Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Grandes déviations dynamiques“

La théorie des grandes déviations traite des comportements asymptotiques d'évènements rares. C'est le langage moderne de la physique statistique d'équilibre, qui semble offrir un cadre naturel pour une extension hors équilibre. Nous présentons dans cette thèse plusieurs applications, analytiques et numériques, de cette théorie dans différents contextes. D'abord, nous montrons comment localiser numériquement des trajectoires de chaoticité atypique de systèmes dynamiques complexes. Nous étendons ensuite l'algorithme présenté à une classe de systèmes et d'observables plus large. La deuxième partie de cette thèse montre sur un exemple comment le calcul de fonctions de grandes déviations d'un système hors équilibre peut parfois être ramené à un calcul d'équilibre. La dernière partie traite des chemins de réactions en chimie et de leur détermination numérique. Le formalisme introduit repose sur la supersymétrie de l'équation de Fokker-Planck et redonne naturellement la théorie de Morse.

Cette thèse s'intéresse aux grandes déviations dans les systèmes dynamiques, par une approche à cheval sur les idées et méthodes issues de la physique statistique d'une part et celles issues de l'étude des systèmes dynamiques d'autre part. Nous développons dans une première partie l'idée que les grandes déviations dans les systèmes dynamiques chaotiques sont génériquement associées à des trajectoires ordonnées. Dans un premier temps, nous minimisons une observable dans une dynamique chaotique, la transformation du boulanger, et bien que les trajectoires sont pour la quasi-totalité d'entre elles apériodiques, nous trouvons que le minimum est typiquement atteint par une trajectoire périodique. Dans un deuxième temps, nous étudions un modèle d'énergie libre qui possède une phénoménologie de type vitreuse. Nous montrons que l'état de plus basse énergie n'est jamais amorphe. Dans une deuxième partie, nous considérons deux problèmes liés à l'utilisation de la méthode Lyapunov Weighted Dynamics utilisée pour échantillonner numériquement les grandes déviations de chaoticité d'un système dynamique. (i) Nous analysons les dynamiques hamiltoniennes intégrables perturbées par un bruit et montrons que le bruit a pour effet d'écarter exponentiellement dans le temps deux trajectoires initialement proches, sauf lorsque ces trajectoires sont isochrones. (ii) Nous analysons une dynamique de population de deux espèces en équilibre dynamique et soumises à un processus de sélection et montrons que la taille finie de la population rend possible l'extinction d'une des espèces
In this thesis we are interested in large deviations in dynamical systems. We use ideas and methods both from the statistical physics field and the dynamical systems field. In a first part, we test the idea that large deviations in chaotic dynamical systems are typically associated to ordered trajectories. We first minimize a simple functionnal of the trajectories of the baker's map. Although most of the trajectories are aperiodic, we find that minimal trajectories are periodic. In a second model, we study a density free energy functionnal with a glassy phenomenology: first order transition between a liquid and a crystal and appereance of a huge number of metastable and amorphous states. The state of minimum free energy is nevers amorphous. In a second part, we consider two problems that arises when using the so-called Lyapunov Weigted Dynamics, used numerically to sample large deviations of chaoticity in a dynamical system. (i) We analyse hamiltonian dynamics perturbed stochastically and show that the presence of noise destabilize the system, unless the initial condition is taken in a isochronous part of the phase space. (ii) We study the dynamics of a population of two species in dynamical equilibrium when a selection process comes into play. The finite size of the population allows for the extinction of one of the species

Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un problème de grandes déviations associe au comportement asymptotique d'un processus de diffusion perturbé. Sous la condition de nilpotence de l'algèbre de Lie, nous démontrons un principe de grandes déviations qui rend compte de la vitesse de convergence sur un espace approprié, valable même lorsque la diffusion limite est non dégénérée, généralisant un résultat de Doss et Stroock. Dans la seconde partie, nous étudions un problème de grandes déviations en théorie du filtrage non linéaire. Nous démontrons sous la condition de nilpotence de l'algèbre de Lie, un principe de grandes déviations pour la loi conditionnelle du processus signal sachant l'observation, généralisant un résultat de Doss

Le thème central des travaux présentés est l'étude des suites faiblement dépendantes
non -mélangeantes au sens de Rosenblatt (1956). La notion de mélange classique est affaiblie
afin d'établir des inégalités ainsi que des théorèmes limite pour différentes classes de processus
comme par exemple certains systèmes dynamiques, des chaînes de Markov non irréductibles,
ou encore des fonctions de processus linéaires non mélangeants. Les résultats obtenus sont
ensuite appliqués au domaine de la statistique non paramétrique.
Deux autres thématiques sont abordées dans ce manuscrit : d'une part l'étude de principes
de grandes déviations (notamment pour le processus de records généralisés), et d'autre part
l'estimation adaptative de fonctionnelles linéaires.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel
In this thesis, we work on metastability for some stochastic dynamical systems. More precisely, we study some differential or partial differential equations perturbed by an additive white noise in the small noise asymptotic. We compute the expectation of the transition times for some models (so-called Eyring-Kramers Formula). First we generalize some known results for Itô diffusions whose drift is given by the gradient of a potential. We give an equivalence between the geometry of the potential and an electrical network which allows a simple computation of the transition times between minima of the potential. To do so, we use potential theory and capacities. The main result of this thesis is about a class of scalar, parabolic, semi-linear stochastic partial differential equations perturbed by a space-time white noise on a bounded real interval as the Allen-Cahn model. These equations are similar to the gradient drift diffusions but in infinite dimension. We consider Dirichlet or Neumann boundary conditions and discuss the periodic boundary conditions. Under some assumptions, we prove a formula, similar to the finite dimensional case, for the transition times. In the proof, we use a finite difference approximation and a coupling and apply the finite dimensional estimates to the approximation. We prove the uniformity of the estimates in the dimension and then we take the limit to recover the infinite dimensional equation

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel.

Cette thèse s'intéresse à un processus d'exclusion en contact faible avec des réservoirs. Plus précisément, on reprend le modèle étudié dans l'article "Hydrostatics and dynamical large deviations of boundary driven gradient symmetric exclusion processes" de J. Farfan, C. Landim, M. Mourragui mais dans le cas d'un contact faible (et non plus fort) avec les réservoirs. Par ce contact faible, des résultats sont modifiés comme le théorème de la limite hydrodynamique et le théorème des grandes déviations dynamiques. Ce sont les modifications de ses deux résultats qui sont étudiés dans cette thèse dans le cas de la dimension 1.La première partie de la thèse consistera à montrer le théorème de la limite hydrodynamique pour notre modèle, i.e. montrer la convergence de la mesure empirique. En se basant sur les étapes de la Section 5 du livre "Scaling limits of interacting particle systems" de C. Kipnis, C. Landim, il s'agira de montrer que cette suite est relativement compacte avant d'étudier les propriétés de ses points limites. Pour chacune des sous-suites convergentes, on montrera que celles-ci convergent vers des points limites qui se concentrent sur des trajectoires absolument continues et dont les densités sont solutions faibles d'une équation qu'on nommera l'équation hydrodynamique. En finissant par montrer qu’il y a unicité des solutions faibles de l’équation hydrodynamique, on aura alors un unique point limite et la convergence de la suite sera établie.Dans la deuxième partie de la thèse, on montrera le théorème des grandes déviations dynamiques, i.e. qu'il existe une fonction taux I_{[0,T]}( . |\gamma) vérifiant le principe des grandes déviations pour la suite étudiée dans la première partie. Après avoir définit la fonction taux, on montrera donc que celle-ci est semicontinue inférieurement, qu'elle a ses ensembles de niveaux compacts et qu'elle vérifie une propriété de borne inférieure et de borne supérieure. Une des principales difficulté sera de montrer qu’on a une propriété de densité pour un ensemble F pour notre fonction taux. Ceci représentera donc une part importante de cette section. De plus, pour montrer cette densité, on aura besoin de décomposer la fonction I_{[0,T]}( .|\gamma) qui admet des termes de bords et n’a pas de propriété de convexité comme l’ont les fonctions taux de plusieurs modèles déjà existants. En raison de ses deux contraintes, de nouvelles propriétés de régularités ainsi qu'un nouveau type de décomposition seront démontrés
This thesis focuses on a process of exclusion in weak contact with reservoirs. More precisely, we revisit the model studied in the article "Hydrostatics and dynamical large deviations of boundary driven gradient symmetric exclusion processes" by J. Farfan, C. Landim, M. Mourragui but in the case of weak (rather than strong) contact with the reservoirs. Through this weak contact, results are modified such as the hydrodynamic limit theorem and the theorem of large dynamical deviations. The modifications of these two results are studied in this thesis in the case of dimension 1. The first part of the thesis will consist of proving the hydrodynamic limit theorem for our model, i.e. showing the convergence of the empirical measure. Based on the steps in Section 5 of the book "Scaling limits of interacting particle systems" by C. Kipnis, C. Landim, we will show that this sequence is relatively compact before studying the properties of its limit points. For each convergent subsequence, we will show that they converge to limit points that concentrate on absolutely continuous trajectories and whose densities are weak solutions of an equation that we will call the hydrodynamic equation. By demonstrating the uniqueness of weak solutions of the hydrodynamic equation, we will then have a unique limit point and the convergence of the sequence will be established. In the second part of the thesis, we will demonstrate the theorem of large dynamical deviations, i.e. that there exists a rate function I_{[0,T]}(.|\gamma) satisfying the large deviations principle for the sequence studied in the first part. After defining the rate function, we will show that it is lower semicontinuous, has compact level sets, and satisfies a lower bound and an upper bound property. One of the main challenges will be to show a density property for a set F. This will represent a significant part of this section. Moreover, to prove this density property, we will need to decompose the function I_{[0,T]}(.|\gamma) which contains boundary terms and does not have a convexity property like the rate functions of several existing models. Due to these two constraints, new regularity properties as well as a new type of decomposition will be demonstrated

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension

Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première, nous considérons un modèle microscopique individu-centré pour décrire une population structurée par traits et âges. Nous étudions l'écologie de ce système (problèmes de dynamique de populations) dans une asymptotique de grandes populations. Sous certaines renormalisations, le processus microscopique converge par la solution à valeurs mesures d'une équation d'évolution déterministe. Un théorème central limite et les déviations exponentielles associées à cette convergence sont étudiés. Nous appliquons ensuite ces résultats pour établir des généralisations aux populations structurées par âge de modèles d'évolution tirés de la récente théorie des dynamiques adaptatives. Ces derniers modélisent l'évolution de la structure en traits sur des grandes échelles de temps et sous les hypothèses de mutations rares (éventuellement petites) et de grandes populations. Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons des équations aux dérivées partielles de McKean-Vlasov et de Navier-Stokes 2D avec conditions initiales aléatoires. La loi des solutions, qui sont alors des variables aléatoires, est appelée solution statistique. En nous basant sur une approche probabiliste de ces équations aux dérivées partielles, nous proposons de nouvelles approximations particulaires stochastiques avec ondelettes pour les moments d'ordre 1 des solutions statistiques, et nous étudions leurs vitesses de convergence.

Cette thèse porte sur l'étude probabiliste de modèles écologiques appartenant à la récente théorie des "dynamiques adaptatives". Après avoir précisé et généralisé le cadre et l'heuristique biologique de ces modèles, nous obtenons une justification microscopique d'un modèle d'évolution par sauts à partir d'un système de particules en interaction à valeurs mesure, décrivant la dynamique de la population à l'échelle individuelle. Il s'agit d'un résultat de séparation d'échelles de temps lié à deux asymptotiques : mutations rares et grande population. Ensuite, nous retrouvons une équation différentielle ordinaire connue sous le nom d'"équation canonique des dynamiques adaptatives" en appliquant une asymptotique de petits sauts au processus précédent. Cette asymptotique nous conduit à introduire un modèle d'évolution par diffusion comme approximation diffusion du processus de saut, dont les coefficients présentent une mauvaise régularité : dérive discontinue et diffusion dégénérée aux mêmes points. Nous examinons d'abord l'existence faible, l'unicité en loi et la propriété de Markov forte pour ces processus, questions liées au problème d'atteinte de certains points isolés de l'espace. Enfin, nous démontrons un principe de grandes déviations pour ces diffusions qui permet d'étudier le temps et le lieu de sortie d'un domaine attracteur --- question biologique fondamentale.

Les dernières technologies informatiques ainsi que le développement des imprimantes 3D ouvrent des perspectives intéressantes en terme de diagnostic et de thérapeutique en implantologie (1). Le plan de traitement prothétique doit guider le choix du nombre et du positionnement des implants. Les logiciels de planification implantaire permettent de superposer les fichiers DICOM (Digital Imaging and Communications in Medicine) de limagerie tridimensionnelle issue du CBCT et les données numériques de surface issues d’empreintes optiques ou de la numérisation de modèles conventionnels (2). Les modélisations occlusales peuvent être elles aussi réalisées virtuellement en statique et dynamique via l’utilisation darticulateurs virtuels (3,4). Un guide chirurgical est alors imprimé permettant de positionner les implants selon la planification virtuelle. Dans certains cas, la restauration provisoire peut être prévue à l’avance et mise en place à lissue de lintervention (5,6). Bien quil soit établit que la chirurgie guidée soit plus précise que la chirurgie à main levée (7), son utilisation en pratique quotidienne a été ralentie en grande partie à cause du coût de fabrication élevé. Le développement récent dimprimantes 3D de bureau de haute précision (8,9) et la multiplicité des logiciels de planification implantaire ont permis le développement de la chirurgie guidée. Cependant, à chaque étape du flux numérique, des imprécisions peuvent se cumuler pouvant aboutir à des erreurs de positionnement ayant des conséquences potentiellement graves : proximité avec les racines adjacentes, perforation des racines, lésion nerveuse. La précision des guides chirurgicaux sté- réolithographiques dépend de nombreux paramètres : lempreinte, l’impression du guide, le matériau utilisé, la nature du support, lexpérience du praticien. Les empreintes optiques réalisées avec des scanners intra-oraux de plus en plus puissants présentent de nombreux avantages par rapport aux techniques conventionnelles en terme de rapidité, de précision et de reproductibilité. (10-14). Les guides peuvent être à appui osseux, muqueux, dentaire ou mixte. Une revue systématique de la littérature de Gallardo et coll. en 2017 (15) compare la précision des guides chirurgicaux en fonction du type de support. Cette revue conclut que les guides à appui osseux présentent le plus de déviation au niveau de langle, du point dentrée et de la localisation de lapex de l’implant par rapport aux guides à appuis dentaires. Les guides à appuis muqueux montrent moins de déviation par rapport aux guides à appuis osseux. Les auteurs nont pas trouvé de différence statistiquement significative entre les guides à appuis dentaires et muqueux. Selon L’étude de Cassetta publiée en 2017 (16), lexpérience du praticien influence la précision du positionnement des implants en chirurgie guidée. Un praticien novice en implantologie présente plus de déviation sur le positionnement des implants avec lutili- sation d’un guide chirurgical stéréolithographique quun praticien expérimentée. La chirurgie implantaire guidée reste un outil et nécessite une expérience chirurgicale. Le flux numérique en implantologie peut aujourdhui se réaliser de la prise d’empreintes d’étude à la fabrication de la restauration prothétique implantaire en passant par la conception et l’impression d’un guide chirurgi- cal. Ce flux est une aide précieuse en terme de communication avec le patient mais aussi avec le prothésiste, il permet daugmenter la reproductibilité des résultats et daboutir à une restauration prothétique esthétique et fonctionnelle.