Dissertationen zum Thema „Grandes déviations dynamiques“

La théorie des grandes déviations traite des comportements asymptotiques d'évènements rares. C'est le langage moderne de la physique statistique d'équilibre, qui semble offrir un cadre naturel pour une extension hors équilibre. Nous présentons dans cette thèse plusieurs applications, analytiques et numériques, de cette théorie dans différents contextes. D'abord, nous montrons comment localiser numériquement des trajectoires de chaoticité atypique de systèmes dynamiques complexes. Nous étendons ensuite l'algorithme présenté à une classe de systèmes et d'observables plus large. La deuxième partie de cette thèse montre sur un exemple comment le calcul de fonctions de grandes déviations d'un système hors équilibre peut parfois être ramené à un calcul d'équilibre. La dernière partie traite des chemins de réactions en chimie et de leur détermination numérique. Le formalisme introduit repose sur la supersymétrie de l'équation de Fokker-Planck et redonne naturellement la théorie de Morse.

Cette thèse s'intéresse aux grandes déviations dans les systèmes dynamiques, par une approche à cheval sur les idées et méthodes issues de la physique statistique d'une part et celles issues de l'étude des systèmes dynamiques d'autre part. Nous développons dans une première partie l'idée que les grandes déviations dans les systèmes dynamiques chaotiques sont génériquement associées à des trajectoires ordonnées. Dans un premier temps, nous minimisons une observable dans une dynamique chaotique, la transformation du boulanger, et bien que les trajectoires sont pour la quasi-totalité d'entre elles apériodiques, nous trouvons que le minimum est typiquement atteint par une trajectoire périodique. Dans un deuxième temps, nous étudions un modèle d'énergie libre qui possède une phénoménologie de type vitreuse. Nous montrons que l'état de plus basse énergie n'est jamais amorphe. Dans une deuxième partie, nous considérons deux problèmes liés à l'utilisation de la méthode Lyapunov Weighted Dynamics utilisée pour échantillonner numériquement les grandes déviations de chaoticité d'un système dynamique. (i) Nous analysons les dynamiques hamiltoniennes intégrables perturbées par un bruit et montrons que le bruit a pour effet d'écarter exponentiellement dans le temps deux trajectoires initialement proches, sauf lorsque ces trajectoires sont isochrones. (ii) Nous analysons une dynamique de population de deux espèces en équilibre dynamique et soumises à un processus de sélection et montrons que la taille finie de la population rend possible l'extinction d'une des espèces
In this thesis we are interested in large deviations in dynamical systems. We use ideas and methods both from the statistical physics field and the dynamical systems field. In a first part, we test the idea that large deviations in chaotic dynamical systems are typically associated to ordered trajectories. We first minimize a simple functionnal of the trajectories of the baker's map. Although most of the trajectories are aperiodic, we find that minimal trajectories are periodic. In a second model, we study a density free energy functionnal with a glassy phenomenology: first order transition between a liquid and a crystal and appereance of a huge number of metastable and amorphous states. The state of minimum free energy is nevers amorphous. In a second part, we consider two problems that arises when using the so-called Lyapunov Weigted Dynamics, used numerically to sample large deviations of chaoticity in a dynamical system. (i) We analyse hamiltonian dynamics perturbed stochastically and show that the presence of noise destabilize the system, unless the initial condition is taken in a isochronous part of the phase space. (ii) We study the dynamics of a population of two species in dynamical equilibrium when a selection process comes into play. The finite size of the population allows for the extinction of one of the species

Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un problème de grandes déviations associe au comportement asymptotique d'un processus de diffusion perturbé. Sous la condition de nilpotence de l'algèbre de Lie, nous démontrons un principe de grandes déviations qui rend compte de la vitesse de convergence sur un espace approprié, valable même lorsque la diffusion limite est non dégénérée, généralisant un résultat de Doss et Stroock. Dans la seconde partie, nous étudions un problème de grandes déviations en théorie du filtrage non linéaire. Nous démontrons sous la condition de nilpotence de l'algèbre de Lie, un principe de grandes déviations pour la loi conditionnelle du processus signal sachant l'observation, généralisant un résultat de Doss

Le thème central des travaux présentés est l'étude des suites faiblement dépendantes
non -mélangeantes au sens de Rosenblatt (1956). La notion de mélange classique est affaiblie
afin d'établir des inégalités ainsi que des théorèmes limite pour différentes classes de processus
comme par exemple certains systèmes dynamiques, des chaînes de Markov non irréductibles,
ou encore des fonctions de processus linéaires non mélangeants. Les résultats obtenus sont
ensuite appliqués au domaine de la statistique non paramétrique.
Deux autres thématiques sont abordées dans ce manuscrit : d'une part l'étude de principes
de grandes déviations (notamment pour le processus de records généralisés), et d'autre part
l'estimation adaptative de fonctionnelles linéaires.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel
In this thesis, we work on metastability for some stochastic dynamical systems. More precisely, we study some differential or partial differential equations perturbed by an additive white noise in the small noise asymptotic. We compute the expectation of the transition times for some models (so-called Eyring-Kramers Formula). First we generalize some known results for Itô diffusions whose drift is given by the gradient of a potential. We give an equivalence between the geometry of the potential and an electrical network which allows a simple computation of the transition times between minima of the potential. To do so, we use potential theory and capacities. The main result of this thesis is about a class of scalar, parabolic, semi-linear stochastic partial differential equations perturbed by a space-time white noise on a bounded real interval as the Allen-Cahn model. These equations are similar to the gradient drift diffusions but in infinite dimension. We consider Dirichlet or Neumann boundary conditions and discuss the periodic boundary conditions. Under some assumptions, we prove a formula, similar to the finite dimensional case, for the transition times. In the proof, we use a finite difference approximation and a coupling and apply the finite dimensional estimates to the approximation. We prove the uniformity of the estimates in the dimension and then we take the limit to recover the infinite dimensional equation

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel.

Cette thèse s'intéresse à un processus d'exclusion en contact faible avec des réservoirs. Plus précisément, on reprend le modèle étudié dans l'article "Hydrostatics and dynamical large deviations of boundary driven gradient symmetric exclusion processes" de J. Farfan, C. Landim, M. Mourragui mais dans le cas d'un contact faible (et non plus fort) avec les réservoirs. Par ce contact faible, des résultats sont modifiés comme le théorème de la limite hydrodynamique et le théorème des grandes déviations dynamiques. Ce sont les modifications de ses deux résultats qui sont étudiés dans cette thèse dans le cas de la dimension 1.La première partie de la thèse consistera à montrer le théorème de la limite hydrodynamique pour notre modèle, i.e. montrer la convergence de la mesure empirique. En se basant sur les étapes de la Section 5 du livre "Scaling limits of interacting particle systems" de C. Kipnis, C. Landim, il s'agira de montrer que cette suite est relativement compacte avant d'étudier les propriétés de ses points limites. Pour chacune des sous-suites convergentes, on montrera que celles-ci convergent vers des points limites qui se concentrent sur des trajectoires absolument continues et dont les densités sont solutions faibles d'une équation qu'on nommera l'équation hydrodynamique. En finissant par montrer qu’il y a unicité des solutions faibles de l’équation hydrodynamique, on aura alors un unique point limite et la convergence de la suite sera établie.Dans la deuxième partie de la thèse, on montrera le théorème des grandes déviations dynamiques, i.e. qu'il existe une fonction taux I_{[0,T]}( . |\gamma) vérifiant le principe des grandes déviations pour la suite étudiée dans la première partie. Après avoir définit la fonction taux, on montrera donc que celle-ci est semicontinue inférieurement, qu'elle a ses ensembles de niveaux compacts et qu'elle vérifie une propriété de borne inférieure et de borne supérieure. Une des principales difficulté sera de montrer qu’on a une propriété de densité pour un ensemble F pour notre fonction taux. Ceci représentera donc une part importante de cette section. De plus, pour montrer cette densité, on aura besoin de décomposer la fonction I_{[0,T]}( .|\gamma) qui admet des termes de bords et n’a pas de propriété de convexité comme l’ont les fonctions taux de plusieurs modèles déjà existants. En raison de ses deux contraintes, de nouvelles propriétés de régularités ainsi qu'un nouveau type de décomposition seront démontrés
This thesis focuses on a process of exclusion in weak contact with reservoirs. More precisely, we revisit the model studied in the article "Hydrostatics and dynamical large deviations of boundary driven gradient symmetric exclusion processes" by J. Farfan, C. Landim, M. Mourragui but in the case of weak (rather than strong) contact with the reservoirs. Through this weak contact, results are modified such as the hydrodynamic limit theorem and the theorem of large dynamical deviations. The modifications of these two results are studied in this thesis in the case of dimension 1. The first part of the thesis will consist of proving the hydrodynamic limit theorem for our model, i.e. showing the convergence of the empirical measure. Based on the steps in Section 5 of the book "Scaling limits of interacting particle systems" by C. Kipnis, C. Landim, we will show that this sequence is relatively compact before studying the properties of its limit points. For each convergent subsequence, we will show that they converge to limit points that concentrate on absolutely continuous trajectories and whose densities are weak solutions of an equation that we will call the hydrodynamic equation. By demonstrating the uniqueness of weak solutions of the hydrodynamic equation, we will then have a unique limit point and the convergence of the sequence will be established. In the second part of the thesis, we will demonstrate the theorem of large dynamical deviations, i.e. that there exists a rate function I_{[0,T]}(.|\gamma) satisfying the large deviations principle for the sequence studied in the first part. After defining the rate function, we will show that it is lower semicontinuous, has compact level sets, and satisfies a lower bound and an upper bound property. One of the main challenges will be to show a density property for a set F. This will represent a significant part of this section. Moreover, to prove this density property, we will need to decompose the function I_{[0,T]}(.|\gamma) which contains boundary terms and does not have a convexity property like the rate functions of several existing models. Due to these two constraints, new regularity properties as well as a new type of decomposition will be demonstrated

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension

Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première, nous considérons un modèle microscopique individu-centré pour décrire une population structurée par traits et âges. Nous étudions l'écologie de ce système (problèmes de dynamique de populations) dans une asymptotique de grandes populations. Sous certaines renormalisations, le processus microscopique converge par la solution à valeurs mesures d'une équation d'évolution déterministe. Un théorème central limite et les déviations exponentielles associées à cette convergence sont étudiés. Nous appliquons ensuite ces résultats pour établir des généralisations aux populations structurées par âge de modèles d'évolution tirés de la récente théorie des dynamiques adaptatives. Ces derniers modélisent l'évolution de la structure en traits sur des grandes échelles de temps et sous les hypothèses de mutations rares (éventuellement petites) et de grandes populations. Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons des équations aux dérivées partielles de McKean-Vlasov et de Navier-Stokes 2D avec conditions initiales aléatoires. La loi des solutions, qui sont alors des variables aléatoires, est appelée solution statistique. En nous basant sur une approche probabiliste de ces équations aux dérivées partielles, nous proposons de nouvelles approximations particulaires stochastiques avec ondelettes pour les moments d'ordre 1 des solutions statistiques, et nous étudions leurs vitesses de convergence.

Cette thèse porte sur l'étude probabiliste de modèles écologiques appartenant à la récente théorie des "dynamiques adaptatives". Après avoir précisé et généralisé le cadre et l'heuristique biologique de ces modèles, nous obtenons une justification microscopique d'un modèle d'évolution par sauts à partir d'un système de particules en interaction à valeurs mesure, décrivant la dynamique de la population à l'échelle individuelle. Il s'agit d'un résultat de séparation d'échelles de temps lié à deux asymptotiques : mutations rares et grande population. Ensuite, nous retrouvons une équation différentielle ordinaire connue sous le nom d'"équation canonique des dynamiques adaptatives" en appliquant une asymptotique de petits sauts au processus précédent. Cette asymptotique nous conduit à introduire un modèle d'évolution par diffusion comme approximation diffusion du processus de saut, dont les coefficients présentent une mauvaise régularité : dérive discontinue et diffusion dégénérée aux mêmes points. Nous examinons d'abord l'existence faible, l'unicité en loi et la propriété de Markov forte pour ces processus, questions liées au problème d'atteinte de certains points isolés de l'espace. Enfin, nous démontrons un principe de grandes déviations pour ces diffusions qui permet d'étudier le temps et le lieu de sortie d'un domaine attracteur --- question biologique fondamentale.

Cette thèse porte sur la dynamique des grandes échelles des écoulements géophysiques turbulents, en particulier sur leur organisation en écoulements parallèles orientés dans la direction est-ouest (jets zonaux). Ces structures ont la particularité d'évoluer sur des périodes beaucoup plus longues que la turbulence qui les entoure. D'autre part, on observe dans certains cas, sur ces échelles de temps longues, des transitions brutales entre différentes configurations des jets zonaux (multistabilité). L'approche proposée dans cette thèse consiste à moyenner l'effet des degrés de liberté turbulents rapides de manière à obtenir une description effective des grandes échelles spatiales de l'écoulement, en utilisant les outils de moyennisation stochastique et la théorie des grandes déviations. Ces outils permettent d'étudier à la fois les attracteurs, les fluctuations typiques et les fluctuations extrêmes de la dynamique des jets. Cela permet d'aller au-delà des approches antérieures, qui ne décrivent que le comportement moyen des jets.Le premier résultat est une équation effective pour la dynamique lente des jets, la validité de cette équation est étudiée d'un point de vue théorique, et les conséquences physiques sont discutées. De manière à décrire la statistique des évènements rares tels que les transitions brutales entre différentes configurations des jets, des outils issus de la théorie des grandes déviations sont employés. Des méthodes originales sont développées pour mettre en œuvre cette théorie, ces méthodes peuvent par exemple être appliquées à des situations de multistabilité
This thesis deals with the dynamics of geophysical turbulent flows at large scales, more particularly their organization into east-west parallel flows (zonal jets). These structures have the particularity to evolve much slower than the surrounding turbulence. Besides, over long time scales, abrupt transitions between different configurations of zonal jets are observed in some cases (multistability). Our approach consists in averaging the effect of fast turbulent degrees of freedom in order to obtain an effective description of the large scales of the flow, using stochastic averaging and the theory of large deviations. These tools provide theattractors, the typical fluctuations and the large fluctuations of jet dynamics. This allows to go beyond previous studies, which only describe the average jet dynamics. Our first result is an effective equation for the slow dynamics of jets, the validityof this equation is studied from a theoretical point of view, and the physical consequences are discussed. In order to describe the statistics of rare events such as abrupt transitions between different jet configurations, tools from large deviation theory are employed. Original methods are developped in order to implement this theory, those methods can be applied for instance in situations of multistability

Les exposants de Lyapunov sont une observable naturelle pour quantifier la chaoticité d'une trajectoire. Ils peuvent donc être utilisés pour distinguer des régimes dynamiques différents, ce qui peut permettre l'étude de phénomènes tels que l'apparition de la turbulence, qui correspond à l'émergence de trajectoires chaotiques dans un écoulement auparavant régulier, ou la transition vitreuse, qui peut être vue comme le passage d'une dynamique diffusive à un régime gelé. L'objet de cette thèse est d'appliquer le formalisme thermodynamique de Sinai, Ruelle et Bowen, qui transpose dans l'espace des trajectoires le langage de la physique statistique d'équilibre, aux fluctuations d'exposants de Lyapunov dans les systèmes étendus pour lesquelles peu de résultats sont disponibles. Dans un premier temps, on présente une méthode numérique pour échantillonner des trajectoires de chaoticité atypique dans un système étendu, révélant ainsi ses différentes structures dynamiques. Cet algorithme permet également de mesurer l'énergie libre dynamique, ouvrant la voie à l'étude des transitions de phase dynamique dues à l'éventuelle coexistence de ces différentes structures. Il est ensuite appliqué notamment à la chaîne d'oscillateurs anharmoniques de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPU). On montre dans un second temps comment déterminer analytiquement les fluctuations du plus grand exposant de Lyapunov dans des systèmes de particules en interaction dont la dynamique sous-jacente est diffusive. Ce faisant, on établit des liens avec la propagation de défauts et les processus de réaction-diffusion
Lyapunov exponents are natural observables to quantify the chaoticity of a trajectory. They thus appear as good candidates to discriminate between different dynamical regimes, allowing to study phenomena such as the onset of turbulence which goes hand in hand with the emergence of chaotic trajectories in an otherwise regular flow—or the glass transition—which can be seen as a transition from diffusive dynamics to an arrested, frozen-in, and ergodicity-breaking regime. The present thesis strives to apply the thermodynamic formalism of Sinai, Ruelle and Bowen which transposes in trajectory space the language of equilibrium statistical physics—to fluctuations of Lyapunov exponents in spatially extended systems, for which only few results are available. We begin by presenting a numerical method to sample trajectories of atypical chaoticity in spatially extended systems, hence revealing their various dynamical structures. We also exhibit how this algorithm can be used to measure the dynamical free energy, opening the way for the study of dynamical phase transitions resulting from the possible coexistence of these structures. This method is in particular applied to the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPU) chain of anharmonic oscillators. Next, we show how fluctuations of the largest Lyapunov exponent in systems of interacting particles with underlying diffusive dynamics can be analytically characterized. Carrying out this program allows us to establish interesting connections with damage spreading and reaction-diffusion processes

Cette thèse comporte trois parties. Dans la première partie, nous étudions des processus de branchement spatiaux dans le cadre asymptotique des grandes déviations. Nous obtenons d'abord une généralisation du paramètre de Malthus, puis nous montrons la continuité presque partout d'un opérateur monotone décrivant le comportement asymptotique d'un processus de branchement spatial inhomogène. Enfin, pour des populations où la reproduction est contrôlée, nous comparons les modélisations déterministe (équation de réaction-diffusion) et stochastique (processus de branchement contrôlé) à l'aide de simulations numériques. La deuxième partie est consacrée à l'estimation non-paramétrique et paramétrique de la dérive d'un processus de diffusion sur R partiellement observé, dans le cadre asymptotique où la variance de la diffusion tend vers O. Nous étudions ce problème d'estimation quand on dispose, soit de l'observation du processus des records Mt = sup (Xs , s ≤ t) entre deux niveaux donnés x= X0 et A > x, soit d'une observation tronquée de Mt (constituée des paliers de (Mt) de longueur supérieure à un nombre positif donné η. Pour des diffusions ayant une dérive positive, nous montrons que ces observations sont asymptotiquement exhaustives par rapport à l'observation complète de (Xt) jusqu'au premier instant TA d'atteinte du niveau A, quand la variance de (Xt) et quand η, pour la deuxième observation, tendent simultanément vers O. Nous obtenons des estimateurs construits sur ces deux types d'observations asymptotiquement gaussiens asymptotiquement équivalents à l'estimateur du maximum de vraisemblance basé sur l'observation complète de Xt jusqu'à TA. Nous présentons, dans la troisième partie, une modélisation de la domestication des céréales
The first part of this thesis is devoted to the study of spatial branching processes using large deviations techniques. We first obtain a spatial generalization of the Malthusian parameter. Then, we prove the almost everywhere continuity of a monotone operator describing the asymptotic behavior of a nonhomogeneous spatial branching process. Finally, for populations with controlled offspring, we compare a deterministic modelisation (reaction-diffusion) and a stochastic modelisation (controlled branching processes) using numerical methods. The second part is concerned with the non-parametric and parametric inference for the drift function of a diffusion processe (Xt) on R, when one only observes either the first hitting times process (Ta) of increasing levels a, or the flat stretches of Xt, = sup (Xs, st) with length greater than η > 0, between two precribed levels x = Xo and A > x. For diffusions having positive drift, we prove that these observations are asymptotically sufficient with respect to the complete observation of (Xt) up to TA, when the variance of (Xt) and η, for the second observation, go simultaneously to O. We constuct estimators based on these observations. They are shown to be asymptotically normal, asymptotically equivalent to the maximum likelihood estimator based on the observation of (Xt) up to TA. We study in the third part models for cereal domestication

Nous considérons des systèmes d'équations différentielles stochastiques faisant intervenir deux échelles de temps bien distinctes. Nous commençons par établir, dans un cadre général, des propriétés de concentration des trajectoires au voisinage des variétés lentes du système déterministe correspondant. Nous étudions ensuite la dynamique au voisinage de points de bifurcation de la variété lente, en particulier dans le cas d'une bifurcation noeud-col et d'une bifurcation fourche. Les phénomènes apparentées de la résonance stochastique et de l'hystérésis dynamique sont également étudiés en détail. Finalement, nous dérivons la loi des temps de passage à travers une orbite périodique instable, pour une famille d'équations qui ne sont pas limitées au cas d'échelles de temps distinctes.

Nous présentons d’abord deux études sur les processus de branchement, l’une relative aux lois de Zipf, l’autre à l’estimation conjointe des paramètres d’un Galton-Watson. Puis, pour des modèles de branchements spatiaux, nous montrons dans l’asymptotique des grandes déviations, des résultats déterministes pour les logarithmes des populations (généralisation du paramètre de Malthus, construction de généalogies typiques). Dans le cas markovien général le résultat diffère de celui du logarithme des espérances et donne lieu à un problème original d’optimisation
First we present two studies in branching processes, one about Zipf’s laws, another one about joint estimation of Galton-Watson parameters. Then for spatial branching models, we prove in the large deviation scaling, deterministic limit results for logarithms of populations (generalization of Malthusian parameter, construction of typical genealogies). In the general markovian case, log-populations and log-expectations have not the same limit and an original optimization problem takes place

Nous definissons l'entropie relative dans le cadre des systemes dynamiques, en particulier en dynamique symbolique. Nous l'utilisons ensuite pour selectionner une mesure de gibbs a partir d'une seule orbite. Puis nous montrons comment elle intervient dans les grandes deviations de la mesure empirique et des moyennes temporelles des observables, par rapport a une g-mesure quelconque. Nous etablissons ensuite une formule simple reliant l'entropie relative a l'entropie et aux dimensions. L'entropie relative apparait egalement comme une correction a l'entropie lorsque l'on calcule le temps d'attente asymptotique pour des orbites generiques de deux mesures ergodiques distinctes. Enfin, dans le cadre de modeles dynamiques pour la turbulence locale, nous etudions la pression empirique, qui est la transformee de legendre d'une entropie relative contractee, afin d'explorer les lois d'echelle a la fois de facon theorique et experimentale grace a un signal turbulent reel.

La présence d'interactions à longue portée induit des propriétés très particulières : énergie non additive, dynamique chohérente à lé́chelle du système entier. . . Ces propirétés spécifiques ne dépendent pas de la nature de l'interaction à longue portée, qui peut avoir une origine variée (gravitationnnelle, Coulombienne non écrantée, interaction entre vortex en turbulence 2D, couplage ondes-particules. . . ); le but de cette thèse est d'explorer l'universatlité des comportements de ces systèmes avec interactions à longue partée. Nous partons donc de modèles jouets simples, pour dégager des méthodes et résultats généraux. Nous étudions d'abord la mécanique statistique d'équilibre, dont certaines anomalies sont connues : chaleur spécifique négative, ensembles statistiques inéquivalents par exemple. Nous montrons la présence de ces anomalies sur l'exemple d'un modèle de spins champ moyen exactement soluble, autour d'un point tricritique. Nous utilisons ensuite une méthode générale fondée sur la théorie des grandes déviations pour résoudre la mécanique statistique des systèmes à longue portée, dans les ensembles canonique et microcanonique, et nous l'appliquons à plusieurs systèmes dont la solution microcanonique était jusqu'ici inaccesssible. A partir de ces résultats, nous classifions les différentes situations possibles d'inéquivalence entre les ensembles. Puis nous nous intéressons à la dynamique hors équilibre des systèmes avec interactions à longue portée : nous étudions en détail un exemple de formation de structures, et nous présentons et illustrons un scénario général de la relaxation lente vers l'équilibre, fondée sur le lien étroit avec l'équation de Vlasov. Enfin, nous appliquons les idées et méthodes mises en évidence à un modèle simple de laser à électrons libres, ce qui fournit une approche originale, complémentaire à l'étude habituelle purement dynamique de ce type de lasers
In the presence of long range interactions, physics is very peculiar : energy is no more additive, phase separation in the usual sense is impossible, dynamics is necessarily coherent on a global scale. . . These peculiarities are independent of the origin of the long range interaction involved, which may be of many different types : gravitational, interaction between vortices in 2D turbulence, unshielded Coulombic interaction, wave-particles couplings for instance. The goal of this thesis is to explore precisely the universality of behaviours in these long range interaction systems; we start from the analysis of toy models, aiming at general results and methods. In a first part, we study equilibrium statistical mechanics which, as is known, may be anomalous and show for instance negative specific heat, or inequivalence between statistical ensembles. We show these anomalies around a tricritical point on an exactly solvable mean field spin model. We then use a general method, based on large deviation theory, to solve the statistical mechanics of long range interaction systems, and we apply it to a number of examples, whose microcanonical solution was till now inaccessible. From these results, and using singularity theory, we are able to classify all the possible inequivalence of ensembles situations. In a second part, we study the out of equilibrium dynamics of long range interacting systems : we explain in details an example of structure formation, and then we present and illustrate a general scenario for slow relaxation to equilibrium, based on the tight link with Vlasov equation. Finally, we apply the previous ideas and methods to a model of free electron laser on a linear accelerator, which yields an original approach, complementary to the usual purely dynamical one for this type of lasers

Comprendre comment décrire un système avec des équations macroscopiques, qui sont généralement déterministes, en partant d'une description microscopique, qui peut être stochastique, est le problème fondamental de la physique statistique. Souvent, cette tâche implique au moins deux limites : une limite "grand N" et une limite "d'équilibre local". La première permet de décrire un système de N particules par une fonction de distribution dans l'espace des phases, tandis que la seconde reflète la séparation des échelles de temps entre l'approche rapide de l'équilibre local et l'évolution lente des modes hydrodynamiques. En supposant ces deux limites, on obtient une description macroscopique déterministe. Pour des raisons à la fois théoriques et de modélisation (N est grand mais pas infini, la séparation des échelles de temps n'est pas parfaite), il est parfois important de comprendre les fluctuations autour de cette description macroscopique. L'hydrodynamique fluctuante fournit un cadre pour décrire l'évolution des champs macroscopiques tout en prenant en compte les fluctuations induites par le nombre de particules finies dans la limite hydrodynamique. Cette thèse traite de la dérivation de l'hydrodynamique fluctuante à partir de la description microscopique de la dynamique des particules. La dérivation de l'hydrodynamique fluctuante se fait en deux étapes. Premièrement, la limite "grand N" doit être affinée pour prendre en compte les fluctuations au-delà du comportement moyen du système. Pour ce faire, nous utilisons la théorie des grandes déviations pour établir des principes de grandes déviations qui décrivent la probabilité de tout chemin d'évolution pour le système de particule au-delà du chemin le plus probable décrit par l'équation cinétique. Ensuite, nous dérivons la l'hydrodynamique fluctuante en étudiant la limite hydrodynamique du principe de grande déviation cinétique, ou l'équation cinétique fluctuante associée. Ce manuscrit contient l'explication de ce programme et son application à divers systèmes physiques allant du gaz dilué aux particules actives
The central problem of statistical physics is to understand how to describe a system with macroscopic equations, which are usually deterministic, starting from a microscopic description, which may be stochastic. This task requires taking at least two limits: a “large N ” limit and a “local equilibrium” limit. The former allows a system of N particles to be described by a phase-space distribution function, while the latter reflects the separation of time scales between the fast approach to local equilibrium and the slow evolution of hydrodynamic modes. When these two limits are taken, a deterministic macroscopic description is obtained. For both theoretical and modeling reasons (N is large but not infinite, the time-scale separation is not perfect), it is sometimes important to understand the fluctuations around this macroscopic description. Fluctuating hydrodynamics provides a framework for describing the evolution of macroscopic, coarse-grained fields while taking into account finite- particle-number induced fluctuations in the hydrodynamic limit. This thesis discusses the derivation of fluctuating hydrodynamics from the microscopic description of particle dynamics. The derivation of the fluctuating hydrodynamics is twofold. First, the “large N” limit must be refined to account for fluctuations beyond the average behavior of the system. This is done by using large deviation theory to establish kinetic large deviation principles that describe the probability of any evolution path for the empirical measure beyond the most probable path described by the kinetic equation. Then, the fluctuating hydrodynamics is derived by studying the hydrodynamical limit of the kinetic large deviation principle, or the associated fluctuating kinetic equation. This dissertation discusses this program and its application to several physical systems ranging from the dilute gas to active particles

Ce document contient la synthèse des travaux de recherche effectués
entre 1996 et 2005, après la thèse de doctorat de l'auteur, et concerne l'étude fine de
certains processus stochastiques : mouvement brownien linéaire ou plan, processus de diffusion,
mouvement brownien fractionnaire, solutions d'équations différentielles stochastiques ou
d'équations aux dérivées partielles stochastiques.
La thèse d'habilitation s'articule en six chapitres correspondant aux thèmes
suivants : étude des intégrales par rapport aux temps locaux de certaines diffusions,
grandes déviations pour un processus obtenu par perturbation brownienne d'un système
dynamique dépourvu de la propriété d'unicité des solutions, calcul stochastique
pour le processus gaussien non-markovien non-semimartingale mouvement brownien fractionnaire,
étude des formules de type Itô et Tanaka pour l'équation de la chaleur stochastique,
étude de la durée de vie du mouvement brownien plan réfléchi dans un domaine à
frontière absorbante et enfin, estimation non-paramétrique et construction d'un
test d'adéquation à partir d'observations discrètes pour le coefficient de diffusion d'une
équation différentielle stochastique.
Les approches de tous ces thèmes sont probabilistes et basées sur l'analyse stochastique.
On utilise aussi des outils d'équations différentielles, d'équations aux dérivées partielles
et de l'analyse.