Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Dualité discrète volumes finis“

Le but de cette thèse est de développer une méthode de volumes finis qui s'applique à une classe de maillages beaucoup plus grande que celle des méthodes classiques, limitées par des conditions d'orthogonalité très restrictives. On construit des opérateurs différentiels discrets agissant sur les trois maillages décalés nécessaires à la construction de la méthode. Ces opérateurs vérifient des propriétés discrètes analogues à celles des opérateurs continus. La méthode est tout d'abord appliquée au problème divergence-rotationnel qui peut etre considéré comme une brique du problème de Stokes. Ensuite, le problème de Stokes est discrétisé avec diverses conditions aux limites. Par ailleurs, il est bien connu que lorsque le domaine est polygonal et non-convexe, l'ordre de convergence des méthodes numériques se dégrade. Par conséquent, nous avons étudié sous quelles conditions un raffinement local approprié permet de restaurer l'ordre de convergence optimal. Enfin, nous avons discrétisé le problème non-linéaire de Navier-Stokes, en utilisant la formulation rotationnelle du terme de convection, associée à la pression de Bernoulli. Par un algorithme itératif, nous sommes amenés à résoudre un problème de point-selle à chaque itération, pour lequel nous testons quelques préconditionneurs issus des éléments finis, que l'on adapte (quand c'est possible) à la méthode. Chaque problème est illustré par des cas tests numériques sur des maillages "arbitraires", tels que des maillages fortement non-conformes.

Le but de cette thèse est de développer une méthode de volumes finis qui s'applique à une classe de maillages beaucoup plus grande que celle des méthodes classiques, limitées par des conditions d'orthogonalité très restrictives. On construit des opérateurs différentiels discrets agissant sur les trois maillages décalés, nécessaires à la construction de la méthode. Ces opérateurs vérifient des propriétés discrètes analogues à celles des opérateurs continus. La méthode est tout d'abord appliquées au problème Divergence-Rotationnel qui peut être considéré comme une brique du problème de Stokes. Ensuite, le problème de Stokes est traité avec diverses conditions aux limites. Par ailleurs, il est bien connu que lorsque le domaine est polygonal et non-convexe, l'ordre de convergence des méthodes numériques se dégrade. Par conséquent, nous avons étudié dans quelle mesure un raffinement local approprié restaure l'ordre de convergence optimal pour le problème de Laplace. Enfin, nous avons discrétisé le problème non-linéaire de Navier-Stokes, en utilisant la formulation rotationnelle du terme de convection, associé à la pression de Bernoulli. Par un algorithme itératif, nous sommes amené à résoudre un problème de point--selle à chaque itération, pour lequel nous testons quelques préconditionneurs issus des éléments finis, que l'on adapte à notre méthode. Chaque problème est illustré par des cas tests numériques sur des maillages arbitraires, tels que des maillages fortement non-conformes
We aim to develop a finite volume method which applies to a greater class of meshes than other finite volume methods, restricted by orthogonality constraints. We build discrete differential operators over the three staggered tesselations needed for the construction of the method. These operators verify some analogous properties to those of the continuous operators. At first, the method is applied to the Div-Curl problem, which can be viewed as a building block of the Stokes problem. Then, the Stokes problem is dealt with various boundary conditions. It is well known that when the computational domain is polygonal and non-convex, the order of convergence of numerical methods is deteriored. Consequently, we have studied how an appropriate local refinement is able to restore the optimal order of convergence for the laplacian problem. At last, we have discretized the non-linear Navier-Stokes problem, using the rotational formulation of the convection term, associated to the Bernoulli pressure. With an iterative algorithm, we are led to solve a saddle--point problem at each iteration. We give a particular interest to this linear problem by testing some preconditioners issued from finite elements, which we adapt to our method. Each problem is illustrated by numerical results on arbitrary meshes, such as strongly non-conforming meshes

Ce document synthétise un ensemble de travaux portant sur le développement et l'analyse de méthodes de volumes finis utilisées pour l'approximation numérique d'équations aux dérivées partielles issues de la physique. Le mémoire aborde dans sa première partie des schémas colocalisés de type Godunov d'une part pour les équations de l'électromagnétisme, et d'autre part pour l'équation des ondes acoustiques, avec une étude portant sur la perte de précision de ce schéma à bas nombre de Mach. La deuxième partie est consacrée à la construction d'opérateurs différentiels discrets sur des maillages bidimensionnels relativement quelconques, en particulier très déformés ou encore non-conformes, et à leur utilisation pour la discrétisation d'équations aux dérivées partielles modélisant des phénomènes de diffusion, d'électrostatique et de magnétostatique et d'électromagnétisme par des schémas de type volumes finis en dualité discrète (DDFV) sur maillages décalés. La troisième partie aborde ensuite l'analyse numérique et les estimations d'erreur a priori et a posteriori associées à la discrétisation par le schéma DDFV de l'équation de Laplace. La quatrième et dernière partie est consacrée à la question de l'ordre de convergence en norme $L^2$ de la solution numérique du problème de Laplace, issue d'une discrétisation volumes finis en dimension un et en dimension deux sur des maillages présentant des propriétés d'orthogonalité. L'étude met en évidence des conditions nécessaires et suffisantes relatives à la géométrie des maillages et à la régularité des données du problème afin d'obtenir la convergence à l'ordre deux de la méthode.

Les questions neuroscientifiques concernant les dendrites incluent la compréhension de leur plasticité structurale en réponse à l'apprentissage et la manière dont elles intègrent les signaux. Les chercheurs visent à élucider ces aspects pour améliorer notre compréhension de la fonction neuronale et de ses complexités. Cette thèse vise à offrir des perspectives numériques concernant la dynamique du voltage et des ions dans les dendrites. Notre objectif est de modéliser l'excitation neuronale dans les dendrites. Nous abordons la dynamique ionique suite à l'afflux de signaux nerveux. Pour les simuler précisément, nous résolvons le système d'équations Poisson-Nernst-Planck (PNP). Le système PNP est reconnu comme le modèle standard pour caractériser le phénomène d'électrodiffusion des ions dans les électrolytes, y compris les structures dendritiques. Ce système non linéaire présente des défis en modélisation et en calcul en raison de la présence de couches limites rigides (BL). Nous proposons des schémas numériques basés sur la méthode des volumes finis Discrete Duality Finite Volumes (DDFV) pour résoudre le système PNP. Elle permet un raffinement local du maillage au niveau de la BL, en utilisant des maillages généraux. Cette approche facilite la résolution du système sur un domaine 2D représentant la géométrie des dendrites. Nous utilisons des schémas numériques préservant la positivité des concentrations ioniques. Chapitres 1 et 2 présentent le système PNP et la méthode DDFV ainsi que ses opérateurs discrets. Le chapitre 2 présente un couplage "linéaire" des équations et explore son schéma numérique associé. Ce couplage a des problèmes de convergence, où nous illustrons ses limites à travers des résultats numériques. Le chapitre 3 introduit un couplage "non linéaire", permettant une résolution numérique précise du système PNP. Les deux couplages sont effectués avec la méthode DDFV. Dans le chapitre 3, nous illustrons la convergence d'ordre 2 en espace. Nous simulons un cas test impliquant la BL. Nous appliquons le schéma DDFV à la géométrie des épines dendritiques en 2D et discutons nos simulations en les comparant avec des simulations en 1D de la littérature. Nous introduisons également deux configurations originales de dendrites, fournissant des informations sur la manière dont les épines dendritiques s'influencent mutuellement, révélant l'étendue de leur influence mutuelle. Nos simulations montrent la distance de propagation de l'influx ionique lors des connexions synaptiques. Dans le chapitre 4, nous résolvons le système PNP sur un système multi-domaines 2D composé d'une membrane, d'un milieu interne et d'un milieu externe. Cette approche permet la modélisation de la dynamique du voltage de manière plus réaliste, et aide également à vérifier la cohérence des résultats du chapitre 3. Nous utilisons le logiciel FreeFem++ pour résoudre le système PNP dans ce contexte. Nous présentons des simulations correspondant aux résultats du chapitre 3, démontrant la sommation linéaire dans une bifurcation dendritique. Nous étudions la sommation des signaux en ajoutant des entrées à la membrane d'une branche dendritique. Nous identifions un seuil d'excitabilité où la dynamique du voltage est significativement influencée par le nombre d'entrées. Nous offrons également des illustrations numériques de la BL à l'intérieur du milieu intracellulaire, observant de petites fluctuations. Ces résultats sont préliminaires, visant à fournir des informations pour comprendre la dynamique dendritique. Le chapitre 5 présente un travail collaboratif mené lors du Cemracs 2022. Nous nous concentrons sur un schéma de volumes finis composite où nous visons à dériver les équations d'Euler avec des termes sources sur des maillages non structurés
Neuroscientific questions about dendrites include understanding their structural plasticityin response to learning and how they integrate signals. Researchers aim to unravel these aspects to enhance our understanding of neural function and its complexities. This thesis aims at offering numerical insights concerning voltage and ionic dynamics in dendrites. Our primary focus is on modeling neuronal excitation, particularly in dendritic small compartments. We address ionic dynamics following the influx of nerve signals from synapses, including dendritic spines. To accurately represent their small scale, we solve the well-known Poisson-Nernst-Planck (PNP) system of equations, within this real application. The PNP system is widely recognized as the standard model for characterizing the electrodiffusion phenomenon of ions in electrolytes, including dendritic structures. This non-linear system presents challenges in both modeling and computation due to the presence of stiff boundary layers (BL). We begin by proposing numerical schemes based on the Discrete Duality Finite Volumes method (DDFV) to solve the PNP system. This method enables local mesh refinement at the BL, using general meshes. This approach facilitates solving the system on a 2D domain that represents the geometry of dendritic arborization. Additionally, we employ numerical schemes that preserve the positivity of ionic concentrations. Chapters 1 and 2 present the PNP system and the DDFV method along with its discrete operators. Chapter 2 presents a "linear" coupling of equations and investigate its associated numerical scheme. This coupling poses convergence challenges, where we demonstrate its limitations through numerical results. Chapter 3 introduces a "nonlinear" coupling, which enables accurate numerical resolution of the PNP system. Both of couplings are performed using DDFV method. However, in Chapter 3, we demonstrate the accuracy of the DDFV scheme, achieving second-order accuracy in space. Furthermore, we simulate a test case involving the BL. Finally, we apply the DDFV scheme to the geometry of dendritic spines and discuss our numerical simulations by comparing them with 1D existing simulations in the literature. Our approach considers the complexities of 2D dendritic structures. We also introduce two original configurations of dendrites, providing insights into how dendritic spines influence each other, revealing the extent of their mutual influence. Our simulations show the propagation distance of ionic influx during synaptic connections. In Chapter 4, we solve the PNP system over a 2D multi-domain consisting of a membrane, an internal and external medium. This approach allows the modeling of voltage dynamics in a more realistic way, and further helps checking consistency of the results in Chapter 3. To achieve this, we employ the FreeFem++ software to solve the PNP system within this 2D context. We present simulations that correspond to the results obtained in Chapter 3, demonstrating linear summation in a dendrite bifurcation. Furthermore, we investigate signal summation by adding inputs to the membrane of a dendritic branch. We identify an excitability threshold where the voltage dynamics are significantly influenced by the number of inputs. Finally, we also offer numerical illustrations of the BL within the intracellular medium, observing small fluctuations. These results are preliminary, aiming to provide insights into understanding dendritic dynamics. Chapter 5 presents collaborative work conducted during the Cemracs 2022. We focus on a composite finite volume scheme where we aim to derive the Euler equations with source terms on unstructured meshes

La première partie de ce travail concerne les équations elliptiques non coercitives. Nous prouvons, tout d'abord dans un cadre linéaire, l'existence et l'unicité d'une solution faible dans l'espace d'énergie habituel $H^1(\Omega)$ pour une classe d'équations de convection-diffusion pour lesquelles le terme de convection provoque la perte de coercitivité. Nous prouvons des résultats de régularité höldérienne sur les solutions de ces équations qui permettent ensuite de résoudre ces mêmes équations avec un second membre mesure. Nous étendons aussi les résultats d'existence et d'unicité d'une solution dans des cas variationnels non-linéaires non-coercitifs et nous étudions, pour une équation elliptique linéaire non-coercitive, la convergence d'un schéma volumes finis. La deuxième partie concerne l'unicité des solutions à des problèmes elliptiques non-linéaires avec seconds membres mesure. La troisième partie aborde la question de la condition d'hyperbolicité des systèmes du premier ordre à coefficients constants. Nous prouvons une CNS pour qu'un tel système ait une solution pour toute condition initiale de type Riemann (condition initiale naturelle dans l'étude des discrétisations numériques de ces systèmes). A l'aide d'un système particulier, nous étudions ensuite la différence entre notre CNS et les diverses conditions d'hyperbolicité de la littérature, puis nous prouvons que la solution d'un système hyperbolique n'est pas toujours stable par rapport au flux. La quatrième partie rassemble quelques autres travaux. Le premier concerne la densité dans $W^{1,p}(\Omega)$ des fonctions régulières satisfaisant une condition de Neumann. Le second est l'étude d'une discrétisation EF mixtes---VF pour un écoulement diphasique à travers un milieu poreux. Le troisième et dernier est l'étude des mesures sur $]0,T[\times \Omega$ ne chargeant pas le boréliens de capacité parabolique nulle et l'application de cette étude à la résolution d'une équation parabolique non-linéaire avec second membre mesure.

La simulation numérique est largement utilisée pour évaluer les performances aérodynamiques des aéronefs ainsi qu'en optimisation de forme. Ainsi l'objectif de ces simulations est souvent le calcul de fonctions aérodynamiques. L'objet de cette thèse est d'étudier des méthodes d'adaptation de maillages basées sur la dérivée totale de ces fonctions par rapport aux coordonnées du maillage (notée dJ/dX). Celle-ci pouvant être calculée par la méthode adjointe discrète. La première partie de cette étude concerne l'application de méthodes d'adaptation de maillages appliquées à des écoulements de fluides parfaits. Le senseur qui détecte les zones de maillage à raffiner s'appuie sur la norme de cette dérivée pour adapter des maillages pour le calcul d'une fonction J. La seconde partie du travail est la construction et l'étude de critères plus fiables basés sur dJ/dX pour d'une part adapter des maillages et d'autre part estimer si un maillage est bien adapté ou non pour le calcul de la fonction J. De plus une méthode de remaillage plus efficace basée sur une EDP elliptique est aussi présentée. Cette nouvelle méthode est appliquée pour des écoulements bidimensionnels de fluides parfaits ainsi que pour un écoulement décrit par les équations RANS. La dernière partie de l'étude est consacrée à l'application de la méthode proposée à des cas tridimensionnels d'écoulement RANS sur des géométries d'intérêt industriel.

L’adaptation de maillage est un outil puissant pour l’obtention de simulations aérodynamiques précises à coût limité. Dans le cas particulier des simulations visant au calcul de fonctions aérodynamiques (efforts, moments, rendements...), plusieurs méthodes dites de raffinement ciblé (ou, en anglais, « goal-oriented ») basées sur le vecteur adjoint de la fonction d’intérêt ont été proposées. L’objectif de la thèse est l’extension d’une méthode de ce type basée sur la dérivée totale dJ/dX de la grandeur aérodynamique d’intérêt, J, par rapport aux coordonnées du maillage volumique, X. Les trois méthodes usuelles de calcul de gradient discret – la méthode de différentiation directe, la méthode adjointe-"paramètres" et la méthode adjointe-"maillage" évaluant dJ/dX – ont tout d’abord été étudiées et codées dans le logiciel elsA de l’ONERA pour des maillages non-structurés, pour des écoulements compressibles de fluide parfait et des écoulements laminaires. La seconde étape du travail a consisté à créer un senseur local θ basé sur dJ/dX qui identifie les zones du maillage volumique où la position des nœuds a une forte incidence sur l’évaluation de la fonction J. Ce senseur sert d’indicateur pour l’adaptation de différents maillages, pour différents régimes d’écoulement (subsonique, transsonique, supersonique), pour des configurations d’aérodynamique interne (aube et tuyère) et externe (profil d’aile). La méthode proposée est comparée à une méthode de raffinement ciblée très populaire (Venditti et Darmofal, 2001) et à une méthode de raffinement basée sur les caractéristiques de l’écoulement (ou, en anglais, « feature-based ») ; elle conduit à des résultats très satisfaisants
Mesh adaptation is a powerful tool to obtain accurate aerodynamic simulations with limited cost. In the specific case of computation of aerodynamic functions (forces, moments, efficiency ...), goal-oriented methods based on the adjoint vector have been proposed. The aim of the thesis is the extension of a method of this type based on the total derivative dJ/dX of the aerodynamic output of interest, J, with respect to the volume mesh coordinates, X. The three common methods for calculating discrete gradient – the direct differentiation method, the parameter-adjoint method and mesh-adjoint method evaluating dJ/dX – have been studied first and coded in the elsA ONERA software for unstructured grids, for compressible inviscid and laminar flows. The second part of this work was has been to define a local sensor θ based on dJ/dX in order to identify zones where the volume mesh nodes position has a strong impact on the evaluation of the function J. This sensor is the selected indicator for different mesh adaptations for different flow regimes (subsonic, transonic, supersonic) for internal (blade and nozzle) and external (wing profile) aerodynamic configurations. The proposed method is compared to a well-known goal-oriented method (Darmofal and Venditti, 2001) and to a feature-based method ; it leads to very consistent results. very consistent results