Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Cônes convexes“

AbstractSi E et F sont deux espaces vectoriels en dualité séparante, M+(E, F) désigne le cône des mesures coniques positives sur E mis en dualité avec F, c'est à dire le cônes des formes postives sur le treillis de fonctions sur E engendré par F. Ce sont des objets plus généraux que les mesures cylindriques admettant des moments finis d'ordre un.On part d'abord d'une mesure conique représentée par une mesure de Radon sur le complété faible de E et on donne des critéres (par exemple R.N.P.) pour qu'elle le soit sur l'espace E lui-même.On étudie ensuite les cônes faiblement complets saillants (classe L) contenus dans un espace de Banach ou dans le dual d'un espace de Fréchet F; on montre notamment qu' un cône faiblement fermé contenu dans F′ est dans Lsi son polaire dans F est positivement engendré.Si B est un espace de Banach et 11 ⊄ B, on cherche à prologner une μ ∈ M+(B′, B) en un élement de M+ (B′, B″). On montre également que, si X est un convexe compact, toute fonction vérifiant le calcul barycentrique sur X est continue sur des ensembles fixes que l'on précise.Enfin on donne des conditions (de type bornologique) sur un e.l.c.s E, permettant d'interpréter une μ ∈ M+ (E, E′) comme une mesure conique sur un espace normé.

Nous avons étudié en [12] des problèmes d’interpolation dans des espaces de fonctions holomorphes sur un cône ouvert convexe de sommet l’origine dans Cn, la croissance de ces fonctions étant contrôlée à l’infini. Nous nous intéressons maintenant à un espace plus petit en imposant en outre un contrôle de croissance à l’origine dans le cas où le cône est strict.

International audience Given a fan $\Delta$ and a cone $\sigma \in \Delta$ let $star^1(\sigma )$ be the set of cones that contain $\sigma$ and are one dimension bigger than $\sigma$ . In this paper we study two cones of piecewise linear functions defined on $\delta$ : the cone of functions which are convex on $star^1(σ\sigma)$ for all cones, and the cone of functions which are convex on $star^1(σ\sigma)$ for all cones of codimension 1. We give nice combinatorial descriptions for these two cones given two different fan structures on the tropical linear space of complete graphs. For the complete graph $K_5$, we prove that with the finer fan subdivision the two cones are not equal, but with the coarser subdivision they are the same. This gives a negative answer to a question of Gibney-Maclagan that for the finer subdivision the two cones are the same. Soit $\Delta$ un fan, pour $\sigma \in \Delta$ nous définissons $star^1(\sigma )$ comme l'ensemble de cônes qui contiennent $\sigma$ dont la dimension est un de plus que la dimension de $\sigma$ . Nous étudions deux cônes d'applications linéaires par morceaux définis sur $\Delta$ : le cône de fonctions convexes sur$star^1(\sigma )$, où $\sigma \in \Delta$ est un cône quelconque, et le cône de fonctions convexes sur $star^1(σ\sigma)$ où σ est un cône de codimension 1. étant donnés deux structures sur l'espace tropical linéaire de graphes complets, nous donnons de beaux descriptions combinatoires des cônes décrits en haut. Pour le graphe complet $K_5$, on démontre que avec la subdivision en fans plus fine, les deux cônes sont différentes, mais avec la subdivision plus gros ils sont cônes sont les mêmes. Ce résultant réponde négativement une question de Gibney-Maclagan.

International audience The type $A_n$ root polytope $\mathcal{P}(A_n^+)$ is the convex hull in $\mathbb{R}^{n+1}$ of the origin and the points $e_i-e_j$ for $1 \leq i < j \leq n+1$. Given a tree $T$ on vertex set $[n+1]$, the associated root polytope $\mathcal{P}(T)$ is the intersection of $\mathcal{P}(A_n^+)$ with the cone generated by the vectors $e_i-e_j$, where $(i, j) \in E(T)$, $i < j$. The reduced forms of a certain monomial $m[T]$ in commuting variables $x_{ij}$ under the reduction $x_{ij} x_{jk} \to x_{ik} x_{ij} + x_{jk} x_{ik} + \beta x_{ik}$, can be interpreted as triangulations of $\mathcal{P}(T)$. If we allow variables $x_{ij}$ and$x_{kl}$ to commute only when $i, j, k, l$ are distinct, then the reduced form of $m[T]$ is unique and yields a canonical triangulation of $\mathcal{P}(T)$ in which each simplex corresponds to a noncrossing alternating forest. Le polytope des racines $\mathcal{P}(A_n^+)$ de type $A_n$ est l'enveloppe convexe dans $\mathbb{R}^{n+1}$ de l'origine et des points $e_i-e_j$ pour $1 \leq i < j \leq n+1$. Étant donné un arbre $T$ sur l'ensemble des sommets $[n+1]$, le polytope des racines associé, $\mathcal{P}(T)$, est l'intersection de $\mathcal{P}(A_n^+)$ avec le cône engendré par les vecteurs $e_i-e_j$, où $(i, j) \in E(T)$, $i < j$. Les formes réduites d'un certain monôme $m[T]$ en les variables commutatives $x_{ij}$ sous la reduction $x_{ij} x_{jk} \to x_{ik} x_{ij} + x_{jk} x_{ik} + \beta x_{ik}$ peuvent être interprétées comme des triangulations de $\mathcal{P}(T)$. Si on impose la restriction que les variables $x_{ij}$ et $x_{kl}$ commutent seulement lorsque les indices $i, j, k, l$ sont distincts, alors la forme réduite de $m[T]$ est unique et produit une triangulation canonique de $\mathcal{P}(T)$ dans laquelle chaque simplexe correspond à une forêt alternée non croisée.

En analyse multivariée de données de grande dimension, les lois de Wishart définies dans le contexte des modèles graphiques revêtent une grande importance car elles procurent parcimonie et modularité. Dans le contexte des modèles graphiques Gaussiens régis par un graphe G, les lois de Wishart peuvent être définies sur deux restrictions alternatives du cône des matrices symétriques définies positives : le cône PG des matrices symétriques définies positives x satisfaisant xij=0, pour tous sommets i et j non adjacents, et son cône dual QG. Dans cette thèse, nous proposons une construction harmonieuse de familles exponentielles de lois de Wishart sur les cônes PG et QG. Elle se focalise sur les modèles graphiques d'interactions des plus proches voisins qui présentent l'avantage d'être relativement simples tout en incluant des exemples de tous les cas particuliers intéressants: le cas univarié, un cas d'un cône symétrique, un cas d'un cône homogène non symétrique, et une infinité de cas de cônes non-homogènes. Notre méthode, simple, se fonde sur l'analyse sur les cônes convexes. Les lois de Wishart sur QAn sont définies à travers la fonction gamma sur QAn et les lois de Wishart sur PAn sont définies comme la famille de Diaconis- Ylvisaker conjuguée. Ensuite, les méthodes développées sont utilisées pour résoudre la conjecture de Letac- Massam sur l'ensemble des paramètres de la loi de Wishart sur QAn. Cette thèse étudie aussi les sousmodèles, paramétrés par un segment dans M, d'une famille exponentielle paramétrée par le domaine des moyennes M
In the framework of Gaussian graphical models governed by a graph G, Wishart distributions can be defined on two alternative restrictions of the cone of symmetric positive definite matrices: the cone PG of symmetric positive definite matrices x satisfying xij=0 for all non-adjacent vertices i and j and its dual cone QG. In this thesis, we provide a harmonious construction of Wishart exponential families in graphical models. Our simple method is based on analysis on convex cones. The focus is on nearest neighbours interactions graphical models, governed by a graph An, which have the advantage of being relatively simple while including all particular cases of interest such as the univariate case, a symmetric cone case, a nonsymmetric homogeneous cone case and an infinite number of non-homogeneous cone cases. The Wishart distributions on QAn are constructed as the exponential family generated from the gamma function on QAn. The Wishart distributions on PAn are then constructed as the Diaconis- Ylvisaker conjugate family for the exponential family of Wishart distributions on QAn. The developed methods are then used to solve the Letac-Massam Conjecture on the set of parameters of type I Wishart distributions on QAn. Finally, we introduce and study exponential families of distributions parametrized by a segment of means with an emphasis on their Fisher information. The focus in on distributions with matrix parameters. The particular cases of Gaussian and Wishart exponential families are further examined

Cette thèse concerne quatre thèmes apparemment différents, mais en fait intimement liés : problèmes variationnels sur les algèbres de Jordan euclidiennes, problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques, analyse angulaire entre deux cônes convexes fermés et analyse du chemin central en programmation conique symétrique.Dans la première partie de ce travail, le concept de “commutation au sens opérationnel” dans les algèbres de Jordan euclidiennes est étudié en fournissant un principe de commutation pour problèmes variationnels avec données spectrales.Dans la deuxième partie, nous abordons l’analyse et la résolution numérique d’une large classe de problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques. Les conditions de complémentarité sont exprimées en termes de l’ordre de Loewner ou, plus généralement, en termes d’un cône du type Loewnerien.La troisième partie de ce travail est une tentative de construction d’une théorie générale des angles critiques pour une paire de cônes convexes fermés. L’analyse angulaire pour une paire de cônes spécialement structurés est également considérée. Par-exemple, nous travaillons avec des sous-espaces linéaires, des cônes polyédriques, des cônes de révolution, des cônes “topheavy” et des cônes de matrices.La dernière partie de ce travail étudie la convergence et le comportement asymptotique du chemin central en programmation conique symétrique. Ceci est fait en utilisant des techniques propres aux algèbres de Jordan
This thesis deals with four different but interrelated topics: variational problems on Euclidean Jordan algebras, complementarity problems on the space of symmetric matrices, angular analysis between two closed convex cones and the central path for symmetric cone linear programming.In the first part of this work we study the concept of “operator commutation” in Euclidean Jordan algebras by providing a commutation principle for variational problems involving spectral data.Our main concern of the second part is the analysis and numerical resolution of a broad class of complementarity problems on spaces of symmetric matrices. The complementarity conditions are expressed in terms of the Loewner ordering or, more generally, with respect to a dual pair of Loewnerian cones.The third part of this work is an attempt to build a general theory of critical angles for a pair of closed convex cones. The angular analysis for a pair of specially structured cones is also covered. For instance, we work with linear subspaces, polyhedral cones, revolution cones, topheavy cones and cones of matrices.The last part of this work focuses on the convergence and the limiting behavior of the central path in symmetric cone linear programming. This is done by using Jordan-algebra techniques

Le cadre de cette these est la construction de tests de convexite pour une fonction de regression dans un modele non-parametrique. Dans un premier temps, nous rappellons quelques proprietes geometriques sur les cones convexes polyhedriques, suivies de generalites sur les tests d'hypotheses lineaires sur la moyenne d'un vecteur gaussien, et sur les splines. Nous definissons par la suite deux tests (de convexite et non-convexite) bases sur des estimateurs splines cubiques de la regression. Nous etudions leurs proprietes asymptotiques. Nous etablissons notamment la convergence des tests, etudions le comportement local pour le test de non-convexite et montrons qu'il est robuste a la non-normalite. Dans la partie qui suit, nous nous inspirons respectivement de yatchew et schlee, pour construire deux autres tests de convexite dans le cadre de notre modele et la aussi, nous etablissons de nouveaux resultats de convergence. Pour terminer, nous faisons une etude comparative des differents tests, une etude basee sur des simulations et sur un exemple de donnees reelles.

La théorie des valeurs extrêmes étudie la probabilité de survenance d'événements extrêmes, tels les inondations, les sécheresses ou encore les crises financières. Une part importante de cette théorie repose sur les théorèmes limites, comme celui des valeurs extrêmes, ou de Pickands-Balkema-de Haan. Afin d'appliquer ces théorèmes avec précision et approcher raisonnablement la loi des données extrêmes, inconnue en général, par son modèle limite, il faut pouvoir quantifier la vitesse de convergence de ces théorèmes. Une façon de faire est d'utiliser l'approche par générateur de la méthode de Stein. Aussi, dans cette thèse nous introduisons et étudions une famille de semi-groupes de Markov spécialement construits pour admettre les lois d'extremum comme mesure invariante. Pour ce faire, la définition choisie repose sur une formule de Mehler, elle-même conséquence des relations de stabilité satisfaites par les lois max-stables. L'avantage principal de cette construction est que les semi-groupes ainsi définis disposent automatiquement de propriétés similaires à celles du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck (propriété de commutation, inégalité de Poincaré, identités de covariance, etc.). Nous appliquons ensuite ces résultats à l'obtention de bornes générales sur les distance à une loi d'extremum, puis nous spécialisons ces bornes dans différents contextes pour obtenir des taux explicites. Enfin le dernier chapitre porte sur les processus de Poisson dont la mesure intensité satisfait une propriété d'homogénéité. Nous étudions comment les propriétés bien connues de ces processus se traduisent en nouveaux résultats pour les lois max-stables, éclairant ainsi d'une autre manière le contenu des chapitres précédents
Extreme value theory deals with the probability of occurrence of extreme events, such as floods, droughts or financial crises. An important part of that theory relies on limit theorems, such as the extreme value theorem, or the Pickands-Balkeman-de Hann theorem. In order to apply those theorems accurately and approximate efficiently the usually unknown distribution of the extreme data by its limit model, one needs to quantify the speed of convergence of those theorems. A manner of doing so is to use the generator approach of Stein's method. That is why in this thesis we construct a family of Markov semi-groups whose invariant measure is an extreme-value distribution. We do so via a Mehler's formula, which relies itself on the stability property satisfied by max-stable distributions. Thanks to this definition, the semi-groups satisfy similar properties to the Ornstein-Uhlenbeck (commutation rule, Poincaré's inequality, covariance identities, etc.). We then proceed to apply those results to the generator approach of Stein's method to deduce rates of convergence to extreme-value distributions in various settings. The last chapter focuses on Poisson processes whose intensity measure satisfies an homogeneity assumption and how their standard properties translate into new results for max-stable distributions, thus shedding a new light on the contents of the previous chapters

Cette thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous étudions l’estimation des densités prédictives, sous le coût de Kullback-Leibler, pour le modèle gaussien multidimensionnel de dimension p. Nous nous focalisons sur le lien qui existe entre ce problème d’estimation et l’estimation de la moyenne correspondante sous coût quadratique. Nous exhibons plusieurs résultats parallèles. Nous prouvons des résultats de minimaxité et d’amélioration des estimateurs sous contrainte pour la moyenne inconnue. Notamment, nous établissons, au travers deux méthodes, que la densité prédictive bayésienne associée à la loi a priori uniforme sur un convexe C domine la meilleure densité invariante sous la contrainte μ 2 C. Ceci constitue un résultat parallèle à celui de Hartigan en 2004 pour l’estimation de la moyenne sous coût quadratique. A la fin de cette partie, nous donnons des simulations numériques pour visualiser les gains réalisés par quelques nouveaux estimateurs proposés. Dans la seconde partie, pour le modèle gaussien de dimension p, nous traitons le problème de l’estimation du coût quadratique de l’estimateur standard de la moyenne (soit #0(X) = X). Nous proposons des estimateurs de coût bayésiens généralisés qui dominent l’estimateur standard du coût (soit #0(X) = p), en donnant des conditions suffisantes sur la loi a priori afin d’obtenir cette domination pour p # 5. Nous illustrons nos résultats par des exemples. Ensuite nous réalisons une étude technique et des simulations numériques du gain obtenu par un de nos estimateurs bayésiens généralisés proposés
This thesis is divided in two parts. In the first part, we investigate predictive density estimation for a multivariate Gaussian model under the Kullback-Leibler loss. We focus on the link with the problem of estimation of the mean under quadratic loss. We obtain several parallel results. We prove minimaxity and improved estimation results under restriction for the unknown mean. In particular, we show, via two different paths, that the Bayesian predictive density associated to the uniform prior on a convex C dominates the best invariant predictive density when μ 2 C. This is a parallel result to Hartigan’s result in 2004, for the estimation of the mean under quadratic loss. At the end of this part, we give numerical simulations to visualize the gain obtained by some of our new proposed estimators. In the second part, for the Gaussian model of dimension p, we treat the problem of estimating the loss of the standard estimator of the mean (that is, #0(X) = X). We give generalized Bayes estimators which dominate the unbiased estimator of loss (that is, #0(X) = p), through sufficient conditions for p # 5. Examples illustrate the theory. Then we carry on a technical study and numerical simulations on the gain reached by one of our proposed minimax generalized Bayes estimators of loss

Cette thèse traite de problèmes posés par la théorie de l'équilibre général lorsque des firmes présentent des rendements croissants ou plus généralement des non-convexités. Dans la première partie, nous nous attachons à établir des résultats nouveaux sur les caractères continu et Lipschitzien de la fonction cout associé à un ensemble de production non nécessairement convexe. Dans la deuxième partie, nous prolongeons les travaux de Dehez et Drèze sur les économies non-convexes, ou les producteurs suivent une tarification basée sur les notions d'échange volontaire et de minimaliste des prix des outputs. Enfin, dans la troisième partie, nous généralisons un résultat de Kahn qui démontre le second théorème d'économie du bien-être en dimension infinie et en utilisant le concept de cône normal de Ioffe
In this thesis we report problems which issue from general equilibrium theory when some firms exhibit increasing returns to scale or more general types of nonconvexities. In the first part, we establish new results about Lipschitz and continuous properties of the cost function associated to a nonconvex production set. In the second part, we extend Dehez-Dreze's works on nonconvex economies, where producers follow pricing rule related to the notion of voluntary trading and minimality of the outputs prices. Finally in the third part, we extend a result of kahn who proves the second welfare theorem in infinite dimension by using the concept of Ioffe's normal cone

En 2002, Marek Musiela et Thaleia Zariphopoulo ont introduit la notion de {\em forward utility}, c'est à dire une utilité dynamique, progressive, cohérente avec un marché financier donné. On peut voir ce processus comme un champ aléatoire $U(t,x)$ adapté à l'information disponible, qui a chaque instant est une utilité standard (donc en particulier à la date $0$, compatible avec une famille de stratégies données $(X^{\pi})$ au sens où pour tout $t,h>0$, $ \mathbb{E}(U(t+h,X^{\pi}_{t+h})|\mathcal{F}_t)\leq U(t,X^{\pi}_t)$ et il existe un portefeuille optimal $X^*$ pour lequel l'inégalité est une égalité.\\ Les auteurs ont fait plusieurs articles sur ce sujet, montrant en particulier comment les utilités classiques, puissance, exponentielle, etc doivent être modifiées pour être des utilités dynamique progressives. Une attention limitée a été portée à l'univers d'investissement. \noindent Dans mon travail de thèse, je considère un cadre beaucoup plus général. En effet, le marché est incomplet dans le sens où un investisseur est contraint, à chaque date $t\ge 0$, de choisir ces stratégies admissibles dans des cones convexes fermés, adaptés $\K_t (X_t)$ dépendent du niveau de sa richesse $X_t$. Je considère par la suite que les champs aléatoires $U(t,x)$ évoluent selon la dynamique \begin{equation}\label{eq:champ} dU(t,x)=\beta(t,x)+\Gamma(t,x) dW_t,~U(0,.)=u(.) (\text{donnée}) \end{equation} Comme dans l'optimisation classique, (dite rétrograde puisqu'on reconstruit l'information à partir de la fin), %je montre que le terme %$\beta(t,x)$ contient, contient nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique %modifié par la présence de la dérivée de la volatilité %$\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui % satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell % satisfait je me propose d'étudier les équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman que satisfait une utilités progressive $u(t,x)$. Pour mener cette étude, j'utilise une formule d'Itô généralisée apellée la formule de Ventzell-Friedlin, qui permet d'établir la décomposition de type Itô de la composée d'un champ aléatoire avec un processus d'Itô. Je montre alors que le terme $\beta(t,x)$ contient, nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique modifié par la présence de la dérivée de la volatilité $\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell satisfont l' équation différentielle stochastique suivante \begin{equation}\label{EDPSU} dU(t,x)=\Big\{-xU'_{x}\, r_t dt+ \frac{1}{2U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big) \|^2\Big\}(t,x)\,dt\>+\Gamma(t,x)\,dW_t. \end{equation} avec comme portefeuille optimal $X^*$ le processus associé à la stratégie $\pi^*$ donnée par \begin{equation} x\pi^*(t,x)\sigma_t=- \frac{1}{U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big)(t,x) \end{equation} \noindent où $r$ est le taux court, $\eta$ la prime de marché, $\sigma$ la matrice de variance covariance des actifs et $ \prod_{\K_t(x)\sigma_t}$ désigne l'opérateur de projection sur le cône $\K_t(x)\sigma_t$. \\ Ce point de vue permet de vérifier que le champ aléatoire, s'il existe est compatible avec l'univers d'investissement. Cependant, la question de la convexité et de la monotonie est complexe a priori, car il n'existe pas de théorèmes de comparaison pour les équations progressives (qui sont {\em forward}), contrairement au cas des équations rétrogrades. La question de l'interprétation et du rôle de la volatilité s'avère alors être centrale dans cette étude. Contrairement au cadre général que je considère ici, M.Musiela et T.Zariphopoulo, puis C.Rogers et al se sont restreint au cas où la volatilité de l'utilité est identiquement nulle. Le processus progressif $u(t,x)$ est alors une fonction déterministe satisfaisant une EDP non linéaire, que les auteurs ont transformé en solution harmonique espace temps de l'équation de la chaleur. \\ Mon choix a été d'étudire la question de la volatilité par des techniques de changement de numéraire; ainsi, je montre la stabilité de la notion d'utilité progressive par changement de numéraire. L'avantage considérable de cette technique, comparée à la méthode classique, % Comme dans le cas % classique, le problème est compliqué par le fait que l'espace des % contraites n'est pas invariant par changement de numéraire. est le fait qu'elle permet de se ramener toujours à un marché "martingale" ($r=0$ et $\eta=0$), ce qui simplifie considérablement les équations et les calculs. La dérivée de la volatilité apparaît alors comme une prime de risque instantanée que le marché introduit, et qui dépend du niveau de la richesse de l'investisseur. Ce point de vue nouveau permet de répondre à la question de l'interprétation de la volatilité de l'utilité. Dans la suite, j'étudie le problème dual et je montre que la transformée de {\em Fenchel} $\tU$ de la fonction concave $U(t,x)$ est un champ markovien lui aussi satisfaisant la dynamique \begin{eqnarray}\label{EDPSDuale'} d\tilde{U}(t,y)=\left[\frac{1}{2\tU_{yy}''}(\|\tilde{\Gamma}'\|^2-\|\prod_{\K_t(-\tU_y'(t,y))\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\|^2) +y\tU_{y}' r_t\right](t,y)dt +\tilde{\Gamma}(t,y)dW_t,~~\tilde{\Gamma}(t,y)=\Gamma(t,\tU_y'(t,y)). \end{eqnarray} À partir de ce résultat je montre que le problème dual admet une unique solution $Y^*$ dans la volatilté $\nu^*$ est donnée par \begin{equation} y\nu^*(t,y)= -\frac{1}{\tU_{yy}''}\Big(\tilde{\Gamma}'+y\eta_t-\prod_{\K_t(-\tU_y')\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\Big)(t,y). \end{equation} \noindent Ce ci permettra d'établir les identités clé suivantes: \begin{eqnarray} &Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))=U'_x(t,X^*(t,x)) \label{A}\\ &(\Gamma'_x+U'_x\eta)(t,x)=(xU''(t,x)\pi^*(t,x)\sigma_t+\nu^*(U_x'(t,x))\label{B}. \end{eqnarray} % Remarquons que le terme $(\Gamma'_x+U'_x\eta)$ se décompose de manière unique sous forme % de sa projection sur le cone $\K\sigma$, qui est la stratégie optimale, et la projection sur le cone dual $\K^* \sigma$, % qui est la volatilité du processus optimal dual. Mais notre but est deux termes projétés su comme la projection % Á partir de la première identité nous savons que $U'_x(t,X^*(t,x))$ n'est autre que le processus optimal dual %Á ce stade rapellons que le but de cette étude est de carracteriser les utilités progressives. La question par la suite est la suivante: peut-on caractériser l'utilité $U(t,x)$ pour tout $x>0$ à partir de la première identité? Ceci peut paraître trop demander car nous cherchons à caractériser le champ $U$ connaissant seulement son comportement le long de l'unique trajectoire optimale $X^*$. Cependant, la réponse à cette question s'avère être positive et assez simple. En effet, notons par $\Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$, et supposons que le flot stochastique $X^*$ soit inversible, $\X$ désigne son inverse. Alors, en inversant dans (\ref{A}), je déduis que $U_x'(t,x)=\Y(t,\X(t,x))$. En intégrant par rapport à $x$, j'obtiens que $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$, ce qui prouve le théorème suivant: \begin{theo} Sous des hypothèses de régularités et d'inversion du flot $X^*$, les processus $U$ définis par $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ sont des utilités progressives solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). \end{theo} % %\noindent Inversement, je montre le théorème d'EDP stochastique suivant: \begin{theo} Soit $U$ un champ aléatoire solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). En utilisant la décompostion (\ref{B}), si les EDS suivantes \begin{eqnarray*} & dX^*_t(x)=X^*_t(x)(r_tdt+\pi^*(t,X^*_t(x))\sigma_t(dW_t+\eta_tdt)),X^*_0(x)=x ~\\ & dY^*_t(y)=Y^*_t(y)(-r_tdt+\nu^*(t,Y^*_t(y))dW_t),~Y^*_0(y)=y \end{eqnarray*} admettent des solutions fortes unique et monotonnes, alors, en notant par $ \Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$ et par $\X$ le flot inverse de $X$, on obtient que $U(t,x)= \int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$. Si de plus $X^*$ et $Y^*$ sont croissants, $U$ est concave. \end{theo} \noindent %Dans ce travail, je considère toujours un marché incomplet, Dans une seconde partie de ce travail, je me place dans un cadre beaucoup plus général dans le sens où les actifs sont supposés être cadlag locallement bornés, et par conséquent la filtration n'est plus une filtration brownienne. Je remplace les contraintes de type cône convexe par des contraintes plus générales de type ensemble convexe. Le but de cette partie est de caractériser toutes les utilités progressives avec le minimum d'hypothèses, notamment avec moins d'hypothèses de régularités sur les champs aléatoires $U$. Je ne suppose plus que $U$ est deux fois différentiable et par conséquent je ne peut plus appliquer le lemme d'Itô-Ventzell. L'approche est alors différente: je commence par établir des conditions d'optimalité sur le processus de richesses optimale ainsi que le processus optimal dual, et ce en utilisant des méthodes d'analyse. En utilisant ces résultats je démontre, par des éléments d'analyse, la convexité ainsi que les conditions d'optimalités que toutes les utilités progressives générant une richesse croissante est de la forme $\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ avec $\Y$ : $\Y X$ est une surmartingale pour toute richesse $X$ et une martingale si $X=X^*$.