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Dissertationen zum Thema „Équations aux dérivées partielles paraboliques“
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Koenig, Armand. „Contrôlabilité de quelques équations aux dérivées partielles paraboliques peu diffusives“. Thesis, Université Côte d'Azur (ComUE), 2019. http://www.theses.fr/2019AZUR4066.
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La théorie du contrôle est la branche des mathématiques qui étudie dans quelle mesure on peut modifier l’état d’un système en fonction des propriétés intrinsèques dudit système et de la façon dont on peut agir dessus. Par exemple, on peut se demander si on peut amener la température d’un solide à une température constante en temps fini, en chauffant et refroidissant seulement une partie du solide. Ce problème, appelé « contrôle à zéro de l’équation de la chaleur », est résolu depuis 1995. Mais si on étudie les équations paraboliques dégénérées, qui ressemblent à l’équation de la chaleur mais qui ont une diffusion plus faible, on ne sait traiter que quelques exemples particuliers, et la situation est plus compliquée : pour l’équation de la chaleur, la contrôlabilité à zéro est toujours vraie, même en temps arbitrairement petit ; mais pour certaines équations paraboliques dégénérées, il peut exister un temps minimal en dessous duquel la contrôlabilité à zéro n’est pas vraie. Nous étudions quelques équations paraboliques dégénérées, notamment l’équation de Grushin et des équations de type Kolmogorov, et complétons partiellement les résultats de contrôle dessus. Nous précisons en particulier la relation entre le domaine de contrôle et le temps minimal de contrôle à zéro. Cette étude se fait par une analyse spectrale fine, qui permet de ramener l’étude des équations de Grushin et de type Kolmogorov a l’étude d’équation de la chaleur fractionnaire. Nous étudions donc également les équations de la chaleur fractionnaire, grâce à des techniques et fonctions holomorphes et d’optique géométrique. Nous étudions également des systèmes transport-chaleur, et montrons qu’il existe un temps minimal de contrôle à zéro, et on généralise (presque) les résultats obtenus sur plusieurs exemples particuliers de systèmes transport-chaleur. Cette étude est basée sur une analyse spectrale qui permet de séparer les systèmes transport-chaleur en un système de transport et un système d’équations de la chaleur faiblement couplésControl theory is the branch of mathematics that is concerned in what extent the state of a system can be modified, depending in the intrinsic properties of the system and how we can act on it. For example, one may wonder if the temperature of a solid can be brought to a constant temperature in finite time by heating and cooling only a part of the solid. This problem, called the null-controllability of the heat equation, has been solved since 1995. But if we study degenerate parabolic equations, which looks like the heat equation but have a weaker diffusion, we know how to treat only a few particular examples, and the situation is more complicated: for the heat equation, the null-controllability is always true, even in arbitrarily small time; but for some degenerate parabolic equations there exists a minimum time for the null-controllability to hold. We study some degenerate parabolic equations, including the Grushin equation and some Kolmogorov-type equations, and partially complete existing results about the null-controllability on those equations. In particular, we make the relationship between the control domain and the minimum time of null-controllability more precise. We do this with a fine spectral analysis, which allows us to reduce the study of the Grushin and Kolmogorov-type equations to the study of the fractional heat equation. So we also study the fractional heat equation, with holomorphic functions techniques and geometric optics. We also study transport-heat systems, and prove that there exists a minimum control time of null-controllability, (almost) generalizing the existing results obtained on several examples of transport-heat systems. This study is based on a spectral analysis that separates the transport-heat systems into a transport system and a system of heat equations that are weakly coupled
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Bartier, Jean-Philippe. „Méthode d'entropie et comportement asymptotique des solutions d'équations paraboliques linéaires et non-linéaires“. Paris 9, 2005. https://portail.bu.dauphine.fr/fileviewer/index.php?doc=2005PA090070.
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Tayachi, Slim. „Solutions autosimilaires d'équations semi-linéaires paraboliques“. Paris 13, 1996. http://www.theses.fr/1996PA132002.
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Nous étudions les solutions autosimilaires a symétrie radiale de certaines équations semi-linéaires paraboliques avec terme de gradient non linéaire. La thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première partie nous démontrons l'existence de solutions autosimilaires définies pour le temps positif, qui sont globales, strictement positives et avec données initiales singulières a l'origine. En particulier, ceci conduit à un résultat de non unicité pour le problème de Cauchy associe à ces équations dans certains espaces de Lebesgue et de Sobolev. Dans la deuxième partie, nous considérons le cas unidimensionnel et de plus le gradient est affecte d'une constante négative. Nous démontrons l'existence d'une solution autosimilaire non triviale définie pour le temps négatif. En particulier, ceci implique l'existence d'une solution explosive dont l'ensemble des points d'explosion est réduit à un seul point. Le profil final de cette solution au moment de l'explosion et au voisinage de ce point est différent de tous les profils possibles, dans le cas d'un seul point d'explosion, pour cette équation sans terme de gradient, à savoir l'équation de la chaleur avec terme de source
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Talbi, Mouloud. „Résolution stochastique d'équations aux dérivées partielles paraboliques à coefficients discontinus et applications physiques“. Paris 6, 1987. http://www.theses.fr/1987PA066638.
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Dans cette these, on fait la jonction entre les etudes relatives aux problemes de reflexion et les problemes a coefficients discontinus. On considere que le domaine d = r**(d), s'ecrit comme reunion de deux sous-domaines v et w et d'une surface s de dimension (d-1), de classe c**(2) et a courbure bornee. On etudie alors un probleme d'equations aux derivees partielles associe a un operateur de "classe c**(2) par morceaux". Pour cela, on construit dans un premier temps un processus appele "mouvement brownien asymetrique" correspondant a un drift generalise sur la surface mais ne faisant par intervenir la discontinuite des coefficients. On donne ses densites de probabilites de transition ainsi que son generateur infinitesimal generalise (g. I. G. ). Dans un deuxieme temps, a partir du mouvement brownien asymetrique precedent, on construit un processus stochastique modifie dont le g. I. G. Admet alors un coefficient de diffusion discontinu, via un changement de temps aleatoire. On etudie les proprietes de regularites de ses densites de probabilites de transition et on donne son g. I. G. On s'interesse ensuite, a un systeme d'e. D. P. Parabolique, diagonal dans son symbole principal que l'on resout par la methode de "mixage". Cette methode nous ramene a une etude d'un operateur pour lequel on utilise la formule de taylor stochastique en dimension un et trois. Finalement, on applique cette methode a un probleme de la physique des reacteurs : le probleme de la cinetique spatiale des neutrons en theorie de diffusion multigroupe
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Garnier, Jimmy. „Analyse mathématique de modèles de dynamique des populations : équations aux dérivées partielles paraboliques et équations intégro-différentielles“. Phd thesis, Aix-Marseille Université, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00755296.
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Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion. L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction, de l'opérateur de dispersion, et de la donnée initiale sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est le laplacien et les équations intégro-différentielles pour lesquelles l'opérateur de dispersion est de type convolution. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion $J$ modifie totalement la vitesse de propagation. Plus précisément, la présence de noyaux de dispersion à queue lourde ou à décroissance sous-exponentielle entraîne l'accélération des lignes de niveaux de la solution.
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Biton, Samuel. „Semi-groupes monotones non-linéaires, équations géométriques et solutions de viscosité des équations quasilinéaires paraboliques“. Tours, 2001. http://www.theses.fr/2001TOUR4028.
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Dans la première partie de cette thèse, nous montrons que tout semi-groupe défini sur un espace de fonctions continues sur IRn est , sous des hymothèses de régularité et de localité, un semi-groupe associé à une équation aux dérivées partielles du second ordre parabolique (dégénérée). Dans la deuxième partie, nous étudions les propriétés d'existence et d'unicité pour les solutions de l'équation d'évolution des graphes par courbure moyenne ainsi que d'équations quasilinéaires plus générale. Dans un premier article, nous utilisons l'approche par ensembles de niveau pour obtenir des bornes L[infini] locales et des conditions d'unicité pour les solutions d'équations quasilinéaires. L'application majeure de cette méthode étant un résultat complet d'existence et d'unicité sans condition de croissance à l'infini dans le cas où la donnée initiale est convexe. Dans un second article, nous montrons, dans le cas particulier de la dimension un, le résultat d'unicité sans restriction sur le comportement à l'infini de la donnée initiale ni sur les solutions. Enfin, dans un troisième article, nous prouvons un résultat de comparaison dans la classe des fonctions à croisssance polynômiale. Celui-ci est obtenu sous condition de croissance de type polynômial sur les grandiants de la données initiale et pour une large classe d'équations quasilinéaires incluant celle d'évolution des graphes par courbure moyenne indépendemment de la dimensionIn the first part of this thesis we show that any monotone semi-group defined on continuous functions and satisfying suitable assumptions of regularity and locality is a semi-group associated to a second order parabolic pde. In a second part, we study uniqueness and existence properties of the solutions of the mean curvature equation for graphs and also for sme related class àf quasilinear parabolic equations. In a first article, we use the "level set approach" which provides a L[infini] local bound and a formulation of the uniqueness problem in term of fattening of the 0-level set of an auxiliary function. The major application of the method is a complete result of existence and uniqueness for a class of quasilinear equations without restriction on the behavior at infinity when the initial graphs is convex. In a second article, we prove the uniqueness result for the mean curvature flow of graphs in the one dimensional case without growth condition at infinity for the solution or the initial graph. Finally, in the third paper, we prove a comparison result in dimension N in the class of functions with polynomial growth. This result is obtained under growth conditions of polynomial type on the grandients of the initial data
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Fahim, Arash. „Une Méthode Numérique Probabiliste pour les Équations aux Dérivées Partielles Paraboliques et complètement non-linéaires“. Phd thesis, Ecole Polytechnique X, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00540175.
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Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie introduit une méthode probabiliste numérique pour les EDPs parabolique et complètement non-linéaire, puis on considère ses propriétés asymptotiques (convergence et taux de convergence) et aussi l'analyse de l'erreur due à l'approximation de l'espérance conditionnelle par une méthode de type Monte Carlo. Les EDPs complètement non- linaires apparaissent dans plusieurs applications en ingénierie, économie et finance. Citons par exemple le problème de propagation de front par courbure moyenne, ou le problème de sélection de portefeuille. Une classe importante d'EDP complètement non-linéaire est constituée par les équations de HJB découlant du contrôle optimal stochastique. Dans la plupart des cas, il n'existe pas de solution dans le sens classique. Par conséquent, la notion de solution de viscosité est utilisé pour les EDP complètement non-linéaires. En raison de manque de de solution explicite dans de nombreuses applications, les schémas d'approximation sont devenus très importants. Pour montrer la convergence, la méthode utilisée dans cette thèse a été introduite par Barles et Souganidis. Leurs travaux fournissent le résultat de convergence vers des solutions de viscosité pour une solution approchée obtenue à partir cohérente, monotone et stable régime. An d'obtenir le taux de convergence, nous avons supposé que le EDP a non-linéarité concave de type HJB. En d'autres termes, la non-linéarité est une borne inférieure des opérateurs linéaires. La thèse a utilisé la méthode de Krylov des coefficients secoué et d'approximation par un système d'équations HJB couplées pour obtenir des bornes sur les taux de convergence. La mise en œuvre du schéma requiert d'introduire une approximation des espérances conditionnelles. Pour une classe d'estimateurs, nous avons obtenu une borne inférieure sur le nombre de chemins échantillon qui préserve la vitesse de convergence obtenue avant. La généralisation de la méthode à des équations intégro-diférentielles est simple et on peut utiliser les mÃa mes arguments que dans le cas local pour obtenir la convergence et le taux de convergence. Notons cependant que le cas non local introduit la difficulté supplémentaire d'approximation des termes non locaux. La première partie sera terminée est illustrée par quelques expériences numériques. La méthode est utilisée pour résoudre le problème géométrique des taux de courbure moyenne, le problème de la sélection sur un portefeuille d'actifs avec volatilité stochastique dans le modèle de Heston, et le problème de sélection de portefeuille de deux actifs à la fois avec une volatilité stochastique, on satisfait modèle de Heston et l'autre CEV modèle. La deuxième partie de la thèse traite de la politique de production optimale dans le marché des allocations des permis d'émission de carbone. Le marché des permis d'émissions de carbone est une approche de marché pour mettre en œuvre le protocole de Kyoto. Nous avons calculé la production optimale dans 4 cas: quand il n'y a pas un tel marché, quand il y a un tel marché, mais sans grand producteur de carbone, quand il y a un gros producteur qui n'est pas teneur de marché, et quand il existe un marché avec un grande producteur. Nous avons montré que dans les premiers, la production optimale est toujours diminuée. Cependant, dans le dernier cas, nous avons montré que le gros producteur peut bénéficier du marché en changeant la prime de risque de l'allocation de carbone en raison de sa production d'appoint. Cette partie est illustrée par quelques expériences numériques qui montre des cas que le grand producteur peut bénéficier d'une production d'appoint.
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Droniou, Jérôme. „Etude théorique et numérique d'équations aux dérivées partielles elliptiques, paraboliques et non-locales“. Habilitation à diriger des recherches, Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2004. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008007.
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Nous étudions:1) la régularité locale de solutions d'EDP elliptiques non-linéaires à données mesures
2) des schémas numériques de type volumes finis pour équations elliptiques à seconds membres peu réguliers
3) l'approximation, par sa régularisation parabolique, d'une loi de conservation scalaire avec conditions au bord
4) des EDP faisant intervenir un opérateur non-local (de type laplacien fractionnaire).
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Falliero, Marc. „Comportement asymptotique de solutions de problèmes paraboliques dé́générés“. Pau, 2002. http://www.theses.fr/2002PAUU3011.
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Le but de ce travail est d'étudier le comportement asymptotique, en temps, des solutions d'équations paraboliques dégénérées, non linéaires, sur un domaine borné de Þ2 ou Þ3. L'objectif est de trouver des conditions suffisantes assurant l'existence d'une solution bornée et l'unicité de l'élément è-limite qui est une solution stationnaire du problème considéré. L'étude des propriétés de solutions d'équations aux dérivées partielles, globales en temps, est facilitée si la variable d'espace décrit une boule, les solutions considérées étant de plus à symétrie radiale. Effectivement les solutions ne dépendent alors que d'une seule variable d'espace, la variable radiale, ce qui conduit à reformuler les problèmes étudiés dans un cadre monodimensionnel. On étudie donc d'abord le cas où le domaine et la donnée initiale sont à symétrie radiale, puis on utilise des techniques dites de symétrisation pour étendre au cas général certains des résultats obtenus dans le cas symétrique. En particulier lorsque le domaine est une boule, la donnée initiale étant quelconque, on établit que l'élément è-limite est à symétrie radiale. On met aussi en place des conditions suffisantes sur les données pour qu'il y ait convergence vers 0The aim of this work is to study the long-time behaviour of solutions to the Dirichlet problem for non linear degenerate convection-reaction-diffusion equations. We look for some conditions leading to the existence of a bounded time global solution and to the uniqueness of the è-limit element which is a stationnary state. It is easier to study the existence and the asymptotic behaviour when the domain is a ball, and the solution radially symmetrical. Indeed the solution depends on one and only one space variable, the radial one. So the problem may be considered in one space dimension. Therefore the symmetrical case is first studied. Then symmetrisation techniques are used to deal with the non symmetrical case. In particular, when the domain is a ball, we prove that the è-limit element is radially symmetrical. Moreover, we point out conditions ensuring that the solution tends to zero
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Roussel, Olivier. „Développement d'un algorithme multirésolution adaptatif tridimensionnel pour la résolution des équations aux dérivées partielles paraboliques : application aux instabilités thermo-diffusives de flamme“. Aix-Marseille 2, 2003. http://www.theses.fr/2003AIX22006.
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Ammar, Kaouther. „Solutions entropiques et renormalisées de quelques E. D. P. Non linéaire dans L1“. Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008), 2003. http://www.theses.fr/2003STR13237.
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François, Gilles. „Comportement spectral asymptotique provenant de problèmes paraboliques sous conditions au bord dynamiques“. Littoral, 2002. http://www.theses.fr/2002DUNK0083.
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L'objet de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique des valeurs propres issues de problèmes paraboliques sous conditions au bord dynamiques. Après avoir démontré un premier résultat concernant la croissance de la suite des valeurs propres dans le cadre d'un domaine quelconque, on traitera le problème dans deux domaines particuliers du plan : le disque unité et le carré unité. On étudie ensuite le problème dans le cadre général des opérateurs elliptiques sous forme divergentielle, en montrant que la plupart des résultats établis dans le cas du laplacien sont conservés. On précise ensuite le comportement asymptotique de la suite des valeurs propres dans le cadre d'un domaine (régulier) plan quelconque. Enfin, on traite un problème spectral provenant d'un problème d'évolution dans un ouvert contenant une interface sur laquelle les solutions sont gouvernées par une condition dynamiqueIn this thesis, one studies the asymptotic behaviour of the eigenvalues associated with parabolic problems under dynamical boundary conditions. In the whole text, one puts our results on relation with the classical ones (e. G. Those related to the Dirichlet or Neumann boudary conditions). After obtaining a first result for the order of magnitude of the sequence (in the case of laplacian in an arbitrary domain), one considers two particular cases (the unit disc and the unit square in R2) and makes more explicit calculus for both domains. Then one extends the results of the first chapter to an elliptic operator with divergential form, and improves the order of magnitude of the sequence ina domaine of R2. Lastly, one makes a spectral analysis of a diffusion problem in a particular ramified space
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Mauffrey, Karine. „Contrôlabilité de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles“. Phd thesis, Université de Franche-Comté, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00864091.
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Léautaud, Matthieu. „Quelques problèmes de contrôle d'équations aux dérivées partielles : inégalités spectrales, systèmes couplés et limites singulières“. Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00607240.
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Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité de différentes équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à la méthode de Lebeau-Robbiano pour le contrôle des équations paraboliques linéaires. On étend tout d'abord cette méthode à des opérateurs elliptiques non-autoadjoints, montrant une inégalité spectrale ainsi que la contrôlabilité de l'équation parabolique associée. On prouve ensuite ces deux propriétés pour un modèle de transmission à travers une interface, pour lequel la condition de transmission implique une diffusion tangentielle. La preuve repose sur une inégalité de Carleman, uniforme par rapport au petit paramètre représentant l'épaisseur de l'interface. Dans la deuxième partie, on analyse les propriétés de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires couplées par des termes d'ordre zéro. Après avoir étudié la stabilisation de deux équations d'ondes, dont une seulement est amortie, on montre la contrôlabilité en temps grand d'un système similaire au moyen d'un seul contrôle, sous des conditions géométriques optimales sur les zones de contrôle et de couplage. Par des méthodes d'analyse microlocale, on obtient de plus la contrôlabilité de systèmes d'ondes en cascade, ainsi que l'expression exacte du temps minimal de contrôle. On déduit de ces résultats la contrôlabilité des systèmes paraboliques associés, dans des situations où les zones de contrôle et de couplage sont disjointes. Enfin, dans la troisième partie, on étudie la contrôlabilité uniforme de perturbations visqueuses de lois de conservation scalaires, dans la limite de viscosité évanescente. On montre la contrôlabilité exacte globale aux états constants au moyen de contrôles uniformément bornés lorsque la viscosité tend vers zéro.
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Lissy, Pierre. „Sur la contrôlabilité et son coût pour quelques équations aux dérivées partielles“. Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00918763.
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Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité et son coût pour un certain nombre d'équations aux dérivées partielles linéaires ou non linéaires issues de la physique. La première partie de la thèse concerne la contrôlabilité à zéro de l'équation de Navier-Stokes tridimensionnelle avec conditions au bord de Dirichlet et contrôle interne distribué sur un sous-ouvert de domaine de définition n'agissant que sur une seule des trois équations. La preuve repose sur la méthode du retour ainsi que sur une méthode originale de résolution algébrique de systèmes différentiels inspirée de travaux de Gromov. La deuxième partie de la thèse concerne le coût du contrôle en temps petit ou en viscosité évanescente d'équations linéaires unidimensionnelles. Dans un premier temps, on montre que l'on peut, dans certains cas, faire un lien entre ces deux problèmes. Notamment il est possible d'obtenir des résultats de contrôlabilité uniforme de l'équation de transport-diffusion unidimensionnelle à coefficients constants contrôlée sur le bord gauche à l'aide de résultats déjà connus sur le contrôle de l'équation de la chaleur. Dans un second temps, on s'intéresse au coût du contrôle frontière en temps petit d'un certain nombre d'équations pour lesquelles l'opérateur spatial associé est autoadjoint ou anti-autoadjoint à résolvante compacte et ayant des valeurs propres se comportant de manière polynomiale, en utilisant la méthode des moments. On en déduit des résultats pour des équations de type Korteweg-de-Vries linéarisées, diffusion fractionnaire et Schrödinger fractionnaire.
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Roussel, Olivier. „Développement d'un algorithme multirésolution adaptatif tridimensionnel pour la résolution des équations aux dérivées partielles paraboliques. Application aux instabilités thermodiffusives de flamme“. Phd thesis, Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, 2003. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00719904.
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Le but de cette thèse est le développement d'un algorithme adaptatif pour la résolution des équations aux dérivées partielles paraboliques en géométrie cartésienne pour des problèmes en dimension un, deux et trois et l'application aux instabilités de flamme dans l'approximation thermodiffusive. Partant d'un schéma de discrétisation de type volumes finis explicite, nous appliquons une décomposition adaptative multi-résolution pour représenter la solution sur un maillage localement raffiné. Les flux numériques sont calculés directement sur la grille adaptative. Afin de suivre l'évolution de la solution au cours du temps, nous utilisons une stratégie d'adaptation dynamique basée sur la représentation des données en multi-résolution. Cette dernière consiste à représenter la solution à l'aide des valeurs sur une grille grossière, plus l'ensemble des différences de prédiction entre les valeurs d'une grille donnée et celles d'une grille plus fine, l'ensemble constistuant une hiérarchie de grilles emboîtées. La compression des données s'obtient en supprimant les différences inférieures à une certaine tolérance fixée. Nous validons cette méthode par la résolution numérique d'équations de référence, comme l'équation de convection-diffusion ou l'équation de Burgers diffusive, afin de montrer la précision de la méthode et son efficacité par rapport au même schéma volumes finis sur grille fine. En particulier, pour l'équation linéaire de convection-diffusion, nous donnons une relation entre la tolérance et le nombre d'échelles qui permet de réduire le temps de calcul et la place mémoire nécessaires tout en maintenant l'ordre de précision du schéma volumes finis. Ce résultat est confirmé par le calcul numérique. Nous utilisons ensuite la méthode adaptative pour étudier les instabilités de flammes pré-mélangées dans l'approximation thermodiffusive. En particulier, pour les flammes planes, nous déterminons la limite d'apparition des flammes pulsantes, limite que nous comparons aux données de la littérature, tant numériques que théoriques. Nos calculs confirment la théorie pour les grandes valeurs de l'énergie d'activation. Nous montrons également numériquement l'existence de flammes planes non-pulsantes lorsque la conduction de la chaleur est très supérieure à la diffusion des réactants. Nous étudions également les ballons de flamme et montrons que, lorsqu'ils interagissent avec une paroi adiabatique, leur comportement présente une analogie avec la capillarité en mécanique des fluides. Le dernier résultat concerne l'interaction d'un ballon de flamme avec un tourbillon. Il ouvre des perspectives sur la simulation adaptative des ballons de flamme dans un fluide en mouvement.
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LASRI, ABDELLAH. „Estimation du gradient pour les équations aux dérivées partielles paraboliques non linéaires et les équations différentielles stochastiques rétrogrades par la méthode de Bernstein“. Tours, 1995. http://www.theses.fr/1995TOUR4015.
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Cette thèse s'organise autour de deux thèmes. Le premier concerne les solutions de viscosité continues d'EDP paraboliques non linéaires gérées par un hamiltonien H. Le second se rapporte aux solutions de carré intégrables d'EDS rétrogrades engendrées par un générateur F. Notre but, dans les deux cas, est d'obtenir des estimations de la solution sous certaines propriétés intrinsèques par rapport aux fonctions H et F. Pour cela, nous avons utilisé l'approche dite version faible de la méthode de Bernstein introduite par G. Barles. Les propriétés en question sont appelées conditions de structure. Dans la première partie, nous avons établi une généralisation de cette approche au cas des EDP paraboliques. Ainsi, nous avons obtenu, sous certaines conditions de structure par rapport à H, un résultat de régularité lipschitzienne en x des solutions de viscosité continues. Concernant le comportement de telles solutions par rapport au temps, nous avons établi un résultat de type effets régularisants quand H satisfait certaines hypothèses de croissance. Dans la deuxième partie, nous avons obtenu des estimations à priori des solutions de carré intégrables d'EDSR linéaires ou les coefficients vérifient une certaine condition de structure. Nous avons étendu ce résultat au cas paramètre (resp. Markovien) pour obtenir un résultat de régularité lipschitzienne par rapport à (resp. X) quand F satisfait certaines conditions de structure. Par des techniques similaires, nous avons établi un résultat d'unicité pour les solutions de carré intégrables d'EDSR
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Duong, Giao ky. „Formation de singularités en temps fini pour les équations aux dérivées partielles non symétriques ou non variationnelles“. Thesis, Sorbonne Paris Cité, 2019. http://www.theses.fr/2019USPCD058.
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Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéresserons à la formation de singularités en temps fini pour les équations d’´évolution de type parabolique. En particulier, nous nous concentrons sur l’´étude des deux phénomènes principaux suivants : l’explosion et l’extinction en temps fini. Dans cette thèse, nous considérons les équations suivantes : [....] où Ω est un domaine borné de classe C² dans ℝᶰ et λ, Ƴ sont positifs.Ces modèles se rapportent `a plusieurs phénomènes naturels. En particulier, l’équation(3) modélise un système micro ´electro-mécanique (MEMS).Dans ce travail, nous avons construit des solutions explosives (pour (1) et des (2)) et des solutions avec extinction pour (3). En plus de ¸ça, nous décrivons le comportement asymptotique des solutions autour du point singulier.Comme cadre pour notre travail, nous utilisions celui des variables auto-similaires qui a ´et´e introduit par Giga et Kohn dans CPAM 1985. Nous obtenons les résultats en utilisant une réduction en dimension finie du problème et un argument topologique qui a´et´e notamment introduit par Bressan, Bricmont et Kupiainen ainsi que par Merle et Zaag. Clairement, notre travail n’est pas une simple adaptation des travaux cit´es ci-haut.En effet, nos modèles, par leur proximité avec les applications, sortent du cadre idéal considéré dans les travaux pionniers. En particulier, l’équation (1) n’est pas invariante par changement d’échelle, alors que (2) n’admet pas de structure variationnelle. Quant à (3), la présence du terme intégral (donc non-local) nous oblige `a une manipulation plus délicate.En fait, nous avons atteint nos objectifs grˆace `a quelques nouvelles idées. Plus précisément,pour (2), nous effectuons un contrôle délicat de la solution afin qu’elle reste dans un domaine où la non linéarité est définie sans ambiguïté. Pour (3), nous contrôlons l’oscillation du terme non-local afin qu’il reste assez petit et nous en déduisons sa convergenceIn the context of this thesis, we are interested in finite time singularity formation for non symmetric or non variational partial differential equations of parabolic type. In particular, we mainly focus on the following two phenomena : blowup and quenching (touch-down) infinite time. In this thesis, we aim at studying the following equations : [....] where Ω is a C² bounded domain in ℝᶰ and λ, Ƴ are positive constants.These models are closely related to many common phenomena in nature. In particular, equation (6) is a model for Micro Electro Mechanical Systems (MEMS). In this work, we construct blowup solutions to (4) and (5) and solutions with extinction to (6). In addition to that, we describe the asymptotic behavior of these solutions around the singular point. We use in this thesis the framework of similarity variables, introduced by Giga and Kohn in CPAM 1985. We finally derive the results by using a reduction to a finite dimensional problem and a topological argument which was introduced in particular by Bressan, Bricmont and Kupiainen, and also Merle and Zaag. Clearly, our work is not a simple adaptation of the works cited above. Indeed, our models, by their proximity to applications, are outside the ideal framework considered in pioneering works. In particular, equation (4) is not scaling-invariant, whereas (5) does not admit variational structure. As for (6), the presence of the integral term (non-local term) requires us to treat this term more delicately. In fact, we have achieved our goals thanks to some new ideas. More precisely, for (5), we carry out a delicate control of the solution so that it always stays in the domain where the non linearity is defined with no ambiguity. For (6), we control the oscillation of the non-local term to keep it small enough, and this allows us to deduce its convergence
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Touibi, Rim. „Sur le comportement qualitatif des solutions de certaines équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique“. Thesis, Université de Lorraine, 2018. http://www.theses.fr/2018LORR0263/document.
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Cette thèse est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique. Dans la première partie nous démontrons de nouveaux résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions variationnelles globales et locales à des problèmes avec des conditions aux bords de type Neumann pour une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques non-autonomes. Les équations que nous considérons sont définies sur des domaines non bornés de l’espace euclidien qui satisfont à certaines conditions géométriques, et sont dirigées par un bruit multiplicatif dérivé d’un processus de Wiener fractionnaire infini-dimensionnel caractérisé par une suite de paramètres de Hurst H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). Ces paramètres sont en fait soumis à d’autres contraintes intimement liées à la nature de la non-linéarité dans le terme stochastique des équations, et au choix des espaces fonctionnels dans lesquels le problème à résoudre est bien posé. Notre méthode de preuve repose essentiellement sur des arguments d’injections compactes. Dans la seconde partie, nous étudions la possibilité de l’explosion de solutions d’une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaire avec des conditions aux bords de type Dirichlet, perturbées par un mélange d’un mouvement brownien et d’un mouvement brownien fractionnaire et dirigées par une classe d’opérateurs différentiels non autonomes contenant des processus de diffusions et des processus de Lévy. Notre but est de comprendre l’influence de la partie stochastique et de l’opérateur différentiel sur le comportement d’explosion des solutions. En particulier, nous donnons des expressions explicites pour des bornes inférieures et supérieures du temps de l’explosion de la solution, et des conditions suffisantes pour l’existence d’une solution globale positive. Nous estimons également la probabilité d’une explosion en temps fini et la loi d’une borne supérieur du temps d’explosion de la solutionThis thesis is concerned with stochastic partial differential equations of parabolic type. In the first part we prove new results regarding the existence and the uniqueness of global and local variational solutions to a Neumann initial-boundary value problem for a class of non-autonomous stochastic parabolic partial differential equations. The equations we consider are defined on unbounded open domains in Euclidean space satisfying certain geometric conditions, and are driven by a multiplicative noise derived from an infinite-dimensional fractional Wiener process characterized by a sequence of Hurst parameters H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). These parameters are in fact subject to further constraints that are intimately tied up with the nature of the nonlinearity in the stochastic term of the equations, and with the choice of the functional spaces in which the problem at hand is well-posed. Our method of proof rests on compactness arguments in an essential way. The second part is devoted to the study of the blowup behavior of solutions to semilinear stochastic partial differential equations with Dirichlet boundary conditions driven by a class of differential operators including (not necessarily symmetric) Lévy processes and diffusion processes, and perturbed by a mixture of Brownian and fractional Brownian motions. Our aim is to understand the influence of the stochastic part and that of the differential operator on the blowup behavior of the solutions. In particular we derive explicit expressions for an upper and a lower bound of the blowup time of the solution and provide a sufficient condition for the existence of global positive solutions. Furthermore, we give estimates of the probability of finite time blowup and for the tail probabilities of an upper bound for the blowup time of the solutions
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Redwane, Hicham. „Solutions normalisées de problèmes paraboliques et elliptiques non linéaires“. Rouen, 1997. http://www.theses.fr/1997ROUES059.
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Cette thèse est consacrée à l'étude de problèmes elliptiques ou paraboliques non linéaires qui sont, d'une façon générale, mal posés dans le cadre des solutions faibles (c'est-à-dire des solutions au sens des distributions). Pour surmonter cette difficulté, on va s'intéresser à une autre classe de solutions : les solutions renormalisées. Cette notion a été introduite par R. -J. Di Perna et P. -L. Lions pour l'étude des équations de Boltzmann, et les équations du premier ordre.
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Droniou, Jérôme. „Etude de Certaines Equations aux Dérivées Partielles“. Phd thesis, Université de Provence - Aix-Marseille I, 2001. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001180.
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La première partie de ce travail concerne les équations elliptiques non coercitives. Nous prouvons, tout d'abord dans un cadre linéaire, l'existence et l'unicité d'une solution faible dans l'espace d'énergie habituel $H^1(\Omega)$ pour une classe d'équations de convection-diffusion pour lesquelles le terme de convection provoque la perte de coercitivité. Nous prouvons des résultats de régularité höldérienne sur les solutions de ces équations qui permettent ensuite de résoudre ces mêmes équations avec un second membre mesure. Nous étendons aussi les résultats d'existence et d'unicité d'une solution dans des cas variationnels non-linéaires non-coercitifs et nous étudions, pour une équation elliptique linéaire non-coercitive, la convergence d'un schéma volumes finis. La deuxième partie concerne l'unicité des solutions à des problèmes elliptiques non-linéaires avec seconds membres mesure. La troisième partie aborde la question de la condition d'hyperbolicité des systèmes du premier ordre à coefficients constants. Nous prouvons une CNS pour qu'un tel système ait une solution pour toute condition initiale de type Riemann (condition initiale naturelle dans l'étude des discrétisations numériques de ces systèmes). A l'aide d'un système particulier, nous étudions ensuite la différence entre notre CNS et les diverses conditions d'hyperbolicité de la littérature, puis nous prouvons que la solution d'un système hyperbolique n'est pas toujours stable par rapport au flux. La quatrième partie rassemble quelques autres travaux. Le premier concerne la densité dans $W^{1,p}(\Omega)$ des fonctions régulières satisfaisant une condition de Neumann. Le second est l'étude d'une discrétisation EF mixtes---VF pour un écoulement diphasique à travers un milieu poreux. Le troisième et dernier est l'étude des mesures sur $]0,T[\times \Omega$ ne chargeant pas le boréliens de capacité parabolique nulle et l'application de cette étude à la résolution d'une équation parabolique non-linéaire avec second membre mesure.
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Dumont, Yves. „Contributions à l'étude théorique de l'écoulement anisotrope de courbes et à l'epsilon régularisation du problème de flot à courbure moyenne“. Mulhouse, 1998. http://www.theses.fr/1998MULH0510.
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Ce mémoire présente une étude de quelques équations aux dérivées partielles non-linéaires associées à des problèmes de frontière libre, et particulièrement celles qui sont associées à l'évolution de courbes ou de surfaces dans la direction de leur normale et avec une vitesse qui est fonction de la courbure moyenne. Dans la première partie, nous présentons une étude de l'évolution anisotrope affine de courbes planes, fermées et convexes : nous montrons l'existence globale ou locale de la solution de l'équation aux dérivées partielles associée à cette évolution. Nous donnons quelques résultats numériques concernant cette évolution anisotrope. Dans la deuxième partie, nous étudions l'epsilon régularisation du problème de «flot à courbure moyenne». Cette technique a été initiée il y a quelques années pour prouver l'existence d'une solution de viscosité du problème de flot à courbure moyenne, lorsque des singularités apparaissent au cours de l'évolution ou si la surface initiale possède des singularités. En vue d'une étude numérique, on cherche à savoir quelle est la vitesse de convergence de la solution du problème régularisé vers la solution du problème original, quand le paramètre epsilon tend vers zéro, et dans quelle topologie on a cette convergence. Nous étudions le cas unidimensionnel et nous montrons qu'il existe un développement asymptotique de la solution du problème régularisé en fonction de epsilon et de ses puissances, tel que le premier terme du développement soit la solution de viscosité du problème de flot à courbure moyenne. De plus, nous prouvons que ce développement a un sens dans des espaces de Sobolev avec poids. Enfin, nous donnons une estimation de la vitesse de convergence dans ces mêmes topologies. On considère différents types de conditions aux limites. La troisième partie traite de la régularisation du problème de flot à courbure moyenne pour des surfaces axisymétriques. Nous y démontrons des résultats analogues à ceux obtenus dans la deuxième partie.
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Beddiaf, Sara. „Identification paramétrique de systèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques non linéaires en géométrie 3D par une méthode de régularisation itérative“. Angers, 2013. http://laris.univ-angers.fr/_resources/logo/TheseBeddiafSara.pdf.
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S’inscrivant dans le cadre de l’identification paramétrique, les travaux présentés dans ce manuscrit ont pour but de résoudre des problèmes inverses tridimensionnels de la conduction de chaleur (PICC-3D). Diverses situations thermiques sont traitées : identification du flux de chauffe délivré par une source fixe ou mobile, estimation des coordonnées de centre de deux sources de chauffe fixes, identification des coordonnées de centre d’une ou plusieurs sources fixes en temps réduit, estimation simultanée de la position et du flux de chauffe d’une source fixe, identification de la trajectoire d’une source mobile et estimation simultanée de la trajectoire et de l’intensité du flux d’une source de chauffe mobile. Une difficulté essentielle réside en ce que de tels problèmes inverses de conduction de la chaleur (décrits par un système d’équations aux dérivées partielles non linéaires) sont mal posés au sens d’Hadamard. Considérant les mesures de température fournies par un nombre limité de capteurs placés sur une frontière différente de celle où les sources de chauffe interviennent, ces PICC-3D ont été résolus avec succès par la mise en œuvre d’une méthode de régularisation itérative du gradient conjugué (MGC). La robustesse de la méthode est illustrée en considérant des bruits de mesure réalistes. En outre, un dispositif expérimental a été utilisé afin de mesurer l’évolution du champ de températures dans une plaque soumise à une source chauffante immobile. Les expérimentations réalisées attestent de l’intérêt de la MGC dans le contexte proposéIn the context of parametric identification, the work presented in this manuscript is devoted to inverse heat conduction problem resolution in three-dimensional geometries (IHCP-3D). The main objective of the resolution deals with identification of one or more unknown parameters in various situations such as: heat flux identification of a fixed (or mobile source), localization of two fixed heating sources, localizations in minimal time (for one or several heating sources), simultaneous determination of time-varying heat flux and location of a fixed source, mobile source trajectory identification, simultaneous estimation of strength heat flux and source mobile trajectory in a three-dimensional domain. Such an inverse heat conduction problem (described by a set of partial differential equations) is ill-posed in Hadamard’s sense. Considering the measured temperature provided by few sensors (located on a different face from that on which sources heat), IHCP-3D were successfully solved and the unknown parameters are identified considering the implementation of an iterative regularization method: the conjugate gradient method (CGM). The robustness of the proposed identification method is illustrated considering realistic disturbances. Moreover, an experimental bench is used in order to validate the robustness of the CGM in real context
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Rakotoson, Jean-Michel. „Réarrangement relatif : propriétés et applications aux équations aux dérivés partiellesLes réseaux de Pétri“. Paris 11, 1987. http://www.theses.fr/1987PA112117.
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L'objet de cette thèse est de présenter quelques propriétés du réarrangement relatif et leurs applications dans les inéquations variationnelles et les équations aux dérivées partielles de type elliptique et parabolique. Le réarrangement relatif est né du calcul de dérivée directionnelle du réarrangement monotone. Ce réarrangement s'avère comme une généralisation du réarrangement monotone (cf. Chapitres I et II). Grâce à une formule intégrale de type de Federer (cf. Chapitres IV à VI) et aux propriétés de ce réarrangement, on donne une nouvelle méthode d'estimations a priori pour les solutions des problèmes aux limites. Ces estimations conduisent à une régularité supplémentaire des solutions des E. D. P. (cf. Chapitres IV et VI). On donne aussi un théorème de régularité pour une famille de fonctions réarrangéesThe purpose of this thesis is to introduce some properties of the relative rearrangement and their applications to variational inequalities and to partial differential equations of elliptic and parabolic type. The relative rearrangement comes from the computation of the directional derivative of the monotone rearrangement. This rearrangement is a generalization of the classical rearrangement (see Chap. I and II). Thanks to an integral formula of Federer type (see Chap. IV to VI) and the properties of this rearrangement, we develop a new method to get a priori estimates for elliptic and parabolic problems. These estimates lead to additional regularity for the solutions of P. D. E. (see Chap. IV and VI). We prove also a regularity theorem for a family of symmetrized functions
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Bordas, Alexandre. „Homogénéisation stochastique quantitative“. Thesis, Lyon, 2018. http://www.theses.fr/2018LYSEN053/document.
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Cette thèse porte sur l’homogénéisation quantitative d’équations aux dérivées partielles paraboliques, et de problèmes elliptiques discrets. Dans l’introduction, nous voyons comment de tels problèmes, même lorsque les coefficients sont déterministes, résultent d’un modèle aléatoire. Nous donnons ensuite une notion de ce qu’est l’homogénéisation : que se passe-t-il lorsque les coefficients eux-mêmes sont aléatoires, est-il possible de considérer qu’un environnement présentant des inhomogénéités sur de très petites échelles, se comporte d’une manière proche d’un environnement fictif qui serait homogène ?Nous donnons ensuite une interprétation de cette question en terme de marche aléatoire en conductances aléatoires, puis donnons une idée des outils utilisés dans les preuves des deux chapitres suivants. Dans le chapitre II, nous démontrons un résultat d’homogénéisation quantitative pour une équation parabolique – l’équation de la chaleur par exemple – dans un environnement admettant des coefficients aléatoires et dépendant du temps. La méthode utilisée consiste à considérer les solutions d’un tel problème comme optimiseurs de fonctionnelles qui seront définies au préalable, puis d’utiliser la propriété cruciale de sous-additivité de ces quantités, afin d’en déduire une convergence puis un résultat de concentration, qui permettra d’en déduire une vitesse de convergence des solutions vers la solution du problème homogénéisé, Dans le chapitre III, nous adaptons ces méthodes pour un problème elliptique sur le graphe ZdThis thesis deals with quantitative stochastic homogenization of parabolic partial differential equations, and discrete elliptic problems. In the introduction, we see how can such problems come from random models, even when the coefficients are deterministic. Then, we introduce homogenization : what happen if the coefficients themselves are random ? Could we consider that an environment with microscopical random heterogeneities behaves, at big scale, as a fictious deterministic homogeneous environment ? Then, we give a random walk in random environment interpretation and the sketch of the proofs in the two following chapters. In chapter II, we prove a quantitative homogenization result for parabolic PDEs, such as heat equation, in environment admitting time and space dependent coefficients. The method of the proof consists in considering solutions of such problems as minimizers of variational problems. The first step is to express solutions as minimizers, and then to use the capital property of subadditivity of the corresponding quantities, in order to deduce convergence and concentration result. From that, we deduce a rate of convergence of the actual solutions to the homogenized solution. In chapter III, we adapt these methods to a discrete elliptic problem on the lattice Zd
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Bauzet, Caroline. „Etude d'équations aux dérivées partielles stochastiques“. Thesis, Pau, 2013. http://www.theses.fr/2013PAUU3007/document.
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Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires stochastiques. Nous nous intéressons à des EDP paraboliques et hyperboliques que l’on perturbe stochastiquement au sens d’Itô. Il s’agit d’introduire l’aléatoire via l’ajout d’une intégrale stochastique (intégrale d’Itô) qui peut dépendre ou non de la solution, on parle alors de bruit multiplicatif ou additif. La présence de la variable de probabilité ne nous permet pas d’utiliser tous les outils classiques de l’analyse des EDP. Notre but est d’adapter les techniques connues dans le cadre déterministe aux EDP non linéaires stochastiques en proposant des méthodes alternatives. Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous étudions une perturbation stochastique des équations de Barenblatt. En utilisant une semi- discrétisation implicite en temps, nous établissons l’existence et l’unicité d’une solution dans le cas additif, et grâce aux propriétés de la solution nous sommes en mesure d’étendre ce résultat au cas multiplicatif à l’aide d’un théorème de point fixe. Dans le Chapitre II, nous considérons une classe d’équations de type Barenblatt stochastiques dans un cadre abstrait. Il s’agit là d’une généralisation des résultats du Chapitre I. Dans le Chapitre III, nous travaillons sur l’étude du problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique. Nous montrons l’existence d’une solution par une méthode de viscosité artificielle en utilisant des arguments de compacité donnés par la théorie des mesures de Young. L’unicité repose sur une adaptation de la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov.. Dans le Chapitre IV, nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour la loi de conservation stochastique étudiée au Chapitre III. Le point remarquable de l’étude repose sur l’utilisation des semi-entropies de Kruzhkov pour montrer l’unicité. Dans le Chapitre V, nous introduisons une méthode de splitting pour proposer une approche numérique du problème étudié au Chapitre IV, suivie de quelques simulations de l’équation de Burgers stochastique dans le cas unidimensionnelThis thesis deals with the mathematical field of stochastic nonlinear partial differential equations’ analysis. We are interested in parabolic and hyperbolic PDE stochastically perturbed in the Itô sense. We introduce randomness by adding a stochastic integral (Itô integral), which can depend or not on the solution. We thus talk about a multiplicative noise or an additive one. The presence of the random variable does not allow us to apply systematically classical tools of PDE analysis. Our aim is to adapt known techniques of the deterministic setting to nonlinear stochastic PDE analysis by proposing alternative methods. Here are the obtained results : In Chapter I, we investigate on a stochastic perturbation of Barenblatt equations. By using an implicit time discretization, we establish the existence and uniqueness of the solution in the additive case. Thanks to the properties of such a solution, we are able to extend this result to the multiplicative noise using a fixed-point theorem. In Chapter II, we consider a class of stochastic equations of Barenblatt type but in an abstract frame. It is about a generalization of results from Chapter I. In Chapter III, we deal with the study of the Cauchy problem for a stochastic conservation law. We show existence of solution via an artificial viscosity method. The compactness arguments are based on Young measure theory. The uniqueness result is proved by an adaptation of the Kruzhkov doubling variables technique. In Chapter IV, we are interested in the Dirichlet problem for the stochastic conservation law studied in Chapter III. The remarkable point is the use of the Kruzhkov semi-entropies to show the uniqueness of the solution. In Chapter V, we introduce a splitting method to propose a numerical approach of the problem studied in Chapter IV. Then we finish by some simulations of the stochastic Burgers’ equation in the one dimensional case
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Sbihi, Karima. „Etude de quelques E. D. P. Non linéaires dans L1 avec des conditions générales sur le bord“. Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008), 2006. https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2006/SBIHI_Karima_2006.pdf.
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L’objectif de ce travail est l’étude de divers problèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d’autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équations sont d’une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles (i. E. Au sens des distributions), car en général on n’a pas l’unicité. Des formulations plus appropriées ont alors vu le jour : les solutions appelées SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisées. Cette thèse composée de cinq chapitres, présente des résultats d’existence et d’unicité de solutions entropiques et renormalisées pour quatre problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l’existence et l’unicité de la solution entropique pour un problème elliptique du type diffusion-convection avec des conditions non linéaires sur le bord. Ces conditions englobent en particulier les conditions usuelles. Dans le même axe, au chapitre 3, l’existence et l’unicité de la solution entropique d’un problème parabolique avec absorption dépendant de la variable d’espace sont démontrés. Le chapitre 4 a pour but de présenter un résultat d’existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire. Le dernier résultat, présenté au chapitre 5, est l’existence
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Cohen, Laurent David. „Etude de quelques problèmes semi-linéaires paraboliques et elliptiques“. Paris 6, 1986. http://www.theses.fr/1986PA066503.
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Etude de l'explosion totale après Tmax pour l'équation de la chaleur non linéaire. Approximation de la solution par une suite de solutions globales de la même équation avec pour seconds membres une suite de fonctions lipchitziennes approchant la non-linéarité. Explosion en temps fini pour les équations de Schrödinger et de la chaleur a second membre polynomial. Estimations sur le comportement des solutions des équations elliptiques non-linéaires sur la boule unité quand la valeur maximale tend vers l'infini.
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Nguyen, Van Tien. „Etude numérique et théorique du profil à l’explosion dans les équations paraboliques non linéaires“. Thesis, Paris 13, 2014. http://www.theses.fr/2014PA132048/document.
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On s’intéresse au phénomène d’explosion en temps fini dans les équations aux dérivées partielles paraboliques non linéaires, particulièrement au profil à l’explosion, des points de vue numérique et théorique. Dans la partie théorique, on s’intéresse au phénomène d’explosion en temps fini pour une classe d’équations semi linéaires de la chaleur perturbées fortement avec l’exposant sous-critique de Sobolev. Travaillant dans le cadre des variables auto-similaires, on obtient d’abord l’existence d’une fonctionnelle de Lyapunov, ce qui constitue une étape cruciale pour établir le taux d’explosion de la solution. Dans une seconde étape, on s’intéresse à la structure de la solution au voisinage du temps et du point d’explosion. On classifie tous les comportements asymptotiques possibles pour la solution quand elle s’approche de la singularité. Ensuite, on décrit les profils à l’explosion correspondant à ces comportements asymptotiques. Dans une troisième étape, on construit pour cette équation une solution qui explose en temps fini en un seul point avec un profil d’explosion prescrit. Cette construction s’appuie sur la réduction en dimension finie du problème et sur l’utilisation du théorème de l’indice pour conclure. Dans la partie numérique, on se propose de développer des méthodes afin de donner des réponses numériques à la question du profil à l’explosion pour certaines équations paraboliques, y compris le modèle de Ginzburg-Landau. Nous proposons deux méthodes. La première est l’algorithme de remise à l’échelle (rescaling) proposé par Bergeret Kohn en 1988, appliqué à des équations paraboliques satisfaisant une propriété d’invariance d’échelle. Cette propriété nous permet de faire un zoom de la solution quand elle est proche de la singularité, tout en gardant la même équation. Le principal avantage de cette méthode est sa capacité à donner une très bonne approximation numérique qui nous permet d’atteindre numériquement le profil à l’explosion. Le profil à l’explosion que l’on obtient numériquement est en bon accord avec le profil théorique. De plus, en considérant une équation de la chaleur non linéaire critique avec un terme de gradient non linéaire, avec peu de résultats théoriques, nous énonçons une conjecture sur le profil à l’explosion, grâce à nos simulations numériques. La deuxième méthode numérique s’appuie aussi sur un raffinement de maillage, dans l’esprit de l’algorithme de remise à l’échelle de Berger et Kohn. Cette méthode est applicable à une plus grande classe d’équations dont les solutions explosent en temps fini sans la propriété d’invariance d’échelleWe are interested in finite-time blow-up phenomena arising in the study of Nonlinear Parabolic Partial Differential Equations, in particular in the blow-up profile, under the theoretical and numerical aspects. In the theoretical direction, we are interested in particular in finite-time blow-up phenomena for some class of strongly perturbed semilinear heat equations with Sobolev subcritical power nonlinearity. Working in the frameworkof similarity variables, we first derive a Lyapunov functional in similarity variables which is a crucial step to derive the blow-up rate of the solution. In a second step, we are interested in the structure of the solution near blow-uptime and point. We classify all possible asymptotic behaviors of the solution when it approaches to the singularity.Then we describe blow-up profiles corresponding to these asymptotic behaviors. In a third step, we construct for this equation a solution which blows up in finite time at only one blow-up point with a prescribed blow-up profile. The construction relies on the reduction of the problem to a finite dimensional one and the use of index theory to conclude. In the numerical direction, we intend to develop methods in order to give numerical answers to the question of the blow-up profile for some parabolic equations including the Ginzburg-Landau model. We propose two methods.The first one is the rescaling algorithm proposed by Berger and Kohn in 1988 applied to parabolic equations which are invariant under a scaling transformation. This scaling property allows us to make a zoom of the solution when it is close to the singularity, still keeping the same equation. The main advantage of this method is its ability to give a very good numerical approximation allowing to attain the numerical blow-up profile. The blow-up profile we obtain numerically is in good accordance with the theoretical one. Moreover, by applying the method to a critical nonlinear heat equation with a nonlinear gradient term, where almost nothing is known, we give a conjecture for its blow-up profile thanks to our numerical simulations. The second one is a new mesh-refinement method inspired by the rescaling algorithm of Berger and Kohn, which is applicable to more general equations, in particular those with no scaling invariance
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Mokrane, Abdelhafid. „Existence de solutions pour certains problèmes quasi linéaires elliptiques et paraboliques“. Paris 6, 1986. http://www.theses.fr/1986PA066086.
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Existence de solutions bornées pour certaines équations paraboliques non linéaires. Existence de solutions pour un système elliptique quasi linéaire à croissance quadratique grâce à une borne l’infini petite. Existence de solutions pour un système elliptique quasi linéaire avec un second membre à croissance quadratique ayant une structure particulière.
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Boy, Agnès. „Analyse mathématique d'un modèle biologique régi par un système d'équations de réaction diffusion couplées“. Pau, 1997. http://www.theses.fr/1997PAUU3028.
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Cette thèse a pour objet léetude mathématique d'un modèle traduisant un phénomène de chemotaxis. Nous étudions un modèle de Keller et Segel traduisant la migration d'amibes en direction d'une zone ou la concentration en cyclic AMP produit par elles-mêmes est importante. Deux modélisations de ce phénomène sont ici étudiées. La première est un système non linéaire du second ordre constitué de deux équations paraboliques couplées par le terme de transport non linéaire. Le second modèle est formé d'une E. D. P parabolique et d'une E. D. P elliptique également couplées par le terme de transport. Pour le système parabolique associé à des conditions de bord de Neumann homogènes sur le domaine borne régulier de dimension 1, 2, ou 3, on prouve l'existance d'une unique solution locale, bornée. On démontre de plus que, pour un temps T fixé à priori, si la variation des données initiales n'excède pas un seuil dépendant de T, ce système admet une unique solution globale jusqu'au temps T. Pour le système parabolique-elliptique on obtient des résultats liés aux propriétés de la non linéarité présente dans le terme de transport ainsi. En effet, pour une non linéarité convexe, on démontre en dimension un l'existance d'une unique solution globale. En dimension deux ce résultat est obtenu soit pour une valeur moyenne de la densité initiale suffisamment petite soit pour une non linéarité décroissante. On a également ce résultat en dimension trois soit pour une non linéarité décroissante soit pour des conditions de bord de Dirichlet homogènes et pour une valeur moyenne de la densité initiale petite. Si par contre la non linéarité est croissante, la densité initiale à symétrie radiale et sa valeur moyenne suffisamment grande alors la solution explose en temps fini au centre de l'ouvert en dimension 2 et 3.
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Ducasse, Romain. „Équations et systèmes de réaction-diffusion en milieux hétérogènes et applications“. Thesis, Paris Sciences et Lettres (ComUE), 2018. http://www.theses.fr/2018PSLEE054/document.
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Cette thèse est consacrée à l'étude des équations et systèmes de réaction-diffusion dans des milieux hétérogènes. Elle est divisée en deux parties. La première est dédiée à l'étude des équations de réaction-diffusion dans des milieux périodiques. Nous nous intéressons en particulier aux équations posées dans des domaines qui ne sont pas l'espace entier $\mathbb{R}^{N}$, mais des domaines périodiques, avec des "obstacles". Dans un premier chapitre, nous étudions l'effet de la géométrie du domaine sur la vitesse d'invasion des solutions. Après avoir dérivé une formule de type Freidlin-Gartner, nous construisons des domaines où la vitesse d'invasion est strictement inférieure à la vitesse critique des fronts. Nous donnons également des critères géométriques qui garantissent l'existence de directions où l'invasion se produit à la vitesse critique. Dans le chapitre suivant, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour garantir que l'invasion ait lieu, après quoi nous construisons des domaines où des phénomènes intermédiaires (blocage, invasion orientée) se produisent. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de modèles décrivant l'influence de lignes à diffusion rapide (une route, par exemple) sur la propagation d'espèces invasives. Il a en effet été observé que certaines espèces, dont le moustique-tigre, envahissent plus rapidement que prévu certaines zones proches du réseau routier. Nous étudions deux modèles : le premier décrit l'influence d'une route courbe sur la propagation. Nous nous intéressons en particulier au cas de deux routes non-parallèles. Le second modèle décrit l'influence d'une route sur une niche écologique, en présence d'un changement climatique. Le résultat principal est que l'effet de la route est ambivalent : si la niche est stationnaire, alors l'effet de la route est délétère. Cependant, si la niche se déplace, suite à un changement climatique, nous montrons que la route peut permettre à une population de survivre. Pour étudier ce second modèle, nous développons une notion de valeur propre principale généralisée pour des systèmes de type KPP, et nous dérivons une inégalité de Harnack, qui est nouvelle pour ce type de systèmesThis thesis is dedicated to the study of reaction-diffusion equations and systems in heterogeneous media. It is divided into two parts. The first one is devoted to the study of reaction-diffusion equations in periodic media. We pay a particular attention to equations set on domains that are not the whole space $\mathbb{R}^{N}$, but periodic domains, with "obstacles". In a first chapter, we study how the geometry of the domain can influence the speed of invasion of solutions. After establishing a Freidlin-Gartner type formula, we construct domains where the speed of invasion is strictly less than the critical speed of fronts. We also give geometric criteria to ensure the existence of directions where the invasion occurs with the critical speed. In the second chapter, we give necessary and sufficient conditions to ensure that invasion occurs, and we construct domains where intermediate phenomena (blocking, oriented invasion) occur. The second part of this thesis is dedicated to the study of models describing the influence of lines with fast diffusion (a road, for instance) on the propagation of invasive species. Indeed, it was observed that some species, such as the tiger mosquito, invade faster than expected some areas along the road-network. We study two models : the first one describes the influence of a curved road on the propagation. We study in particular the case of two non-parallel roads. The second model describes the influence of a road on an ecological niche, in presence of climate change. The main result is that the effect of the road is ambivalent: if the niche is stationary, then effect of the road is deleterious. However, if the niche moves, because of a shifting climate, the road can actually help the population to persist. To study this model, we introduce a notion of generalized principal eigenvalue for KPP-type systems, and we derive a Harnack inequality, that is new for this type of systems
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Choquet, Catherine. „Analyse de modèles d'écoulements en milieu poreux hétérogène“. Clermont-Ferrand 2, 2002. http://www.theses.fr/2002CLF21392.
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Ce travail est consacré à l'étude de quelques modèles d'écoulements de fluides miscibles et faiblement compressibles. Les problèmes considérés interviennent dans la modélisation de la contamination des nappes phréatiques par des espèces radioactives, ou de l'exploitation de réservoirs pétroliers. La modélisation des phénomènes conduit à l'étude de systèmes d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plusieurs équations de type diffusion-convection, modélisant le transport de chaque espèce en solution, sont couplées à l'équation gouvernant le champ des vitesses de Darcy. A cela peut s'ajouter une équation régissant la diffusion de la chaleur. Ce mémoire comprend 3 parties distinctes : -Ecoulements de contaminants radioactifs en milieu poreux : nous donnons le système des équations aux dérivées partielles qui traduisent les lois de conservation de masse et d'énergie. Nous prenons en compte les mécanismes physico-chimiques les plus importants. Nous étudions ensuite l'existence de solutions dans différents cadres physiques ; -Homogénéisation d'écoulements tridimentionnels : l'objet de cette partie est la modélisation dans un milieu naturellement fracturé, ainsi que dans un milieu aux caractéristiques physiques fortement oscillantes ; -Modèles d'écoulements unidimensionnel : cette restriction de la dimension nous permet de traiter des termes non linéaires de couplage supplémentaires. Cette partie est constituée d'une étude d'homogénéisation, et de l'analyse mathématique d'un modèle dans lequel on néglige le terme de dispersion
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Duan, Xianglong. „Optimal transport and diffusion of currents“. Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2017. http://www.theses.fr/2017SACLX054/document.
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Les travaux portent sur l'étude d'équations aux dérivées partielles à la charnière de la physique de la mécanique des milieux continus et de la géométrie différentielle, le point de départ étant le modèle d'électromagnétisme non-linéaire introduit par Max Born et Leopold Infeld en 1934 comme substitut aux traditionnelles équations linéaires de Maxwell. Ces équations sont remarquables par leurs liens avec la géométrie différentielle (surfaces extrémales dans l'espace de Minkowski) et ont connu un regain d'intérêt dans les années 90 en physique des hautes énergies (cordes et D-branes).Le travail se décompose en quatre chapitres.La théorie des systèmes paraboliques dégénérés d'EDP non-linéaires est fort peu développée, faute de pouvoir appliquer les principes de comparaison habituels (principe du maximum), malgré leur omniprésence dans de nombreuses applications (physique, mécanique, imagerie numérique, géométrie...). Dans le premier chapitre, on montre comment de tels systèmes peuvent être parfois dérivés, asymptotiquement, à partir de systèmes non-dissipatifs (typiquement des systèmes hyperboliques non-linéaires), par simple changement de variable en temps non-linéaire dégénéré à l'origine (où sont fixées les données initiales). L'avantage de ce point de vue est de pouvoir transférer certaines techniques hyperboliques vers les équations paraboliques, ce qui semble à première vue surprenant, puisque les équations paraboliques ont la réputation d'être plus facile à traiter (ce qui n'est pas vrai, en réalité, dans le cas de systèmes dégénérés). Le chapitre traite, comme prototype, du curve-shortening flow", qui est le plus simple des mouvements par courbure moyenne en co-dimension supérieure à un. Il est montré comment ce modèle peut être dérivé de la théorie des surfaces de dimension deux d'aire extrémale dans l'espace de Minkowski (correspondant aux cordes relativistes classiques) qui peut se ramener à un système hyperbolique. On obtient, presque automatiquement, l'équivalent parabolique des principes d'entropie relative et d'unicité fort-faible qu'il est, en fait, bien plus simple d'établir et de comprendre dans le cadre hyperbolique.Dans le second chapitre, la même méthode s'applique au système de Born-Infeld proprement dit, ce qui permet d'obtenir, à la limite, un modèle (non répertorié à notre connaissance) de Magnétohydrodynamique (MHD), où on retrouve à la fois une diffusivité non-linéaire dans l'équation d'induction magnétique et une loi de Darcy pour le champ de vitesse. Il est remarquable qu'un système d'apparence aussi lointaine des principes de base de la physique puisse être si directement déduit d'un modèle de physique aussi fondamental et géométrique que celui de Born-Infeld.Dans le troisième chapitre, un lien est établi entre des systèmes paraboliques et le concept de flot gradient de formes différentielles pour des métriques de transport. Dans le cas des formes volumes, ce concept a eu un succès extraordinaire dans le cadre de la théorie du transport optimal, en particulier après le travail fondateur de Felix Otto et de ses collaborateurs. Ce concept n'en est vraiment qu'à ses débuts: dans ce chapitre, on étudie une variante du «curve-shortening flow» étudié dans le premier chapitre, qui présente l'avantage d'être intégrable (en un certain sens) et de conduire à des résultats plus précis.Enfin, dans le quatrième chapitre, on retourne au domaine des EDP hyperboliques en considérant, dans le cas particulier des graphes, les surfaces extrémales de l'espace de Minkowski, de dimension et co-dimension quelconques. On parvient à montrer que les équations peuvent se reformuler sous forme d'un système élargi symétrique du premier ordre (ce qui assure automatiquement le caractère bien posé des équations) d'une structure remarquablement simple (très similaire à l'équation de Burgers) avec non linéarités quadratiques, dont le calcul n'a rien d'évidentOur work concerns about the study of partial differential equations at the hinge of the continuum physics and differential geometry. The starting point is the model of non-linear electromagnetism introduced by Max Born and Leopold Infeld in 1934 as a substitute for the traditional linear Maxwell's equations. These equations are remarkable for their links with differential geometry (extremal surfaces in the Minkowski space) and have regained interest in the 90s in high-energy physics (strings and D-branches).The thesis is composed of four chapters.The theory of nonlinear degenerate parabolic systems of PDEs is not very developed because they can not apply the usual comparison principles (maximum principle), despite their omnipresence in many applications (physics, mechanics, digital imaging, geometry, etc.). In the first chapter, we show how such systems can sometimes be derived, asymptotically, from non-dissipative systems (typically non-linear hyperbolic systems), by simple non-linear change of the time variable degenerate at the origin (where the initial data are set). The advantage of this point of view is that it is possible to transfer some hyperbolic techniques to parabolic equations, which seems at first sight surprising, since parabolic equations have the reputation of being easier to treat (which is not true , in reality, in the case of degenerate systems). The chapter deals with the curve-shortening flow as a prototype, which is the simplest exemple of the mean curvature flows in co-dimension higher than 1. It is shown how this model can be derived from the two-dimensional extremal surface in the Minkowski space (corresponding to the classical relativistic strings), which can be reduced to a hyperbolic system. We obtain, almost automatically, the parabolic version of the relative entropy method and weak-strong uniqueness, which, in fact, is much simpler to establish and understand in the hyperbolic framework.In the second chapter, the same method applies to the Born-Infeld system itself, which makes it possible to obtain, in the limit, a model (not listed to our knowledge) of Magnetohydrodynamics (MHD) where we have non-linear diffusions in the magnetic induction equation and the Darcy's law for the velocity field. It is remarkable that a system of such distant appearance of the basic principles of physics can be so directly derived from a model of physics as fundamental and geometrical as that of Born-Infeld.In the third chapter, a link is established between the parabolic systems and the concept of gradient flow of differential forms with suitable transport metrics. In the case of volume forms, this concept has had an extraordinary success in the field of optimal transport theory, especially after the founding work of Felix Otto and his collaborators. This concept is really only on its beginnings: in this chapter, we study a variant of the curve-shortening flow studied in the first chapter, which has the advantage of being integrable (in a certain sense) and lead to more precise results.Finally, in the fourth chapter, we return to the domain of hyperbolic EDPs considering, in the particular case of graphs, the extremal surfaces of the Minkowski space of any dimension and co-dimension. We can show that the equations can be reformulated in the form of a symmetric first-order enlarged system (which automatically ensures the well-posedness of the equations) of a remarkably simple structure (very similar to the Burgers equation) with quadratic nonlinearities, whose calculation is not obvious
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Comte, Eloïse. „Pollution agricole des ressources en eau : approches couplées hydrogéologique et économique“. Thesis, La Rochelle, 2017. http://www.theses.fr/2017LAROS029/document.
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Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution des ressources en eau. On s’intéresse plus particulièrement à l’impact des engrais d’origine agricole sur la qualité de l’eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coûts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Nous prouvons l’existence globale d’une solution au problème de contrôle optimal. L’unicité est quant à elle démontrée par analyse asymptotique pour le problème effectif tenant compte de la faible concentration d’engrais en sous-sol. Nous établissons les conditions nécessaires d’optimalité et le problème adjoint associé à notre modèle. Quelques exemples analytiques sont donnés et illustrés. Nous élargissons ces résultats au cadre de la théorie des jeux, où plusieurs joueurs interviennent, et prouvons notamment l’existence d’un équilibre de Nash. Enfin, ce travail est illustré par des résultats numériques (2D en espace), obtenus en couplant un schéma de type Éléments Finis Mixtes avec un algorithme de gradient conjugué non linéaireThis work is devoted to water ressources pollution control. We especially focus on the impact of agricultural fertilizer on water quality, by combining economical and hydrogeological modeling. We define, on one hand, the spatio-temporal objective, taking into account the trade off between fertilizer use and the cleaning costs. On an other hand, we describe the pollutant transport in the underground (3D in space) by a nonlinear system coupling a parabolic partial differential equation (reaction-advection-dispersion) with an elliptic one in a bounded domain. We prove the global existence of the solution of the optimal control problem. The uniqueness is proved by asymptotic analysis for the effective problem taking into account the low concentration fertilizer. We define the optimal necessary conditions and the adjoint problem associated to the model. Some analytical results are provided and illustrated. We extend these results within the framework of game theory, where several players are involved, and we prove the existence of a Nash equilibrium. Finally, this work is illustrated by numerical results (2D in space), produced by coupling a Mixed Finite Element scheme with a nonlinear conjugate gradient algorithm
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Roukbi, Abdelghani. „Identification et approximation numérique de paramètres physiques pour un système parabolique semi-linéaire“. Lyon 1, 2000. http://www.theses.fr/2000LYO10100.
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Dans ce travail nous présentons des méthodes numériques pour la résolution de problèmes inverses gouvernés par des équations aux dérivées partielles semi-linéaires couplées avec des termes non linéaires discontinus. Un premier résultat a été obtenu concernant l'identification du coefficient de diffusion lorsque le flux relargué est observé. En mesurant le flux sur une partie du bord de domaine nous montrons pour un problème de dissolution-diffusion que le coefficient de diffusion est identifiable et nous proposons un algorithme numérique adapté à la discontinuité du terme non linéaire pour le calculer. L'autre sujet de ce travail concerne l'identification d'un polluant en phase liquide pouvant s'évaporer. Un modèle macroscopique décrivant l'évaporation d'une substance organique volatile dans un milieu poreux est proposé. En considérant un modèle mathématique à double porosités, nous identifions la concentration initiale du polluant en phase liquide. Nous mettons en place une méthode basée sur un développement asymptotique qui permet d'identifier la concentration initiale du polluant en phase liquide, le coefficient de diffusion et le coefficient d'échange entre les phases liquide et gazeuse. Ce problème d'identification est considéré comme un problème de contrôle optimal qu'on résout à l'aide d'une approche Lagrangienne. La difficulté principale de tels problèmes réside dans la non-linéarité de la variable d'état par rapport au contrôle. Mentionnons qu'un inconvénient important de cette méthode est qu'elle est coûteuse en temps de calcul pour calculer les solutions approchées
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Montaru, Alexandre. „Etude qualitative d’un système parabolique-elliptique de type keller-segel et de systèmes elliptiques non-coopératifs“. Thesis, Paris 13, 2014. http://www.theses.fr/2014PA132021/document.
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Cette thèse est consacrée à l'étude de deux problèmes : D'une part, nous considérons un système parabolique-elliptique de type Patlak-Keller-Segel avec sensitivité de type puissance et exposant critique. Nous étudions les solutions radiales de ce système dans une boule de l'espace euclidien et obtenons des résultats d'existenceunicité, de régularité ainsi qu'une alternative d'explosion. Concernant le comportement qualitatif en temps long des solutions radiales, pour toute dimension d'espace supérieure ou égale à trois, nous montrons un phénomène de masse critique qui généralise le cas déjà connu de la dimension deux mais présente par rapport à celui-ci un comportement très différent dans le cas de la masse critique. Dans le cas d'une masse sous-critique, pour toute dimension d'espace supérieure ou égale à deux, nous montrons de plus que les densités de cellule convergent uniformément à vitesse exponentielle vers l'unique solution stationnaire. D'autre part, nous étudions des systèmes elliptiques non coopératifs. Dans le cas de l'espace ou d'un demi-espace (ou même d'un cône), sous une hypothèse de structure naturelle sur les non-linéarités, nous donnons des conditions suffisantes pour avoir la proportionnalité des composantes, ce qui permet de ramener l'étude à celle d'une équation scalaire et ainsi d'obtenir des résultats de classification et de type Liouville pour le système. Dans le cas d'un domaine borné, la méthode de renormalisation de Gidas et Spruck permet d'obtenir une estimation a priori des solutions bornées et finalement de déduire l'existence d'une solution non trivialeThis thesis is concerned with the study of two problems : On the one hand, we consider a parabolic-elliptic system of Patlak-Keller-Segeltype with a critical power type sensitivity. We study the radially symmetric solutions of this system on a ball of the euclidean space and obtain wellposedness and regularity results together with a blow-up alternative. As for the long time qualitative behaviour of the radial solutions, for any space dimension greater or equal to three, we show that a critical mass phenomenon occurs, which generalizes the wellknown case of dimension two but, with respect to the latter, with a very different qualitative behaviour in the case of the critical mass. When the mass is subcritical, we moreover show that the cell density converges uniformly with exponential speed toward the unique steady state. This result is valid for any space dimension greater or equal to two, which was, to our knowledge, not known even for the most studied case of dimension two. On the other hand, we study noncooperative (semilinear and fully nonlinear) elliptic systems. In the case of the whole space or of a half-space (or even for a cone), under a natural structure condition on the nonlinearities, we give sufficient conditions to have proportionnality of the components, which allows to reduce the system to a scalar equation and then to get classification and Liouville type results. In the case of a bounded domain, thanks to the obtained Liouville type theorems, the blow-up method of Gidas and Spruck then allows to get an a priori estimate on the bounded solutions and eventually to deduce the existence of a non trivial solution by a topological method using the degree theory
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Le, Balc'h Kévin. „Contrôlabilité de systèmes de réaction-diffusion non linéaires“. Thesis, Rennes, École normale supérieure, 2019. http://www.theses.fr/2019ENSR0016/document.
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Cette thèse est consacrée au contrôle de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires. On s’intéresse notamment à des systèmes paraboliques de réaction-diffusion non linéaires issus de la cinétique chimique. L’objectif principal est de démontrer des résultats de contrôlabilité locale ou globale, en temps petit, ou en temps grand.Dans une première partie, on démontre un résultat de contrôlabilité locale à des états stationnaires positifs en temps petit, pour un système de réaction-diffusion non linéaire.Dans une deuxième partie, on résout une question de contrôlabilité globale à zéro en temps petit pour un système 2 × 2 de réaction-diffusion non linéaire avec un couplage impair.La troisième partie est consacrée au célèbre problème ouvert d’Enrique Fernández-Cara et d’Enrique Zuazua des années 2000 concernant la contrôlabilité globale à zéro de l’équation de la chaleur faiblement non linéaire. On démontre un résultat de contrôlabilité globale à états positifs en temps petit et un résultat de contrôlabilité globale à zéro en temps long.La dernière partie, rédigée en collaboration avec Karine Beauchard et Armand Koenig, est une incursion vers l’hyperbolique. On étudie des systèmes linéaires à coefficients constants, couplant une dynamique transport avec une dynamique parabolique. On identifie leur temps minimal de contrôle et l’influence de leur structure algébrique sur leurs propriétés de contrôleThis thesis is devoted to the control of nonlinear partial differential equations. We are mostly interested in nonlinear parabolic reaction-diffusion systems in reaction kinetics. Our main goal is to prove local or global controllability results in small time or in large time.In a first part, we prove a local controllability result to nonnegative stationary states in small time, for a nonlinear reaction-diffusion system.In a second part, we solve a question concerning the global null-controllability in small time for a 2 × 2 nonlinear reaction-diffusion system with an odd coupling term.The third part focuses on the famous open problem due to Enrique Fernndez-Cara and Enrique Zuazua in 2000, concerning the global null-controllability of the weak semi-linear heat equation. We show that the equation is globally nonnegative controllable in small time and globally null-controllable in large time.The last part, which is a joint work with Karine Beauchard and Armand Koenig, enters the hyperbolic world. We study linear parabolic-transport systems with constant coeffcients. We identify their minimal time of control and the influence of their algebraic structure on the controllability properties
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Hofmanová, Martina. „Degenerate parabolic stochastic partial differential equations“. Phd thesis, École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00916580.
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In this thesis, we address several problems arising in the study of nondegenerate and degenerate parabolic SPDEs, stochastic hyperbolic conservation laws and SDEs with continues coefficients. In the first part, we are interested in degenerate parabolic SPDEs, adapt the notion of kinetic formulation and kinetic solution and establish existence, uniqueness as well as continuous dependence on initial data. As a preliminary result we obtain regularity of solutions in the nondegenerate case under the hypothesis that all the coefficients are sufficiently smooth and have bounded derivatives. In the second part, we consider hyperbolic conservation laws with stochastic forcing and study their approximations in the sense of Bhatnagar-Gross-Krook. In particular, we describe the conservation laws as a hydrodynamic limit of the stochastic BGK model as the microscopic scale vanishes. In the last part, we provide a new and fairly elementary proof of Skorkhod's classical theorem on existence of weak solutions to SDEs with continuous coefficients satisfying a suitable Lyapunov condition.
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Bal, Kaushik. „Some Contribution to the study of Quasilinear Singular Parabolic and Elliptic Equations“. Thesis, Pau, 2011. http://www.theses.fr/2011PAUU3032/document.
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Les travaux réalisés dans cette thèse concernent l’étude de problèmes quasi-linéaires paraboliques et elliptiques singuliers. Par singularité, nous signifions que le problème fait intervenir une non linéarité qui explose au bord du domaine où l’équation est posée. La présence du terme singulier entraine un manque de régularité des solutions. Ce défaut de régularité génère en conséquence un manque de compacité qui ne permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques d’analyse non linéaires pour démontrer l’existence de solutions et discuter les propriétés de régularité et de comportement asymptotique des solutions. Pour contourner cette difficulté dans le contexte des problèmes que nous avons étudiés, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliées au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes d’interpolation dans les espaces de Sobolev, méthodes de point fixeIn this thesis I have studied the Evolution p-laplacian equation with singular nonlinearity. We start by studying the corresponding elliptic problem and then by defining a proper cone in a suitable Sobolev space find the uniqueness of the solution. Taking that into account and using the semi discretization in time we arrive at the uniqueness and existence result. Next we prove some regularity theorem using tools from Nonlinear Semigroup theory and Interpolation spaces. We also establish some related result for the laplacian case where we improve our result on the existence and regularity, due to the non degeneracy of the laplacian. In another related work we work with a semilinear equation with singular nonlinearity and using the moving plane method prove the symmetry properties of any classical solution. We also give some related apriori estimates which together with the symmetry provide us the existence of solution using the bifurcation result
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De, Moor Sylvain. „Limites diffusives pour des équations cinétiques stochastiques“. Electronic Thesis or Diss., Rennes, École normale supérieure, 2014. http://www.theses.fr/2014ENSR0001.
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Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équationThis thesis presents several results about stochastic partial differential equations. The main subject is the study of diffusive limits of kinetic models perturbed with a random term. We also present a result about the regularity of a class of stochastic partial differential equations and a result of existence and uniqueness of invariant measures for a stochastic Fokker-Planck equation.First, we give three results of approximation-diffusion in a stochastic context. The first one deals with the case of a kinetic equation with a linear operator of relaxation whose velocity equilibrium has a power tail distribution at ininity. The equation is perturbed with a Markovian process. This gives rise to a stochastic fluid fractional limit. The two remaining results consider the case of the radiative transfer equation which is a non-linear kinetic equation. The equation is perturbed successively with a cylindrical Wiener process and with a Markovian process. In both cases, we are led to a stochastic Rosseland fluid limit.Then, we introduce a result of regularity for a class of quasilinear stochastic partial differential equations of parabolic type whose random term is driven by a cylindrical Wiener process.Finally, we study a Fokker-Planck equation with a noisy force governed by a cylindrical Wiener process. We prove existence and uniqueness of solutions to the problem and then existence and uniqueness of invariant measures to the equation
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Allonsius, Damien. „Etude spectrale d'opérateurs de Sturm-Liouville et applications à la contrôlabilité de problèmes paraboliques discrets et continus“. Thesis, Aix-Marseille, 2018. http://www.theses.fr/2018AIXM0369/document.
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Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques continus et semi-discrétisés. Nous considérons tout d'abord des systèmes en cascade d'équations paraboliques de la forme ∂t −(∂xγ∂x +q). La variable spatiale évolue dans un intervalle réel borné et ce système est semi-discrétisé en espace par un schéma aux différences finies. En appliquant la méthode des moments, nous démontrons des résultats de contrôlabilité à zéro et de φ(h) contrôlabilité à zéro, suivant les hypothèses formulées sur le maillage et les fonctions γ et q. Puis nous étendons ces résultats lorsque la variable d'espace évolue dans un domaine cylindrique, la zone de contrôle se situant dans une partie d'une section au bord du cylindre. Ce domaine cylindrique se décompose en un produit de deux espaces. Sur le premier, de dimension 1, nous appliquons les résultats décrits précédemment. Sur le second, nous appliquons la méthode de Lebeau-Robbiano. Cette approche permet à la fois de montrer que le problème discrétisé est φ(h) contrôlable à zéro et de retrouver un résultat de contrôlabilité à zéro sur le système continu. Dans une autre partie, nous nous intéressons au temps minimal de contrôle à zéro de l'équation de Grushin posée sur un domaine rectangulaire dont le domaine de contrôle est une bande verticale. L'étude se ramène à une infinité dénombrable, indexée par le paramètre de Fourier $n$, de problèmes de contrôle à zéro d'équations paraboliques, traitée, ici encore, à l'aide de la méthode des momentsIn this thesis, we study the null controllability of some continous and semi discretized parabolic systems. We first consider cascade systems of parabolic equations of the form ∂t −(∂xγ∂x +q). The space variable belongs to a real and bounded interval and this system is semi-discretized in space by a finite differences scheme. Applying the so called moments method, we prove null controllability and φ(h) null controllability results, depending on the hypotheses on the mesh and on functions γ and q. Then, we extend this results when the space variable belongs to a cylindrical domain which control zone is in a section at the border of the cylinder. This cylindrical domain is decomposed into a product of two spaces. On the first, of dimension 1, we apply the results described previously. On the second, we use the Lebeau-Robbiano's procedure. In this framework, we prove φ(h) null controllability results on the discretized domain as well as null controllability results on the continous problem. In another section, we investigate the computation of minimal time of null controllability of Grushin's equation defined on a rectangular domain which control region is a vertical strip. This problem of control amounts to study a countably infinite family, indexed by the Fourier parameter $n$, of null control problems of parabolic equations, tackled, once again, with the moments method
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Morancey, Morgan. „Contrôle d'équations de Schrödinger et d'équations paraboliques dégénérées singulières“. Phd thesis, Ecole Polytechnique X, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00910985.
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Ce mémoire présente les travaux réalisés au cours de ma thèse sur le contrôle d'équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'équations de Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles autour de deux axes : la non contrôlabilité en temps petit avec des contrôles petits et la contrôlabilité simultanée. On établit un cadre pour lequel, bien que la vitesse de propagation du système soit infinie, la contrôlabilité exacte locale avec des contrôles petits est vérifiée si et seulement si le temps est suffisamment grand. Ces résultats, basés sur la coercivité d'une forme quadratique associée au développement de l'état à l'ordre deux, sont étendus dans le contexte de la contrôlabilité simultanée. On montre alors, en utilisant la méthode du retour de J.-M.~Coron, des résultats de contrôle exact local simultané pour deux ou trois équations, à phase globale et/ou à retard global près. La trajectoire de référence utilisée est construite via des résultats de contrôle partiel. En utilisant un argument de perturbation, on étend cette idée pour montrer la contrôlabilité exacte globale d'un nombre quelconque d'équations sans hypothèse sur le potentiel. Dans la deuxième partie, on prend en compte dans le modèle un terme supplémentaire quadratique en le contrôle. Ce terme, dit de polarisabilité, généralement négligé, présente un intérêt physique dans la modélisation, mais aussi mathématique dans le cas où le terme bilinéaire est insuffisant pour conclure à la contrôlabilité. En dimension quelconque, on construit des contrôles explicites réalisant la contrôlabilité approchée de l'état fondamental. En adaptant conjointement l'argument de perturbation précédent et certains résultats du contrôle bilinéaire, on prouve la contrôlabilité globale exacte de l'équation de Schrödinger avec polarisabilité 1D. La dernière partie de ce mémoire est consacrée à l'étude de la continuation unique pour un opérateur de type Grushin sur un rectangle 2D. Cet opérateur présente une singularité et une dégénérescence sur un segment séparant le domaine en deux composantes. On donne une condition nécessaire et suffisante sur le coefficient du potentiel singulier pour obtenir la continuation unique.
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Rolland, Guillaume. „Global existence and fast-reaction limit in reaction-diffusion systems with cross effects“. Phd thesis, École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00785757.
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This thesis is devoted to the study of parabolic systems of partial differential equations arising in mass action kinetics chemistry, population dynamics and electromigration theory. We are interested in the existence of global solutions, uniqueness of weak solutions, and in the fast-reaction limit in a reaction-diffusion system. In the first chapter, we study two cross-diffusion systems. We are first interested in a population dynamics model, where cross effects in the interactions between the different species are modeled by non-local operators. We prove the well-posedness of the corresponding system for any space dimension. We are then interested in a cross-diffusion system which arises as the fast-reaction limit system in a classical system for the chemical reaction C1+C2=C3. We prove the convergence when k goes to infinity of the solution of the system with finite reaction speed k to a global solution of the limit system. The second chapter contains new global existence results for some reaction-diffusion systems. For networks of elementary chemical reactions of the type Ci+Cj=Ck and under Mass Action Kinetics assumption, we prove the existence and uniqueness of global strong solutions, for space dimensions N<6 in the semi-linear case, and N<4 in the quasi-linear case. We also prove the existence of global weak solutions for a class of parabolic quasi-linear systems with at most quadratic non-linearities and with initial data that are only assumed to be nonnegative and integrable. In the last chapter, we generalize a global well-posedness result for reaction-diffusion systems whose nonlinearities have a "triangular" structure, for which we now take into account advection terms and time and space dependent diffusion coefficients. The latter result is then used in a Leray-Schauder fixed point argument to prove the existence of global solutions in a diffusion-electromigration system.
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Vilmart, Gilles. „Étude d'intégrateurs géométriques pour des équations différentielles“. Phd thesis, Université Rennes 1, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00348112.
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Le sujet de la thèse est l'étude et la construction de méthodes numériques géométriques pour les équations différentielles, qui préservent des propriétés géométriques du flot exact, notamment la symétrie, la symplecticité des systèmes hamiltoniens, la conservation d'intégrales premières, la structure de Poisson, etc.Dans la première partie, on introduit une nouvelle approche de construction d'intégrateurs numériques géométriques d'ordre élevé en s'inspirant de la théorie des équations différentielles modifiées. Le cas des méthodes développables en B-séries est spécifiquement analysé et on introduit une nouvelle loi de composition sur les B-séries. L'efficacité de cette approche est illustrée par la construction d'un nouvel intégrateur géométrique d'ordre élevé pour les équations du mouvement d'un corps rigide. On obtient également une méthode numérique précise pour le calcul de points conjugués pour les géodésiques du corps rigide.
Dans la seconde partie, on étudie dans quelle mesure les excellentes performances des méthodes symplectiques, pour l'intégration à long terme en astronomie et en dynamique moléculaire, persistent pour les problèmes de contrôle optimal. On discute également l'extension de la théorie des équations modifiées aux problèmes de contrôle optimal.
Dans le même esprit que les équations modifiées, on considère dans la dernière partie des méthodes de pas fractionnaire (splitting) pour les systèmes hamiltoniens perturbés, utilisant des potentiels modifiés. On termine par la construction de méthodes de splitting d'ordre élevé avec temps complexes pour les équations aux dérivées partielles paraboliques, notamment les problèmes de réaction-diffusion en chimie.
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Tournier, Pierre-Henri. „Absorption de l'eau et des nutriments par les racines des plantes : modélisation, analyse et simulation“. Thesis, Paris 6, 2015. http://www.theses.fr/2015PA066030/document.
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Dans le contexte du développement d'une agriculture durable visant à préserver les ressources naturelles et les écosystèmes, il s'avère nécessaire d'approfondir notre compréhension des processus souterrains et des interactions entre le sol et les racines des plantes.Dans cette thèse, on utilise des outils mathématiques et numériques pour développer des modèles mécanistiques explicites du mouvement de l'eau et des nutriments dans le sol et de l'absorption racinaire, gouvernés par des équations aux dérivées partielles non linéaires. Un accent est mis sur la prise en compte explicite de la géométrie du système racinaire et des processus à petite échelle survenant dans la rhizosphère, qui jouent un rôle majeur dans l'absorption racinaire.La première étude est dédiée à l'analyse mathématique d'un modèle d'absorption du phosphore (P) par les racines des plantes. L'évolution de la concentration de P dans la solution du sol est gouvernée par une équation de convection-diffusion avec une condition aux limites non linéaire à la surface de la racine, que l'on considère ici comme un bord du domaine du sol. On formule ensuite un problème d'optimisation de forme visant à trouver les formes racinaires qui maximisent l'absorption de P.La seconde partie de cette thèse montre comment on peut tirer avantage des récents progrès du calcul scientifique dans le domaine de l'adaptation de maillage non structuré et du calcul parallèle afin de développer des modèles numériques du mouvement de l'eau et des solutés et de l'absorption racinaire à l'échelle de la plante, tout en prenant en compte les phénomènes locaux survenant à l'échelle de la racine uniqueIn the context of the development of sustainable agriculture aiming at preserving natural resources and ecosystems, it is necessary to improve our understanding of underground processes and interactions between soil and plant roots.In this thesis, we use mathematical and numerical tools to develop explicit mechanistic models of soil water and solute movement accounting for root water and nutrient uptake and governed by nonlinear partial differential equations. An emphasis is put on resolving the geometry of the root system as well as small scale processes occurring in the rhizosphere, which play a major role in plant root uptake.The first study is dedicated to the mathematical analysis of a model of phosphorus (P) uptake by plant roots. The evolution of the concentration of P in the soil solution is governed by a convection-diffusion equation with a nonlinear boundary condition at the root surface, which is included as a boundary of the soil domain. A shape optimization problem is formulated that aims at finding root shapes maximizing P uptake.The second part of this thesis shows how we can take advantage of the recent advances of scientific computing in the field of unstructured mesh adaptation and parallel computing to develop numerical models of soil water and solute movement with root water and nutrient uptake at the plant scale while taking into account local processes at the single root scale
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Taakili, Abdelaziz. „Méthode de Galerkin discontinue pour un modèle stratigraphique“. Phd thesis, Université de Pau et des Pays de l'Adour, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00324012.
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Dans cette thèse, nous nous intéressons à un problème mathématique issu de la modélisation de taux d'érosion maximale dans la stratigraphie géologique. Une contrainte globale sur $\partial_t u$, la dérivée par rapport au temps de la solution, est la principale caractéristique de ce modèle. Ce qui nous amène à considérer une équation non linéaire pseudo-parabolique avec un coefficient de diffusion qui est une fonction non-linéaire de $\partial_t u$. En outre, le problème dégénère de telle sorte de tenir compte implicitement de la contrainte. Nous présentons un résultat de l'existence d'une solution au problème continu. Ensuite, une méthode DgFem (discontinuous Galerkin finite element method) pour son approximation numérique est développée. Notre objectif est d'utiliser les propriétéess d'approximation constante par morceaux pour tenir compte implicitement de la contrainte.
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Sauvy, Paul. „Étude de quelques problèmes elliptiques et paraboliques quasi-linéaires avec singularités“. Thesis, Pau, 2012. http://www.theses.fr/2012PAUU3020/document.
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Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l’étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l’intervention d’une non-linéarité qui explose au bord du domaine où ’équation est posée. La présence d’une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques de l’analyse non-linéaire pour démontrer l’existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l’étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l’opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d’absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d’existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d’un système d’équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d’existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d’unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l’étude d’un problème d’absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d’existence de solutions. Grâce à des inégalités d’énergie, nous démontrons également l’extinction en temps fini de ces solutionsThis thesis deals with the mathematical field of nonlinear partial differential equations analysis. More precisely, we focus on quasilinear and singular problems. By singularity, we mean that the problems that we have considered involve a nonlinearity in the equation which blows-up near the boundary. This singular pattern gives rise to a lack of regularity and compactness that prevent the straightforward applications of classical methods in nonlinear analysis used for proving existence of solutions and for establishing the regularity properties and the asymptotic behavior of the solutions. To overcome this difficulty, we establish estimations on the precise behavior of the solutions near the boundary combining several techniques : monotonicity method (related to the maximum principle), variational method, convexity arguments, fixed point methods and semi-discretization in time. Throughout the study of three problems involving the p-Laplacian operator, we show how to apply this different methods. The three chapters of this dissertation the describes results we get :– In Chapter I, we study a singular elliptic absorption problem. By using sub- and super-solutions and variational methods, we prove the existence of the solutions. In the case of a strong singularity, by using local comparison techniques, we also prove that the compact support of the solution. In Chapter II, we study a singular elliptic system. By using fixed point and monotonicity arguments, we establish two general theorems on the existence of solution. In a second time, we more precisely analyse the Gierer-Meinhardt systems which model some biological phenomena. We prove some results about the uniqueness and the precise behavior of the solutions. In Chapter III, we study a singular parabolic absorption problem. By using a semi-discretization in time method, we establish the existence of a solution. Moreover, by using differential energy inequalities, we prove that the solution vanishes in finite time. This phenomenon is called "quenching"
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Naceur, Nahed. „Une méthode de décomposition de domaine pour la résolution numérique d’une équation non-linéaire“. Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2020. http://www.theses.fr/2020LORR0149.
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Cette thèse porte sur l’analyse théorique et la résolution numérique d’un type d’équations semi-linéaires elliptiques et paraboliques. Ces équations sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes dans la dynamique de la population et les réactions chimiques. On a commencé cette thèse par l’étude théorique d’une équation elliptique semi-linéaire dont on a démontré l’existence d’une solution faible non négative sous des hypothèses plus générale que celles considérées dans des précédents travaux. Puis on a présenté une nouvelle méthode basée sur la méthode de Newton et la méthode de décomposition de domaine sans et avec recouvrement. Ensuite, on a rappelé quelques aspects théoriques concernant l’existence, l’unicité ainsi que la régularité de la solution d’une équation parabolique appelée équation de type Fujita. On a rappelé aussi des résultats sur l’existence de la solution globale et sur le temps maximal d’existence dans le cas d’explosion. Afin de calculer une approximation numérique de la solution de ce type d’équation, on a introduit une discrétisation en éléments finis dans la variable en espace et un schéma de Crank-Nicholson pour la discrétisation en temps. Pour résoudre le problème non linéaire discret on a implémenté une méthode de Newton couplée avec une méthode de décomposition de domaine. On a démontré que la méthode est bien posée. On a également traité un autre type d’équation parabolique dit équation de Chipot-Weissler. En premier, on a rappelé des résultats théoriques concernant cette équation. Puis, en se basant sur les méthodes numériques étudiées précédemment on a calculé une approximation numérique de la solution de cette équation. Dans la dernière section de chaque chapitre de cette thèse on a présenté des simulations numériques illustrant les performances des algorithmes étudiés et la cohérence des résultats avec la théorieThe subject of this thesis is to present a theoretical analysis and a numerical resolution of a type of quasi-linear elliptic and parabolic equations. These equations present an important role to model phenomena in population dynamics and chemical reactions. We started this thesis with the theoretical study of a quasi-linear elliptical equation for which we demonstrated the existence of a weak non-negative solution under more general hypotheses than those considered in previous works. Then we inspired a new method based on Newton’s method and the domain decomposition method without and with overlapping. Then, we recalled some theoretical aspects concerning the existence, the uniqueness and the regularity of the solution of a parabolic equation called Fujita equation. We also recalled results about the existence of the global solution and the maximum time of existence in the case of blow-up. In order to calculate a numerical approximation of the solution of this type of equation, we introduced a finite element discretization in the space variable and a Crank-Nicholson scheme for the time discretization. To solve the discrete nonlinear problem we implemented a Newton’s method coupled with a domain decomposition method. We have shown that the method is well posed. Another type of parabolic equation known as the Chipot-Weissler equation has also been treated. First, we recalled theoretical results concerning this equation. Then, based on the numerical methods studied previously, a numerical approximation of the solution of this equation was calculated. In the last section of each chapter of this thesis we presented numerical simulations illustrating the performance of the algorithms studied and its compatibility with the theory
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Giletti, Thomas. „Phénomènes de propagation dans des milieux diffusifs excitables : vitesses d'expansion et systèmes avec pertes“. Thesis, Aix-Marseille 3, 2011. http://www.theses.fr/2011AIX30043.
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Les systèmes de réaction-diffusion interviennent pour décrire les transitions de phase dans de nombreux champs d'application. Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de propagation dans des milieux diffusifs, non bornés et hétérogènes, et s'inscrit ainsi dans la lignée d'une recherche particulièrement active. La première partie concerne l'équation simple: on s'y intéressera à la structure interne des fronts, mais on exhibera aussi de nouvelles dynamiques où la vitesse d'un profil de propagation n'est pas unique. Dans la seconde partie, on s'intéresse aux systèmes à deux équations, pour lesquels l'absence de principe du maximum pose de nombreuses difficultés. Ces travaux, en portant sur un vaste éventail de situations, offrent une meilleure compréhension des phénomènes de propagation, et mettent en avant de nouvelles propriétés des problèmes de réaction-diffusion, aidant ainsi à améliorer l'analyse théorique comme alternative à l'approche empiriqueReaction-diffusion systems arise in the description of phase transitions in various fields of natural sciences. This thesis is concerned with the mathematical analysis of propagation models in some diffusive, unbounded and heterogeneous media, which comes within the scope of an active research subject. The first part deals with the single equation, by looking at the inside structure of fronts, or by exhibiting new dynamics where the profile of propagation may not have a unique speed. In a second part, we take interest in some systems of two equations, where the lack of maximum principles raises many theoretical issues. Those works aim to provide a better understanding of the underlying processes of propagation phenomena. They highlight new features for reaction-diffusion problems, some of them not known before, and hence help to improve the theoretical approach as an alternative to empirical analysis