Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Équations d'Allen-Cahn“

Cette thèse porte sur le développement, l'analyse et la mise en oeuvre de nouvelles méthodes bi-grilles en éléments finis pour des équations de réaction-diffusion de type champs de phase (Allen-Cahn, Cahn-Hilliard) ainsi que leur couplage avec les équations de Navier-Stokes 2D incompressible. La présence d'un petit paramètre (largeur de l'interface) dans les modèles à interface diffuse demande à utiliser des schémas temporels implicites et coûteux tandis que ceux semi implicites sont rapides mais limités en stabilité. Les nouveaux schémas introduits ici reposent sur l'utilisation conjointe de deux espaces d'éléments finis, un grossier VH et un fin Vh, de plus grande dimension, permettant de décomposer la solution en partie principale portant les composantes bas modeset en une partie fluctuante portant les modes élevés. L'approche bi-grilles proposée consiste à appliquer les schémas stables (coûteux) sur VH (prédiction) et à effectuer une correction sur Vh à l'aide d'un schéma linéaire dont les composantes modes élevés sont stabilisées. Un gain important en temps CPU est obtenu au prix d'une faible perte de consistance. Dans ce contexte, de nouvelles méthodes numériques sont proposées pour les modèles de champs de phase et leur couplage fluide. Nous donnons des résultats de stabilité et validons l'approche sur des bancs d'essais
This thesis deals with the development, the analysis and the implementation of new bi-grid schemes in finite elements, when applied to phase-field models such as Allen-Cahn (AC) and Cahn-Hilliard (CH) equations but also their coupling with 2D incompressible Navier-Stokes equations. Due to the presence of a small parameter, namely the length of the diffuse interface, and in order to recover the intrinsic properties of the solution, (costly) implicit time schemes must be used; semi-implicit time schemes are fast but suffer from a hard time step limitation. The new schemes introduced in the present work are based on the use of two FEM spaces, one coarse VH and one fine Vh, of larger dimension. This allows to decompose the solution into a main part (containing only low mode components) and a fluctuant part capturing the high mode ones. The bi-grid approach consists then in applying as a prediction an unconditional stable scheme (costly) to VH and to update the solution in Vh by using a high mode stabilized linear scheme. A gain in CPU time is obtained while the consistency is not deteriorated. This approach is extended to NSE and to coupled models (AC/NSE) and (CH/NSE). Stability results are given, the numerical simulations are validated on reference benchmarks

Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes d'équations d'Allen-Cahn (Ginzburg-Landau) proposés récemment par A. Miranville et G. Schimperna et qui modélisent l'ordonnancement d'atomes entre les cellules unités d'un matériau, au cours d'une séparation de phases non isotherme. Ces modèles sont issus des deux lois fondamentales de la thermodynamique et sont basés sur une loi d'équilibre pour les microforces (internes au matériau) proposée par M. Gurtin. On s'intéresse plus particulièrement aux propriétés (existence, unicité, positivité, encadrement) des solutions locales ou globales en temps. Trois systèmes d'Allen-Cahn comportant des fortes non-linéarités sont étudiés. L'existence dans les trois cas est obtenue via une technique de point fixe (théorème de Schauder ou de l'application contractante). La positivité de la température est établie via une procédure purement formelle. L'encadrement du paramètre d'ordre est obtenu via la méthode de troncation de Stampacchia. L'unicité des solutions sont quand à elles obtenues via des estimations de contraction
This PhD Thesis is devoted to the study of the exitence, uniqueness, positivity and boundedness of local or global solutions of nonisothermal Allen-Cahn (Ginzburg-Landau) systems recently derived by A. Miranville and G. Schimperna. These systems are obtained by considering, in addition to the fundamental laws of thermodynamics, a balance law for internal microforces proposed by M. Gurtin. We treat three different nonisothermal Allen-Cahn models having strong nonlinearities. Existence results are obtained by using a fixed point argument (Schauder or contraction mapping theorem). The positivity of the temperature is obtained through a purely formel argument. The boundedness of the order parameter is obtained by means of a standard Stampacchia truncation argument. Uniqueness results are obtained by use of a contracting estimates technique

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de modèles en séparation de phase qui tiennent compte d'effets d'anisotropie. Ceci est pertinent, par exemple, pour l'évolution de cristaux dans leur matrice liquide pour lesquels ces effets d'anisotropie sont très forts. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne certains modèles de séparation de phase qui, en particulier, décrivent la formation de motifs dendritiques. D'abord, on étudie les équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn qui prennent en compte les effets d'anisotropie forts en dimension un avec des conditions de type Neumann sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial. En particulier, ces modèles contiennent un terme supplémentaire appelé régularisation de Willmore. Ensuite, on étudie ces modèles avec des conditions de type périodique (respectivement, Dirichlet) sur le bord pour l'équation de Cahn-Hilliard (respectivement, d'Allen-Cahn) mais en dimension spatiales plus élevées. Finalement, on étudie la dynamique des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn visqueux avec des conditions de type Neumann et Dirichlet respectivement sur le bord et une non linéarité régulière et en plus, la présence de simulations numériques qui montrent les effets du terme de viscosité sur l'anisotropie et l'isotropie dans l'équation de Cahn-Hilliard. Dans le dernier chapitre, on étudie le comportement en temps long en termes d'attracteurs de dimension finie, d'une classe d'équations doublement non linéaires de type Allen-Cahn avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité singulière
This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of models in phase separation which take into account the anisotropic effects. This is relevant, for example, for the development of crystals in their liquid matrix for which the effects of anisotropy are very strong. We study the existence, uniqueness and the regularity of the solution of Cahn-Hilliard and Alen-Cahn equations and the asymptotic behavior in terms of the existence of a global attractor with finite fractal dimension. The first part of the thesis concerns some models in phase separation which, in particular, describe the formation of dendritic patterns. We start by study- ing the anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations in one space dimension both associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In particular, these two models contain an additional term called Willmore regularization. Furthermore, we study these two models with Periodic (respectively, Dirichlet) boundary conditions for the Cahn-Hilliard (respectively, Allen-Cahn) equation but in higher space dimensions. Finally, we study the dynamics of the viscous Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations with Neumann and Dirichlet boundary conditions respectively and a regular nonlinearity in the presence of the Willmore regularization term and we also give some numerical simulations which show the effects of the viscosity term on the anisotropic and isotropic Cahn-Hilliard equations. In the last chapter, we study the long time behavior, in terms of finite dimensional attractors, of a class of doubly nonlinear Allen-Cahn equations with Dirichlet boundary conditions and singular potentials

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de plusieurs équations aux dérivées partielles non linéaires qui apparaissent dans la modélisation de la séparation de phase et des micro-systèmes électro-mécaniques (MSEM). Dans la première partie, nous étudions des modèles d’ordre élevé en séparation de phase pour lesquels nous obtenons le caractère bien posé et la dissipativité, ainsi que l’existence de l’attracteur global et, dans certains cas, des simulations numériques. De manière plus précise, nous considérons dans cette première partie des modèles de type Allen-Cahn et Cahn-Hilliard d’ordre élevé avec un potentiel régulier et des modèles de type Allen-Cahn d’ordre élevé avec un potentiel logarithmique. En outre, nous étudions des modèles anisotropes d’ordre élevé et des généralisations d’ordre élevé de l’équation de Cahn-Hilliard avec des applications en biologie, traitement d’images, etc. Nous étudions également la relaxation hyperbolique d’équations de Cahn-Hilliard anisotropes d’ordre élevé. Dans la seconde partie, nous proposons des schémas semi-discrets semi-implicites et implicites et totalement discrétisés afin de résoudre l’équation aux dérivées partielles non linéaire décrivant à la fois les effets élastiques et électrostatiques de condensateurs MSEM. Nous faisons une analyse théorique de ces schémas et de la convergence sous certaines conditions. De plus, plusieurs simulations numériques illustrent et appuient les résultats théoriques
This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of several nonlinear partial differential equations, which occur in the mathematical modeling of phase separation and micro-electromechanical system (MEMS). In the first part, we study higher-order phase separation models for which we obtain well-posedness and dissipativity results, together with the existence of global attractors and, in certain cases, numerical simulations. More precisely, we consider in this first part higher-order Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations with a regular potential and higher-order Allen-Cahn equation with a logarithmic potential. Moreover, we study higher-order anisotropic models and higher-order generalized Cahn-Hilliard equations, which have applications in biology, image processing, etc. We also consider the hyperbolic relaxation of higher-order anisotropic Cahn-Hilliard equations. In the second part, we develop semi-implicit and implicit semi-discrete, as well as fully discrete, schemes for solving the nonlinear partial differential equation, which describes both the elastic and electrostatic effects in an idealized MEMS capacitor. We analyze theoretically the stability of these schemes and the convergence under certain assumptions. Furthermore, several numerical simulations illustrate and support the theoretical results

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Les alliages de titane beta-métastables ont des propriétés mécaniques remarquables à température ambiante, liées à l'évolution sous contrainte de la microstructure. Un mode de déformation spécifique à ces alliages joue un rôle essentiel : le système de maclage {332}<11-3>. On s'intéresse ainsi à une modélisation champ de phase de l'évolution sous contrainte des variants de macle {332}. Une première partie est consacrée à un modèle champ de phase de type Allen-Cahn avec prise en compte d'une élasticité dans un formalisme géométriquement linéaire (GL). On utilise une énergie d'interface isotrope ou anisotrope afin d'étudier l'influence de cette dernière sur la croissance et le degré d'anisotropie des variants de macle. Le rôle d'une élasticité formulée dans le formalisme géométriquement non-linéaire (GNL) est ensuite discuté et donne lieu à la deuxième partie de ces travaux. Un solveur mécanique dans le formalisme GNL par méthode spectrale est alors mis en place et validé. Il est ensuite utilisé dans le développement d'un modèle champ de phase de type Allen-Cahn avec prise en compte d'une élasticité GNL. Nous procédons alors à une étude comparative fine des microstructures obtenues en GL et GNL. Les résultats montrent une différence majeure entre les microstructures obtenues dans les deux cadres élastiques, concluant sur la nécessité d'une élasticité dans le GNL pour reproduire les microstructures de macle observées. Enfin, nous présentons une étude prospective d'un modèle basé sur une méthode de réduction de Lagrange, qui permettrait de prendre en compte le caractère reconstructif du maclage et la nature hiérarchique des microstructures observées expérimentalement
Beta-metastable titanium alloys exhibit remarkable mechanical properties at room temperature, linked to the microstructure evolution under stress. A specific deformation mode plays an essential role: the {332}<11-3> twinning system. This thesis work thus concerns a modeling, by the phase field method, of {332} twin variants evolution under stress. The first part is devoted to an Allen-Cahn type phase field model with an elasticity taken into account in a geometrically linear formalism. This model is used with an isotropic or anisotropic interface energy in order to study the influence of the latter on the growth of twin variants. The role of an elasticity formulated in finite strain is then discussed and gives rise to the second part of this work. A mechanical equilibrium solver formulated in the geometrically non-linear formalism using a spectral method is then set up and validated. It is then used in the development of an Allen-Cahn type phase field model considering a geometrically non-linear elasticity. We then proceed to a fine comparative study of the microstructures obtained in linear and non-linear geometries. The results show a major difference between the microstructures obtained in the two elastic frameworks, concluding on the need for elasticity in finite strain formalism to reproduce the twin microstructures observed experimentally. Finally, we present a prospective study of a more general phase field formalism than the previous ones, based on a Lagrange reduction method, which would allow to fully take into account the reconstructive character of twinning and the hierarchical nature of the microstructures observed experimentally

Les circuits intégrés des puces électroniques sont gravés sur des films minces semi-conducteurs fabriqués par hétéro-épitaxie. Nous nous intéressons aux instabilités morphologiques qui peuvent apparaître au cours de la croissance de ces films.

Du point de vue de la modélisation, les problèmes rencontrés en croissance cristalline sont essentiellement des problèmes de mouvement d'interfaces. Nous abordons le cas particulier du mouvement par courbure moyenne, ainsi que son approximation par la méthode de champ de phase via l'équation d'Allen-Cahn. La discrétisation par éléments finis que nous proposons permet de couvrir de nombreuses variantes de l'équation : conservation du volume, termes de forçage, anisotropie.

Nous menons ensuite l'étude numérique d'un modèle variationnel de l'instabilité de Grinfeld. Celui-ci combine croissance cristalline et interactions élastiques, en couplant une équation d'Allen-Cahn à un système d'élasticité linéarisée pour le film. Une extension du modèle permet de prendre en compte le comportement élastique du substrat.

Nous proposons, par ailleurs, un modèle de champ de phase pour l'étude de l'instabilité liée à la mise en paquet de marches en surface du film. L'étude numérique de ce modèle s'appuie sur un algorithme inspiré des techniques de recuit simulé. Celui-ci permet d'envisager la méthode de champ de phase comme un outil d'optimisation globale.

Les circuits intégrés des puces électroniques sont gravés sur des films minces semi-conducteurs fabriqués par hétéro-épitaxie. Nous nous intéressons aux instabilités morphologiques qui peuvent apparaître au cours de la croissance de ces films. Du point de vue de la modélisation, les problèmes rencontrés en croissance cristalline sont essentiellement des problèmes de mouvement d'interfaces. Nous abordons le cas particulier du mouvement par courbure moyenne, ainsi que son approximation par la méthode de champ de phase via l'équation d'Allen-Cahn. La discrétisation par éléments finis que nous proposons permet de couvrir de nombreuses variantes de l'équation : conservation du volume, termes de forçage, anisotropie. Nous menons ensuite l'étude numérique d'un modèle variationnel de l'instabilité de Grinfeld. Celui-ci combine croissance cristalline et interactions élastiques, en couplant une équation d'Allen-Cahn à un système d'élasticité linéarisée pour le film. Une extension du modèle permet de prendre en compte le comportement élastique du substrat. Nous proposons, par ailleurs, un modèle de champ de phase pour l'étude de l'instabilité liée à la mise en paquet de marches en surface du film. L'étude numérique de ce modèle s'appuie sur un algorithme inspiré des techniques de recuit simulé. Celui-ci permet d'envisager la méthode de champ de phase comme un outil d'optimisation globale
Integrated circuits in electronic chips are etched on thin films of semi-conductors. Shape instabilities may appear during the manufacturing of these films by hetero-epitaxy. This work is devoted to the numerical study of one such instability, known as the Grinfeld instability. From a modeling point of view, instabilities of films free surfaces fall in the class of free boundary problems and moving interfaces. We study the particular case of motion by mean curvature and its approximation by the phase field method via the Allen-Cahn equation. We propose a finite element discretization of this equation, that allows us to consider several extensions: conservation of the volume, forcing terms, anisotropy. A numerical study of a variationnal model for the Grinfeld instability is presented, that combines epitaxial growth with elastic interactions in the bulk. This model couples the Allen-Cahn equation to the system of linearized elasticity. The effect of elastic deformations in the substrate can be accounted for in this model. We also propose a phase field model to study step bunching instabilities on vicinal surfaces of crystals. Our numerical computations are based on an algorithm similar to simulated annealing. This analogy induced us to use phase field approximations to compute global minima in optimization problems