Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Contrôlabilité approchée“

Cette thèse, constituée de trois parties, est consacrée à l'étude de l'homogénéisation de l'équation de la chaleur et des ondes, dans le cas de coefficients rapidement oscillants et d'un domaine périodiquement perforé. Dans la première partie, on étudie le comportement asymptotique de l'équation de la chaleur sous de faibles hypothèses de convergence des données initiales, quand la période tend vers zéro. On montre ensuite un résultat de correcteurs pour ce problème. La deuxième partie de la thèse, concerne l'étude du comportement asymptotique d'un problème de contrôlabilité approchée pour l'équation de la chaleur considérée dans la première partie. En utilisant les résultats obtenus précédemment et des techniques de -convergence, on décrit le comportement asymptotique de ce problème. Plus précisément, on montre que la contrôlabilité approchée du problème homogénéisé est pénalisée par une constante qui mesure la proportion de matériaux dans le domaine. La troisième partie est consacrée à l'étude des correcteurs de l'équation des ondes. On donne des conditions suffisantes sur les données initiales, qui assurent la convergence des énergies vers l'énergie du problème homogénéisé. On établit alors un résultat de correcteurs.

La théorie du contrôle, domaine interdisciplinaire, étudie le comportement des systèmes dynamiques dans le but de réguler leur fonctionnement. La théorie du contrôle mathématique, un sous-domaine spécialisé, se concentre sur l'utilisation de méthodes mathématiques pour analyser ces comportements et concevoir des contrôleurs. Cela implique l'application d'équations différentielles, d'algèbre linéaire, d'optimisation et d'outils mathématiques variés pour modéliser, réguler et comprendre le comportement des systèmes dynamiques. Ces systèmes trouvent de vastes applications dans des domaines tels que la robotique, l'automatisation, l'aérospatiale, le génie électrique, les systèmes mécaniques, la biologie et les sciences sociales. Leur description nécessite souvent des modèles complexes tels que des équations aux dérivées partielles, des équations différentielles fonctionnelles et d'autres modèles de dimension infinie, rendant leur analyse essentielle, mais complexe pour la recherche. L'application de la théorie du contrôle pour analyser et réguler le comportement de ces systèmes a récemment attiré une attention significative. Cette thèse se concentre sur l'étude de la contrôlabilité approchée de certains systèmes dynamiques de dimension infinie décrits par des équations intégrodifférentielles. Structurée en trois chapitres, la thèse examine spécifiquement la contrôlabilité approchée des équations d'évolution intégrodifférentielles avec des conditions non locales. Le premier chapitre présente des outils fondamentaux, notamment la théorie des opérateurs résolvants, les applications multi-valuées, l'application de dualité, la théorie du contrôle mathématique et d'autres concepts essentiels à l'établissement des résultats. Le deuxième chapitre se concentre précisément sur la contrôlabilité approchée des équations d'évolution intégrodifférentielles semi-linéaires avec des conditions non locales de la forme w(0)=w0+g(w). En supposant que la partie linéaire soit nulle et approximativement contrôlable, la théorie des opérateurs résolvants est utilisée pour présenter les résultats principaux. Le troisième chapitre se concentre sur l'investigation de l'existence de solutions faibles et de la contrôlabilité approchée des systèmes d'évolution intégrodifférentielles avec des conditions non locales prenant des valeurs multiples w(0) appartient w0+g(w). Des conditions suffisantes pour l'existence et la contrôlabilité approchée sont établies à l'aide de la théorie des opérateurs résolvants. Un critère général de contrôlabilité de Kalman est introduit pour étudier la contrôlabilité approchée dans les cas linéaires. Des exemples illustratifs sont fournis tout au long de ces chapitres pour appuyer nos résultats
Control theory is an interdisciplinary field that addresses the behavior of dynamical systems with the primary goal of managing their output. A specialized subset of this is mathematical control theory, which focuses on utilizing mathematical methods to analyze system behavior and design controllers. This involves applying differential equations, linear algebra, optimization, and various mathematical tools to comprehend, model, and regulate system behavior. These systems have extensive applications across robotics, automation, aerospace, electrical engineering, mechanical systems, robotics, biological and social systems, among others. Described by complex models such as partial differential equations, functional differential equations, and other infinite-dimensional models, these systems pose intricate challenges, rendering the analysis of their behavior a pivotal and intricate area of research. In recent years, the application of control theory to analyze and regulate the behavior of these systems has attracted significant attention. This thesis aims to investigate the approximate controllability of certain infinite-dimensional dynamical systems described by integrodifferential equations. The thesis is structured into three chapters, each addressing the problem of achieving approximate controllability in integrodifferential evolution equations equipped with nonlocal conditions. The first chapter introduces fundamental tools critical to establishing our main findings, including the theory of resolvent operators, multi-valued maps, duality mapping, mathematical control theory, and other essential concepts. Chapter 2 specifically focuses on the approximate controllability of semilinear integrodifferential evolution equations with nonlocal conditions of the form w(0)=w0+g(w). Here, assuming the linear part is precisely null and approximately controllable, we employ resolvent operator theory to present our main results. Chapter 3 centers on investigating the existence of mild solutions and the approximate controllability of integrodifferential evolution systems with multi-valued nonlocal conditions (w(0) belongs w0+g(w)). By using resolvent operator theory, we establish sufficient conditions for both existence and controllability. Introducing a general Kalman controllability criterion, we examine approximate controllability in linear cases and subsequently demonstrate it in nonlinear cases. Throughout these chapters, we provide illustrative examples to support our main findings

Cette thèse est composée de deux parties dans lesquelles nous étudions d'une part des estimations d'erreurs pour des schémas numériques associés à des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. D'autre part, nous nous intéressons a l'étude de la stabilité et de la contrôlabilité exacte frontière indirecte des équations d'onde couplées.Dans un premier temps, en utilisant la technique de Crandall-Lions, nous établissons une estimation d'erreur d'un schéma numérique monotone aux différences finies pour des conditions de jonction dites a flux limité, pour une équation de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ensuite, nous montrons que ce schéma numérique peut être généralisé à des conditions de jonction générales. Nous établissons alors la convergence de la solution discrétisée vers la solution de viscosité du problème continu. Enfin, nous proposons une nouvelle approche, à la Crandall-Lions, pour améliorer les estimations d'erreur déjà obtenues, pour une classe des Hamiltoniens bien choisis. Cette approche repose sur l'interprétation du type contrôle optimal de l'équation de Hamilton-Jacobi considérée.Dans un second temps, nous étudions la stabilisation et la contrôlabilité exacte frontière indirecte d'un système monodimensionnel d’équations d'ondes couplées. D'abord, nous considérons le cas d'un couplage avec termes de vitesses, et par une méthode spectrale, nous montrons que le système est exactement contrôlable moyennant un seul contrôle à la frontière. Les résultats dépendent de la nature arithmétique du quotient des vitesses de propagation et de la nature algébrique du terme de couplage. De plus, ils sont optimaux. Ensuite, nous considérons le cas d'un couplage d'ordre zéro et nous établissons un taux polynômial optimal de la décroissance de l'énergie. Enfin, nous montrons que le système est exactement contrôlable moyennant un seul contrôle à la frontière
The aim of this work is mainly to study on the one hand a numerical approximation of a first order Hamilton-Jacobi equation posed on a junction. On the other hand, we are concerned with the stability and the exact indirect boundary controllability of coupled wave equations in a one-dimensional setting.Firstly, using the Crandall-Lions technique, we establish an error estimate of a finite difference scheme for flux-limited junction conditions, associated to a first order Hamilton-Jacobi equation. We prove afterwards that the scheme can generally be extended to general junction conditions. We prove then the convergence of the numerical solution towards the viscosity solution of the continuous problem. We adopt afterwards a new approach, using the Crandall-Lions technique, in order to improve the error estimates for the finite difference scheme already introduced, for a class of well chosen Hamiltonians. This approach relies on the optimal control interpretation of the Hamilton-Jacobi equation under consideration.Secondly, we study the stabilization and the indirect exact boundary controllability of a system of weakly coupled wave equations in a one-dimensional setting. First, we consider the case of coupling by terms of velocities, and by a spectral method, we show that the system is exactly controllable through one single boundary control. The results depend on the arithmetic property of the ratio of the propagating speeds and on the algebraic property of the coupling parameter. Furthermore, we consider the case of zero coupling parameter and we establish an optimal polynomial energy decay rate. Finally, we prove that the system is exactly controllable through one single boundary control

Cette thèse est constituée de deux parties principales. Dans la première partie on traite l'observabilité et la contrôlabilité exacte internes indirectes des systèmes hyperboliques faiblement couplés et du système de Timoshenko. La deuxième partie est consacrée à l'étude de problèmes concernant la stabilisation directe du système de Bresse par des feedbacks non linéaires en utilisant la méthode des multiplicateurs et des techniques d'inégalités intégrales, et sa stabilisation indirecte seulement par deux feedbacks localement distribués au voisinage du bord en utilisant l'approche de fréquence de domaine. On traite dans cette partie aussi la stabilisation indirecte du système de Timoshenko dans le cas d'un seul feedback localement distribué au voisinage du bord
This thesis consists of two main parts. In the fi#rst part, it treats the indirect internal observability and exact controllability of a weakly coupled hyperbolic system and of the Timoshenko system. The second part is devoted to the study of problems concerning the direct stabilization of the Bresse system by non-linear feedbacks using multiplier method and integral inequality techniques, and its indirect stabilization only by two locally distributed feedbacks at the neighborhood of the boundary using the frequency domain method. Is treated in this part also the indirect stabilization of the Timoshenko system subject to a single feedback locally distributed at the neighborhood of the boundary

Cette thèse est constituée de deux parties principales. Dans la première partie on traite l'observabilité et la contrôlabilité exacte internes indirectes des systèmes hyperboliques faiblement couplés et du système de Timoshenko. La deuxième partie est consacrée à l'étude de problèmes concernant la stabilisation directe du système de Bresse par des feedbacks non linéaires en utilisant la méthode des multiplicateurs et des techniques d'inégalités intégrales, et sa stabilisation indirecte seulement par deux feedbacks localement distribués au voisinage du bord en utilisant l'approche de fréquence de domaine. On traite dans cette partie aussi la stabilisation indirecte du système de Timoshenko dans le cas d'un seul feedback localement distribué au voisinage du bord
This thesis consists of two main parts. In the fi#rst part, it treats the indirect internal observability and exact controllability of a weakly coupled hyperbolic system and of the Timoshenko system. The second part is devoted to the study of problems concerning the direct stabilization of the Bresse system by non-linear feedbacks using multiplier method and integral inequality techniques, and its indirect stabilization only by two locally distributed feedbacks at the neighborhood of the boundary using the frequency domain method. Is treated in this part also the indirect stabilization of the Timoshenko system subject to a single feedback locally distributed at the neighborhood of the boundary