecteur de charge démontré jusqu’à présent.Dans ce manuscrit est présenté le développement d’un détecteur ultra-sensible pour la détection immédiate d’un électron se déplaçant à la vitesse de Fermi. Notre stratégie est de détecter un électron unique se déplaçant dans les canaux de bords (ECs) de l’effet Hall quantique à partir de la mesure d’une variation de phase d’un bit quantique singlet-triplet, appelé qubit détecteur par la suite. La détection immédiate de cet électron en déplacement n’étant possible que si l’interaction avec ce dernier induit une variation de phase de pi, avec une lecture immédiate de l’état de spin du qubit détecteur.Grâce au développement et à l’utilisation d’un RF-QPC, cette lecture immédiate de l’état de spin est tout d’abord démontrée. Par la suite le développement du qubit détecteur avec la réalisation d’oscillations cohérentes d’échange est décrit. Sa sensibilité en charge est démontrée avec l’observation d’une phase induite par l’interaction avec un courant d’électrons dans les ECs. Ce courant est imposé par l’application d’un biais de tension contrôlant le potentiel chimique de ces ECs.Après optimisation de ce qubit détecteur pour la détection d’un électron unique, il est calibré en utilisant le même procédé de courant imposé par application d’un biais de tension. Cette calibration nous fournie la variation de signal attendue pour l’interaction avec cette charge unique est indique que sa détection immédiate est impossible dans nos conditions expérimentales. Notre détecteur ayant une sensibilité de charge de l’ordre de 8.10-5 pour une bande passante allant de DC à 1THz. Cette sensibilité est environ deux ordres de grandeur trop petite que ce qui est nécessaire pour la détection immédiate de cette charge unique. Finalement, ce qubit détecteur est utilisé pour détecté, dans une expérience moyennée, ce qui est appelé un edge magneto plasmon composé par moins de 5 électrons. Néanmoins, atteindre la détection de la charge unique dans n’a pas été possible, la sensibilité en charge étant légèrement trop petite pour y arriver.Les différentes limites de notre détecteur sont listées et expliquées tout au long du manuscrit, avec une présentation de différents axes de développement qui devraient permettre de réussir cette détection d’un électron unique dans une nouvelle expérience
The electron quantum optics field is a research topic with an interest growing over the years since the 80's and the first interference experiment with electrons. This field is dedicated to the implementation of quantum optics experiments with electrons instead of photon. The advantage is twofold, one is the fermion nature of the electrons which ensure the observation of phenomenon which cannot be observed with photon (boson), the anti-bunching of the electrons in correlation experiments contrary to the bunching for photons illustrates this point. The second advantage is the possibility to interact and control electrons with electric fields since they are charged particles. Such control does not exist with photon. In addition to these fundamental experiments, it has been recently demonstrated that this topic presents a possible candidate for quantum information with so called flying qubit. While the based components to mimic the quantum optics experiments are already demonstrated like the beam splitter, phase shifter or coherent single electron source, the single electron detection in a single shot manner in such system is still lacking. The difficulty being the short interaction time between the travelling charge and the charge detector, being of less than 1ns in such system where the electron propagate at the Fermi velocity 10-100km/s. This interaction is approximately two orders of magnitude shorter than what is required with the actual best on chip charge detector.In this thesis is presented the development of an ultra-sensitive detector for the single shot detection of an electron travelling at the Fermi velocity. Our strategy was to detect a single travelling electron propagating in the edge channels (ECs) of the quantum Hall effect by measuring the induced phase shift of a singlet-triplet qubit, referred as to the qubit detector. The single shot detection being only possible if the interaction with the travelling electron induces a complete π phase shift and the spin readout of the qubit detector being performed in a single shot manner.Thanks to the development and use of a RF-QPC the single shot spin readout of the qubit detector has been first demonstrated. Its development with the implementation of coherent exchange oscillations is then described. The charge sensitivity of the qubit detector is validated in an experiment consisting in recording a phase shift of these oscillations due to the interaction with an imposed flow of electrons in the ECs. This flow of electron was induced by a DC voltage bias applied on the ECs to tune their chemical potential.This qubit detector is then optimised for the single travelling charge detection. Its calibration has been implemented using the same imposed flow of electrons by application of a DC bias. This calibration provides the expected signal variation induced by the interaction with a single travelling electron, and indicates the impossibility to implement this detection in a single shot manner in our experimental conditions. Our detector exhibits a charge sensitivity estimated close to 8.10-5 e/Hz-1/2 for a detection bandwidth from DC to 1 THz. The sensitivity is close to two orders of magnitude smaller than required for a single shot detection. Finally this qubit detector has been employed to detect in average measurements an edge magneto plasmon composed by less than 5 electrons. However, the single electron level could not be reached in statistical measurement neither, the sensitivity of our qubit detector being too limited.The different limitations of our experiment are listed and explained with the presentation of different axes of development which could permit to succeed this detection in another experiment

Quantum networks lie at the heart of distributed quantum computing and secure quantum communication - research areas that have seen a strong increase of interest over the last decade. Their basic architecture consist of stationary nodes composed of quantum processors which are linked via photonic channels. The key requirement, and at the same time the most demanding challenge, is the efficient distribution of entanglement between distant nodes. The two ground states of single spins confined in self-assembled InGaAs quantum dots provide an effective two-level system for the implementation of quantum bits. Moreover, they offer strong transition dipole moments with outstanding photonic properties allowing for the realisation of close to ideal, high-bandwidth spin-photon interfaces. These properties are combined with the benefits of working in the solid state, such as scalability and integrability of devices, to form a promising candidate for the implementation of fast entanglement distribution. In this dissertation we provide the first implementation of a unit cell of a quantum network based on single electron spins in InGaAs. We use a probabilistic scheme based on spin-photon entanglement and the erasure of which path information to project the two distant spins into a maximally entangled Bell state. The successful generation of entanglement is verified through a reconstruction of the final two-spin state and we achieve an average fidelity of $61.6\pm2.3\%$ at a record-high generation rate of $5.8\,\mathrm{kHz}$. One of the main constraints to the achieved fidelity is the limited coherence of the electron spin. We show that it can be extended by three orders of magnitude through decoupling techniques and develop a new measurement technique, allowing us to investigate the origins of the decoherence which has previously been obscured by nuclear feedback processes. Our results evidence that further extension of coherence is ultimately limited by intrinsic mechanisms closely related to local strain due to the growth method of self-assembled quantum dots. After establishing the intrinsic limits to the electron coherence we investigate the coherence properties of the single hole spin as an alternative two-level system with the potential for higher coherence times. We show that the hole spin coherence is indeed superior to the one of the electron and realise the first successful dynamic decoupling scheme implemented in these systems. We find that the decoherence at low external magnetic fields is still governed by coupling to the nuclear spins whereas it is dominated by electrical noise for fields exceeding a few Tesla. This noise source is extrinsic to the quantum dots and a better understanding offers the potential for further improvement of the coherence time. The findings of this work present a complete study of the coherence of the charge carriers in self-assembled quantum dots and provide the knowledge needed to improve the implementation of a quantum-dot based quantum network. In particular, the combination of spin-spin entanglement and the hole coherence times enable further research towards multidimensional photonic cluster states.

Le travail exposé dans cette thèse de doctorat présente des expériences à basse température dans le domaine de la spintronique quantique sur des hétérostructures à base de germanium. Tout d’abord, les avantages attendus du germaniumpour la spintronique quantique sont exposés, en particulier la faible interaction hyperfine et le fort couplage spin-orbite théoriquement prédits dans le Ge. Dans un second chapitre, la théorie des boites quantiques et systèmes à double boite sont détaillés, en se focalisant sur les concepts nécessaires à la compréhension des expériences décrites plus tard, c’est-à-dire les effets de charge dans les boites quantiques et double boites, ainsi que le blocage de spin de Pauli. Le troisième chapitre s’intéresse à l’interaction spin-orbite. Son origine ainsi que ses effets sur les diagrammes d’énergie de bande sont discutés. Ce chapitre se concentre ensuite sur les conséquences de l’interaction spin-orbite spécifiques aux gaz bidimensionnels de trous dans des hétérostructures de germanium, c’est-à-dire l’interaction spin-orbite Rashba, le mécanisme de relaxation de spin D’Yakonov-Perel ainsi que l’antilocalisation faible.Le chapitre quatre présente des mesures effectuées sur des nanofils coeur coquillede Ge/Si. Dans ces nanofils une boite quantique se forme naturellement et celui-ci est étudié. Un système à double boite quantiques est ensuite formé par utilisation de grilles électrostatiques, révélant ainsi du blocage de spin de Pauli.Dans le cinquième chapitre sont détaillés des mesures demagneto-conductance de gas de trous bidimensionnels dans des hétérostructures de Ge/SiGe contraints dont le puit quantique se situe à la surface. Ces mesuresmontrent de l’antilocalisation faible. Les temps de transport caractéristiques sont extraits ainsi que l’énergie de séparation des trous 2D par ajustement de courbe de la correction à la conductivité due à l’antilocalisation. De plus, les mesures montrent une suppression de l’antilocalisation par un champ magnétique parallèle au puit quantique. Cet effet est attribué à la rugosité de surface ainsi qu’à l’occupation virtuelle de sous-bandes inoccupées.Finalement, le chapitre six présente des mesures de quantisation de la conductancedans des hétérostructures de Ge/SiGe contraints dont le puit quantique est enterré. Tout d’abord, l’hétérostructure est caractérisée grâce à des mesures de magneto-conductance dans une barre de Hall. Ensuite, un second échantillon dessiné spécialement pour la réalisation de points de contact quantiques est mesuré. Celui-ci montre des marches de conductance. La dépendance en champ magnétique de ces marches est mesurée, permettant ainsi une extraction du facteur gyromagnétique de trous lourds dans du germanium
This thesis focuses on low temperature experiments in germaniumbased heterostructure in the scope of quantumspintronic. First, theoretical advantages of Ge for quantum spintronic are detailed, specifically the low hyperfine interaction and strong spin orbit coupling expected in Ge. In a second chapter, the theory behind quantum dots and double dots systems is explained, focusing on the aspects necessary to understand the experiments described thereafter, that is to say charging effects in quantum dots and double dots and Pauli spin blockade. The third chapter focuses on spin orbit interaction. Its origin and its effect on energy band diagrams are detailed. This chapter then focuses on consequences of the spin orbit interaction specific to two dimensional germaniumheterostructure, that is to say Rashba spin orbit interaction, D’Yakonov Perel spin relaxation mechanism and weak antilocalization.In the fourth chapter are depicted experiments in Ge/Si core shell nanowires. In these nanowire, a quantumdot formnaturally due to contact Schottky barriers and is studied. By the use of electrostatic gates, a double dot system is formed and Pauli spin blockade is revealed.The fifth chapter reports magneto-transport measurements of a two-dimensional holegas in a strained Ge/SiGe heterostructure with the quantum well laying at the surface, revealing weak antilocalization. By fitting quantumcorrection to magneto-conductivity characteristic transport times and spin splitting energy of 2D holes are extracted. Additionally, suppression of weak antilocalization by amagnetic field parallel to the quantum well is reported and this effect is attributed to surface roughness and virtual occupation of unoccupied subbands.Finally, chapter number six reportsmeasurements of quantization of conductance in strained Ge/SiGe heterostructure with a buried quantumwell. First the heterostructure is characterized by means ofmagneto-conductance measurements in a Hall bar device. Then another device engineered specifically as a quantum point contact is measured and displays steps of conductance. Magnetic field dependance of these steps is measured and an estimation of the g-factor for heavy holes in germanium is extracted

This thesis describes experiments on the initialisation, coherent control, and readout of a single hole spin trapped in a self assembled InGaAs semiconductor quantum dot. High fidelity initialisation of a hole spin state is achieved by the fast ionisation of a spin polarised neutral exciton under an applied electric field and in a Faraday geometry magnetic field. The preparation of a coherent superposition state is demonstrated by observing the precession of the hole spin about a Voigt geometry magnetic field. The hole spin dephasing time is deduced from the decay of the spin contrast. Coherent optical rotation of the hole spin state about the z-axis is demonstrated using the geometric phase shift induced by a picosecond laser pulse. By combining the precession of the spin about the x-axis, and optical rotations about the z-axis, full quantum control of a hole spin is demonstrated over the surface of the Bloch sphere. This is an important prerequisite for the use of a hole spin as a qubit for quantum information processing applications.

La réalisation d'un ordinateur quantique fonctionnel est l'un des objectifs tech- nologiques les plus ambitieux pour les scientifiques d'aujourd'hui. Sa brique de base est composée d'un système quantique à deux niveaux, appelé bit quantique (ou qubit). Parmi les différents concepts existants, les dispositifs à base de spin sont très attractifs car ils bénéficient de la progression constante des techniques de nanofabrication et permettent la lecture électrique de l'état du qubit. Dans ce contexte, les dispositifs à base de spins nucléaires offrent un temps de cohérence supérieur à celui des dispositifs à base de spin electronique en raison de leur meilleure isolation à l'environnement. Mais ce couplage faible a un prix: la détection et la manipulation des spins nucléaires individuels restent des tâches difficiles. De très bonnes conditions expérimentales étaient donc essentielles pour la réussite de ce projet. Outre des systèmes de filtrage des radiofréquences à très basses températures et des amplificateurs à très faible bruit, j'ai développé de nouveaux supports d'échantillons et des bobines de champ magnétique trois axes compacts avec l'appui des services techniques de l'Institut Néel. Chaque partie a été optimisée afin d'améliorer la qualité de l'installation et évaluée de manière quantitative. Le dispositif lui-même, un qubit réalisé grâce à un transistor de spin nucléaire, est composé d'un aimant à molécule unique couplé à des électrodes source, drain et grille. Il nous a permis de réaliser la lecture électrique de l'état d'un spin nucléaire unique, par un processus de mesure non destructif de son état quantique. Par conséquent, en sondant les états quantique de spin plus rapidement que le temps de relaxation caractéristique de celui-ci, nous avons réalisé la mesure de la trajectoire quantique d'un qubit nucléaire isolé. Cette expérience a mis en lumière le temps de relaxation T1 du spin nucléaire ainsi que son mécanisme de relaxation dominant. La manipulation cohérente du spin nucléaire a été réalisée en utilisant des champs électriques externes au lieu d'un champ magnétique. Cette idée originale a plusieurs avantages. Outre une réduction considérable du chauffage par effet Joule, les champs électriques permettent de contrôler et de manipuler le spin unique de façon très rapide. Cependant, pour coupler le spin à un champ électrique, un processus intermédiaire est nécessaire. Un tel procédé est l'interaction hyperfine, qui, si elle est modifiée par un champ électrique, est également désigné sous le nom d'effet Stark hyperfin. En utilisant cet effet, nous avons mis en évidence la manipulation cohérente d'un spin nucléaire unique et déterminé le temps de cohérence T2 . En outre, l'exploitation de l'effet Stark hyperfin statique nous avons permis de régler le qubit de spin nucléaire à et hors résonance par l'intermédiaire de la tension de grille. Cela pourrait être utilisé pour établir le contrôle de l'intrication entre les différents qubits nucléaires. En résumé, nous avons démontré pour la première fois la possibilité de réaliser et de manipuler un bit quantique basé sur un aimant à molécule unique, étendant ainsi le potentiel de la spintronique moléculaire au delà du stockage de données classique. De plus, la grande polyvalence des molécules aimants est très prometteuse pour une variété d'applications futures qui, peut-être un jour, parviendront à la réalisation d'un ordinateur quantique moléculaire.

Les sources de bruit sont l'un des facteurs critiques qui déterminent les performances des qubits dans les applications de calcul quantique. Les sources de bruit font référence à tous les facteurs externes qui peuvent causer des erreurs ou de la décohérence dans un qubit. Dans cette thèse, nous avons simulé ces effets dans le cas d'un qubit de spin à trous en technologie Silicon-On-Insulator (SOI). Les fluctuations de charges sont l'une des principales sources de bruit dans les qubits de spin à trous. La présence de charges mobiles peut introduire des fluctuations dans le champ électrique autour du trou. Les fluctuateurs de charge peuvent provenir d'impuretés ou de défauts dans les couches d'oxyde à proximité des régions de silicium. Ils peuvent induire des changements aléatoires dans les niveaux d'énergie, les fonctions d'onde et les facteurs g du spin du trou, provoquant des erreurs ou la décohérence du qubit.Il est donc essentiel d'étudier l'impact des fluctuateurs de charge sur le qubit de spin de trou. Nous simulons un point quantique confinant un seul trou. Le confinement est défini par des grilles électrostatiques sur un nanofils de silicium. Notre objectif est de décrire le qubit de manière aussi réaliste que possible par rapport aux technologies qui ont été récemment développées et caractérisées. Notre simulation prend en compte la relaxation et le déphasage du spin du trou dans le temps en combinant les équations de Poisson et de Schrödinger dépendant du temps pour modéliser un signal télégraphique aléatoire classique. Notre approche est capable de décrire les effets combinés des champs électriques fluctuants et du couplage spin-orbite sur la dynamique du spin, sans aucun paramètre libre.Nous montrons que le modèle à deux niveaux bien connu décrit efficacement le temps de déphasage [dollar]T_2[dollar] sur une large gamme de fréquences [dollar]u[dollar] du signal télégraphique. Lorsque [dollar]u[dollar] est faible, la décohérence est déterminée par le comportement à court terme de la phase de précession du spin qui est alors caractérisée par une distribution non gaussienne, la cohérence de la phase est perdue dès que le fluctuateur change d'état. La description gaussienne n'est précise qu'au-dessus d'une fréquence seuil [dollar]omega_{th}[dollar] , lorsque le système à deux niveaux répond à la distribution statistique des états du fluctuateur. Le temps de déphasage [dollar]T_2[dollar] à cette fréquence seuil peut être augmenté de manière significative en ajustant l'orientation du champ magnétique et les potentiels de grille le long des lignes "douces". Cependant, nous montrons que [dollar]T_2[dollar] ne peut pas tendre vers l'infini pour des raisons qui sont discutées. L'existence de points "doux" est maintenant un fait expérimentalement établi. Les simulations montrent également que le temps de relaxation du spin [dollar]T_1[dollar] ne peut pas être décrit avec précision par le modèle à deux niveaux, car le couplage aux niveaux de trous de plus haute énergie a un impact important sur la dynamique du spin.Nous étudions également les processus de décohérence dans le même qubit de spin à trous en utilisant la théorie de Bloch-Redfield. Nous montrons que cette théorie fonctionne bien à haute fréquence [dollar]u[dollar], lorsque la dynamique du spin du trou est lente par rapport aux fluctuations de son environnement. Les limites de la théorie de Bloch-Redfield à basse fréquence sont identifiées
Noise sources are one of the critical factors that determine the performance of qubits in quantum computing applications. Noise sources refer to any external factors that can cause errors or decoherence in a qubit. In this thesis, we have simulated these effects in the case of a hole spin qubit in Silicon-On-Insulator (SOI) technology.Charge fluctuators are one of the major sources of noise in hole spin qubits. The presence of moving charges can introduce fluctuations in the electric field around the hole. Charge fluctuators may arise from impurities or defects in the oxide layers in the vicinity of silicon regions. They can induce random changes in the energy levels, wavefunctions and [dollar]g[dollar]-factors of the hole spin, causing errors or decoherence in the qubit.This makes it essential to study the impact of charge fluctuators on hole spin qubit. We simulate a quantum dot confining a single hole. The confinement is defined by electrostatic gates on a silicon nanowire channel. Our goal is to describe the qubit as realistically as possible compared to technologies which were recently developed and characterized. Our simulation takes into account the relaxation and the dephasing of the hole spin over time by combining Poisson and time-dependent Schr{"o}dinger equations to model a classical random telegraph signal. Our approach is able to describe the combined effects of fluctuating electric fields and spin-orbit coupling on the spin dynamics, without any free parameter.We show that the well-known two-level model effectively describes the dephasing time [dollar]T_2[dollar] over a broad range of frequencies [dollar]u[dollar] of the telegraph signal. When [dollar]u[dollar] is low, the decoherence is determined by the short time behavior of the spin precession phase which is then characterized by a non-Gaussian distribution, the coherence of the phase is lost as soon as the fluctuator changes state. The Gaussian description is only accurate above a threshold frequency [dollar]omega_{th}[dollar], when the two-level system responds to the statistical distribution of the fluctuator states. The dephasing time [dollar]T_2[dollar] at this threshold frequency can be significantly increased by adjusting the magnetic field orientation and gate potentials along "sweet" lines. However, we show that [dollar]T_2[dollar] cannot tend to infinity for reason which are discussed. The existence of "sweet" points is now an experimentally established fact. The simulations also show that the spin relaxation time [dollar]T_1[dollar] cannot be accurately described by the two-level model as the coupling to higher-energy hole levels greatly impacts the spin dynamics.We also study decoherence processes in the same hole spin qubit using the Bloch-Redfield theory. We show that this theory works well at high frequency [dollar]u[dollar], when the dynamics of the hole spin is slow compared to the fluctuations of its environment. Limits of the Bloch-Redfield theory at low frequency are identified

Diese Dissertation besteht aus zwei Teilen von Studien. Der erste Teil demonstriert die Steuerung der Elektron-Kern-Spin-Systems in II-VI Halbleiter Quantum Dots (QDs) durch elektrische Ströme über Mikrospulen. Mikrometer-große Leiterschleifen sind auf der Oberseite von Heterostrukturen mit geladenen CdSe/ZnS QDs hergestellt worden. Eine Strominjektion erzeugt magnetische Felder im Bereich von einige 10 mT, welche stark genug sind, um die Hyperfeinwechselwirkung in CdSe QDs modulieren zu können. Der Durchmesser des Spulen im Mikrometer-Bereich ermöglicht die Generation von schnellen Feld transienten im Bereich von wenigen ns. Mit diesen Vorteilen der Mikrospulen werden die Steuerungs des Spins der residenten Elektronen sowie das Auslesen des Kernspinzustandes durch elektrische Impulse nachgewiesen. Der zweite Teil befasst sich mit der Ladungsträger-Spindynamik in ZnO Quantum Well (QW) Strukturen und Epitaxieschichten, die mittels des optischen Übergang von negativ geladenen Exzitonen X− beziehungsweise des am neutralen Donator gebunden Exziton D0X untersucht werden. Der Loch-Spin kann direkt über die zirkular polarisierten Photolumineszenz der beiden Komplexe zurückverfolgt werde. Die Spin-Relaxationszeit von QW und Epiplyer verfolgt werden. Der Spin des Donatorelektronens wird über die Ausbleichung des Spin-selektive Anregungprozesses nachgewiesen. Es werden longitudinale Loch-Spinrelaxationszeiten von 80 bis 140 ps für D0X und X− gefunden. Deutlich längere longitudinalen Elektronen-Spin-Relaxationszeiten in Bereich von mehreren 100 ns werden gefunden, wenn die Hyperfeinwechselwirkung durch ein geeignetes externes Magnetfeld unterdrückt wird. Eine Feldstärke von 2 mT ist groß genug. Dies zeigt den extrem kleinen Wert des Overhauser-Feldes in ZnO auf, der durch die sehr begrenzte Anzahl von magnetischen Kernen in Wechselwirkung mit dem Elektronen innerhalb des Volumens des Donators verursacht wird.
This work is composed of two parts of studies. The first part represents an electron-nuclear spin control in II-VI semiconductor quantum dots (QDs) by electrical currents via micro coils. Micrometer single turn coils are fabricated on top of heterostructures with charged CdSe/ZnSe QDs. Current injection creates magnetic fields in the range of some 10 mT which is strong enough to modulate the hyperfine interaction in CdSe. The micrometer-range diameter of coil allows for generation of fast field transient in the range of few ns. Using these advantages of micro coils, local control of the resident electron spin as well as read out of the nuclear spin state are demonstrated by electrical pulses. The second part presents charged carrier spin dynamics in ZnO quantum wells and epilayers using the optical transition of the negatively charged exciton X− and the neutral donor bound exciton D0X, respectively. The hole spin can be directly traced by the circular polarized photoluminescence of both complexes. The spin relaxation of the resident electrons and donor electrons is accessed via the bleaching of the spin selective excitation process. Longitudinal hole spin relaxation times of 80 and 140 ps are found for D0X and X−, respectively. Much longer longitudinal electron spin relaxation times in the several 100 ns range are uncovered if the hyperfine interaction is suppressed by a proper external magnetic field. A field strength of 2 mT is large enough proving that the extremely small value of the Overhauser field in ZnO caused by the very restricted number of magnetic nuclei interacting with the electron inside the donor volume.

Les comportements critiques des systèmes de mécanique statistique en 2 dimensions ou de mécanique quantique en 1+1 dimensions, ainsi que certains aspects des systèmes sans interactions en 2+1 dimensions, sont efficacement décrits par les méthodes de la théorie des champs conforme et de l'intégrabilité, dont le développement a été spectaculaire au cours des 40 dernières années. Plusieurs problèmes résistent cependant toujours à une compréhension exacte, parmi lesquels celui de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall Quantique Entier. La raison principale en est que de tels problèmes sont généralement associés à des théories non unitaires, ou théories conformes logarithmiques, dont la classification se révèle être d'une grande difficulté mathématique. Se tournant vers la recherche de modèles discrets (chaînes de spins, modèles sur réseau), dans l'espoir en particulier d'en trouver des représentations en termes de modèles exactement solubles (intégrables), on se heurte à la deuxième difficulté représentée par le fait que les théories associées sont la plupart du temps non compactes, ou en d'autres termes qu'elles donnent lieu à un continuum d'exposants critiques. En effet, le lien entre modèles discrets et théories des champs non compactes est à ce jour loin d'être compris, en particulier il a longtemps été cru que de telles théories ne pouvaient pas émerger comme limites continues de modèles discrets construits à partir d'un ensemble compact de degrés de libertés, par ailleurs les seuls qui donnent a accès à une construction systématique de solutions exactes.Dans cette thèse, on montre que le monde des modèles discrets compacts ayant une limite continue non compacte est en fait beaucoup plus grand que ce que les quelques exemples connus jusqu'ici auraient pu laisser suspecter. Plus précisément, on y présente une solution exacte par ansatz de Bethe d'une famille infinie de modèles(les modèles $a_n^{(2)}$, ainsi que quelques résultats sur les modèles $b_n^{(1)}$, où il est observé que tous ces modèles sont décrits dans un certain régime par des théories conformes non compactes. Parmi ces modèles, certains jouent un rôle important dans la description de phénomènes physiques, parmi lesquels la description de polymères en deux dimensions avec des interactions attractives et des modèles de boucles impliqués dans l'étude de modèles de Potts couplés ou dans une tentative de description de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall par un modèle géométrique compact.On montre que l'existence insoupçonnéede limite continues non compacts pour de tels modèles peut avoir d'importantes conséquences pratiques, par exemple dans l'estimation numérique d'exposants critiques ou dans le résultats de simulations de Monte Carlo. Nos résultats sont appliqués à une meilleure compréhension de la transition theta décrivant l'effondrement des polymères en deux dimensions, et des perspectives pour une potentielle compréhension de la transition entre plateaux en termes de modèles sur réseaux sont présentées
The critical points of statistical mechanical systems in 2 dimensions or quantum mechanical systems in 1+1 dimensions (this also includes non interacting systems in 2+1 dimensions) are effciently tackled by the exact methods of conformal fieldtheory (CFT) and integrability, which have witnessed a spectacular progress during the past 40 years. Several problems have however escaped an exact understanding so far, among which the plateau transition in the Integer Quantum Hall Effect,the main reason for this being that such problems are usually associated with non unitary, logarithmic conformal field theories, the tentative classification of which leading to formidable mathematical dificulties. Turning to a lattice approach, andin particular to the quest for integrable, exactly sovable representatives of these problems, one hits the second dificulty that the associated CFTs are usually of the non compact type, or in other terms that they involve a continuum of criticalexponents. The connection between non compact field theories and lattice models or spin chains is indeed not very clear, and in particular it has long been believed that the former could not arise as the continuum limit of discrete models built out of acompact set of degrees of freedom, which are the only ones allowing for a systematic construction of exact solutions.In this thesis, we show that the world of compact lattice models/spin chains with a non compact continuum limit is much bigger than what could be expected from the few particular examples known up to this date. More precisely we propose an exact Bethe ansatz solution of an infinite family of models (the so-called $a_n^{(2)}$ models, as well as some results on the $b_n^{(1)}$ models), and show that all of these models allow for a regime described by a non compact CFT. Such models include cases ofgreat physical relevance, among which a model for two-dimensional polymers with attractive interactions and loop models involved in the description of coupled Potts models or in a tentative description of the quantum Hall plateau transition by somecompact geometrical truncation. We show that the existence of an unsuspected non compact continuum limit for such models can have dramatic practical effects, for instance on the output of numerical determination of the critical exponents or ofMonte-Carlo simulations. We put our results to use for a better understanding of the controversial theta transition describing the collapse of polymers in two dimensions, and draw perspectives on a possible understanding of the quantum Hall plateautransition by the lattice approach

碩士
國立成功大學
物理學系碩博士班
98
In this thesis, a model of radial infinite square well is considered to simulate the self-assembled semiconductor single quantum ring and double rings. By using the exact solutions of the single quantum ring, one can expand the Hamiltonian function of electron or hole in single quantum ring and double rings and obtain the eigen-energies and eigen-functions numerically. Aharonov-Bohm effect is found to exist in both of the two cases under the exterior uniform magnetic field. In addition, we also study the energy spectra in the presence of spin-orbit interaction. It is found that the periodic oscillation of AB effect can be degraded seriously by the spin-orbit interaction.

The idea of holography [1, 2] finds a concrete realization in form of the AdS/CFT correspondence [3, 4]. This duality relates a field theory with conformal symmetries to quantum gravity living in one higher dimension. In this thesis we study aspects of black hole quasinormal modes, higher spin theories and entanglement entropy in the context of this duality. In almost all cases we have been able to subject the duality to some precision tests. Quasinormal modes encode the spectrum of black holes and the time-scale of pertur- bations therein [5]. From the dual CFT viewpoint they are the poles of retarded Green's function (or peaks in the spectral function) [6]. Quasinormal modes were previously studied for scalar, gauge field and fermion fluctuations [7]. We solve for these quasinormal modes of higher spin (s _ 2) fields in the background of the BTZ black hole [8, 9]. We obtain an exact solution for a field of arbitrary spin s (integer or half-integer) in the BTZ background. This implies that the BTZ is perhaps the only known black hole background where such an analysis can be done analytically for all bosonic and fermionic fields. The quasinormal modes are shown to match precisely with the poles of the corresponding Green's function in the CFT living on the boundary. Furthermore, we show that one-loop determinants of higher spin fields can also be written as a product form [10] in terms of these quasinormal modes and this agrees with the same obtained by integrating the heat-kernel [11]. We then turn our attention to dualities relating higher-spin gravity to CFTs with W algebra symmetries. Since higher spin gravity does go beyond diffeomorphism invariance, one needs re_ned notions of the usual concepts in differential geometry. For example, in general relativity black holes are defined by the presence of the horizon. However, higher spin gravity has an enlarged group of symmetries of which the diffeomorphisms form a subgroup. The appropriate way of thinking of solutions in higher spin gravity is via characterizations which are gauge invariant [12, 13]. We study classical solutions embedded in N = 2 higher spin supergravity. We obtain a general gauge-invariant condition { in terms of the odd roots of the superalgebra and the eigenvalues of the holonomy matrix of the background { for the existence of a Killing spinor such that these solutions are supersymmetric [14]. We also study black holes in higher spin supergravity and show that the partition function of these black holes match exactly with that obtained from a CFT with the same asymptotic symmetry algebra [15]. This involved studying the asymptotic symmetries of the black hole and thereby developing the holographic dictionary for the bulk charges and chemical potentials with the corresponding quantities of the CFT. We finally investigate entanglement entropy in the AdS3/CFT2 context. Entanglement entropy is an useful non-local probe in QFT and many-body physics [16]. We analytically evaluate the entanglement entropy of the free boson CFT on a circle at finite temperature (i.e. on a torus) [17]. This is one of the simplest and well-studied CFTs. The entanglement entropy is calculated via the replica trick using correlation functions of bosonic twist operators on the torus [18]. We have then set up a systematic high temperature expansion of the Renyi entropies and determined their finite size corrections. These _nite size corrections both for the free boson CFT and the free fermion CFT were then compared with the one-loop corrections obtained from bulk three dimensional handlebody spacetimes which have higher genus Riemann surfaces (replica geometry) as its boundary [19]. One-loop corrections in these geometries are entirely determined by the spectrum of the excitations present in the bulk. It is shown that the leading _nite size corrections obtained by evaluating the one-loop determinants on these handlebody geometries exactly match with those from the free fermion/boson CFTs. This provides a test for holographic methods to calculate one-loop corrections to entanglement entropy. We also study conformal field theories in 1+1 dimensions with W-algebra symmetries at _nite temperature and deformed by a chemical potential (_) for a higher spin current. Using OPEs and uniformization techniques, we show that the order _2 correction to the Renyi and entanglement entropies (EE) of a single interval in the deformed theory is universal [20]. This universal feature is also supported by explicit computations for the free fermion and free boson CFTs { for which the EE was calculated by using the replica trick in conformal perturbation theory by evaluating correlators of twist fields with higher spin operators [21]. Furthermore, this serves as a verification of the holographic EE proposal constructed from Wilson lines in higher spin gravity [22, 23]. We also examine relative entropy [24] in the context of higher-spin holography [25]. Relative entropy is a measure of distinguishability between two quantum states. We confirm the expected short-distance behaviour of relative entropy from holography. This is done by showing that the difference in the modular Hamiltonian between a high-temperature state and the vacuum matches with the difference in the entanglement entropy in the short-subsystem regime.

The idea of holography [1, 2] finds a concrete realization in form of the AdS/CFT correspondence [3, 4]. This duality relates a field theory with conformal symmetries to quantum gravity living in one higher dimension. In this thesis we study aspects of black hole quasinormal modes, higher spin theories and entanglement entropy in the context of this duality. In almost all cases we have been able to subject the duality to some precision tests. Quasinormal modes encode the spectrum of black holes and the time-scale of pertur- bations therein [5]. From the dual CFT viewpoint they are the poles of retarded Green's function (or peaks in the spectral function) [6]. Quasinormal modes were previously studied for scalar, gauge field and fermion fluctuations [7]. We solve for these quasinormal modes of higher spin (s _ 2) fields in the background of the BTZ black hole [8, 9]. We obtain an exact solution for a field of arbitrary spin s (integer or half-integer) in the BTZ background. This implies that the BTZ is perhaps the only known black hole background where such an analysis can be done analytically for all bosonic and fermionic fields. The quasinormal modes are shown to match precisely with the poles of the corresponding Green's function in the CFT living on the boundary. Furthermore, we show that one-loop determinants of higher spin fields can also be written as a product form [10] in terms of these quasinormal modes and this agrees with the same obtained by integrating the heat-kernel [11]. We then turn our attention to dualities relating higher-spin gravity to CFTs with W algebra symmetries. Since higher spin gravity does go beyond diffeomorphism invariance, one needs re_ned notions of the usual concepts in differential geometry. For example, in general relativity black holes are defined by the presence of the horizon. However, higher spin gravity has an enlarged group of symmetries of which the diffeomorphisms form a subgroup. The appropriate way of thinking of solutions in higher spin gravity is via characterizations which are gauge invariant [12, 13]. We study classical solutions embedded in N = 2 higher spin supergravity. We obtain a general gauge-invariant condition { in terms of the odd roots of the superalgebra and the eigenvalues of the holonomy matrix of the background { for the existence of a Killing spinor such that these solutions are supersymmetric [14]. We also study black holes in higher spin supergravity and show that the partition function of these black holes match exactly with that obtained from a CFT with the same asymptotic symmetry algebra [15]. This involved studying the asymptotic symmetries of the black hole and thereby developing the holographic dictionary for the bulk charges and chemical potentials with the corresponding quantities of the CFT. We finally investigate entanglement entropy in the AdS3/CFT2 context. Entanglement entropy is an useful non-local probe in QFT and many-body physics [16]. We analytically evaluate the entanglement entropy of the free boson CFT on a circle at finite temperature (i.e. on a torus) [17]. This is one of the simplest and well-studied CFTs. The entanglement entropy is calculated via the replica trick using correlation functions of bosonic twist operators on the torus [18]. We have then set up a systematic high temperature expansion of the Renyi entropies and determined their finite size corrections. These _nite size corrections both for the free boson CFT and the free fermion CFT were then compared with the one-loop corrections obtained from bulk three dimensional handlebody spacetimes which have higher genus Riemann surfaces (replica geometry) as its boundary [19]. One-loop corrections in these geometries are entirely determined by the spectrum of the excitations present in the bulk. It is shown that the leading _nite size corrections obtained by evaluating the one-loop determinants on these handlebody geometries exactly match with those from the free fermion/boson CFTs. This provides a test for holographic methods to calculate one-loop corrections to entanglement entropy. We also study conformal field theories in 1+1 dimensions with W-algebra symmetries at _nite temperature and deformed by a chemical potential (_) for a higher spin current. Using OPEs and uniformization techniques, we show that the order _2 correction to the Renyi and entanglement entropies (EE) of a single interval in the deformed theory is universal [20]. This universal feature is also supported by explicit computations for the free fermion and free boson CFTs { for which the EE was calculated by using the replica trick in conformal perturbation theory by evaluating correlators of twist fields with higher spin operators [21]. Furthermore, this serves as a verification of the holographic EE proposal constructed from Wilson lines in higher spin gravity [22, 23]. We also examine relative entropy [24] in the context of higher-spin holography [25]. Relative entropy is a measure of distinguishability between two quantum states. We confirm the expected short-distance behaviour of relative entropy from holography. This is done by showing that the difference in the modular Hamiltonian between a high-temperature state and the vacuum matches with the difference in the entanglement entropy in the short-subsystem regime.

abstract: The structural and electronic properties of compositionally complex semiconductors have long been of both theoretical interest and engineering importance. As a new class of materials with an intrinsic compositional complexity, medium entropy alloys (MEAs) are immensely studied mainly for their excellent mechanical properties. The electronic properties of MEAs, however, are less well investigated. In this thesis, various properties such as electronic, spin, and thermal properties of two three-dimensional (3D) and two two-dimensional (2D) compositionally complex semiconductors are demonstrated to have promising various applications in photovoltaic, thermoelectric, and spin quantum bits (qubits).3D semiconducting Si-Ge-Sn and C3BN alloys is firstly introduced. Density functional theory (DFT) calculations and Monte Carlo simulations show that the Si1/3Ge1/3Sn1/3 MEA exhibits a large local distortion effect yet no chemical short-range order. Single vacancies in this MEA can be stabilized by bond reformations while the alloy retains semiconducting. DFT and molecular dynamics calculations predict that increasing the compositional disorder in SiyGeySnx MEAs enhances their electrical conductivity while weakens the thermal conductivity at room temperature, making the SiyGeySnx MEAs promising functional materials for thermoelectric devices. Furthermore, the nitrogen-vacancy (NV) center analog in C3BN (NV-C3BN) is studied to explore its applications in quantum computers. This analog possesses similar properties to the NV center in diamond such as a highly localized spin density and strong hyperfine interactions, making C3BN suitable for hosting spin qubits. The analog also displays two zero-phonon-line energies corresponding to wavelengths close to the ideal telecommunication band width, useful for quantum communications. 2D semiconducting transition metal chalcogenides (TMCs) and PtPN are also investigated. The quaternary compositionally complex TMCs show tunable properties such as in-plane lattice constants, band gaps, and band alignment, using a high through-put workflow from DFT calculations in conjunction with the virtual crystal approximation. A novel 2D semiconductor PtPN of direct bandgap is also predicted, based on pentagonal tessellation. The work in the thesis offers guidance to the experimental realization of these novel semiconductors, which serve as valuable prototypes of other compositionally complex systems from other elements.
Dissertation/Thesis
Doctoral Dissertation Materials Science and Engineering 2020

Στην συγκεκριμένη εργασία ασχολούμαστε με την μελέτη θερμικά σύμπλεκτων (entangled) καταστάσεων πολλών κβαντικών bit (qubit) σε διάφορα μοντέλα Heisenberg με την μέθοδο Monte Carlo (MC). Αρχικά χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Suzuki-Trotter μετατρέπουμε την κβαντική μονοδιάστατη αλυσίδα των spin (μοντέλα Ising, Heisenberg με και χωρίς μαγνητικό πεδίο στις διευθύνσεις x,y,z) σε κλασικό δισδιάστατο πλέγμα. Εξετάζουμε την συμπεριφορά του συγκεκριμένου μετασχηματισμού για το αντισιδηρομαγνητικό Heisenberg ΧΧΧ μοντέλο, για το σιδηρομαγνητικό Heisenberg μοντέλο (ΧΧΧ και ΧΥΖ) χωρίς και με μαγνητικό πεδίο στις διευθύνσεις x,y,z για διάφορα μήκη της αλυσίδας, διαφορετικές διαστάσεις Trotter και διαφορετικό αριθμό Monte Carlo βημάτων (MCΒήματα). Μελετάμε την συμπεριφορά της θερμοχωρητικότητας, της ενέργειας, της μαγνητικής επιδεκτικότητας και της μαγνήτισης στις διευθύνσεις x,y,z. Επιβεβαιώνουμε την σωστή συμπεριφορά τους με βάση τα αναλυτικά αποτελέσματα. Τέλος γνωρίζοντας, ότι η κλασική συσχέτιση είναι το κάτω όριο της ποσότητας Localizable Entanglement, και ότι η ποσότητα Entanglement of Assistance είναι το πάνω όριο, εκτιμούμε για τα ίδια μοντέλα τη συμπεριφορά των ορίων και προσπαθούμε να εκτιμήσουμε το μήκος σύμπλεξης (Entanglement Length) για διάφορες θερμοκρασίες.
In the present Master Thesis we study the thermal entangled states of many qubits in a variety of Heisenberg models with the deployment of the Monte Carlo(MC) method. Initially we are using the Suzuki-Trotter decomposition in order to convert the one dimensional spin chain(models Ising, Heisenberg with and without magnetic field in the x,y,z axis) into a classical two dimensional lattice. We examine the behavior of the latter decomposition for the antiferromagnetic Heisenberg XXX model, the ferromagnetic Heisenberg model (XXX and XYZ) with or without magnetic field in the axis x,y,z for different chain lengths, Trotter dimensions and number of Monte Carlo Steps (MCSteps). We investigate the behavior of the following quantities: specific heat, energy, susceptibility and magnetization in the axis x,y,z. We confirm their proper behavior comparing to analytical and arithmetic results. Finally knowing that the maximum classical correlation function is the lower limit of the quantity Localizable Entanglement (LE) and that the quantity Entanglement of Assistance is the upper limit, we evaluate for the same models the behavior of the limits and we try to evaluate the Entanglement Length for a variety of temperatures.