Auswahl der wissenschaftlichen Literatur zum Thema „Algèbres de Hopf bidendriformes“

Ce travail est fondé sur la théorie des bigèbres bidendriformes, développée par Foissy, qui sont des algèbres de Hopf particulières où le produit et le coproduit peuvent être scindés en deux. Son théorème principal est: Une bigèbre bidendriforme est générée librement par ``l'espace des éléments totalement primitifs'' en tant qu'algèbre dendriforme. Une conséquence est l'auto-dualité des bigèbres bidendriformes.Parmi les nombreuses algèbres de Hopf, Hivert a défini l'algèbre des fonctions quasi-symétriques en mots, notée WQSym. En prouvant que WQSym est une bigèbre bidendriforme, Novelli-Thibon résolvent la conjecture de Duchamp-Hivert-Thibon sur l'auto-dualité de WQSym. Cependant, comme aucune construction générale de l'ensemble des totalement primitifs n'est formulée, nous n'avons pas d'auto-morphisme explicite pour le passage de la primale à la duale.La question centrale de cette thèse est donc de construire un isomorphisme bidendriforme entre WQSym et sa duale. Cette construction passe par la décomposition des mots tassés à l'aide de deux nouvelles opérations que nous avons définies. En outre, pour illustrer ces décompositions, nous avons créé une nouvelle famille d'objets combinatoires: les forêts d'arbres biplans. Certains sous-ensembles de mots tassés ne peuvent être décomposés par ces opérations. Nous avons prouvé que leurs séries génératrices sont égales aux dimensions de l'espace des éléments totalement primitifs. L'intérêt des forêts biplanes est de faire apparaître visuellement les sous-ensembles de mots tassés indécomposables.Ces forêts biplanes sont donc la forme idéale pour indexer des nouvelles bases, que nous avons créées, de l'algèbre WQSym et sa duale. En effet, il est aisé d'en extraire un sous-ensemble qui définit deux bases des espaces totalement primitifs de WQSym et sa duale. Enfin, des arbres biplans bicolores permettent d'obtenir un isomorphisme bidendriforme par un simple échange de couleurs, ce qui répond à notre question initiale et constitue le résultat principal de cette thèse.Après l'obtention de ce résultat, nous nous intéressons aux relations entre les opérations évoquées. Nous remarquons alors fortuitement que ces opérations vérifient des relations semblables à des opérades bien connues (dupliciale déformée, L-algèbre, bigraft) mais qui sont a priori sans lien avec l'opérade dendriforme. Nous prouvons que l'ensemble des mots tassés munis de ces opérations décrit une algèbre sur ces opérades et en donnons des sous-ensembles de générateurs.L'algèbre PQSym, indexée par les fonctions de parking, est très similaire à WQSym, mais aussi plus complexe et serait un premier pas vers la généralisation de notre résultat principal. La question de généraliser ce résultat aux fonctions de parking relève à la fois de la combinatoire et de l'algèbre. Nous présentons ce qui est sans doute le premier ingrédient de cette généralisation. Il s'agit du calcul d'un changement de base où le produit de mélange des valeurs est sans chevauchement.Nous terminons cette thèse par une partie expliquant notre démarche expérimentale de recherche utilisant SageMath. Nous décrivons les tutoriels que nous avons conçus sous la forme de notebooks et mis en ligne à disposition des autres chercheurs. Nous y présentons le code qui permet de vérifier tous nos résultats sur des exemples calculés par des algorithmes
This work is founded on the theory of bidendriform bialgebras, developped by Foissy, which are particular Hopf algebras where the product and the coproduct can be split into two parts. His main theorem is: A bidendriform bialgebra is freely generated by ``the space of totally primitive elements'' as a dendriform algebra. A consequence of this is the self-duality of bidendriform bialgebras.Among the many Hopf algebras, Hivert defined the algebra of word quasi-symmetric functions, denoted WQSym. By proving that WQSym is a bidendriform bialgebra, Novelli-Thibon solved the Duchamp-Hivert-Thibon conjecture on the self-duality of WQSym. However, since no general construction of the set of totally primitive was formulated, we do not have an explicit isomorphism between the primal and the dual.The central question of this thesis is the construction of a bidendriform isomorphism between WQSym and its dual. This construction goes through a decomposition of packed words using two new operations that we havedefined. Furthermore, to illustrate these decompositions, we have created a new family of combinatorial objects: forests of biplane trees. Some subsets of packed words cannot be decomposed by these operations. We proved that their generating series are equal to the dimensions of the space of the totally primitive elements. The interest of biplane forests is to visually reveal the subsets of indecomposable packed words.These biplane forests are therefore the ideal form for indexing the new bases, that we have created, of the algebra WQSym and its dual. In fact, it is easy to extract from them a subset which defines two bases of totally primitives spaces of WQSym and its dual. Finally, bicolored biplane trees allow us to obtain a bidendriform isomorphism by a simple exchange of colors, which answers our initial question and constitutes the main result of this thesis.After obtaining this result, we study the relationships between the aforementioned operations. We then remark fortuitously that these operations verify relations similar to well-known operads (skew-duplicial, L-algebra,bigraft) but which are unrelated to the dendriform operad. We prove that the set of packed words endowed with these operations describes an algebra over these operads and give subsets of generators.The PQSym algebra, indexed by parking functions, is very similar to WQSym, but also more complex and would be a first step towards a generalization of our main result. The question of generalizing this result to parking functions is both combinatorics and algebra. We present what is undoubtedly the first ingredient of this generalization. This is the calculation of a change of bases where the shuffle product on values is not overlapped.We end this thesis with a part explaining our experimental approach of research using SageMath. We describe the tutorials that we have designed in the form of notebooks and made available online for other researchers. We present the code that allows to check all our results on examples calculated by algorithms

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique. Autrement dit, l'idée est d'utiliser des structures algébriques, en l'occurence des algèbres de Hopf combinatoires, pour mieux étudier et comprendre les objets combinatoires ainsi que des algorithmes de composition et de décomposition agissant sur ces objets. Ce travail de recherche repose sur la construction et l'étude de structure algébrique sur des objets combinatoires généralisant les permutations. Après avoir rappelé le contexte et les notations des différents objets intervenant dans cette recherche, nous proposons dans la seconde partie l'étude de l'algèbre de Hopf introduite par Aguiar et Orellana indexée par les permutations de blocs uniformes. En se focalisant sur une description de ces objets via d'autres bien connus, les permutations et les partitions d'ensembles, nous proposons une réalisation polynomiale et une étude plus simple de cette algèbre. La troisième partie étudie une deuxième généralisation en interprétant les permutations comme des matrices. Nous définissons et étudions alors des familles de matrices carrées sur lesquelles nous définissons des algorithmes de composition et de décomposition. La quatrième partie traite des matrices à signes alternants. Après avoir définie l'algèbre de Hopf sur ces matrices, nous étudions des statistiques et le comportement de la structure algébrique vis-à-vis de ces statistiques. Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et fait l'objet d'une implémentation utilisant le logiciel Sage. Ce dernier chapitre est consacré à la découverte et la manipulation de structures algébriques sur Sage. Nous terminons en expliquant les améliorations apportées pour l'étude de structure algébrique au travers du logiciel Sage
This thesis is in the field of algebraic combinatorics. In other words, the idea is to use algebraic structures, in this case of combinatorial Hopf algebras, to better study and understand the combinatorial objects and algorithms for composition and decomposition about these objects. This research is based on the construction and study of algebraic structure of combinatorial objects generalizing permutations. After recalling the background and notations of various objects involved in this research, we propose, in the second part, the study of the Hopf algebra introduced by Aguiar and Orellana based on uniform block permutations. By focusing on a description of these objects via well-known objects, permutations and set partitions, we propose a polynomial realization and an easier study of this algebra. The third section considers a second generalization interpreting permutations as matrices. We define and then study the families of square matrices on which we define algorithms for composition and decomposition. The fourth part deals with alternating sign matrices. Having defined the Hopf algebra of these matrices, we study the statistics and the behavior of the algebraic structure with these statistics. All these chapters rely heavily on computer exploration, and is the subject of an implementation using Sage software. This last chapter is dedicated to the discovery and manipulation of algebraic structures on Sage. We conclude by explaining the improvements to the study of algebraic structure through the Sage software

Dans cette thèse, nous étudions des théories homologiques et cohomologiques adaptées aux algèbres de Hopf.
Dans un premier temps, nous unifions diverses théories cohomologiques pour les algèbres de Hopf. Deux d'entre elles ont été introduites par M. Gerstenhaber et S.D. Schack; l'une est sans coefficients et elle est liée à la cohomologie qui permet d'étudier les déformations d'une algèbre de Hopf, l'autre est une théorie à coefficients (qui sont des bimodules de Hopf). La troisième est une généralisation de la cohomologie qui a été définie par C. Ospel, il s'agit aussi d'une théorie à coefficients. Pour unifier ces théories, nous les identifions au foncteur Ext sur une algèbre associative définie par C. Cibils et M. Rosso qui est une ``algèbre enveloppante'' associée à l'algèbre de Hopf. Nous établissons ensuite des formules explicites pour un cup-produit sur deux de ces cohomologies, et montrons que ce produit correspond au produit de Yoneda des extensions. Nous montrons aussi la Morita invariance de ces cohomologies.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une homologie cyclique pour les algèbres de Hopf. Il s'agit d'une version duale de la cohomologie qu'ont introduite A. Connes et H. Moscovici. Nous en étudions des propriétés, puis considérons le cas des algèbres de groupe. Nous interprétons certaines décompositions (de Burghelea et de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique classique d'une algèbre de groupe en termes d'homologie cyclique de Connes et Moscovici. Nous établissons ensuite une formule de décomposition (semblable à celle de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique d'une algèbre de Hopf cocommutative (qui généralise un résultat de Khalkhali et Rangipour).
Enfin, nous calculons quelques exemples d'homologies: l'homologie cyclique classique des algèbres de carquois tronquées, ainsi que l'homologie cyclique de Connes et Moscovici dans le cas particulier des algèbres de Taft. Nous calculons aussi l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique classique des algèbres d'Auslander des algèbres de Taft.

Dans cette thèse, on étudié quelques propriétés des algèbres de Hopf et de leurs modules. Dans un premier temps on expose les travaux de Radford, de Nichols et Zoeller sur la liberté des algèbres de Hopf en tant que modules sur leurs sous-algèbres de Hopf, grâce à quoi on montre qu'une algèbre de Hopf graduée connexe est libre sur ses sous-algèbres de Hopf. On montre ensuite que si une algèbre de Hopf graduée connexe sur un corps commutatif de caractéristique nulle, ou tout élément homogène de degré strictement positif est nilpotent, alors elle est commutative et cocommutative, par suite elle est l'algèbre extérieure sur ses éléments primitifs, ce qui généralise un résultat de Hopf sans l'hypothèse de commutativite en dimension finie. En fin, on généralise des résultats de j. Bergen, en donnant des conditions impliquants que les espaces d'invariants associes a des sous-algèbres de Hopf différentes sont distincts
In this work, we study somes properties of Hopf algebras and of their modules. First we expose the works of Radford, Nichols and Zoeller on the freeness of Hopf algebras, and we show that a connected graded Hopf algebra is free over its Hopf subalgebras. Second we show that if a graded connected Hopf algebra over a commutative field of characteristic 0, where all homogenous elements of strictly positive degree are nilpotents, then it's commutative and cocommutative, hence it's the exterior algebra over the primitive elemnts, which generalise a result of Hopf without commutativity in finite dimension. In the end, we generalise the results of J Bergen, we give conditions implying that the spaces of invariants associated to a differents Hopf subalgebras are distincts

Nous étudions dans cette thèse l’algèbre de Hopf H associée à l’opérade pré-Lie. L’espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d’une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l’insertion d’un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l’algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l’algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l’espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d’insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l’algèbre pré-Lie associée à l’opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l’opérade pré-Lie s’obtient comme déformation de l’opérade NAP dans ce cadre
We investigate in this thesis the Hopf algebra structure on the vector space H spanned by the rooted forests, associated with the pre-Lie operad. The space of primitive elements of the graded dual of this Hopf algebra is endowed with a left pre-Lie product denoted by ⊲, defined in terms of insertion of a tree inside another. In this thesis we retrieve the “derivation” relation between the pre-Lie structure ⊲ and the left pre-Lie product → on the space of primitive elements of the graded dual H0CK of the Connes-Kreimer Hopf algebra HCK, defined by grafting. We also exhibit a coproduct on the tensor product H⊗HCK, making it a Hopf algebra the graded dual of which is isomorphic to the enveloping algebra of the semidirect product of the two (pre-)Lie algebras considered. We prove that the span of the rooted trees with at least one edge endowed with the pre-Lie product ⊲ is generated by two elements. It is not free : we exhibit two families of relations. Moreover we prove a similar result for the pre-Lie algebra associated with the NAP operad. Finally, we introduce current preserving operads and prove that the pre-Lie operad can be obtained as a deformation of the NAP operad in this framework

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la renormalisation de Connes et Kreimer dans le contexe des algèbres de Hopf de graphes de Feynman spécifiés. Nous construisons une structure d'algèbre de Hopf $\mathcal{H}_\mathcal{T}$ sur l'espace des graphes de Feynman spécifié d'une théorie quantique des champs $\mathcal{T}$. Nous définissons encore un dédoublement $\wt\mathcal{D}_\mathcal{T}$ de la bigèbre de graphes de Feynman spécifiés, un produit de convolution \divideontimes et un groupe de caractères de cette algèbre de Hopf à valeurs dans une algèbre commutative qui prend en compte la dépendance en les moments extérieurs. Nous mettons en place alors la renormalisation décrite par A. Connes et D. Kreimer et la décomposition de Birkhoff pour deux schémas de renormalisation : le schéma minimal de renormalisation et le schéma de développement de Taylor. Nous rappelons la définition des intégrales de Feynman associées à un graphe. Nous montrons que ces intégrales sont holomorphes en une variable complexe D dans le cas des fonctions de Schwartz, et qu'elles s'étendent en une fonction méromorphe dans le cas des fonctions de types Feynman. Nous pouvons alors déterminer les parties finies de ces intégrales en utilisant l'algorithme BPHZ après avoir appliqué la procédure de régularisation dimensionnelle
In this thesis, we study the renormalization of Connes-Kreimer in the contex of specified Feynman graphs Hopf algebra. We construct a Hopf algebra structure $\mathcal{H}_\mathcal{T}$ on the space of specified Feynman graphs of a quantum field theory $\mathcal{T}$. We define also a doubling procedure for the bialgebra of specified Feynman graphs, a convolution product and a group of characters of this Hopf algebra with values in some suitable commutative algebra taking momenta into account. We then implement the renormalization described by A. Connes and D. Kreimer and the Birkhoff decomposition for two renormalization schemes: the minimal subtraction scheme and the Taylor expansion scheme.We recall the definition of Feynman integrals associated with a graph. We prove that these integrals are holomorphic in a complex variable D in the case oh Schwartz functions, and that they extend in a meromorphic functions in the case of a Feynman type functions. Finally, we determine the finite parts of Feynman integrals using the BPHZ algorithm after dimensional regularization procedure

Nous étudions dans cette thèse l'algèbre de Hopf H associée à l'opérade pré-Lie. L'espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d'une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l'insertion d'un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l'algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l'algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l'espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d'insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l'algèbre pré-Lie associée à l'opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l'opérade pré-Lie s'obtient comme déformation de l'opérade NAP dans ce cadre.

Connes et Kreimer ont introduit une algèbre de Hopf des arbres enracinés (éventuellement décorés) Hr dans le but d'étudier la Renormalisation. Nous introduisons ici une algèbre de Hopf des arbres enracinés plans décorés Hpr, généralisant la construction de Hr. Cette algèbre de Hopf vérifie une propriété universelle en cohomologie de Hochschild. Nous montrons que cette algèbre est auto-duale. Cette propriété entraîne l'existence d'un couplage de Hopf entre Hpr et elle-même ; en conséquence, la base duale de la base des forêts permet de décrire l'espace des primitifs de Hpr, puis de trouver les primitifs de Hr par passage au quotient, ce qui répond à une question de Kreimer. Nous étudions de plus les Hr- et les Hpr-comodules de dimension finie et nous établissons le lien entre Hpr et d'autres algèbres de Hopf d'arbres telles que les algèbres de Brouder et Frabetti, de Loday et Ronco, de Grossman et Larson, ou la quantification de Hpr de Moerdijk et van der Laan
Connes and Kreimer have introduced a Hopf algebra of (decorated) rooted trees Hr, in order to study Renormalization. We introduce here a Hopf algebra of planar decorated rooted trees Hpr, which construction generalizes the construction of Hr. This Hopf algebra satisfies a universal property in Hochschild cohomology. We show that it is self-dual. This property induces the existence of non-degenerate Hopf pairing between Hpr and itself. As a consequence, the dual basis of the basis of forests allows to find a basis of the space of the primitive elements of Hpr, and then to find all primitive elements of Hr, answering a question of Kreimer. Moreover, we study the Hr- and Hpr-comodules of finite dimension, and we establish the link between Hpr and several other Hopf algebras of trees, such as the Hopf algebras of Brouder and Frabetti, of Loday and Ronco, of Grossman and Larson, or the quantization of Hpr of Moerdijk and van der Laan

L'etude des algebres de hopf offre a la theorie des groupes son cadre naturel et l'etude abstraite permet de retrouver et d'approfondir, celle-ci. On rencontre ainsi, de facon naturelle de nombreux resultats dans la theorie des groupes qui se generalisent aux algebres de hopf. On peut donc developper toute une theorie unifiee, montrant ainsi le parallelisme des enonces dans ces deux theories qui est tout a fait remarquable, mais les methodes de demonstration sont en general differentes, et beaucoup plus delicates pour les algebres de hopf. De meme ce lien etroit entre la theorie des algebres de hopf et les groupes nous permet d'avoir des solutions de problemes dans les groupes, en eloignant ces derniers de leur aspect combinatoire et en expliquant maintes proprietes qui paraissent fortuites ; et ceci, grace a la structure duale. Ces invariants numeriques qu'on appelle table de caracteres, peuvent etre interpretes comme une matrice de passages entre les idempotents orthogonaux minimaux du centre de kg et la base b = g,c j gj du centre de kg, avec les c j designant les classes de conjugaison de g. Cependant dans le cas d'une algebre de hopf semi-simple cette interpretation parait moins precise car la notion des classes de conjugaison n'apparait pas d'une facon naturelle, ainsi pour esquisser cette difficulte, a. Joseph a suggere une definition elegante, utilisant la theorie des representations et plus precisemment les d(h)-modules ou d(h) designe le double de drinfeld de h. Ainsi, on pourra definir la table de caracteres, par la connaissance des d(h)-modules simples de h, plus precisemment en utilisant les actions de d(h) sur h.