Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Floquet formalism“

We review Floquet formalism of quantum electron pumps. In the Floquet formalism the quantum pump is regarded as a time dependent scattering system, which allows us to go beyond the adiabatic limit. It can be shown that the well-known adiabatic formula given by Brouwer can be derived from the adiabatic limit of Floquet formalism. We compare various physical properties of the quantum pump both in the adiabatic and in the non-adiabatic regime using the Floquet theory.

We propose a unifying paradigm for analyzing and constructing topological quantum error correcting codes as dynamical circuits of geometrically local channels and measurements. To this end, we relate such circuits to discrete fixed-point path integrals in Euclidean spacetime, which describe the underlying topological order: If we fix a history of measurement outcomes, we obtain a fixed-point path integral carrying a pattern of topological defects. As an example, we show that the stabilizer toric code, subsystem toric code, and CSS Floquet code can be viewed as one and the same code on different spacetime lattices, and the honeycomb Floquet code is equivalent to the CSS Floquet code under a change of basis. We also use our formalism to derive two new error-correcting codes, namely a Floquet version of the 3+1-dimensional toric code using only 2-body measurements, as well as a dynamic code based on the double-semion string-net path integral.

We consider a two-dimensional electron gas in the presence of a monochromatic linear polarized electromagnetic field, within the Floquet formalism. The Floquet states have a simple relation with the energy eigenstates in the absence of the field. Therefore the single-particle and the two-particle Green functions of the many-body system with Coulomb interactions, in the radiation field, can be formally calculated by the standard diagrammatic techniques, as for the conservative system. We derive the elementary excitations of quasi-particle type, the plasma dispersion relation, and the ground state quasi-energy, and we relate them to the corresponding results for the conservative system.

Cette thèse présente un travail théorique effectué dans le domaine de la physique de la matière condensée, et plus particulièrement la physique des solides. Ce domaine de la physique décrit le comportement des électrons dans les cristaux à très basses températures dans le but d'observer des effets quantiques à l'échelle mésoscopique.Cette thèse se situe à l'interface entre deux types de matériaux : le graphène et les isolants topologiques. Le graphène est une couche d’épaisseur monoatomique d’atomes de carbone arrangés en réseau nid d’abeilles, qui présente de nombreuses propriétés impressionnantes en optique, en mécanique et en électronique. Les isolants topologiques sont des matériaux qui sont isolants en volume et conduisent l'électricité sur les bords. Cette caractéristique découle d'une propriété topologique des électrons dans le volume. La topologie est une branche des mathématiques qui décrit des objets dans leur globalité en ne retenant que les caractéristiques invariantes par certaines déformations continues. Les états de bords des isolants topologiques sont robustes à certaines perturbations comme le désordre créé par des impuretés dans le matériau. Le lien entre ces deux sujets est double. D’une part les premiers modèles d’isolants topologiques de bande ont été formulés pour le graphène, par Haldane en 1988 et Kane et Mele en 2005, ouvrant ainsi la voie à la découverte des isolants topologiques à 2D et 3D dans des matériaux à fort spin-orbite. D’autre part, il a été prédit que le graphène, même sans spin-orbite, devient un isolant topologique lorsqu'il est irradié par une onde électromagnétique. Dans cette thèse, nous suivons deux directions en parallèle : décrire les caractéristiques topologiques d’une part et les propriétés de transport électronique d’autre part.En premier lieu, nous passons en revue le modèle des liaisons fortes pour le graphène, puis le modèle effectif qui décrit les électrons de basse énergie comme des fermions de Dirac sans masse. Nous introduisons ensuite le modèle de Haldane, un modèle simple défini sur le réseau en nid d’abeille et qui présente des bandes non triviales caractérisées par un invariant topologique, le nombre de Chern, non nul. Du fait de cette propriété topologique, ce modèle possède un état de bord chiral se propageant au bord de l’échantillon et une conductance de Hall quantifiée. Lorsque le graphène est irradié par un laser ayant une fréquence plus large que la largeur de bande du graphène, il acquiert un gap dynamique similaire au gap topologique du modèle de Haldane. Lorsque la fréquence est réduite, nous montrons que des transitions topologiques se produisent et l'apparition d'états de bords.Le travail principal de cette thèse est l'étude du transport électronique dans le graphène irradié dans un régime de paramètres réalisables expérimentalement. Une feuille de graphène est connectée à deux électrodes avec une différence de potentiel qui génère un courant. Nous calculons la conductance différentielle de l'échantillon selon le formalisme de Landauer-Büttiker étendu aux systèmes soumis à une modulation périodique. Il nous est possible d'obtenir la conductance en fonction de la géométrie de l’échantillon et de différents paramètres tels que le potentiel chimique, la fréquence et l'intensité de l’onde.Un autre type d'isolant topologique est l’isolant d’effet Hall quantique de spin. Ce type de phase possède deux états de bords dans lesquels les spins opposés se propagent dans des directions opposées. Le second travail de cette thèse concerne le transport électronique à travers cet état de bord irradié. Nous observons l'apparition d'un courant pompé en l'absence de différence de potentiel. Nous distinguons deux régimes : un pompage adiabatique quantifié à basse fréquence, et un régime de réponse linéaire non quantifiée à hautes fréquences. Par rapport aux études précédentes existantes, nous montrons un effet important de la présence des électrodes de mesure
This thesis presents a theoretical work done in the field of condensed matter physics, and in particular solid state physics. This field of physics aims at describing the behaviour of electrons in crystalline materials at very low temperature to observe effects characteristic of quantum physics at the mesoscopic scale.This thesis lies at the interface between two types of materials : graphene and topological insulators. Graphene is a monoatomic layer of carbon atoms arranged in a honeycomb lattice that presents a wide range of striking properties in optics, mechanics and electronics. Topological insulators are materials that are insulators in the bulk and conduct electricity at the edges. This characteristic originates from a topological property of the electrons in the bulk. Topology is a branch of mathematics that aims to describe objects globally retaining only characteristics invariant under smooth deformations. The edge states of topological insulators are robust to certain king of perturbations such as disorder created by impurities in the bulk. The link between these two topics is two-fold. On one hand, the first models of band topological insulators were formulated for graphene, by Haldane in 1988 and Kane and Mele in 2005, opening the way to the discovery of 2D and 3D topological insulators in materials with strong spin-orbit coupling. On the other hand, it was predicted that graphene, even without spin-orbit coupling, turns to a topological insulator under irradiation by an electromagnetic wave. In this thesis, we follow two directions in parallel : describe the topological properties on one hand, and the electronic transport properties on the other hand.First, we review the tight-binding model of graphene, and the effective model that describes low-energy electrons as massless Dirac fermions. We then introduce the Haldane model, a simple model defined on the honeycomb lattice that presents non-trivial bands characterised by a topological invariant, the Chern number. Due to this topological property, this model possesses a chiral edge state that propagates around the sample and a quantized Hall conductance. When graphene is irradiated by a laser with a frequency larger than the graphene bandwidth, it acquires a dynamical gap similar to the topological gap of the Haldane model. When the frequency is lowered, we show that topological transitions happens and that different edge states appear.The main work of this thesis is the study of electronic transport in irradiated graphene in a regime of experimentally achievable parameters. A graphene sheet is connected to two electrodes with a potential difference that generates a current. We compute the differential conductance of the sample according to Landauer-Büttiker formalism extended to periodically driven systems. Using this simple formalism, we are able to obtain the conductance as a function of the geometry of the sample and of several parameters such as the chemical potential, the frequency and the intensity of the electromagnetic wave.Another kind of topological insulator is the quantum spin Hall insulator. This type of phase possesses two edge states in which opposite spins propagate in opposite directions. The second work of this thesis concerns electronic transport through this irradiated edge state. We observe the apparition of a pumped current in the absence of a potential difference. We observe two regimes : a quantized adiabatic at low frequency, and a non-quantized linear response regime at high frequency. Compared to previous studies, we show an important effect originating from the presence of electrodes

Mon travail de thèse, mené au LCAR, porte sur le développement d'interféromètres atomiques exploitant des condensats de Bose-Einstein manipulés par des réseaux optiques. Je présente diverses méthodes pour créer des interféromètres avec une grande séparation en impulsion entre les deux bras de l'interféromètre. Une première approche repose sur la diffraction d'onde atomique à ordre élevé, dans le régime dit de quasi-Bragg. Un chapitre est consacré à cette étude, mettant en évidence l'importance des transitions multiphotoniques non résonantes sur les signaux d'interféromètres. Le chapitre suivant décrit un schéma de séparatrices atomiques, fondé sur une succession d'impulsions pi qui transfert chacune 2ℏk. Nous avons ainsi mis en évidence un nouveau régime d'accélération particulièrement efficace grâce à un phénomène d'interférence destructive entre les pertes. Cette méthode a permis la réalisation d'un interféromètre avec une séparation de 200 impulsions de recul. Enfin, le dernier chapitre de mon manuscrit introduit une nouvelle technique exploitant le formalisme de Floquet, qui généralise les séparatrices atomiques précédentes ainsi que celles fondées sur les oscillations de Bloch. Pour préparer de manière optimale les états de Floquet transportés par le réseau optique, nous avons mis en œuvre des techniques de contrôle optimal. Cette approche a permis de démontrer expérimentalement des interféromètres avec une séparation en impulsion de 600ℏk, avec une visibilité de 20 %. Ce résultat représente la plus grande séparation en impulsion obtenue dans un interféromètre. Les séparatrices atomiques développées dans cette thèse peuvent potentiellement améliorer les mesures de la constante de structure fine et la sensibilité des capteurs inertiels exploitant des techniques d'interférométrie atomique. Par ailleurs, ces séparatrices ouvrent la voie à des interféromètres présentant une très grande séparation spatiale. Ces interféromètres suscitent un intérêt croissant en physique fondamentale, offrant diverses possibilités pour tester la relativité générale, la neutralité de la matière, ainsi que des modèles de matière noire. L'objectif à plus long terme de l'expérience sur laquelle j'ai travaillé consistera à effectuer des tests de la neutralité de l'atome en utilisant une nouvelle méthode basée sur la phase d'Aharonov-Bohm. Nous prévoyons une amélioration de plusieurs ordres de grandeur par rapport aux limites actuelles
My thesis work, carried out at LCAR, focuses on the development of atom interferometers exploiting Bose-Einstein condensates manipulated by optical lattices. I present various methods for creating interferometers with a large momentum separation between the two arms of the interferometer. A first approach is based on high-order diffraction, in the so-called quasi-Bragg regime. One chapter is dedicated to this description, highlighting the importance of non-resonant multiphoton transitions on interferometer signals. The next chapter describes an atom beam splitter scheme, based on a succession of pi pulses each transferring 2ℏk. We have thus demonstrated a new, particularly efficient acceleration regime thanks to a destructive interference phenomenon between the losses. This method has enabled us to produce an interferometer with a separation of 200 recoil momentum. Finally, the last chapter of my manuscript introduces a new technique exploiting the Floquet formalism, which generalizes previous atom beam splitters as well as those based on Bloch oscillations. To optimally prepare the Floquet states transported by the optical lattice, we implemented optimal control techniques. This approach has enabled us to experimentally demonstrate interferometers with a momentum separation of 600ℏk, with a visibility of 20%. This result represents the largest momentum separation achieved in an interferometer. The beam splitter developed in this thesis can potentially improve fine structure constant measurements and the sensitivity of inertial sensors exploiting atomic interferometry techniques. In addition, these separators pave the way for interferometers with very high spatial separation. These interferometers are attracting growing interest in fundamental physics, offering various possibilities for testing general relativity, matter neutrality and dark matter models. The longer-term aim of the experiment I've been working on will be to test the neutrality of the atom using a new method based on the Aharonov-Bohm phase. We expect an improvement of several orders of magnitude over current limits

La Méthode de la Trajectoire Adiabatique Contrainte est développée dans le but de résoudre globalementl’équation de Schrödinger. Cette méthode utilise le formalisme de Floquet et une décomposition de Fourier pourdécrire les dépendances temporelles. Elle transforme ainsi un problème dynamique en un problème aux valeurspropres partiel dans un espace de Hilbert étendu au temps. Cette manipulation requiert l’application decontraintes sur les conditions initiales de l’état propre de Floquet recherché. Les contraintes sont appliquées parl’intermédiaire d’un opérateur absorbant artificiel. Cet algorithme est adapté à la description de systèmes dirigéspar des hamiltoniens dépendant explicitement du temps. Il ne souffre pas de l’accumulation d’erreurs au cours dutemps puisqu’il fournit une solution globale ; les erreurs éventuelles proviennent de la non-complétude des basesfinies utilisées pour la description moléculaire ou temporelle et de l’imperfection du potentiel absorbant dépendantdu temps nécessaire pour fixer les conditions initiales. Une forme générale de potentiel absorbant a étédéveloppée pour être en mesure d’intégrer un problème avec une condition initiale quelconque. Des argumentsrelatifs au suivi adiabatique dans le cas de Hamiltoniens non-hermitiens sont également présentés. Nous insistonssur le rôle des facteurs de phase géométrique. Les méthodes développées sont appliquées à des systèmesatomiques ou moléculaires soumis à des impulsions laser intenses, en relation avec la problématique du contrôlemoléculaire. Nous considérons plusieurs exemples : modèles d’atomes à deux ou trois niveaux, ion moléculairehydrogène et molécules froides de sodium
The Constrained Adiabatic Trajectory Method (CATM) allows us to compute global solutions of the time-dependent Schrödinger equation using the Floquet formalism and Fourier decomposition. The dynamical problem is thustransformed into a “static” problem, in the sense that the time will be included in an extended Hilbert space. Thisapproach requires that suitable constraints are applied to the initial conditions for the relevant Floquet eigenstate.The CATM is well suited to the description of systems driven by Hamiltonians with explicit and complicated timevariations. This method does not have cumulative errors and the only error sources are the non-completeness ofthe finite molecular and temporal basis sets used, and the imperfection of the time-dependent absorbing potentialwhich is essential to impose the correct initial conditions. A general form is derived for the absorbing potential,which can reproduce any dispersed boundary conditions. Arguments on adiabatic tracking in the case of nonhermitianHamiltonians are also presented. We insist on the role of geometric phase factors. The methods areapplied to atomic and molecular systems illuminated by intense laser pulses, in connection with molecular controlproblems. We study several examples : two or three-level atomic models, hydrogen molecular ion, cold sodiummolecules

La Méthode de la Trajectoire Adiabatique Contrainte est développée dans le but de résoudre globalementl'équation de Schrödinger. Cette méthode utilise le formalisme de Floquet et une décomposition de Fourier pourdécrire les dépendances temporelles. Elle transforme ainsi un problème dynamique en un problème aux valeurspropres partiel dans un espace de Hilbert étendu au temps. Cette manipulation requiert l'application decontraintes sur les conditions initiales de l'état propre de Floquet recherché. Les contraintes sont appliquées parl'intermédiaire d'un opérateur absorbant artificiel. Cet algorithme est adapté à la description de systèmes dirigéspar des hamiltoniens dépendant explicitement du temps. Il ne souffre pas de l'accumulation d'erreurs au cours dutemps puisqu'il fournit une solution globale ; les erreurs éventuelles proviennent de la non-complétude des basesfinies utilisées pour la description moléculaire ou temporelle et de l'imperfection du potentiel absorbant dépendantdu temps nécessaire pour fixer les conditions initiales. Une forme générale de potentiel absorbant a étédéveloppée pour être en mesure d'intégrer un problème avec une condition initiale quelconque. Des argumentsrelatifs au suivi adiabatique dans le cas de Hamiltoniens non-hermitiens sont également présentés. Nous insistonssur le rôle des facteurs de phase géométrique. Les méthodes développées sont appliquées à des systèmesatomiques ou moléculaires soumis à des impulsions laser intenses, en relation avec la problématique du contrôlemoléculaire. Nous considérons plusieurs exemples : modèles d'atomes à deux ou trois niveaux, ion moléculairehydrogène et molécules froides de sodium.

Abstract In this chapter, we briefly repeat those features of harmonic oscillators that are important for the rest of the book, including second-order differential equations without and with damping and driving, stability of solutions, the transfer matrix formalism, Floquet theory, and linear instability due to parametric pumping

We demonstrate that the two-level system may be transparent to the resonant radiation if specific conditions for the state coherence are met. The conclusion is based on the closed system dynamics with chirped pulse adiabatic passage. A Floquet formalism is developed for transparency in the absorption spectrum for open system dynamics.

A rotating shaft supported on rolling element bearings is considered. The system is known to be modeled by a pair of coupled second order differential equations involving Hertzian contact force and thus parametric excitations. In studying the stability of the system, the static equilibrium in the direction of the static load is found to linearly increases with clearance. An approximate model is obtained and conditions of validity of such a model are discussed. Cage rotation speed, static load and clearance are revealed as key parameters. Considering the Floquet formalism for stability, in the domain (clearance,speed), it is found that the domain of stability decreases for large clearance and increases for small clearance. Higher number of rolling element as well as smaller static load positively affect the stability as well.

The phenomenon of elastic boundary layers under quasistatic loading is investigated using the Floquet-Bloch formalism for two-dimensional, isotropic, periodic lattices. The elastic boundary layer is a region of localised elastic deformation, confined to the free-edge of a lattice. Boundary layer phenomena in three isotropic lattice topologies are investigated: the semi-regular Kagome lattice, the regular hexagonal lattice and the regular fully-triangulated lattice. The boundary layer depth is on the order of the strut length for the hexagonal and the fully-triangulated lattices. For the Kagome lattice, the depth of boundary layer scales inversely with the relative density. Thus, the boundary layer in a Kagome lattice of low relative density spans many cells.

Due to specific mission goals, many satellites are subject to cone constraints on the thrust direction. For example, James Webb Space Telescope, launched on December 25, 2021 toward a Halo orbit around the Sun-Earth L2 libration point, has a thermal shield that must prevent the telescope and other instruments from overheating [1]. Therefore, it is constrained to always keep its attitude such that the angle between the normal to the shield and the Sun direction is smaller than 53 deg. It results in conical constraints for the propulsion directions. Using chemical propulsion to perform small impulsive corrections of the trajectory or a low-thrust satellite with very specific constraints on the control does not always allow to do any desirable maneuver, as we showed in [2], where the controllability of non-ideal solar sails in orbit about a planet was investigated. In [2], we considered elliptic Keplerian orbits, and we formulated a convex optimization problem aimed at assessing whether some functions of the integrals of motion could not be decreased after one orbital period. Existence of such functions implies that there is a half-space of the neighborhood orbit's coordinates (orbital elements) where motion is locally forbidden [3]. In that paper, we strongly relied on the super-integrability of the Kepler problem. Here, we extend the methodology to infer local controllability of station-keeping satellites for any periodic orbit, regardless the dynamical system at hand. Given the projection of the nominal orbit on a surface of section, the methodology aims at verifying if a half space of such projection exists where the motion is forbidden after one orbital period. Variation of parameters is used to achieve a convex optimization problem that investigates the existence of obstructions to variations of local integrals of motion. Conical constraints are enforced by leveraging on the formalism of positive polynomials postulated by Nesterov [4], so that a finite-dimensional formulation of the convex program is achieved. Halo orbit in the CRTBP is eventually considered in the case study, but we emphasize again that the methodology is developed for a generic locally-integrable system. We compare the aforedescribed methodology with the results achieved in [5], where the authors looked at the controllability and the impact of limitations of the thrust direction on the station-keeping from a dynamical point of view. They use the Floquet Mode reference frame to describe the motion of the satellite in a close proximity to the orbit, and study the cost of station-keeping by projecting the thrust direction on the saddle plane. The minimum requirement that we propose can be used for a design of space missions around any periodic orbit for satellites that have specific constraints on the thrust directions. It can be applied to a low-thrust satellite or even those with chemical propulsion under condition of using small impulses, so that the linearization of the dynamics holds. [1] J. Petersen, “L2 Station Keeping Maneuver Strategy For The James Webb Space Telescope,” AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2019. [2] A. Herasimenka, L. Dell’Elce, J.-B. Caillau, and J.-B. Pomet, “Controllability Properties of Solar Sails,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2022. in press. [3] J.-B. Caillau, L. Dell’Elce, A. Herasimenka, and J.-B. Pomet, “On the Controllability of Nonlinear Systems with a Periodic Drift,” 2022. HAL preprint no. 03779482. [4] Y. Nesterov, “Squared Functional Systems and Optimization Problems,” High Performance Optimization (P. M. Pardalos, D. Hearn, H. Frenk, K. Roos, T. Terlaky, and S. Zhang, eds.), Vol. 33, pp. 405–440, Boston, MA: Springer US, 2000. Series Title: Applied Optimization, 10.1007/978-1-4757-3216-0 17. [5] A. Farres, C. Gao, J. J. Masdemont, G. Gomez, D. C. Folta, and C. Webster, “Geometrical Analysis of Station-Keeping Strategies About Libration Point Orbits,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 45, June 2022, https://arc.aiaa.org/doi/10.2514/1.G006014.