Dissertationen zum Thema „Couplage des équations de Maxwell et de Boltzmann“

Dans ce travail, nous nous intéressons à des problèmes issus de la Mécanique des Fluides et plus particulièrement au cas des aérosols (ou sprays, c'est-à-dire un ensemble de particules en suspension dans un fluide environnant). Les phénomènes physiques mis en jeu sont modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). La phase continue (fluide environnant) est décrite par des équations issues de la mécanique des milieux continus de type Navier-Stokes ou Euler. La phase dispersée est décrite par une équation cinétique de type Boltzmann.

Le premier résultat que nous présentons est consacré à l'étude mathématique d'un couplage entre une équation cinétique de type Vlasov et les équations d'Euler isentropiques. Ces équations modélisent un spray fin. Nous démontrons l'existence en temps petit d'une solution régulière pour le couplage Vlasov-Euler isentropique.

Ensuite, nous présentons les équations précises relatives à la modélisation des collisions, coalescences et fragmentations dans un spray.

Nous décrivons par la suite la simulation numérique du couplage fluide-cinétique dans un code industriel (Commissariat à l'Énergie Atomique), en particulier l'ajout des phénomènes de collisions.

Un deuxième modèle de fragmentation est également présenté. Ce modèle est plus pertinent dans les cas où les particules de la phase dispersée ont un grand nombre de Weber.

Enfin, nous présentons un résultat concernant une estimation explicite de trou spectral pour l'opérateur de Boltzmann avec potentiels durs linéarisé, et pour l'opérateur de Landau avec potentiels durs linéarisé.

Dans cette thèse, on considère un faisceau long de particules dont le transport est modélisé par les équations de Vlasov-Maxwell stationnaires. En supposant que ce faisceau admet une direction privilégiée de propagation, on exhibe un petit paramètre à notre problème. En appliquant un adimensionnement et une analyse asymptotique, on obtient alors le modèle paraxial dans le cas relativiste. Ce modèle est ensuite résolu numériquement par un schéma saute-mouton et est validé sur des solutions analytiques du modèle paraxial. Ce modèle conduit à des simulations numériques très précises et très peu coûteuses tant en place mémoire qu'en temps de calcul. En considérant un canon à électrons dans sa globalité, on ne peut appliquer le modèle paraxial que dans la partie tube. On couple donc le modèle Vlasov-Maxwell complet modélisant l'injecteur de particules et le modèle paraxial en utilisant une décomposition de domaines avec recouvrement. Les résultats numériques sont satisfaisants et beaucoup moins coûteux que si l'on résolvait le modèle complet dans tout le dispositif. Enfin, on a généralisé le modèle paraxial dans le cas d'un faisceau admettant un axe optique courbe. Pour cela, on est conduit à introduire un adimensionnement différent que celui utilisé pour le faisceau droit

Cette thèse traite le couplage des équations du transport et des équations de l'électromagnétisme dans un photocommutateur visant la génération des signaux TeraHertz. Dans un premier temps, les équations relatives au transport des porteurs sont résolues avec un modèle " dérive diffusion ". Ensuite une résolution plus complexe basée une approche Monte Carlo est présentée. Le photocommutateur est situé dans un guide coplanaire dont les dimensions sont proches de celles des structures existantes. Les contraintes numériques sont liées à la résolution dans le domaine temporel du système d'équations couplées, au maillage spatial, à la taille du domaine de simulation nécessaire, aux conditions aux limites et aux non- linéarités supplémentaires introduites par la variation temporelle et spatiale des différents coefficients. Le système 3D est entièrement résolu par la méthode FDTD (Finite Difference Time Domain) à pas variable, ce qui nous permet d'avoir un maillage suffisamment fin au sein du dispositif. Nous avons étudié la manière dont est générée la réponse du photocommutateur à une excitation optique femto seconde. Nous avons d'abord mis en évidence l'origine électromagnétique de cette réponse, avant d'effectuer une étude paramétrique permettant l'identification des paramètres clefs qui la contrôlent. La confrontation des résultats de modélisation avec les résultats de mesure existants a montré un bon accord. Les résultats préliminaires obtenus avec la méthode de Monte Carlo ont permis de mettre en évidence des effets inertiels entre les variations du champ électromagnétique et la réponse des porteurs
This PhD thesis presents the coupling between the Boltzmann transport equations and the electromagnetic field equations in a photoconductive switch generating THz signals. First, the transport equations are solved in the drift diffusion approximation. Then, a more complex resolution is made with a Monte Carlo based model. The photoconductive switch is located is coplanar wave guide whose dimensions are comparables with the existents structures. The numerical constraints come from the time dependant resolution, the necessarily space mesh, the simulation domain dimensions, boundary conditions and non linearity introduced by the time and space coefficients variation. The 3D equation system is solved with the variable space step FDTD (Finite Difference Time Domain) method, which allows a sufficiently refined mesh inside the switch. We have studied the photoconductive switch response when a femto second optic excitation is applied. We have shown the electromagnetic field implication in the device response origin. We also made a parametric analysis identifying the main parameters controlling the electromagnetic THz pulse. There is a good agreement between the modelling results and the experimental data. The Monte Carlo method allows taking into account the inertial effects between the electromagnetic field variation and the carrier response. This method is still in developing phase, but we have obtained good preliminary results

Dans ce travail, la mise en uvre optimale du parallelisme de donnees pour les problemes d'aerodynamique et du parallelisme de taches pour les problemes multiphysiques (particulierement en magnetohydrodynamique) est etudiee. La modelisation de ces phenomenes ainsi que les schemas numeriques de resolution employes sont detailles. Les performances et les limitations des calculateurs multiprocesseurs sont evaluees et les methodes de parallelisation (granularite fine) dans le cadre de la mecanique des fluides numeriques sont presentees. La parallelisation d'un code industriel de resolution des equations de navier-stokes compressibles tridimensionnelles demontre l'efficacite du parallelisme de donnees sur une large gamme de multiprocesseurs a memoire partagee et distribuee. Le parallelisme de taches (granularite forte) est ensuite mis en evidence dans un probleme d'arcjet electrothermique intervenant dans la propulsion electrique des satellites. Ce parallelisme est exploite grace a un coupleur. La modelisation choisie repose sur les equations de navier-stokes bidimensionnelles axisymetriques avec termes sources couplees avec les equations de maxwell stationnaires. L'implantation informatique du couplage est expliquee. Les resultats numeriques sont compares a ceux d'autres auteurs et des perspectives sont proposees en vue d'une amelioration des resultats physiques de ce couplage

Pour les hautes fréquences, nous résolvons les équations de Maxwell en régime harmonique en utilisant la formulation intégrale de Després. Darrigrand a initié une méthode de résolution, notée FMD, couplant la méthode de discrétisation microlocale de Abboud, Nédélec et Zhou, et la méthode multipôle FMM. Nous avons intégré des éléments finis d'ordre élevé à la FMD afin d'améliorer sa précision et sa convergence en maillage. Nous avons proposé une optimisation de la FMD permettant d'obtenir une méthode dont la complexité est quasi-linéaire. Des tests numériques ont montré l'efficacité de la FMD optimisée d'ordre élevé.

Cette thèse présente l'étude d'une méthode numérique efficace pour résoudre les équations de Maxwell couplées à un modèle de plasma fluide. Le travail est organisé en cinq chapitres dans lesquels nous présentons la formulation du modèle physique, l'étude mathématique pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution, l'approximation numérique du problème, des résultats de validation et enfin, dans un cas simplifié, la mise en œuvre et l'étude numérique d'une stratégie de maillage auto-adaptatif en 1D. Dans ces travaux de recherche, nous nous sommes plus focalisés sur le choix d'une approximation numérique qui soit la plus performante pour résoudre notre problème couplé. En particulier, après avoir donné une approximation différences finies actuellement utilisée en 2D dans ce contexte, nous avons proposé une solution parallèle d'un outil FDTD et traité en 3D un couplage micro-onde/plasma en espace libre. Ensuite, dans le cas de problèmes de blindage, nous avons mis en avant les inconvénients de la méthode FDTD et proposé une approche basée sur un schéma volumes finis qui offre les avantages du raffinement local. Pour améliorer cette méthode, nous avons mis en œuvre une stratégie de pas de temps local et montré les gains obtenus dans le cas de plasma confinés
This thesis presents the study of an efficient numerical method to solve the Maxwell equations coupled with a fluid plasma model. The document is split into five chapters where we introduce the formulation of the physical model, a mathematical study to demonstrate the existence and uniqueness of a solution for the problem, numerical approximations of the equations, simulations and validations on 3D and 2D examples and a prospective work on a finite volume method with adaptative mesh for the 1D case. The accent is continuously put on the choice of the most efficient numerical approximation to solve the coupled problem. In this work, we exhibit the drawbacks of the finite difference method usually employed in this context. To overcome these drawbacks, we propose a method based upon a finite volume scheme which allows the capability to use local refinements. Then, to increase the gain in time CPU and memory storage, we introduce a local time-stepping scheme

Cette thèse est dédiée à la simulation numérique de la diffraction d'une onde électromagnétique par un aéronef aérobie modélisé par une structure de grande taille contenant une cavité profonde et étroite. En raison de la taille et de la complexité de cet objet, les méthodes usuelles (exactes et asymptotiques) ne peuvent s'appliquer de façon satisfaisante. Ce travail présente une nouvelle méthode hybride exacte/asymptotique pour résoudre efficacement ce problème de diffraction. Les méthodes ont tout d'abord été validées dans le cas bi-dimensionnel puis étendues au cas tri-dimensionnel. Tout d’abord, nous avons développé pour la cavité un procédé de factorisation frontale par sous-structuration reposant sur une formulation par équations intégrales. Cette méthode ramène le problème initial à un système d’équations posées sur les frontières de l’objet situées à l’extérieur de la cavité. Ensuite, afin de réduire la taille du problème obtenu, nous utilisons une méthode de Schwarz associée à une méthode de décomposition de frontière avec recouvrement et adaptée pour une résolution par équations intégrales. Enfin, pour résoudre le problème local posé sur une des frontières définies précédemment, nous introduisons une méthode asymptotique, calculant le rayonnement des courants équivalents par un procédé de type Generalized Ray Expansion. L’utilisation de l’algorithme précédent assure un fort couplage entre les différents domaines. Nous avons établi mathématiquement la stabilité et la solvabilité de la méthode de factorisation et numériquement l’efficacité des différentes étapes et de l’ensemble du procédé d’hybridation qui a été testé sur des cas-test académiques et industriels
This thesis is concerned with the numerical simulation of the scattering of an electromagnetic wave by air-breathing aircraft, represented by a deep and narrow cavity within a large perfectly conducting structure. Due to the size and the complexity of this object, the classical methods (full-wave and asymptotic) cannot be successfully applied. The aim of this study is to develop a new hybrid method to solve this kind of problem. The methods have first been developed and validated in the 2D case and then extended to the 3D case. At first, for the treatment of the cavity, a new substructuring domain decomposition method based on a boundary element formulation and a frontal forward substitution was developed. After this step, the remaining equations are set on the aperture of the cavity and the rest of the boundary of the structure. Next, to reduce the size of the resulting external problem, we use a Schwarz method associated with an overlapping boundary decomposition well-suited for the boundary integral equations. Finally, for the part of the boundary that does not cover the aperture of the cavity, we introduce an asymptotic method, based on the radiation of equivalent currents by a Generalized Ray Expansion process. The use of the previous algorithm ensures a strong coupling between the subdomains. We have mathematically established the stability and solvability of the cavity factorization method. We have also numerically demonstrated the efficiency of these three elementary steps and of the whole hybridization process

Nous développons et étudions une méthode de volumes finis pour résoudre le système de Maxwell instationnaire bidimensionnel sur des maillages presque quelconques (non-conformes, non-convexes, aplatis. . ). Nous commençons par la construction du schéma, qui est basé sur l'utilisation des opérateurs discrets de la méthode DDFV et sur un choix pertinent pour la discrétisation des conditions initiales et des conditions aux limites. Ensuite, nous prouvons que ce schéma préserve localement la condition de divergence, que l'énergie électromagnétique discrète est conservée ou décroissante (selon les conditions aux limites) et qu'elle est positive sous condition CFL. Nous montrons aussi la stabilité du schéma sous condition CFL et sa convergence dans les cas de champs réguliers et non réguliers. Ces résultats sont ensuite validés, numériquement avec quelques cas tests sur différents types de maillages. Nous vérifions aussi que l'utilisation des maillages non conformes n'amplifie pas les réflexions parasites. Enfin nous couplons ce schéma avec une méthode PIC pour résoudre le système de Maxwell-Vlasov. Nous calculons la densité de courant avec une généralisation de la méthode de Buneman à des maillages quelconques et nous montrons la conservation des équations de charge discrètes, ce qui permet de conserver la loi de Gauss. Le problème couplé est validé numériquement et la simulation de l'amortissement Landau confirme la décroissance de l'énergie, portée par le champ électrique, avec une précision dépendant du nombre de particules par maille
We develop and study a finite volume method to solve the bidimensional nonstationary Maxwell equations on arbitrary (non-conforming, non-convex, flat. . . ) meshes. We start by the construction of the scheme, which is based on the use of the DDFV discrete operators and a pertinent choice to discretize initial and boundary conditions. Then, we prove that the scheme locally preserves the divergence condition, that a discrete electromagnetic energy is conserved or decreasing (depending on boundary conditions) and that it is positive under a CFL condition. We also show the stability of the scheme under a CFL condition and its convergence for regular and non-regular fields. Then, these results are numerically validated with some tests using different types of meshes. We verify, also, that the use of non-conforming meshes doesn't amplify parasitic reflections. Finally, we coupled the scheme with a PIC method to solve the Maxwell-Vlasov system. We calculate the current density using a generalization of Buneman's method to arbitrary meshes and we prove that discrete charge equations, and thus Gauss' law, are conserved. The coupled problem is numerically validated and the simulation of Landau damping confirms the electric energy decrease with a precision depending on the number of particles per cell

L'objet de cette thèse est l'étude de l'asymptotique des collisions rasantes pour les équations de Kac et de Boltzmann ainsi que l'étude de la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique à l'aide d'équations différentielles stochastiques non linéaires. Le premier chapitre est consacré 'a l'équation de Kac avec un potentiel Maxwellien. Nous commençons par donner une vitesse de convergence explicite (que l'on pense être optimale) dans le cadre de l'asymptotique des collisions rasantes. Puis nous approchons la solution de l'équation de Kac dans le cadre général, ce qui nous permet de montrer la propagation du chaos pour un système de particules vers cette dernière de manière quantitative. Dans le deuxième chapitre, nous étudions l'asymptotique des collisions rasantes pour l'équation de Boltzmann avec des potentiels mous et de Coulomb. Nous donnons là encore des vitesses de convergence explicites (mais non optimales).Enfin dans le troisième et dernier chapitre, nous montrons la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique. Pour cela, nous utilisons des arguments de compacité (tension du système de particules)

Mon sujet porte sur l’étude de quelques problèmes d’antennes LTED utilisés en IRM. Elles sont du diélectrique couvert partiellement par une couche de métal très fine. Nous avons proposé trois formulations basées sur des méthodes de types surfaciques. C’est une méthode qui associe des éléments finis dans le diélectrique et un simple découpage sur le métal. Elle permet de réduire considérablement le nombre d’inconnues. Une étude complète de chaque formulation a été proposée et comparée à une autre méthode qui associe Eléments finis et méthodes intégrales pour quelques types d’antennes
My subject relates to the study of some problems of antennas LTED used in IRM. They are dielectric cover partially by a very fine layer of metal. We proposed three formulations based on methods of the surface types. It is a method which associates finite elements in the dielectric one and a simple cutting on metal. It makes it possible to reduce the number of unknown factors considerably. A complete study of each formulation was proposed and compared with another method which associates finished Elements and integral methods for some types of antennas

En électromagnétisme les structures périodiques suscitent un grand intérêt. Ces structures agissent ainsi comme des filtres fréquentiels et permettent la fabrication de méta-matériaux, composites et artificiels. Elles présentent des propriétés électromagnétiques inédites pour les matériaux naturels telles que des bandes interdites. On a ainsi pu fabriquer de nouveaux dispositifs permettant de guider, de focaliser ou de stopper la propagation. C'est par exemple utile pour éviter le couplage entre différents éléments rayonnants notamment via la caractérisation des ondes de surface qui se propagent à l'interface entre l'air et la structure périodique. Ce travail de thèse s'inscrit dans ce contexte et propose une description de la méthode des éléments finis dédiée à la caractérisation des structures périodiques. La modélisation numérique aboutit à des problèmes de valeurs propres de grandes tailles. Elle implique la résolution de systèmes linéaires composés de matrices creuses. Une méthode est abordée pour résoudre ce type de problème, en optimisant et combinant différents algorithmes. Avant d'aborder les différents aspects de la méthode développée, nous établissons une liste exhaustive de l'ensemble des méthodes qui existent en énonçant leurs avantages et leurs inconvénients. Nous constatons notamment que la méthode des éléments finis permet de traiter un large éventail de structures périodiques en trois dimensions sans limitation sur leur forme géométrique. Nous présentons alors les différentes formulations de cette méthode. Ensuite les aspects algorithmiques de la méthode sont détaillés. Nous montrons notamment qu'une analyse des paramètres de résolution permet de préciser les interprétations physiques des résultats obtenus. Finalement nous présentons les performances de notre outil sur des cas d'applications issus de la littérature et nous abordons la caractérisation des ondes de surface. Pour cela, l'étude d'un réseau d'antennes patchs insérées dans des cavités métalliques est conduite. Notons pour conclure que les études conduites au cours de cette thèse ont abouti à la production d'un code utilisable dans un environnement de calcul initialement présent à l'ONERA
Electromagnetic periodic structures are of great interest. These structures act as frequency filters and allow the manufacturing of meta-materials which appear to be composite and artificial. They exhibit electromagnetic properties that are unusual to natural materials such as band gaps. This allows new devices to guide, focus or stop the propagation. This is for example useful to avoid coupling between various radiating elements via the characterization of the surface waves which propagate at the interface between air and the periodic structure. This thesis provides a description of the finite element method dedicated to the characterization of periodic structures. Numerical modelling results in eigenvalue problems of large sizes. It involves solving linear systems compounds of sparse matrices. A method is therefore discussed for solving this type of problem, optimizing and combining different algorithms. Before discussing the different aspects of the developed method, we establish an exhaustive list of all the existing methods by stating their advantages and drawbacks. We note that the finite element method can handle a wide range of periodic structures in three dimensions without limitation on their shape. We present different formulations of this method. Then the algorithmic aspects of the method are detailed. We show that an analysis of the resolution settings can impact the physical interpretations of the results. Finally we show the performance of our tool on classical validation results from the bibliography and we discuss the characterization of surface waves. Therefore, the study of a patch antenna array included in metal cavities is conducted. To conclude we can say that the studies conducted in this thesis have resulted in the production of a code used in an environment calculation initially present at ONERA

En électromagnétisme les structures périodiques suscitent un grand intérêt. Ces structures agissent ainsi comme des filtres fréquentiels et permettent la fabrication de méta-matériaux, composites et artificiels. Elles présentent des propriétés électromagnétiques inédites pour les matériaux naturels telles que des bandes interdites. On a ainsi pu fabriquer de nouveaux dispositifs permettant de guider, de focaliser ou de stopper la propagation. C'est par exemple utile pour éviter le couplage entre différents éléments rayonnants notamment via la caractérisation des ondes de surface qui se propagent à l'interface entre l'air et la structure périodique. Ce travail de thèse s'inscrit dans ce contexte et propose une description de la méthode des éléments finis dédiée à la caractérisation des structures périodiques. La modélisation numérique aboutit à des problèmes de valeurs propres de grandes tailles. Elle implique la résolution de systèmes linéaires composés de matrices creuses. Une méthode est abordée pour résoudre ce type de problème, en optimisant et combinant différents algorithmes. Avant d'aborder les différents aspects de la méthode développée, nous établissons une liste exhaustive de l'ensemble des méthodes qui existent en énonçant leurs avantages et leurs inconvénients. Nous constatons notamment que la méthode des éléments finis permet de traiter un large éventail de structures périodiques en trois dimensions sans limitation sur leur forme géométrique. Nous présentons alors les différentes formulations de cette méthode. Ensuite les aspects algorithmiques de la méthode sont détaillés. Nous montrons notamment qu'une analyse des paramètres de résolution permet de préciser les interprétations physiques des résultats obtenus. Finalement nous présentons les performances de notre outil sur des cas d'applications issus de la littérature et nous abordons la caractérisation des ondes de surface. Pour cela, l'étude d'un réseau d'antennes patchs insérées dans des cavités métalliques est conduite. Notons pour conclure que les études conduites au cours de cette thèse ont abouti à la production d'un code utilisable dans un environnement de calcul initialement présent à l'ONERA.

Le travail présenté dans ce document concerne la simulation électromagnétique par la méthode des Différences Finies dans le Domaine Temporel. Dans un premier temps, nous nous intéresserons à la formulation des P. M. L. De Bérenger par produit de convolution en signalant leur utilisation pour le sondage de sol, puis nous développons un formalisme de fils obliques basé sur les fils minces de Holland et une méthode de réduction de temps de calcul par insertion de pertes électriques et magnétiques dans le volume de calcul. Dans un second temps, nous entamons une réflexion sur la conception de logiciels scientifiques, notre préoccupation est l'évolutivité et la personnalisation des outils élaborés. Le choix totalement modulaire de programmation permet d'atteindre ces objectifs mais nous conduit en plus à considérer d'une manière plus ouverte la parallélisation de codes, ainsi que le couplage de méthodes.

Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés à la modélisation des phénomènes de diffraction d’ondes électromagnétiques par des objets à symétrie de révolution complexes et fortement hétérogènes. La méthode que nous développons ici consiste en un couplage entre équations aux dérivées partielles (EDP) et équations intégrales (EI). Cette idée est essentiellement connue pour avoir deux avantages. Le premier est que les hétérogénéités de l’objet sont prises en compte naturellement dans la formulation du problème. Le deuxième est dû à l’utilisation des équations intégrales qui donnent une représentation exacte des solutions dans le milieu extérieur en fonction des courants surfaciques. Le domaine de simulation peut ainsi être ramené à l’objet lui-même. L’utilisation de développements en séries de Fourier combinés à la propriété d’invariance par rotation de l’objet permet alors la réduction du problème global 3D à un ensemble dénombrable de problème 2D.L’étude de ces problèmes nous a conduit à décomposer notre analyse en plusieurs parties,chacune ayant à traiter une partie du problème complet ou les méthodes d’intégrations numériques. Ces dernières étant difficiles à réaliser dans le cas des équations intégrales.Nous avons tout d’abord étudié un problème de Maxwell intérieur pour lequel nous avons développé une nouvelle méthode d’éléments finis d’ordre élevé dont nous avons montré l’efficacité et la précision sur de multiples exemples. Puis, nous avons étudié le problème de diffraction d’ondes planes pour des objets parfaitement conducteurs. La méthode d’éléments finis de frontière employée est alors construite par extension de la méthode précédente via l’opérateur de trace tangentielle. En combinant ces deux études, nous avons résolu le problème couplé en introduisant la propriété de symétrie de révolution dans une formulation variationnelle bien choisie. Par construction, les éléments finis qui y sont utilisés sont alors naturellement adaptées. L’algorithme de parallélisation de la méthode de couplage est finalement présentée et des comparaisons entre notre code AxiMax et un code 3D sont illustrées. Dans tous les cas, nous montrons que la méthode d’éléments finis d’ordre élevé permet d’obtenir des résultats d’une grande précision en fonction de la qualité des paramètres de simulation
In this thesis, we are interested in modeling diffraction of electromagnetic waves by axisymmetric and highly heterogeneous objects. Our method consists in a coupling between partial differential equations and integral equations. This idea is mainly interesting for two reasons : heterogeneities are handled naturally in the formulation and integral equations give an analytical representation of solutions outside the object based on surface currents.These advantages allow us to limit the domain of simulation to the object itself. In addition,using Fourier series combined with the rotational invariance property of the object, the 3D problem is reduced to a countable set of 2D problems. The study of these problems is split into several parts. Each part has to deal with aspecific problem as for example the numerical integration of singular integrals which is difficult to achieve. As a first step, we study time-harmonic Maxwell’s equations in a bounded domain for which we develop a new high-order finite element method and present its efficiency and accuracy on many examples. Secondly, we consider the diffraction of plane waves by perfect electric conductors to analyse integral equations for these kind of object.The boundary finite element method applied is defined by extension of the previous one via tangential trace operator. Then, we solve the coupled problem using a well chosen formulation based on the previous studies for which our finite element method is naturally adapted by construction. In order to evaluate its efficiency, a comparison is performed between our program « AxiMax » and one based on a purely 3D model. To conclude, in the last two chapters, we present the numerical integration method and the multi-processing algorithm developed in AxiMax. In all cases, we put forward the fact that our finite element method provides accurate results depending on the quality of the simulation parameters

Lors de la formation du point chaud dans une expérience de Fusion par Confinement Inertiel, le plasma au centre de la sphère de deutérium-tritium peut être loin de l'équilibre thermodynamique local. Dans la première partie, on décrit donc un modèle cinétique ionique de type Vlasov-Fokker-Planck susceptible de prendre en compte ces déséquilibres. Après avoir rappelé les grandes étapes pour résoudre numériquement le système obtenu, on introduit la notion de moyenne entropique pour définir un nouveau schéma numérique traitant les collisions ion-électron homogènes en espace. Ce schéma est conservatif, stable et entropique sous un critère de type CFL dans sa version explicite. Dans sa version semi-implicite, on établit que ce schéma conserve l'équilibre thermodynamique. Le temps de calcul pour résoudre les équations cinétiques étant très important, il est nécessaire d'étudier la possibilité de ne résoudre ces équations que là où c'est nécessaire c'est à dire principalement au centre de la sphère de deutérium-tritium. Dans la seconde partie, on propose donc une technique de couplage cinétique-fluide, la formation du point chaud étant traitée avec le modèle cinétique, le reste avec les équations d'Euler à deux températures (températures ionique et électronique). Les ions deutérium et tritium pouvant ne pas être à l'équilibre thermodynamique, on s'est ensuite posé la question de la validité des formules analytiques donnant le taux de réaction nucléaire, formules établies en supposant que le plasma est à l'équilibre thermodynamique. Dans la troisième partie, on propose donc une méthode de type Monte-Carlo pour résoudre numériquement les équations cinétiques de type Boltzmann qui décrivent les réactions de fusion thermonucléaire et on montre qu'effectivement, les déséquilibres thermodynamiques rencontrés lors de la formation du point chaud peuvent invalider les formules usuelles.

Cette thèse comporte trois chapitres indépendants, consacrés à l’étude mathématique de trois problèmes physiques distincts, ayant pour modèles trois équations aux dérivées partielles différentes. Ces équations relèvent plus précisément de la méthode des surfaces de niveau, de la théorie de l’écoulement incompressible des matériaux non newtoniens et de la théorie cinétique des gaz raréfiés. Le premier chapitre de la thèse porte sur la dynamique des frontières en mouvement et contient une justification mathématique de la procédure numérique dite de ré-initialisation, dont les applications sont nombreuses dans le contexte de la célèbre méthode des surfaces de niveau. Nous appliquons ces résultats pour une classe d’équations issues de la méthode des surfaces de niveau de premier ordre. Nous écrivons la procédure de ré-initialisation comme un algorithme de décomposition et nous étudions la convergence de l’algorithme en utilisant des techniques d’homogénéisation dans la variable temporelle. Grâce à cette analyse rigoureuse nous introduisons également une nouvelle méthode pour l’approximation de la fonction de distance dans le contexte de la méthode des surfaces de niveau. Dans le cas où l’on cherche seulement une fonction de l’ensemble de niveau avec un gradient minoré proche du niveau zéro, nous proposons une approximation plus simple. Dans le cas général, où le niveau zéro pourrait présenter des changements de topologie, nous introduisons une nouvelle notion de limites relâchées. Dans le deuxième chapitre de la thèse, nous étudions un problème de frontière libre résultant de l’étude de l’écoulement incompressible d’un matériau non-newtonien, avec limite d’élasticité de type Drucker-Prager, sur un plan incliné et sous l’effet de la pesanteur. Nous obtenons une équation sous-différentielle, que nous formulons comme un problème variationnel avec un terme à croissance linéaire de type gradient, et nous étudions le problème dans un domaine non borné. Nous montrons que les équations sont bien posées et satisfont certaines propriétés de régularité. Nous sommes alors capables de relier les paramètres physiques avec le problème abstrait et de prouver des propriétés quantitatives de la solution. En particulier, nous montrons que la solution a un support compact, la limite de ce que nous appelons la frontière libre. Nous construisons également des solutions explicites d’une équation différentielle ordinaire qui peut estimer la frontière libre. Enfin, le troisième et dernier chapitre de la thèse est dédié aux solutions de l’équation de Boltzmann homogène avec molécules maxwelliennes et énergie infinie. Nous obtenons de nouveaux résultats d’existence de solutions éternelles pour cette équation dans un espace de mesures de probabilité d’énergie infinie (i.e. de moment d’ordre deux infini). Elles permettent de décrire le comportement asymptotique en temps d’autres solutions d’énergie infinie, mais elles apparaissent aussi comme des états asymptotiques intermédiaires dans l’étude des solutions d’énergie finie, mais arbitrairement grande. Les méthodes issues de l’analyse harmonique sont utilisées pour étudier l’équation de Boltzmann, où la variable de vitesse est exprimée en Fourier. Enfin, un changement d’échelle logarithmique en la variable temporelle permet de déterminer le bon comportement asymptotique à l’infini des solutions
This thesis consists of three different and independent chapters, concerning the mathematical study of three distinctive physical problems, which are modelled by three non- linear partial differential equations. These equations concern the level set method, the theory of incompressible flow of non-Newtonian materials and the kinetic theory of rare- fied gases. The first chapter of the thesis concerns the dynamics of moving interfaces and contains a rigorous justification of a numerical procedure called re-initialization, for which there are several applications in the context of the level set method. We apply these results for first order level set equations. We write the re-initialization procedure as a splitting algorithm and study the convergence of the algorithm using homogenization techniques in the time variable. As a result of the rigorous analysis, we are also able to introduce a new method for the approximation of the distance function in the context of the level set method. In the case where one only looks for a level set function with gradient bounded from below near the zero level, we propose a simpler approximation. In the general case where the zero level might present changes of topology we introduce a new notion of relaxed limits. In the second chapter of the thesis, we study a free boundary problem arising in the study of the flow of an incompressible non-Newtonian material with Drucker-Prager plasticity on an inclined plane. We derive a subdifferential equation, which we reformulate as a variational problem containing a term with linear growth in the gradient variable, and we study the problem in an unbounded domain. We show that the equations are well posed and satisfy some regularity properties. We are then able to connect the physical parameters with the abstract problem and prove some quantitative properties of the solution. In particular, we show that the solution has compact support and the support is the free boundary. We also construct explicit solutions of an ordinary differential equation, which we use to estimate the free boundary. The last chapter of the thesis is dedicated to the study of infinite energy solutions of the homogeneous Boltzmann equation with Maxwellian molecules. We obtain new results concerning the existence of eternal solutions in the space of probability measure with infinite energy (i.e. the second order moment is infinite). These solutions describe the asymptotic behaviour of other infinite energy solutions but could also be useful in the study of intermediate asymptotic states of solutions with finite but arbitrarily large energy. We use harmonic analysis tools to study the equation, where the velocity variable is expressed in the Fourier space. Finally, a logarithmic scaling of the time variable allows to determine the correct asymptotic scaling of the solutions