Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Équations différentielles fonctionnelles neutres“

Soit Ω un domaine borné de RN, et soit f:Ω × R → R une fonction satisfaisant à la condition de Carathéodory (i.e., f(s, ·) est continue pour presque tout s ∊ Ω, et f (·, u) est mesurable pour tout u ∊ R). Considérons l'opérateur de la superposition(1.1)(encore appelé opérateur de Nemyckii), engendré par la fonction f. Cet opérateur joue un grand rôle dans la théorie des équations intégrales, différentielles (ordinaires et aux dérivées partielles), et fonctionnelles-différentielles, où il est important de connaître les propriétés analytiques et topologiques de F dans certains espaces de fonctions mesurables, intégrables, continues, différentiables, analytiques etc., les propriétés les plus importantes étant : théorèmes de transfert, de continuité, de bornage, et de compacité. Par exemple, on connaît de nombreux résultats sur l'opérateur (1) dans les espaces de Lebesgue L (voir [10] pour une présentation assez complète); en effet, si l'opérateur (1) envoie une partie de L , d'intérieur non vide, dans L, alors, il est automatiquement continu et borné sur chaque boule.

Le travail présenté ici, comporte les aspects suivants: 1) un exposé détaillé sur les semigroupes linéaires et nonlinéaires. 2) établissement de l'équivalence du théorème de Crondall-Liggett, pour les équations différentielles à retard en dimension infinie. Propriétés de régularité pour ces deux classes d'équations. 3) application à une équation de dynamique de population. 4) résolution d'une équation différentielle fonctionnelle à retard: a) dans le cas lipschitzien b) par perturbation de la fonction symbole.

Une des questions d'intérêt pour les systèmes linéaires à retard est de déterminer les conditions sur les paramètres de l'équation qui garantissent la stabilité exponentielle des solutions. En général, c'est un véritable défi d'établir des conditions sur les paramètres du système afin de garantir une telle stabilité. L'une des approches efficaces dans l'analyse de stabilité des systèmes à retard est l'approche fréquentielle. Dans le domaine de Laplace, l'analyse de stabilité revient à étudier la distribution des racines des fonctions quasipolynomiales caractéristiques. Une fois la stabilité d'un système à retard prouvée, il est important de caractériser le taux de décroissance exponentielle des solutions de ces systèmes. Dans le domaine fréquentiel, ce taux de décroissance correspond à la valeur spectrale dominante. Des travaux récents ont mis en évidence le lien entre la multiplicité maximale et les racines dominantes. En effet, les conditions pour qu'une racine multiple donnée soit dominante sont étudiées, cette propriété est connue sous le nom de Multiplicity-Induced-Dominancy (MID). Dans cette thèse, trois sujets liés à la propriété MID sont étudiés. Premièrement, l'effet des racines multiples avec des multiplicités admissibles présentant, sous des conditions appropriées, la validité de la propriété MID pour les équations différentielles neutres du second ordre avec un seul retard est exploré. La stabilisation de l'oscillateur classique bénéficie des résultats obtenus. Deuxièmement, les effets des retards sur la stabilité des véhicules aériens sans pilote (UAV) sont exploités. À cet égard, une application symbolique/numérique de la propriété MID dans le contrôle des drones à rotor avec des retards est fournie. Enfin, la stabilisation d'une balance à roulettes par le biais de la propriété MID est considérée
One of the questions of ongoing interest for linear time-delay systems is to determine conditions on the equation's parameters that guarantee the exponential stability of solutions. In general, it is quite a challenge to establish conditions on the parameters of the system in order to guarantee such a stability. One of the effective approaches in the stability analysis of time-delay systems is the frequency domain approach. In the Laplace domain, the stability analysis amounts to study the distribution of characteristic quasipolynomial functions' roots. Once the stability of a delay system has been proven, it is important to characterize the exponential decay rate of the solutions of such systems. In the frequency domain, this decay rate corresponds to the dominant spectral value. Recent works emphasized the link between maximal multiplicity and dominant roots. Indeed, conditions for a given multiple root to be dominant are investigated, this property is known as Multiplicity-Induced-Dominancy (MID). In this dissertation, three topics related to the MID property are investigated. Firstly, the effect of multiple roots with admissible multiplicities exhibiting, under appropriate conditions, the validity of the MID property for second-order neutral time-delay differential equations with a single delay is explored. The stabilization of the classical oscillator benefits from the obtained results. Secondly, the effects of time-delays on the stability of Unmanned Aerial Vehicles (UAVs) is exploited. In this regard, a symbolic/numeric application of the MID property in the control of UAV rotorcrafts featuring time-delays is provided. Lastly, the stabilization of a rolling balance board by means of the MID property is considered

Dans cette thèse, nous étudions le comportement à l'infini de la suite u={1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,. . . } de Golomb, formellement definie comme l'unique suite croissante d'entiers vérifiant u(1)=1 et telle que u(n) soit le nombre d'occurence de l'entier n dans la suite u={u(1),u(2),. . . }. Nous prouvons que chaque solution de l'équation différentielle f'(x)=1/f(f(x)) admet un développement asympotique dont nous caractérisons les coefficients. En comparant la suite de Golomb à l'une de ces solutions, nous établissons l'existence d'un tel développement asymptotique pour la suite de Golomb
In this thesis, we study the asymptotic bahavior of Golomb's sequence u={1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,. . . }, which is the only non-decreasing sequence of integers with u(1)=1 and where u(n) is the number of occurences of n in the sequence u={u(1),u(2),. . . }. We prove that each solution of the differential equation f'(x)=1/f(f(x)) admits an asymptotic development and we obtain relations between it's coefficients. We compare Golomb'sequence to one of these solutions and we prove that Golomb's sequence admits such an asymptotic development too

Ce travail est divise en trois parties : apres avoir introduit les notions de cartes pointees topologiques et combinatoires, on presente differentes operations topologiques sur les cartes pointees. Les principales operations traitees sont l'operation topologique de suppression du brin pointe tout d'abord, et ensuite les operations plus complexes d'ouverture du sommet pointe et d'extraction du schema de carte. La deuxieme partie presente en premier lieu les equations que l'on peut obtenir a partir des operations topologiques presentees dans la premiere partie. On montre ensuite diverses enumerations obtenues a partir de ces equations fonctionnelles. En particulier, on enumere les cartes pointees sur la bouteille de klein, puis un certain nombre de familles de cartes pointees considerees independamment du type : orientables, localement orientables, arbres, et enfin hypercartes. Les resultats enumeratifs concernant les cartes independamment du type sont obtenus sous la forme de fractions continues. Ensuite, on applique des methodes simples issues de la combinatoire algebrique pour obtenir des formules d'enumeration pour des familles de cartes independamment du type. On prouve que les series obtenues par cette methode sont solutions des equations topologiques precedentes. Enfin, on observe des liens entre une fonction de bessel modifiee et certaines series generatrices de cartes. Cela nous permet d'obtenir de nouvelles equations differentielles dont les series generatrices des cartes en question (arbres pointes planaires, sur le tore, cartes planaires pointees) sont solutions. La derniere partie presente une librairie maple permettant d'effectuer des calculs liees aux series generatrices de cartes. Cette librairie regroupe la plupart des resultats connus pour les cartes pointees, les divers parametrages utilises dans la litterature, et integre egalement des outils d'investigations. Ces fonctionnalites sont decrites avec des exemples d'utilisation

Cette thèse concerne les équations différentielles fonctionnelles à retard. Son objectif est d'étendre la technique de stroboscopie initialement élaborée dans le cadre des équations différentielles ordinaires, puis de présenter une approche nouvelle dans la justification de la méthode de moyennisation basée sur ladite technique. Dans un premier temps, nous proposons une formulation adaptée de la technique de stroboscopie originale que nous appliquons pour montrer des résultats de moyennisation pour des équations qui se ramènent à la forme dite normale. Dans un second temps, nous commençons par étendre aux cas des équations différentielles fonctionnelles à retard, et de manière naturelle, la technique de stroboscopie proposée. Nous l'utilisons ensuite pour étendre les résultats de moyennisation aux équations rapidement oscillantes. Les résultats sur la moyennisation obtenus dans cette thèse généralisent ceux de la littérature existante.

On travaille ici sur des fonctionnelles définies sur l'espace de Wiener à partir d'équations différentielles stochastiques ou comme sommes de séries de processus particuliers. On se propose de montrer que de telles fonctionnelles possèdent, des propriétés de régularité comme par exemple celle de continuité approcimative. On donne de plus des estimations de vitesse de convergence associées à ces notions. Enfin, on montre, sous des hypothèses fortes, l'existence d'un développement limité appoximatif à l'ordre un pour le processus solutions d'une équation différentielle stochastique.

Cette thèse est consacrée à certains problèmes de calculs des variations des fonctionnelles à arguments déviés intervenant par exemple dans les problèmes de contrôle optimal des équations différentielles à arguments déviés et dans les problèmes variationnels à arguments déviés. Le premier chapitre porte sur des résultats d'existence en dimension 1 d'espace et montre que la méthode directe du calcul des variations est opérante pour le cas des arguments déviés dans un cadre fonctionnel qui est celui d'espace de sobolev avec poids relié à la dérivée de la déviation. Ces résultats sont ensuite améliorés grâce à une inégalité de type Poincaré avec poids. Le cas des fonctions à valeurs vectorielles et de plusieurs déviations est également abordé par des arguments similaires. Dans le deuxième chapitre, nous exposons une idée générale qui permet d'établir pour des problèmes à arguments déviés des conditions nécessaires d'optimalité. Nous établissons également des résultats de régularité des solutions de ces problèmes auxquels nous nous intéressons. L'extension à des problèmes de contrôle dans lesquels l'état joue le rôle de déviation est aussi traitée. Le troisième chapitre traite de problèmes à arguments déviés en présence de discontinuités fixes et libres pour lesquels nous établissons des résultats d'existence. Le dernier chapitre est consacré à la résolution d'une équation elliptique non linéaire à arguments déviés. Nous établissons l'existence et l'unicité de solutions grâce au théorème du point fixe de Schauder
This thesis deals with problems of calculus of variation for functionals with deviating arguments arising for instance in optimal control problems and variational problems with deviating arguments. In the first chapter, we establish existence results for monodimensional problems. We show that the direct method of calculus of variation is suitable for problems with deviating arguments in a functional space as Sobolev space with a weight. The case of vector functions and several deviating functions is studied. The second chapter deals with a general idea to state necessary optimality conditions for problems of variational calculus or optimal control problems with deviating arguments, some regularity results are established. In the third chapter, we establish existence results for free and fix discontinuities problems with deviating arguments. The last chapter is devoted to the resolution of a nonlinear elliptic equation with deviating arguments. We prove existence and uniqueness results by using the Schauder fixed point theorem

Le travail comporte une partie sur les équations à retard et une autre sur les systèmes forcés. Dans la partie sur les équations à retard nous construisons une paramétrisation de la branche des solutions des périodes 4 de l'équation X(T)=-LF(X(T-1)) qui bifurque à partir de L=PI sur deux, ce qui permet d'étudier la bifurcation. Puis nous montrons que l'équation X(T)=-LX(T)-F(X(T-R)) peut avoir des solutions de période 3R. Pour cela, nous associons à cette équation le système ordinaire X(T)=-LX(T)-F(X(T)), F convenablement choisi et nous cherchons les solutions périodiques de ce système. Dans la partie sur les systèmes forcés, nous montrons l'existence de solutions périodiques du système X(T)=P(Y(T))+EG(T), Y(T)=Q(X(T))+EH(T) à partir des solutions du système non forcé.

L'objectif de cette thèse est l'identification de toutes les limites possibles, vis-à-vis de la Mosco-convergence, des suites de fonctionnelles de diffusion ou de l'élasticité linéaire isotrope. Bien que chaque élément de ces suites soit une fonctionnelle fortement locale, il est bien connu que, sans hypothèse de majoration uniforme sur les coefficients de diffusion, dans le cas scalaire, ou d'élasticité dans le cas vectoriel, la limite peut contenir un terme non-local et un terme étrange. Dans le cas vectoriel, il peut même arriver que la fonctionnelle limite dépende du second gradient du déplacement. D'un point de vue mécanique, les propriétés effectives d'un matériau composite peuvent radicalement différer de celles de ces différents constituants. Umberto Mosco a montré que toute limite d'une suite de fonctionnelles de diffusion est une forme de Dirichlet. La contribution des travaux présentés dans la première partie de cette thèse apporte une réponse positive au problème inverse. Nous montrons que toute forme de Dirichlet est limite d'une suite de fonctionnelles de diffusion. Une étape cruciale consiste en la construction explicite d'un matériau composite dont les propriétés effectives contiennent une interaction non-locale élémentaire. Puis, on obtient progressivement des interactions plus complexes, pour finalement atteindre toutes les formes de Dirichlet. La deuxième partie de nos travaux traite du cas vectoriel. On y démontre que la fermeture des fonctionnelles de l'élasticité linéaire isotrope est l'ensemble de toutes les formes quadratiques positives, objectives et semi-continues inférieurement. La preuve de ce résultat qui est loin d'être une simple généralisation du cas scalaire s'appuie, au départ, sur un résultat comparable au cas scalaire. Elle nécessite ensuite une approche complétement différente
The purpose of this thesis is to characterize all possible Mosco-limits of sequences of diffusion functionals or isotropic elasticity ones. It is a well-known fact that, when the diffusion coefficients in the scalar case, or the elasticity coefficients in the vectorial one, are not uniformly bounded, non local terms and killing terms can appear in the limit functional, despite the strong local nature of any element of those sequences. In the vectorial case, the limit functional can even involve some second derivative of the displacement. From a mechanical point of view, the effective properties of a composite material can differ fundamentally from those of its components. Umberto Mosco has shown that any limit of a sequence of diffusion functionals has to be a Dirichlet form. The contribution of the first part of this work provides a positive answer to the inverse problem. We show that any Dirichlet form is the Mosco-limit of some sequence of diffusion functionals. In a crucial step, we exhibit an explicit composite diffusive material, the effective properties of which contain an elementary non-local interaction. Then, using a step by step approach, we reach at each step a more general non-local interaction until obtaining all the Dirichlet forms. The second part of this work deals with the vectorial case. We show that the Mosco-closure of the set of isotropic elasticity functionals coincides with the set of all non-negative lower semi-continuous quadratic functionals which are objective. The proof of this result, which is far from being a simple generalisation of the scalar case, is based, at the start, on a result which is comparable to the scalar case. Then a fundamentally different approach is necessary

Dans le premier chapitre de cette these on presente une nouvelle approche permettant de relaxer, en un sens variationnel, des fonctionnelles integrales associees a des mesures. On applique cette demarche a une mesure de hausdorff restreinte a une partie convenable d'une sous-variete lisse de r n et on donne une representation integrale de la fonctionnelle relaxee associee. Dans le deuxieme chapitre on developpe un cadre assez general pour traiter des problemes d'homogeneisation lorsque plusieurs parametres tendent simultanement vers zero. Ceci permet d'unifier certains resultats connus et aussi d'en obtenir de nouveaux. Enfin, dans le troisieme chapitre on etudie la convergence variationnelle en loi et en probabilite d'une famille de metriques riemanniennes.